في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ تطبيقات على أنظمة المتباينات من خلال تحويل كل شرط إلى متباينة.
نظام المتباينات الخطية (الذي تمثِّله علامات ، ) هو مجموعة مكوَّنة من متباينتين خطيتين أو أكثر في عدة متغيِّرات. وهو يُستخدَم عندما تتطلَّب المسألة مجموعة من الحلول ويكون هناك أكثر من قيد على هذه الحلول؛ على سبيل المثال، متجر يحاول شراء مخزون بميزانية محدَّدة.
تذكَّر أنه في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظامًا من المتباينات، يعني التظليلُ أعلى خط مستقيم محدَّد أو على يمينه أكبرَ من، ويعني التظليلُ أسفله أو على يساره أقلَّ من ويُعرَّف الخط المستقيم بقيم ، ، أو بالمعادلة العامة للخط المستقيم: . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا مراعاة حدود المنطقة؛ حيث يعني الخط المتصل «يساوي»، ويعني الخط المتقطِّع «لا يساوي».
منطقة التقاطع بين كل المتباينات في أيِّ نظام تمثِّل المكان الذي تقع فيه مجموعة الحل؛ لأن منطقة التقاطع تحقِّق كل متباينة في النظام. لا نُضمِّن القيم التي تقع عند حدود منطقتَي تقاطعٍ إلا في حالة وجود خط متصل بينهما؛ حيث يجب تحقيق جميع المتباينات، والمتباينة التامة الممثَّلة بخط متقطِّع نستبعد حدَّها من مجموعة الحل.
على سبيل المثال، انظر إلى نظام المتباينات:
المنطقة التي تتقاطع فيها جميع المناطق المظلَّلة هي موضع تحقُّق أنظمة المتباينات.
دعونا نتناول أحد الأمثلة الحياتية؛ التي نحوِّل فيها الشروط إلى نظام من المتباينات. في مثال على متغيِّر واحد، نفترض أن مدينة الملاهي بها ٣ ألعاب يريد شخص ما تجربتها. تتطلَّب لعبة الأرجوحة أن يكون طول الراكب ١ م على الأقل، وتتطلَّب لعبة الأفعوانية أن يكون طول الراكب ١٫٣ م على الأقل، وتتطلَّب لعبة الأرجوحة الدوَّارة أن يكون طول الراكب بين ٠٫٨ م، ١٫٤ م.
إذا أشرنا إلى طول الراكب بالرمز ، فإن القيد على ركوب الأرجوحة هو أن يكون الطول ١ م على الأقل، ويمكن التعبير عنه بالمتباينة:
وبالمثل، فإن القيد على ركوب لعبة الأفعوانية هو أن يكون الطول ١٫٣ م على الأقل، ويمكن التعبير عنه بالمتباينة:
والقيد الأخير يتطلَّب أن يكون طول ركَّاب الأرجوحة الدوَّارة بين ٠٫٨ م، ١٫٤ م؛ يمكن التعبير عنه بالمتباينة:
ومن ثَمَّ، يكون نظام المتباينات الذي يمثِّل هذا الموقف هو:
يمكننا أيضًا ضمُّ هذه المتباينات. أولًا، لاحِظ أنه يمكننا تجاهل القيد الأول، ، لأن القيد الثاني، ، يتضمَّن القيد الأول. ومن ثَمَّ، تصبح لدينا المتباينتان:
والآن، المتباينة الثانية تكافئ ، ، ويمكننا بطريقة مماثلة تجميع المتباينة الأولى مع للحصول على المتباينتين ،؛ وهو ما يكافئ:
والآن، دعونا نتناول مثالًا آخَر من الأمثلة الحياتية، يحتوي على متباينات خطية بها أكثر من متغيِّر. نفترض أننا نريد إنشاء حديقة مستطيلة الشكل، ولدينا كمية معينة من السياج السلكي يصل طولها إلى ٤ أمتار؛ لوضعها حول المحيط.
كيف يمكننا تمثيل هذا الموقف باعتباره نظامًا من المتباينات؟
أولًا، نفترض أن هو الطول بالمتر، هو العرض بالمتر؛ وبذلك نحصل على المستطيل الآتي:
وبما أن الطول والعرض لا يمكن أن يكونَا عددين سالبين، فإننا نحوِّل ذلك إلى الشرط:
لاحِظ أن محيط المستطيل ، وبما أن هذا لا يمكن أن يتجاوز ٤ أمتار، فإن هذا يعني أن ، وهو ما يمكن تحويله إلى الشرط:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات الذي يمثِّل هذا الموقف سيكون:
يمكن تمثيل هذا النظام بيانيًّا بشكل مرئي في الربع الأول على النحو الآتي:
تقع قيم ، التي تحقِّق جميع المتباينات ضمن تقاطع المناطق الثلاث المظلَّلة.
