شارح الدرس: الدالة العكسية | نجوى شارح الدرس: الدالة العكسية | نجوى

شارح الدرس: الدالة العكسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجد الدالة العكسية عن طريق تغيير المتغيِّر التابع للمعادلة.

نظرًا لأن مفهوم الدالة العكسية يعتمد على مفهوم الدالة، هيا نتذكَّر أولًا بعض التعريفات والترميزات الأساسية المتعلِّقة بالدوال.

تعريف: الدوال والمفاهيم المتعلِّقة بها

تحوِّل «الدالة» 󰎨𞹎𞹑 قيمة مُدخَلة 𞸎 تنتمي إلى «المجال» 𞹎 إلى قيمة مُخرَجة 󰎨(𞸎) تنتمي إلى «المجال المقابل» 𞹑. «مدى» الدالة 󰎨(𞸎) هو مجموعة جميع القيم التي يمكن أن تتخذها 󰎨(𞸎)، مع تغيُّر 𞸎 على المجال. ونرمز إليه بالرمز 󰎨(𞹎).

تُسمَّى الدالة «دالة أحادية» (أو «دالة واحد إلى واحد») إذا كان لكل قيمة مُدخَلة قيمة مُخرَجة وحيدة. وإذا لم تكُن الدالة «أحادية»، فإنها ستكون «دالة متعدد إلى واحد»، ويمكن أن يتحوَّل العديد من المُدخَلات إلى القيمة المُخرَجة نفسها.

وتُسمَّى الدالة «غامرة» (أو «فوقية») إذا كان المجال المقابل 𞹑 يساوي المدى 󰎨(𞹎). وهذا يعني أن كل عنصر في 𞹑 يمكن كتابته على الصورة 󰎨(𞸎) لأي 𞸎𞹎.

وتكون الدالة «دالة تناظُر أحادي» إذا كانت أحادية وغامرة.

نلاحظ أنه نظرًا لأن المجال المقابل هو ما نختاره عندما نُعرِّف دالة، فسيكون من المفيد في معظم الحالات أن نساويه بالمدى؛ ومن ثمَّ، تكون الدالة غامرة تلقائيًّا.

بعد مراجعة هذه المصطلحات المتعلِّقة بالدوال، هيا نناقش الآن الدالة العكسية.

«الدالة العكسية» لدالة ما هي دالة «تعكس» هذه الدالة. إذا كان 󰎨(𞸎)=𞸑، فإن الدالة العكسية لـ 󰎨، التي نرمز إليها بالرمز 󰎨١، تُحوِّل 𞸎 الأصلي عند تطبيقها إلى 𞸑. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.

ينطبق هذا على كل عنصر 𞸎 في المجال 𞹎، وكل عنصر 𞸑 في المدى 𞹑. لذا، إذا عَرَفنا أن 󰎨(𞸎)=𞸑، فسنحصل على 󰎨(𞸑)=𞸎١. نوضِّح هذه الفكرة في المثال الآتي.

مثال ١: إيجاد قيمة دالة ودالتها العكسية من جداول القيم

الجدولان التاليان معبَّآن جزئيًّا بقِيَم للدالتين 󰎨، 𞸓؛ إذ إن قِيَم كلٍّ منهما معكوس لقِيَم الأخرى. أوجد قيمة كلٍّ من 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𞸤.

𞸎١٢٣٤𞸃٦
󰎨(𞸎)١٣󰏡٩١٠١١١٤
𞸎١٣٦٢٩١٠١١𞸤
𞸓(𞸎)١٢𞸁𞸢٥٦

الحل

تذكَّر أنه إذا حَوَّلت الدالة قيمة مُدخَلة 𞸎 إلى قيمة مُخرَجة 𞸑، فإن 󰎨١ تحوِّل المتغيِّر 𞸑 إلى 𞸎.

نظرًا لأن كل دالة من الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) تمثِّل الدالة العكسية للدالة الأخرى، فإنه لإيجاد قيم كل متغيِّر من المتغيِّرات المجهولة، علينا فقط أن نبحث عن القيم المناظرة في الجدول الآخر.

على سبيل المثال، في الجدول الأول، لدينا: 󰎨(٢)=󰏡.

