في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم قانون الجيب لحل مثلث مُعطًى به ضلعان وزاوية ليست محصورة بينهما في الحالة المُبهَمة.
لنبدأ باسترجاع قانون الجيب.
قانون: قانون الجيب
ينطبق قانون الجيب على أيِّ مثلث، بتساوي النسب بين جيوب الزوايا إلى أطوال الأضلاع المناظرة لها.
أي:
يمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد قياسات زوايا وأطوال أضلاع مجهولة في المثلثات بمعلومية طولَي ضلعين وقياس زاوية واحدة مقابلة، أو قياسَي زاويتين وضلع واحد مقابل.
لتوضيح كيفية استخدام قانون الجيب، دعونا نتناول المثلث الذي فيه ، ، ؛ حيث نريد معرفة قياس .
في هذا المثلث، لدينا طولا ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما، لذا نبدأ بكتابة النسبة بين الضلعين المقابلين وجيبَي زاويتيهما. أي:
بعد ذلك، نوجد القيمة المجهولة:
إذن:
يمكننا رسم المثلث على النحو الآتي.
يمكننا أيضًا استخدام قانون الجيب لحساب أيِّ طول مجهول. على سبيل المثال، في المثلث ، حيث ، ، ، نريد إيجاد طول لأقرب سنتيمتر.
للقيام بذلك، يمكننا التعويض بالقيم المعلومة مباشرة في الصيغة:
إذن، لأقرب سنتيمتر.
يمكننا رسم هذا المثلث الثاني على النحو الآتي.
والآن، إذا قارنَّا بين هذين المثلثين، نلاحظ أن كلًّا منهما به ضلعان يناظران ضلعين في المثلث الآخر ويساويانِهما في الطول، وزاوية واحدة تناظر زاوية في المثلث الآخر وتساويها في القياس. وهذا أمر مثير للاهتمام بشكل خاص؛ لو كنا حاولنا تعريف المثلث بهذين الضلعين وهذه الزاوية، لَكُنَّا في وضع يمكننا خلاله رسْم أيٍّ من هذين المثلثين. إذن، المعطيات كانت مُبهَمة.
هذا يعني أنه في حالات معينة، قد تكون المعلومات المعطاة لوصف المثلث مُبهَمة، وعلينا الحرص عند إجراء أيِّ عمليات حسابية تالية. لحسن الحظ، هذه الحالات معرفة جيدًا، لذا يمكننا إجراء عمليات تحقُّق دقيقة قبل البدء في أي عمليات حسابية لتحديد إذا ما كان يمكن أن يكون هناك أكثر من مثلث واحد.
تعريف: الحالة المُبهَمة لقانون الجيب
قد يؤدي استخدام قانون الجيب لإيجاد طول مجهول إلى إجابة مُبهَمة بسبب إمكانية وجود حلين (أي، إذا كان لدينا طولا ضلعين وقياس زاوية حادة غير محصورة بينهما). إذا كانت الزاوية زاوية حادة، ، فإنه يوجد مثلثان ممكنان، ، .
تنتج الحالة المُبهَمة لقانون الجيب من حقيقة أنه يمكن أن يكون لأي زاويتين مختلفتين قيمة الجيب نفسها.
من المهم التأكيد على أن هذه الحالة قد لا تحدث إلا عندما نعلم طولَي ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما، لكن هناك ثلاثة نواتج ممكنة يمكن أن تنتج من هذه الحالة: لا يوجد أيُّ مثلثات، أو يوجد مثلث واحد، أو يوجد مثلثان.
لقد أوجزنا الحالات الممكنة لطولَي ضلعين معلومين، ، ، وزاوية غير محصورة بينهما، ، في الجدول الآتي.
دعونا نستعرض بعض هذه الحالات في الأمثلة القليلة الأولى.
مثال ١: استخدام قانون الجيب لإيجاد عدد المثلثات التي يمكن تكوينها
في المثلث ، ، ، . كم مثلثًا يمكن تكوينه؟
الحل
لدينا هنا ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما، إذن يمكننا استخدام قانون الجيب، أي:
بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نحصل على:
إذن:
لكن، هذا غير ممكن؛ لأن جيب أي زاوية لا يمكن أن يساوي ١٫٤؛ حيث أكبر قيمة يمكن أن تكون لجيب الزاوية هي ١.