والآن، دعونا نتناول بعض الأمثلة التي نحصل فيها على نظامِ متبايناتٍ من مسألة كلامية. في المثال الأول، سنحدِّد نظام المتباينات لراعي أغنام يريد بناء حظيرة أغنام مستطيلة الشكل.
مثال ١: تحديد نظام المتباينات الذي يصف موقفًا معطًى
راعي أغنام يريد بناء حظيرة أغنام مستطيلة الشكل. يجب أن يزيد طول الحظيرة على ٨٨ م، وأن يقلَّ محيطها عن ٢٥٣ م. اكتب نظام المتباينات الذي يصف هذا الأمر؛ مستخدمًا لطول الحظيرة، لعرضها.
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد أنظمة المتباينات التي تحقِّق شروط الراعي لبناء حظيرة أغنام مستطيلة الشكل.
بما أن طول الحظيرة يجب أن يزيد على ٨٨ م، وعرض الحظيرة لا يمكن أن تكون قيمته سالبة؛ فإن لدينا شرطين:
محيط المضلَّع يساوي مجموع أطوال أضلاعه. بما أن الحظيرة مستطيلة الشكل فإن محيطها، ، يُعطَى بالعلاقة: ، وبما أن هذا المحيط يجب أن يقلَّ عن ٢٥٣ م فإننا نحصل على:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات لكل شرط في الموقف المُعطَى هو:
والآن، لنحدِّد نظام المتباينات من خلال موقف يصف نوعين من المسامير يريد نجار شراءهما.
مثال ٢: تحديد نظام المتباينات الذي يصف موقفًا معطًى
يريد نجار شراء نوعين من المسامير؛ تكلفة النوع الأول ٦ جنيهات إسترلينية لكل كيلوجرام، وتكلفة النوع الثاني ٩ جنيهات إسترلينية لكل كيلوجرام. يحتاج النجار إلى ٥ كجم على الأقل من النوع الأول، و٧ كجم على الأقل من النوع الثاني. يستطيع النجار أن ينفق أقل من ٥٥ جنيهًا إسترلينيًّا. باستخدام ليُمثِّل كمية المسامير من النوع الأول، ليُمثِّل النوع الثاني، اكتب نظام المتباينات الذي يُمثِّل هذا الحالة.
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد أنظمة المتباينات التي تحقِّق شروط النجار الذي يريد شراء نوعين من المسامير.
بما أن ، يمثِّلان كميتَي المسامير (بالكيلوجرام) من النوعين الأول والثاني على الترتيب، ويحتاج النجار إلى ٥ كجم على الأقل من النوع الأول و٧ كجم من النوع الثاني؛ فإن الشرط لدينا يكون:
وبما أن تكلفة النوع الأول ٦ جنيهات إسترلينية لكل كيلوجرام، وتكلفة النوع الثاني ٩ جنيهات إسترلينية لكل كيلوجرام؛ فإن إجمالي السعر لكل نوع سيكون ، على الترتيب. ومجموع هاتين القيمتين يجب أن يكون أقل من ٥٥ جنيهًا إسترلينيًّا، ومن ثَمَّ نحصل على:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات لكل شرط في الحالة المعطاة هو:
قد تكون لدينا أيضًا متباينات خطية متعدِّدة (مثل: مناطق مختلفة مُعرَّفة أعلى عدَّة خطوط مستقيمة أو أسفلها)، حسب الموقف. دعونا نتناول مثالًا آخَر على ذلك من الأمثلة الحياتية. نفترض أننا نريد صنع دولاب ملابس وشراء مستلزَمَيْن؛ ألواح خشبية وعلبة مسامير، ونريد أن يكون عدد الألواح الخشبية ٧ على الأقل. نعلم أيضًا أن تكلفة كل لوح من الألواح الخشبية ٥ دولارات أمريكية، وتكلفة علبة المسامير ٣ دولارات أمريكية، وإجمالي المبلغ المتاح لدينا لإنفاقه هو ٧٥ دولارًا أمريكيًّا، لا بد إذن من أن يساوي المبلغ النهائي ذلك على الأقل. لكل لوح خشبي يجب أن تكون لدينا أيضًا ٤ مسامير على الأقل، مع العلم أن كل علبة تحتوي على ٨ مسامير.