هنا، ٢ هو المتغيِّر 𞸎، 󰏡 هو المتغيِّر 𞸑. نحن نعلم أن الدالة العكسية تحوِّل المتغيِّر 𞸑 إلى المتغيِّر 𞸎 مرةً أخرى. بعبارةٍ أخرى، نريد إيجاد قيمة 𞸓 التي تحقِّق: 𞸓(󰏡)=٢.

ومن ثمَّ، نبحث في الجدول الخاص بـ 𞸓 عن قيمة 𞸓(𞸎) التي تساوي ٢. نجد أنه عندما تكون 𞸓(𞸎)=٢، فإن 𞸎=٦٢، وهو ما يُعطينا: 𞸓(٦٢)=٢.

وهذا يعني أن المتغيِّر 𞸑 الذي يساوي ٦٢ تحوَّل مرةً أخرى إلى ٢. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن 󰏡=٦٢. يمكننا تكرار هذه العملية لكل متغيِّر، وفي كل مرة نُطابِق 𞸎 من أحد الجدولين بـ 󰎨(𞸎) أو 𞸓(𞸎) في الجدول الآخر، ونُوجد القيم المناظِرة كالآتي.

هذا يُعطينا 󰏡=٦٢، 𞸁=٣، 𞸢=٤، 𞸃=٥، 𞸤=٤١.

لقد عَرَفنا حتى الآن أساسيات كيفية عمل الدوال العكسية، لكن لماذا قد تكون الدوال العكسية مفيدة في المقام الأول؟ من بين الأسباب، على سبيل المثال، أننا قد نريد «عكس» عمل دالة ما. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا دالة لدرجة الحرارة (𞸇) التي تحوِّل درجة سلزية 󰁓󰁒°س إلى درجة فهرنهايت ()ف. هذه الدالة مُعطاة بالعلاقة: 𞸇=٩٥𞸇+٢٣.ف°س

من الطبيعي أن نرغب في إجراء العملية العكسية. أي تحويل درجة فهرنهايت إلى درجة سلزية. يمكن فعل ذلك بإعادة ترتيب العلاقة السابقة لكي نجعل 𞸇()°س المتغيِّر التابع، كالآتي: 𞸇٢٣=٩٥𞸇٥٩󰁓𞸇٢٣󰁒=𞸇.ف°سف°س

هذه الدالة الجديدة تعمل بوصفها دالة عكسية للدالة الأصلية. يمكننا كتابة هاتين الدالتين بشكل مكافئ بدلالة 󰎨، 𞸎، 𞸑، لنحصل على: 󰎨(𞸎)=٩٥𞸎+٢٣=𞸑،󰎨(𞸑)=٥٩(𞸑٢٣)=𞸎.١

هيا نَصِغْ هذه الفكرة الآن باستخدام التعريف الآتي.

تعريف: الدالة العكسية

نفترض أن 󰎨𞹎𞹑 دالة. إذن، بشرط أن تكون 󰎨 قابلة للعكس، تكون الدالة العكسية لـ 󰎨 هي الدالة 󰎨𞹑𞹎١ ذات الخاصية: 󰎨(𞸎)=𞸑󰎨(𞸑)=𞸎.١

لاحظ أننا حدَّدنا أن الدالة 󰎨 يجب أن تكون «قابلة للعكس» للحصول على دالة عكسية. هذا لأنه لا يمكن دائمًا إيجاد الدالة العكسية لدالة. نفترض، على سبيل المثال، أن لدينا: 󰎨(𞸎)=𞸎،󰎨𞹇𞹇.٢

هنا، إذا كان لدينا 𞸎=٤٢، فإنه لا توجد قيمة واحدة مميَّزة يمكن أن يأخذها 𞸎؛ حيث يمكن أن يكون ٢ أو ٢. ويمكننا ملاحظة ذلك في التمثيل البياني الآتي.

إذن 󰎨(٤)١ ليس لها قيمة مميزة، ولا يمكن تعريفها. وعلى وجه التحديد، تنبع المشكلة من حقيقة أن 󰎨(𞸎)=𞸎٢ دالة متعدِّدة القيم. ومن ثَمَّ، فإن هناك شرطًا واحدًا لتكون الدالة قابلة للعكس، وهو أن تكون «دالة أحادية» (أو دالة واحد إلى واحد).

