شارح الدرس: الدالة العكسية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد قيمة دالة ودالتها العكسية من جداول القيم

الجدولان التاليان معبَّآن جزئيًّا بقِيَم للدالتين ، ؛ إذ إن قِيَم كلٍّ منهما معكوس لقِيَم الأخرى. أوجد قيمة كلٍّ من ، ، ، ، .

الحل

تذكَّر أنه إذا حَوَّلت الدالة قيمة مُدخَلة إلى قيمة مُخرَجة ، فإن تحوِّل المتغيِّر إلى .

نظرًا لأن كل دالة من الدالتين ، تمثِّل الدالة العكسية للدالة الأخرى، فإنه لإيجاد قيم كل متغيِّر من المتغيِّرات المجهولة، علينا فقط أن نبحث عن القيم المناظرة في الجدول الآخر.

على سبيل المثال، في الجدول الأول، لدينا:

هنا، ٢ هو المتغيِّر ، هو المتغيِّر . نحن نعلم أن الدالة العكسية تحوِّل المتغيِّر إلى المتغيِّر مرةً أخرى. بعبارةٍ أخرى، نريد إيجاد قيمة التي تحقِّق:

ومن ثمَّ، نبحث في الجدول الخاص بـ عن قيمة التي تساوي ٢. نجد أنه عندما تكون ، فإن ، وهو ما يُعطينا:

وهذا يعني أن المتغيِّر الذي يساوي تحوَّل مرةً أخرى إلى ٢. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن . يمكننا تكرار هذه العملية لكل متغيِّر، وفي كل مرة نُطابِق من أحد الجدولين بـ أو في الجدول الآخر، ونُوجد القيم المناظِرة كالآتي.

هذا يُعطينا ، ، ، ، .

مثال ٢: تحديد إذا ما كانت الدوال قابلة للعكس

أيُّ الدوال الآتية ليس لها معكوس على مجالها بالكامل؟ اعتبر أن المجال المقابل لكل دالة يساوي مداها.

الحل

لكي تكون الدالة قابلة للعكس، يجب أن تكون أحادية وغامرة. ونظرًا لما عَلِمناه من أن المجال المقابل لكل دالة من الدوال المُعطاة يساوي مداها، فإن هذا يعني أن الدوال غامرة. ولذلك، هيا نركِّز على اختبار إذا ما كانت كل دالة من هذه الدوال دالة أحادية، وهو ما سيوضِّح لنا إذا ما كانت هذه الدوال قابلة للعكس.

في الخيار (أ)، لدينا:

أولًا، نلاحظ أنه نظرًا لأن هذه الدالة دالة أسية؛ حيث الأساس ٢ أكبر من ١، فإنها قطعًا دالة تزايدية. وهذا يعني أن:

والآن، نفترض أن لدينا قيمتين مُدخَلتين مختلفتين ، ؛ فهل ستكون القيمتان المُخرَجتان ، وحيدتين؟ إذا كان ، مختلفين، فلا بد أن يكون أحدهما أكبر من الآخر. وهذا يعني أنه إما أن يكون وإما أن يكون . لكن في كلتا الحالتين، توضِّح لنا القاعدة السابقة أن ، مختلفتان. ومن ثمَّ، فإن المُدخَلات المختلفة تُنتج مُخرَجات وحيدة، إذن الدالة أحادية. ومن ثَمَّ، فإنها بالتبعية قابلة للعكس؛ ولذلك، فإن الإجابة لا يمكن أن تكون (أ).

في الخيار (ب)، لدينا:

لكي تكون الدالة أحادية، يجب أن تُعطي كلُّ قيمة لـ قيمةً وحيدةً لـ . ومع ذلك، في حالة الدالة السابقة، بالنسبة إلى كل ، لدينا:

بما أن القيمتين المختلفتين لمُدخَلات ، تُعطياننا القيمة المُخرَجة نفسها ، إذن الدالة ليست دالة أحادية. ومن ثمَّ، فهي غير قابلة للعكس؛ وبناءً على ذلك، فالخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة. مع ذلك، هيا نتابع التحقُّق من الخيارات الأخرى لإتمام حل السؤال.

في الخيار (ج)، لدينا:

هنا، الدالة دالة تزايدية بشكل تام. هذا لأنه إذا كان ، فإن . ومن ثمَّ، فإنه وفقًا للمنطق المستخدَم في الخيار (أ)، يجب أن تكون الدالة أحادية أيضًا؛ ومن ثَمَّ قابلة للعكس. وبذلك نكون قد تأكَّدنا من أن الخيار (ج) غير صحيح.