كيف يمكننا تمثيل هذا الموقف على صورة نظام من المتباينات؟ يمكن تمثيل هذا النظام بشكل مرئي كما يأتي.
أولًا، نشير إلى عدد الألواح الخشبية بالرمز ، وإلى عدد علب المسامير بالرمز . وبما أن عدد الألواح الخشبية وعلب المسامير لا يمكن أن يكون عددًا سالبًا، فإنه يمكن تحويل هذا إلى الشرط:
بما أننا نحتاج إلى أن يكون عدد الألواح الخشبية ٧ على الأقل، فإننا نحوِّل هذا إلى الشرط:
هذا يعني أنه يمكننا تجاهل الشرط ؛ حيث إنه مُتضمَّن بالفعل، لأنه إذا كان فإنه يعني أيضًا أن . وبما أن تكلفة كل لوح من الألواح الخشبية ٥ دولارات أمريكية، فإن إجمالي المبلغ الذي يُنفَق على الألواح الخشبية سيكون:
وبالمثل، فإن تكلفة كل علبة من علب المسامير ٣ دولارات أمريكية، وبذلك فإن إجمالي المبلغ الذي يُنفَق على علب المسامير سيكون:
إجمالي المبلغ الذي يُنفَق سيساوي مجموع هاتين القيمتين، ، ولدينا مبلغ قدره ٧٥ دولارًا أمريكيًّا على الأكثر لإنفاقه، وهو ما نحوِّله إلى:
بما أننا نعلم أن كل لوح خشبي يجب أن يحتوي على ٤ مسامير على الأقل، فإن إجمالي عدد المسامير سيكون أكبر من أو يساوي ٤ في إجمالي عدد الألواح، مع العلم أن كل علبة تحتوي على ٨ مسامير:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات الذي يمثِّل هذا الموقف هو:
يمكننا أيضًا تمثيل هذا النظام بشكل مرئي على النحو الآتي:
تقع قيم ، التي تحقِّق جميع المتباينات ضمن تقاطع المناطق المظلَّلة الأربع.
والآن، هيا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب ونعمِّق فهمنا لأنظمة المتباينات من خلال نقل كل شرط إلى متباينة. في المثال الأول، سنحدِّد نظام المتباينات لطالب يخوض اختبارًا.
مثال ٣: تحديد نظامٍ من المتباينات يصف حالة معطاة
حدَّد أحد المدرسين لطلابه ١٠٠ دقيقة لحلِّ اختبار مكوَّن من جزأين: الجزء (أ) والجزء (ب). كان على الطلاب أن يحلُّوا ٤ أسئلة على الأقل من الجزء (أ)، و٦ أسئلة على الأقل من الجزء (ب)، ويجب عليهم أن يحلُّوا ١١ سؤالًا على الأقل إجمالًا. إذا استغرقت إحدى الطالبات في الإجابة عن السؤال الواحد من الجزء (أ) مدة ٣ دقائق، وفي الإجابة عن السؤال الواحد من الجزء (ب) مدة ٦ دقائق، فأوجد نظام المتباينات الذي يساعد على معرفة عدد الأسئلة التي حاولت أن تحلَّها في كل جزء. استخدم الحرف لتمثيل عدد الأسئلة المحلولة من الجزء (أ)، والحرف لتمثيل عدد الأسئلة من الجزء (ب).
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد أنظمة المتباينات التي تحقِّق شروط الطالبة لمعرفة عدد الأسئلة التي حاولت أن تحلَّها في الاختبار.