ثمة مشكلة إضافية واحدة يمكن أن تأتي من تعريف المجال المقابل. في التعريف السابق، نشترط أن يكون 󰎨𞹎𞹑، 󰎨𞹑𞹎١. أي أن يكون مجال 󰎨 هو المجال المقابل لـ 󰎨١، والعكس صحيح. وهذا قد يُثير مشكلات إذا كان لدينا، على سبيل المثال، دالة مثل: 󰎨(𞸎)=𞸤،󰎨𞹇𞹇.𞸎

إن الدالة الأسية لا يمكن أن تُعطي سوى الأعداد الموجبة مُخرَجات. ومن ثَمَّ، فإن مدى 󰎨 هو 𞹇+، الذي نوضِّحه في الآتي، من خلال إسقاط المنحنى على المحور 𞸑.

من ناحية أخرى، المجال المقابل (وفقًا للتعريف) هو 𞹇 بأكملها. إذا حاولنا تعريف دالة عكسية 󰎨𞹇𞹇١، فإن 󰎨١ ستكون غير معرفة لأي عدد سالب في المجال، وهو ما يعني أن الدالة العكسية لا يمكن أن توجد. بشكلٍ عام، إذا كان المدى لا يساوي المجال المقابل، فلا يمكن أن تكون الدالة العكسية معرَّفة عند جميع القيم. ومن ثمَّ، نشترط أن تكون الدالة القابلة للعكس غامرة أيضًا؛ أي 󰎨(𞹎)=𞹑. لاحظ أنه يمكننا حل المشكلة في هذه الحالة بسهولة باختيار 𞹑=𞹇+ عندما نُعرِّف الدالة، وهو ما يمكِّننا من تعريف المعكوس تعريفًا صحيحًا.

الشرطان المذكوران سابقًا (وهو أن تكون الدالة أحادية وغامرة) شرطان سابقان ضروريان لتكون الدالة قابلة للعكس. وكما يتضح، إذا كانت دالة تحقِّق هذين الشرطين، فإنها يجب أن تكون قابلة للعكس أيضًا. وهذا لأنه لعكس دالة ما، علينا فقط أن نكون قادرين على ربط كل نقطة 𞸎 في المجال بنقطة وحيدة 𞸑 في المجال المقابل. إذا استطعنا فعل ذلك لكل نقطة، فسيكون بإمكاننا عكس العملية لعكس الدالة بسهولة. ومن ثَمَّ، نحصل على التعريف الآتي لقابلية العكس.

تعريف: قابلية العكس

تُسمَّى الدالة 󰎨 «قابلة للعكس» إذا كانت «دالة تناظُر أحادي» (أي «أحادية» و«غامرة»)، وهو ما يتحقَّق إذا كانت كل قيمة مُدخَلة لها قيمة مُخرَجة وحيدة، ويمكن ربط كل شيء في المجال المقابل بشيء في المجال مرةً أخرى.

نختبر فهمنا للشرطين السابقين من خلال المثال الآتي.

مثال ٢: تحديد إذا ما كانت الدوال قابلة للعكس

أيُّ الدوال الآتية ليس لها معكوس على مجالها بالكامل؟ اعتبر أن المجال المقابل لكل دالة يساوي مداها.

  1. 󰎨(𞸎)=٢𞸎
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎٢
  3. 󰎨(𞸎)=٢𞸎
  4. 󰎨(𞸎)=١𞸎

الحل

لكي تكون الدالة قابلة للعكس، يجب أن تكون أحادية وغامرة. ونظرًا لما عَلِمناه من أن المجال المقابل لكل دالة من الدوال المُعطاة يساوي مداها، فإن هذا يعني أن الدوال غامرة. ولذلك، هيا نركِّز على اختبار إذا ما كانت كل دالة من هذه الدوال دالة أحادية، وهو ما سيوضِّح لنا إذا ما كانت هذه الدوال قابلة للعكس.

في الخيار (أ)، لدينا: 󰎨(𞸎)=٢.𞸎

أولًا، نلاحظ أنه نظرًا لأن هذه الدالة دالة أسية؛ حيث الأساس ٢ أكبر من ١، فإنها قطعًا دالة تزايدية. وهذا يعني أن: 𞸎>𞸎󰎨󰁓𞸎󰁒>󰎨󰁓𞸎󰁒.١٢١٢