في الخيار (د)، لدينا:

على عكس الخيارين (أ) و(ج)، هذه قطعًا ليست دالة تزايدية؛ لذا لا يمكننا استخدام هذه الحجة لنوضِّح أنها أحادية. لكن يمكننا استخدام حجة مماثلة. نفترض أن لدينا قيمتين مُدخَلتين مختلفتين، . بتطبيق على هاتين القيمتين، نحصل على:

إذا كانت هاتان القيمتان متساويتين لأي قيمتين مختلفتين لـ ، ، فإن الدالة لن تكون أحادية. لكن، إذا كانتا متساويتين، فسنحصل على:

وبأخذ مقلوب كلا الطرفين، نحصل على:

إذن الحالة الوحيدة التي تكون فيها ، هي عندما يكون (أي عندما يكونان غير مختلفين). إذن الدالة أحادية؛ ومن ثَمَّ، فهي قابلة للعكس. وبذلك نكون قد تأكَّدنا من أن الخيار (د) غير صحيح.

مثال ٣: إيجاد الدالة العكسية لدالة خطية جبريًّا

أوجد الدالة عندما تكون .

الحل

لعكس دالة، نبدأ بتبديل قيمتَي ، في . وهذا يُعطينا:

والآن، نُعيد ترتيب هذا على الصورة .

1. نطرح ٣ من كلا طرفَي المعادلة: .
2. نضرب كلا الطرفين في ٢: .
3. نوزِّع ٢ على ما بين القوسين: .

هذا يُعطينا . يمكننا التحقُّق من أن هذه هي الدالة العكسية الصحيحة من خلال تركيبها مع الدالة الأصلية كالآتي:

بما أن هذه هي الدالة المحايدة، فإن الدالة المستنتَجة هي بالفعل الدالة العكسية. لاحِظ أنه يمكننا أيضًا التحقُّق من أن .

وأخيرًا، على الرغم من أن هذا غير مطلوب هنا، يمكننا إيجاد مجال ومداها. بما أن يمكن أن تتخذ أي عدد حقيقي، وتُخرِج أي عدد حقيقي، فإن مجالها ومداها كلاهما يساوي . ومن ثَمَّ، فإن لها مجال ومدى كلاهما يساوي أيضًا.

في النهاية، (و).

مثال ٤: إيجاد الدالة العكسية لدالة جذر تربيعي جبريًّا

أوجد للدالة ، وأوجد المجال.

الحل

نبدأ بتبديل ، في . وهذا يُعطينا:

بعد ذلك، نُعيد ترتيب المعادلة بدلالة .

1. نطرح ٣ من كلا الطرفين: .
2. نقوم بتربيع كلا الطرفين: .

ومن ثمَّ، نحصل على . يمكننا التحقُّق من أن هذا التعبير صحيح من خلال إيجاد قيمة كالآتي:

إذن هذا التعبير يبدو صحيحًا. الآن، على الرغم من أن الأمر يبدو كما لو أن الدالة يمكن أن تتخذ أي قيم لـ ، فإن مجالها ومداها يعتمدان على مجال ومدى . وهذا يعني أنه لإيجاد مجال ، علينا إيجاد مدى . أولًا، مجال هو ؛ أي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة؛ حيث لا يمكن أن يتخذ قيمًا سالبة لـ . وبما أن ، ويساوي ٠ عندما يكون ، إذن نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن مدى هو . وبناءً على ذلك، مجال الدالة هو ، ومداها هو .

في النهاية، عندما يكون .

مثال ٥: إيجاد معكوس دالة تربيعية جبريًّا

أوجد للدالة ؛ حيث ، واذكر المجال.

الحل

لإيجاد تعبير يعبِّر عن الدالة العكسية لـ ، نبدأ بتبديل ، في ، لنحصل على:

ثم نُكمل بإعادة ترتيب هذا بدلالة .

1. نُضيف ٣ إلى كلا الطرفين: .
2. نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: .
3. نُضيف ٢ إلى كلا الطرفين: .

ومن ثمَّ، نحصل على . هيا نتحقَّق من صحة ذلك من خلال إيجاد قيمة :

نظرًا لأن ، فهذا بالفعل الدالة العكسية. لاحظ أن العملية الحسابية السابقة تستخدم حقيقة أن ؛ ومن ثمَّ، .

هيا نُوجد مجال ومدى ؛ ومن ثمَّ . في البداية، وفقًا للتعريف، مجال مقيَّد على أو . لإيجاد المدى، نلاحظ أن الدالة دالة تربيعية؛ لذا يجب أن تكون على شكل (جزء من) قطع مكافئ. ولذلك، سنحاول إيجاد نقطة القيمة الصغرى.

بما أن في صيغة رأس المنحنى، إذن نعرف أن له نقطة قيمة صغرى عند ، وهو ما يُعطينا . ومن ثَمَّ، فإن مدى الدالة هو . وسنوضِّح ذلك في الشكل الآتي.

وبناءً على ذلك، يعني هذا أن مجال هو ، ومداها هو . باختصار، نحصل على عندما يكون .