نلاحظ أيضًا أن زاوية حادة، وإذا حسبنا ارتفاع هذا المثلث، نجد أن ؛ وبما أن هذا أكبر من ، فإنه لا يمكننا رسم هذا المثلث. وهذا موضح في الشكل الآتي.
لا يمكن تكوين أي مثلثات.
مثال ٢: استخدام قانون الجيب لإيجاد عدد القياسات التي يمكن أن تأخذها الزاوية
في المثلث ، ، ، . أوجد جميع قياسات الممكنة لأقرب درجة.
الحل
يمكننا توضيح عدد المثلثات التي توجد من هذه القياسات باستخدام حقيقة أن زاوية حادة وارتفاع المثلث هو . إذن، بما أن ، فإن هذا يوضح أنه يوجد مثلثان ممكنان.
وبما أن لدينا طولَي ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما، فيمكننا استخدام قانون الجيب لحل هذه المسألة. أي:
بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نحصل على:
إذن، ، لأقرب درجة.
ونظرًا لأن جيب الزاوية المنفرجة يساوي أيضًا جيب الزاوية المكمِّلة لها، فإن هناك قيمة أخرى لقياس عندها ، لذا يجب علينا التفكير في ذلك. الزاوية المكمِّلة للزاوية هي .
علينا التحقق من أن هذه الإجابة منطقية. لدينا ، إذن هذه قيمة ممكنة للزاوية .
ومن ثم، يكون هناك قياسان ممكنان للزاوية ، ، ، إذن يمكن تكوين مثلثين. وهما على النحو الآتي.
في حالة أن هناك أكثر من قيمة للزاوية التي نوجد قياسها، لن تعطينا الآلة الحاسبة القيمتين الممكنتين، لذا علينا إيجاد قياس الزاوية البديلة ثم التحقق مما إذا كان قياسها ممكنًا.
مثال ٣: استخدام قانون الجيب لإيجاد عدد المثلثات التي يمكن تكوينها
في المثلث ، ، ، . كم مثلثًا يمكن تكوينه؟
الحل
نلاحظ أولًا أن زاوية حادة، وأن . إذن، يوجد مثلث واحد فقط في هذه المسألة.
في الواقع، ليس مطلوب في هذا السؤال حساب قياسات الزوايا، لكن يمكننا التأكد من النتيجة السابقة بهذه الطريقة. لدينا ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما، إذن يمكننا استخدام قانون الجيب، أي:
بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نحصل على:
إذن:
والآن، نتحقق من أن جيب الزاوية الأخرى يساوي أيضًا . أي، . لكن، علينا التحقق من أن هذه الإجابة منطقية. إذا كانت ، ، فإن مجموع قياسَي هاتين الزاويتين فقط أكثر من .
هذا يؤكد أن هناك مثلثًا ممكنًا واحدًا فقط يمكن تكوينه.
أوضحت هذه الأمثلة الثلاثة النواتج الثلاثة التي يمكننا الحصول عليها عند التعامل مع الحالة المُبهَمة لقانون الجيب. خلاصة القول، إذا نظرنا إلى المثلث الذي ارتفاعه ، نحصل على الآتي:
- لا يوجد أي مثلثات (أي عندما تقع قيمة جيب الزاوية خارج النطاق). وهذا يحدث عندما تكون زاوية حادة، ، أو تكون زاوية منفرجة، أو .
- يوجد مثلث واحد (قياس الزاوية البديلة خارج النطاق). وهذا يحدث عندما تكون زاوية حادة، أو ، أو عندما تكون زاوية منفرجة، .
- يوجد مثلثان (قياس الزاوية البديلة ضمن النطاق). وهذا يحدث عندما تكون زاوية حادة، .
مثال ٤: استخدام قانون الجيب لحساب جميع القيم الممكنة لأي طول في مثلث
مثلث، فيه ، ، . أوجد كل القيم الممكنة لطول لأقرب ثلاث منازل عشرية.
الحل
يمكننا البدء برسم شكل مبسَّط لما قد يبدو عليه المثلث لمساعدتنا على تصوُّر المسألة.