والآن، نفترض أن لدينا قيمتين مُدخَلتين مختلفتين 𞸎١، 𞸎٢؛ فهل ستكون القيمتان المُخرَجتان 󰎨󰁓𞸎󰁒١، 󰎨󰁓𞸎󰁒٢ وحيدتين؟ إذا كان 𞸎١، 𞸎٢ مختلفين، فلا بد أن يكون أحدهما أكبر من الآخر. وهذا يعني أنه إما أن يكون 𞸎>𞸎١٢ وإما أن يكون 𞸎>𞸎٢١. لكن في كلتا الحالتين، توضِّح لنا القاعدة السابقة أن 󰎨󰁓𞸎󰁒١، 󰎨󰁓𞸎󰁒٢ مختلفتان. ومن ثمَّ، فإن المُدخَلات المختلفة تُنتج مُخرَجات وحيدة، إذن الدالة أحادية. ومن ثَمَّ، فإنها بالتبعية قابلة للعكس؛ ولذلك، فإن الإجابة لا يمكن أن تكون (أ).

في الخيار (ب)، لدينا: 󰎨(𞸎)=𞸎.٢

لكي تكون الدالة أحادية، يجب أن تُعطي كلُّ قيمة لـ 𞸎 قيمةً وحيدةً لـ 󰎨(𞸎). ومع ذلك، في حالة الدالة السابقة، بالنسبة إلى كل 𞸎𞹇، لدينا: 𞸎=(𞸎).٢٢

بما أن القيمتين المختلفتين لمُدخَلات 𞸎، 𞸎 تُعطياننا القيمة المُخرَجة نفسها |𞸎|٢، إذن الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢ ليست دالة أحادية. ومن ثمَّ، فهي غير قابلة للعكس؛ وبناءً على ذلك، فالخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة. مع ذلك، هيا نتابع التحقُّق من الخيارات الأخرى لإتمام حل السؤال.

في الخيار (ج)، لدينا: 󰎨(𞸎)=٢𞸎.

هنا، الدالة 󰎨 دالة تزايدية بشكل تام. هذا لأنه إذا كان 𞸎>𞸎١٢، فإن ٢𞸎>٢𞸎١٢. ومن ثمَّ، فإنه وفقًا للمنطق المستخدَم في الخيار (أ)، يجب أن تكون الدالة أحادية أيضًا؛ ومن ثَمَّ قابلة للعكس. وبذلك نكون قد تأكَّدنا من أن الخيار (ج) غير صحيح.

في الخيار (د)، لدينا: 󰎨(𞸎)=١𞸎.

على عكس الخيارين (أ) و(ج)، هذه قطعًا ليست دالة تزايدية؛ لذا لا يمكننا استخدام هذه الحجة لنوضِّح أنها أحادية. لكن يمكننا استخدام حجة مماثلة. نفترض أن لدينا قيمتين مُدخَلتين مختلفتين، 𞸎𞸎٠١٢. بتطبيق 󰎨 على هاتين القيمتين، نحصل على: 󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸎،󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸎.١١٢٢

إذا كانت هاتان القيمتان متساويتين لأي قيمتين مختلفتين لـ 𞸎١، 𞸎٢، فإن الدالة لن تكون أحادية. لكن، إذا كانتا متساويتين، فسنحصل على: ١𞸎=١𞸎.١٢

وبأخذ مقلوب كلا الطرفين، نحصل على: 𞸎=𞸎.١٢

إذن الحالة الوحيدة التي تكون فيها 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒١٢، هي عندما يكون 𞸎=𞸎١٢ (أي عندما يكونان غير مختلفين). إذن الدالة 󰎨 أحادية؛ ومن ثَمَّ، فهي قابلة للعكس. وبذلك نكون قد تأكَّدنا من أن الخيار (د) غير صحيح.

لاحظ أنه في المثال السابق، على الرغم من أن الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢ الموجودة في الخيار (ب) لا تتضمَّن معكوسًا على مجالها بالكامل، فإننا إذا قيَّدنا المجال على [٠،[ أو ]،٠]، فإن الدالة ستكون دالة تناظُر أحادي، ويكون لها معكوس يساوي 󰋴𞸎 أو 󰋴𞸎.

لقد عَرَفنا الشروط التي تكون فيها الدالة قابلة للعكس، وكيف نعكس الدالة لكل قيمة على حدة. ولكننا لم ندرس بشكل مناسب طريقة إيجاد التعبير الكامل لدالة عكسية.