بما أن ، يمثِّلان عدد الأسئلة المحلولة من الجزأين (أ)، (ب)، وكان على الطلاب حلُّ ٤ أسئلة و٦ على الترتيب؛ فإننا نحصل على:
ولمَّا كان عليهم أيضًا حلُّ ١١ سؤالًا على الأقل إجمالًا، وهو مجموع عدد الأسئلة التي أجابوا عنها في الجزء (أ)، أي ، وعدد الأسئلة التي أجابوا عنها في الجزء (ب)، أي ، يصبح لدينا:
وبما أن الطالبة قد استغرقت في الإجابة عن السؤال الواحد من الجزء (أ) مدة ٣ دقائق، وفي الإجابة عن السؤال الواحد من الجزء (ب) مدة ٦ دقائق؛ فإن العدد الإجمالي للدقائق التي استغرقتها في الجزء (أ) والجزء (ب) سيكون ، على الترتيب. مجموع ذلك لا بد من أن يكون ١٠٠ دقيقة على الأكثر، وهو أقصى مدة زمنية معطاة لحلِّ الاختبار؛ ومن ثَمَّ يكون لدينا:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات لكل شرط في الحالة المعطاة هو:
في المثال التالي، سنحدِّد نظام المتباينات لشخص يشتري نوعين مختلفين من الشموع.
مثال ٤: تحديد نظام المتباينات الذي يصف حالة معطاة
يذهب نادر إلى المتجر لشراء الشموع. سعر الشموع الصغيرة ٣ دولارات أمريكية، وسعر الشموع الكبيرة ٥ دولارات أمريكية. هو يحتاج إلى شراء ٢٠ شمعة على الأقل، ولا يمكنه صرف أكثر من ٨٠ دولارًا أمريكيًّا. اكتب نظام المتباينات الخطية الذي يمثِّل هذه الحالة؛ باستخدام لتمثيل عدد الشموع الصغيرة، واستخدام لتمثيل عدد الشموع الكبيرة.
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد أنظمة المتباينات التي تحقِّق شروط نادر الذي يريد شراء نوعين مختلفين من الشموع؛ الصغيرة والكبيرة.
بما أن ، يمثِّلان عددَي الشموع الصغيرة والكبيرة على الترتيب، ويجب أن يكون هذان العددان غير سالبين؛ فإننا نحصل على:
ولمَّا كان نادر يحتاج إلى شراء ٢٠ شمعة على الأقل، فإن مجموع عددَي الشموع الصغيرة والكبيرة، ، ، يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ٢٠، ويصبح الشرط لدينا:
وبما أن تكلفة سعر الشموع الصغيرة ٣ دولارات أمريكية، وتكلفة سعر الشموع الكبيرة ٥ دولارات أمريكية؛ فإن إجمالي كل منهما سيكون ، على الترتيب. ومجموع ذلك سيساوي إجمالي تكلفة الشموع، الذي لا يمكن أن يزيد عن ٨٠، وعليه:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات لكل شرط في الحالة المعطاة هو:
والآن، لنتناول مثالًا نحدِّد خلاله نظام المتباينات لمصنع أغذية للأطفال يُنتِج نوعين من غذاء الأطفال.
مثال ٥: تحديد نظام المتباينات الذي يصف موقفًا معطًى
يُنتِج مصنع لأغذية الأطفال نوعين من غذاء الأطفال. يحتوي النوع الأول على وحدتين من فيتامين (أ) و٣ وحدات من فيتامين (ب) لكل جرام. يحتوي النوع الثاني على ٣ وحدات من فيتامين (أ) ووحدتين من فيتامين (ب) لكل جرام. إذا كان الطفل يحتاج إلى ١٠٠ وحدة من فيتامين (أ) و١٢٠ وحدة من فيتامين (ب) على الأقل في اليوم، فحدِّد نظام المتباينات الذي يصف الغذاء الذي يحتاج الطفل إلى تناوله كل يوم لتلبية هذه المتطلبات. استخدم لتمثيل كتلة النوع الأول لغذاء الأطفال (بوحدة جرام)، واستخدم لتمثيل كتلة النوع الثاني لغذاء الأطفال (بوحدة جرام).
الحل
في هذا المثال، نحدِّد أنظمة المتباينات التي تحقِّق شروط المقدار الذي يحتاج الطفل إلى تناوله كل يوم لتلبية المتطلبات من فيتامين (أ) وفيتامين (ب).