لا يمكننا استخدام قانون الجيب مباشرة لتجميع نسب جيب الزاوية وطول الضلع مع جيب الزاوية وطول الضلع ؛ لأنه ليس لدينا قيمة قياس الزاوية . لكن، إذا استخدمنا في البداية: فإنه يمكننا إيجاد قياس الزاوية :
والآن، علينا التحقق من أن جيب الزاوية الأخرى يساوي ، أي، الزاوية المكمِّلة للزاوية :
هذه الزاوية البديلة للزاوية ستعطينا أيضًا مثلثًا صحيحًا؛ لأن .
يوجد مثلثان ممكنان يمكننا رسمهما.
القيمتان الممكنتان للزاوية تعطياننا قيمتين ممكنتين للزاوية . إنهما: وكذلك:
إذن، لقد وجدنا أن الطولين الممكنين للضلع هما ، .
في المثال الأخير، دعونا نطبِّق ما تعلمناه عن المثلثات المُبهَمة، أولًا، لتحديد إذا ما كان المثلث مُبهَمًا، وثانيًا، لحساب القيم الممكنة لمحيطه.
مثال ٥: إيجاد المحيط لكل حل من حلول المثلث باستخدام قانون الجيب
مثلث، فيه ، ، . أوجد جميع القيم الممكنة للمحيط لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
أولًا، نلاحظ أن زاوية حادة، وأن «ارتفاع» هذا المثلث (في هذه الحالة، نعتبره الخط الذي يصل الزاوية إلى ) هو . إذن، يصبح لدينا ، وهو ما يوضح أن هناك حلين ممكنين لهذه المسألة.
دعونا نرسم شكلًا مبسطًا لما قد يبدو عليه هذا المثلث.
لإيجاد المحيط، علينا إيجاد طول الضلع المقابل للزاوية . لإيجاد هذا الطول باستخدام قانون الجيب، علينا إيجاد قياس الزاوية أولًا. لإيجاد ذلك، نبدأ بإيجاد قياس الزاوية :
والآن، نتحقق من أن جيب الزاوية الأخرى يساوي أيضًا ، أي، الزاوية المكمِّلة للزاوية :
هذا يعطينا المثلثين الممكنين.
المثلث البديل، الذي فيه صحيح؛ لأن .
هذا يعطينا قياسين ممكنين للزاوية : ،
يمكننا الآن استخدام هاتين القيمتين للزاوية لإيجاد طول الضلع المقابل للزاوية .
عندما تكون :
يمكننا تمثيل ذلك باستخدام شكل كالآتي.
عندما تكون :
يمكننا تمثيل المثلث الثاني كالآتي.
في الحالة الأولى، حيث ، ، فإن محيط المثلث يساوي:
في الحالة الثانية، حيث ، ، فإن محيط المثلث يساوي:
دعونا نختتم بتذكُّر بعض النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- في المثلث الذي ارتفاعه ، هناك ٣ نواتج ممكنة عند استخدام قانون الجيب في نوع من المسائل يتضمن ضلعين معلومين وزاوية ليست محصورة بينهما، لتحديد إذا ما كان المثلث مُبهَمًا أم ممكنًا أم فريدًا:
- لا يوجد أي مثلثات (عندما تقع قيمة جيب الزاوية خارج النطاق) عندما تكون زاوية حادة، ، أو تكون زاوية منفرجة، أو .
- يوجد مثلث واحد (قياس الزاوية البديلة خارج النطاق) عندما تكون زاوية حادة، أو ، أو عندما تكون زاوية منفرجة، .
- يوجد مثلثان (قياس الزاوية البديلة ضمن النطاق) عندما تكون زاوية حادة، .
- قبل البدء في أي عملية من العمليات حسابية لإيجاد القياسات المجهولة في المثلث (عند التعامل مع مسألة تتضمن ضلعين معلومين وزاوية ليست محصورة بينهما)، ينصح بالتحقق أولًا من عدد المثلثات الممكنة باستخدام التصنيفات الموضحة أعلاه. هذا يمكن أن يساعد في تجنُّب العمليات الحسابية غير اللازمة، والتركيز على العمليات الحسابية التي علينا إتمامها.