لعلنا نتذكَّر من المثال السابق الدالة التي تُحوِّل بين درجة فهرنهايت ودرجة سلزية، والتي استطعنا عكسها بإعادة ترتيب المعادلة بدلالة المتغيِّر الآخر. هيا نعمِّم هذه الطريقة الآن.

تذكَّر أنه بالنسبة إلى الدالة 󰎨، الدالة العكسية 󰎨١ تحقِّق: 󰎨(𞸎)=𞸑󰎨(𞸑)=𞸎.١

لذا، لإيجاد تعبير يعبِّر عن 󰎨١، نريد إيجاد تعبير يكون فيه 𞸑 هو القيمة المُدخَلة ويكون 𞸎 هو القيمة المُخرَجة. بالنسبة إلى 󰎨(𞸎)=𞸑، يعني هذا أن نُبدِّل 𞸎، 𞸑. ومن ثَمَّ، لعكس الدالة، يمكننا اتباع الخطوات الآتية.

خطوات: إيجاد معكوس دالة جبريًّا

  1. بدايةً من 󰎨(𞸎)=𞸑، نعوِّض عن 𞸎 بـ 𞸑، وعن 𞸑 بـ 𞸎 في المقدار.
  2. بعد ذلك، نُعيد ترتيب المعادلة على الصورة 𞸑=󰎨(𞸎)١.
  3. وأخيرًا، نُوجد مجال ومدى 󰎨 (إذا لزم الأمر)، ونساوي مجال 󰎨١ بمدى 󰎨 ومدى 󰎨١ بمجال 󰎨.

بعد حساب تعبير للدالة العكسية، يمكننا أيضًا اختبار إذا ما كانت الدالة تتصرَّف بالفعل بوصفها دالة عكسية. تذكَّر أن الدالة العكسية تخضع للعلاقة الآتية.

لاحظ أنه إذا طبَّقنا 󰎨 على أي 𞸎 متبوعًا بـ 󰎨١، فسنحصل على 𞸎 مرةً أخرى. وبالمثل، يمكننا تطبيق 󰎨١ على 𞸑 متبوعًا بـ 󰎨 للحصول على 𞸑 مرةً أخرى. وهذا يؤدِّي إلى القاعدة المفيدة الآتية.

قاعدة: تركيب دالة ودالتها العكسية

نفترض أن 󰎨 دالة، وأن 󰎨١ هي دالتها العكسية. إذن صيغتا التركيبين 󰎨󰎨١، 󰎨󰎨١ كلتاهما تساوي الدالة المحايدة. أي: 󰎨(󰎨(𞸎))=𞸎،󰎨󰁓󰎨(𞸑)󰁒=𞸑.١١

في الحالة التي يكون فيها مجال ومدى 󰎨، 󰎨١ متساويين، بالنسبة إلى أي 𞸎 في المجال، نحصل على: 󰎨(󰎨(𞸎))=󰎨󰁓󰎨(𞸎)󰁒=𞸎.١١

هيا نرَ تطبيقًا لهذه الأفكار في المثال الآتي.

مثال ٣: إيجاد الدالة العكسية لدالة خطية جبريًّا

أوجد الدالة 󰎨(𞸎)١ عندما تكون 󰎨(𞸎)=١٢𞸎+٣.

الحل

لعكس دالة، نبدأ بتبديل قيمتَي 𞸎، 𞸑 في ١٢𞸎+٣=𞸑. وهذا يُعطينا: ١٢𞸑+٣=𞸎.

والآن، نُعيد ترتيب هذا على الصورة 𞸑=󰎨(𞸎)١.

  1. نطرح ٣ من كلا طرفَي المعادلة: ١٢𞸑=𞸎٣.
  2. نضرب كلا الطرفين في ٢: 𞸑=٢(𞸎٣).
  3. نوزِّع ٢ على ما بين القوسين: 𞸑=٢𞸎٦.

هذا يُعطينا 󰎨(𞸎)=٢𞸎٦١. يمكننا التحقُّق من أن هذه هي الدالة العكسية الصحيحة من خلال تركيبها مع الدالة الأصلية كالآتي: 󰎨(󰎨(𞸎))=٢(󰎨(𞸎))٦=٢󰂔١٢𞸎+٣󰂓٦=𞸎+٦٦=𞸎.١

بما أن هذه هي الدالة المحايدة، فإن الدالة المستنتَجة هي بالفعل الدالة العكسية. لاحِظ أنه يمكننا أيضًا التحقُّق من أن 󰎨󰁓󰎨(𞸎)󰁒=𞸎١.