بما أن ، يمثِّلان كتلتَي النوعين الأول والثاني لغذاء الأطفال (بالجرام) على الترتيب، ويجب أن تكون هاتان الكتلتان غير سالبتين؛ فإننا نحصل على:
بما أن النوع الأول يحتوي على وحدتين من فيتامين (أ)، والنوع الثاني يحتوي على ٣ وحدات من فيتامين (أ) لكل جرام؛ فإن العدد الإجمالي لوحدات فيتامين (أ) في كل نوع هو ، على الترتيب. ومجموعهما يجب أن يساوي ١٠٠ وحدة على الأقل؛ لأن الطفل يحتاج إلى هذا العدد من الوحدات على الأقل، ومن ثَمَّ:
وبالمثل، يحتوي النوع الأول على ٣ وحدات من فيتامين (ب)، ويحتوي النوع الثاني على وحدتين من فيتامين (ب) لكل جرام؛ فيكون العدد الإجمالي لوحدات فيتامين (ب) في كل نوع هو ، على الترتيب. ومجموعهما يجب أن يساوي ١٢٠ وحدة على الأقل، ومن ثَمَّ:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات لكل شرط في الموقف المُعطَى هو:
وأخيرًا، دعونا نتناول مثالًا نحدِّد فيه نظام المتباينات لشركة تصنيع حلوى تزوِّد مخبزًا معينًا بمجموعة من الأنواع المختلفة من الكعك.
مثال ٦: تحديد نظام المتباينات الذي يصف حالة معطاة
تمتلك شركة لتصنيع الحلوى ٣٠ كجم من كعك الشوكولاتة، و٦٠ كجم من كعك الفانيليا. تتم المبيعات في مجموعتين مختلفتين. المجموعة الأولى يكون ربعها كعك شوكولاتة وثلاثة أرباعها كعك فانيليا حسب الوزن، والمجموعة الثانية يكون نصفها كعك شوكولاتة ونصفها كعك فانيليا حسب الوزن. يوجد عقد يشترط تزويد مخبز مُعيَّن بـ ٢٠ كجم من المجموعة الثانية على الأقل.
أيُّ أنظمة المتباينات الآتية يمثِّل عدد الكيلوجرامات التي تُباع من المجموعتين الأولى والثانية؟
افترض أن هو عدد الكيلوجرامات من المجموعة الأولى، هو عدد الكيلوجرامات من المجموعة الثانية.
- ،
،
، - ،
،
،
، - ،
،
، - ،
، - ،
،
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد أنظمة المتباينات التي تحقِّق شروط عدد الكيلوجرامات لنوعين مختلفين من الكعك المَبيع.
بما أن ، يمثِّلان عدد الكيلوجرامات في المجموعة الأولى والثانية على الترتيب، ويجب أن تكون قيمتاهما غير سالبتين، ويشترط العقد ٢٠ كجم على الأقل من المجموعة الثانية؛ فإننا نحصل على:
وبما أن المجموعة الأولى يلزم أن يكون ربع وزنها من كعك الشوكولاتة، والمجموعة الثانية يلزم أن يكون نصف وزنها من كعك الشوكولاتة؛ فإن إجمالي وزن كعك الشوكولاتة لكل مجموعة هو ، على الترتيب. ومجموعهما لا يكون أكبر من ٣٠ كجم، وهو أقصى وزن لكعك الشوكولاتة، وهو ما يعطينا:
يمكننا أيضًا ضرب ذلك في ٤ لكتابته على الصورة:
وبالمثل، بما أن المجموعة الأولى يلزم أن يكون ثلاثة أرباع وزنها من كعك الفانيليا، والمجموعة الثانية يلزم أن يكون نصف وزنها من كعك الفانيليا؛ فإن إجمالي كمية كعك الفانيليا لكل مجموعة هو ، على الترتيب. ولا يجب أن يكون مجموعهما أكبر من ٦٠ كجم، وهو أقصى وزن لكعك الفانيليا؛ ومن ثَمَّ نحصل على:
يمكننا أيضًا ضرب ذلك في ٤ لكتابته على الصورة:
تلخيصًا لما سبق، نظام المتباينات لكل شرط في الحالة المعطاة هو:
هذا هو الخيار (أ).
النقاط الرئيسية
- في أيِّ موقف معطًى، لكي نحدِّد نظام المتباينات علينا أن نرمز لكل من الكميتين بالرمز أو .
- إذا كانت الكميتان ، قيمتين يستحيل أن تكونَا سالبتين، مثل الطول أو العرض، فإنه يجب أن نبدأ دائمًا بـ:
- قد تكون لدينا قيود أخرى على الكميتين ، مثل القيمة الصغرى و/أو القيمة العظمى لكل منهما.
- يمكن تحويل متباينات خطية إضافية بهذه الصورة من القيود المعطاة للحصول على المجموع الكلي للكميتين، مع مراعاة وزن كل كمية؛ مثل سعر كل كمية والحد الأقصى للإنفاق.