وأخيرًا، على الرغم من أن هذا غير مطلوب هنا، يمكننا إيجاد مجال 󰎨١ ومداها. بما أن 󰎨 يمكن أن تتخذ أي عدد حقيقي، وتُخرِج أي عدد حقيقي، فإن مجالها ومداها كلاهما يساوي 𞹇. ومن ثَمَّ، فإن 󰎨١ لها مجال ومدى كلاهما يساوي 𞹇 أيضًا.

في النهاية، 󰎨(𞸎)=٢𞸎٦١󰎨𞹇𞹇١).

في المثال السابق، أوضحنا طريقة عكس دالة عن طريق تبديل قيم 𞸎 و𞸑. ومع ذلك، كان لا بد من بذل القليل من الجهد بشأن تحديد المجال والمدى. في المثال الآتي، سنرى لماذا يكون إيجاد المجال الصحيح خطوة مهمة أحيانًا في هذه العملية.

مثال ٤: إيجاد الدالة العكسية لدالة جذر تربيعي جبريًّا

أوجد 󰎨(𞸎)١ للدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٣، وأوجد المجال.

الحل

نبدأ بتبديل 𞸎، 𞸑 في 󰋴𞸎+٣=𞸑. وهذا يُعطينا: 󰋴𞸑+٣=𞸎.

بعد ذلك، نُعيد ترتيب المعادلة بدلالة 𞸑.

  1. نطرح ٣ من كلا الطرفين: 󰋴𞸑=𞸎٣.
  2. نقوم بتربيع كلا الطرفين: 𞸑=(𞸎٣)٢.

ومن ثمَّ، نحصل على 󰎨(𞸎)=(𞸎٣)١٢. يمكننا التحقُّق من أن هذا التعبير صحيح من خلال إيجاد قيمة 󰎨(󰎨(𞸎))١ كالآتي: 󰎨(󰎨(𞸎))=(󰎨(𞸎)٣)=󰂔󰋴𞸎+٣٣󰂓=󰂔󰋴𞸎󰂓=𞸎.١٢٢٢

إذن هذا التعبير يبدو صحيحًا. الآن، على الرغم من أن الأمر يبدو كما لو أن الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٣)١٢ يمكن أن تتخذ أي قيم لـ 𞸎، فإن مجالها ومداها يعتمدان على مجال ومدى 󰎨. وهذا يعني أنه لإيجاد مجال 󰎨١، علينا إيجاد مدى 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٣. أولًا، مجال 󰎨 هو 𞹇٠+؛ أي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة؛ حيث 󰋴𞸎 لا يمكن أن يتخذ قيمًا سالبة لـ 𞸎. وبما أن 󰋴𞸎٠، ويساوي ٠ عندما يكون 𞸎=٠، إذن نحصل على: 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٣٠+٣٣.

ومن ثَمَّ، فإن مدى 󰎨 هو [٣،[. وبناءً على ذلك، مجال الدالة 󰎨١ هو [٣،[، ومداها هو 𞹇٠+.

في النهاية، 󰎨(𞸎)=(𞸎٣)١٢ عندما يكون 𞸎٣.

يوضِّح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٣ من المثال السابق ومعكوسها 󰎨(𞸎)=(𞸎٣)١٢. إذا جعلنا (𞸎٣)٢ معرَّفة على خط الأعداد الحقيقية بالكامل، فسنحصل بالفعل على دالة قطع مكافئ متعدِّدة القيم؛ ومن ثمَّ غير قابلة للعكس. إذن بتقييد المجال على 𞸎٣، نحصل على نصف قطع مكافئ فقط، ويصبح دالة عكسية صحيحة لـ 󰎨(𞸎).

وبناءً على ذلك، قد لا يكون إيجاد الدالة العكسية ممكنًا إلا عن طريق تقييد المجال على مجموعة محدَّدة من القيم. في المثال الأخير، سنوضِّح كيف يُطبَّق ذلك في حالة الدالة التربيعية.

مثال ٥: إيجاد معكوس دالة تربيعية جبريًّا

أوجد 󰎨(𞸎)١ للدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣٢؛ حيث 𞸎٢، واذكر المجال.

الحل

لإيجاد تعبير يعبِّر عن الدالة العكسية لـ 󰎨، نبدأ بتبديل 𞸎، 𞸑 في (𞸎٢)٣=𞸑٢، لنحصل على: (𞸑٢)٣=𞸎.٢

ثم نُكمل بإعادة ترتيب هذا بدلالة 𞸑.

  1. نُضيف ٣ إلى كلا الطرفين: (𞸑٢)=𞸎+٣٢.
  2. نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: 𞸑٢=󰋴𞸎+٣.
  3. نُضيف ٢ إلى كلا الطرفين: 𞸑=󰋴𞸎+٣+٢.

ومن ثمَّ، نحصل على 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٣+٢١. هيا نتحقَّق من صحة ذلك من خلال إيجاد قيمة 󰎨(󰎨(𞸎))١: 󰋴󰎨(𞸎)+٣+٢=󰋴(𞸎٢)٣+٣+٢=󰋴(𞸎٢)+٢=|𞸎٢|+٢=𞸎.٢٢

نظرًا لأن 󰎨󰎨(𞸎)=𞸎١، فهذا بالفعل الدالة العكسية. لاحظ أن العملية الحسابية السابقة تستخدم حقيقة أن 𞸎٢؛ ومن ثمَّ، |𞸎٢|=𞸎٢.

هيا نُوجد مجال ومدى 󰎨؛ ومن ثمَّ 󰎨١. في البداية، وفقًا للتعريف، مجال 󰎨 مقيَّد على 𞸎٢ أو [٢،[. لإيجاد المدى، نلاحظ أن الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣٢ دالة تربيعية؛ لذا يجب أن تكون على شكل (جزء من) قطع مكافئ. ولذلك، سنحاول إيجاد نقطة القيمة الصغرى.

بما أن 󰎨 في صيغة رأس المنحنى، إذن نعرف أن (𞸎٢)٣٢ له نقطة قيمة صغرى عند 𞸎=٢، وهو ما يُعطينا 󰎨(٢)=٣. ومن ثَمَّ، فإن مدى الدالة هو 𞸑٣. وسنوضِّح ذلك في الشكل الآتي.

وبناءً على ذلك، يعني هذا أن مجال 󰎨١ هو 𞸎٣، ومداها هو 𞸑٢. باختصار، نحصل على 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٣+٢١ عندما يكون 𞸎٣.

لاحظ أنه في المثال السابق، لا يمكن إيجاد الدالة العكسية للدالة التربيعية إذا لم يكُن مجالها مقيدًا على «نصف» أو أقل من «نصف» قطع مكافئ. (هنا، فيما يخص «نصف» قطع مكافئ، نحن نقصد الجزء من القطع المكافئ الموجود على أحد جانبَي خط تماثُله 𞸎=𞸏؛ حيث 𞸏 هو قيمة الإحداثي 𞸎 لرأسه.) بالتأكيد، إذا حاولنا عكس القطع المكافئ بالكامل، فسنحصل على المنحنى البرتقالي الموجود في الآتي، الذي لا يناظِر دالة فعلية.

نختتم بمراجعة بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • نفترض أن 󰎨𞹎𞹑 دالة. إذن، بشرط أن تكون الدالة 󰎨 قابلة للعكس، تكون الدالة العكسية لـ 󰎨 هي 󰎨𞹑𞹎١، مع وجود الخاصية الآتية: 󰎨(𞸎)=𞸑󰎨(𞸑)=𞸎.١
  • نلاحظ أنه تم التبديل بين مجال الدالة العكسية ومداها مقارنةً بالدالة الأصلية.
  • تكون الدالة قابلة للعكس إذا كانت «دالة تناظُر أحادي» (أي أحادية وغامرة). لاحظ أنه يمكننا دائمًا جعل الدالة الأحادية قابلة للعكس عن طريق مساواة المجال المقابل بالمدى.
  • يمكننا إيجاد الدالة العكسية عن طريق تبديل 𞸎، 𞸑 في الصورة 𞸑=󰎨(𞸎)، وإعادة ترتيب المعادلة بدلالة 𞸑. ويمكننا إيجاد مجالها ومداها عن طريق حساب مجال الدالة الأصلية ومداها والتبديل بينهما.
  • يمكننا التحقُّق من أن الدالة العكسية صحيحة من خلال إثبات أن: 󰎨(󰎨(𞸎))=𞸎󰎨󰁓󰎨(𞸑)󰁒=𞸑.١١أو

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية