شارح الدرس: الوسط الهندسي | نجوى شارح الدرس: الوسط الهندسي | نجوى

شارح الدرس: الوسط الهندسي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد الأوساط الهندسية بين حدين غير متتاليين في متتابعة هندسية.

في كثير من الحالات، نربط الوسط لعددين 𞸀، 𞸁 بالكمية 𞸀+𞸁٢، وهي الوسط الحسابي. لكن، هذا ليس هو المفهوم الوحيد «للوسط الحسابي». على سبيل المثال، الوسط الهندسي لعددين لهما الإشارة نفسها يُعرَّف بأنه الجذر التربيعي لحاصل ضرب العددين.

تعريف: الوسط الهندسي لعددين

إذا كان لدينا زوج من الاعداد 𞸀، 𞸁، لهما الإشارة نفسها، يكون الوسط الهندسي لـ 𞸀، 𞸁 هو: 󰋴𞸀𞸁.

نلاحظ أنه لا يمكننا أخذ الوسط الهندسي بين عددين لهما إشارات متعاكسة؛ لأن الجذر التربيعي لعدد سالب يعطينا ناتجًا غير حقيقي.

عندما يكون 𞸀، 𞸁 عددين موجبين، يكون الوسط الهندسي للعددين هو طول ضلع المربع الذي له نفس مساحة المستطيل الذي طولا ضلعيه 𞸀، 𞸁.

مساحة المستطيل في الطرف الأيسر هي 𞸀𞸁 ومساحة المربع في الطرف الأيمن هي: 󰋴𞸀𞸁×󰋴𞸀𞸁=󰂔󰋴𞸀𞸁󰂓=𞸀𞸁.٢

ومن ثَمَّ، تكون مساحة المربع الذي طول ضلعه 󰋴𞸀𞸁 هي نفس مساحة المستطيل الذي طولا ضلعيه 𞸀، 𞸁.

كما يمكننا فهم الوسط الهندسي لعددين في سياق المتتابعات الهندسية. نحن نتذكر أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة من الأعداد ذات النسبة الثابتة. بعبارة أخرى، تكون النسبة بين الحدين الأول والثاني هي نفسها النسبة بين الحدين الثاني والثالث، وهكذا. على سبيل المثال، المتتابعة (٣،٦،٢١،٤٢،٨٤) هي متتابعة هندسية حيث تكون فيها النسبة بين الحدين الأولين هي: ٦٣=٢. ويمكننا ملاحظة أن نسبة أي حدين متتاليين تساوي أيضًا ٢: ٢=٦٣=٢١٦=٤٢٢١=٨٤٤٢.

عندما نرسم خط أعداد يحتوي على هذه الحدود، نجد أن طول الفترة بين حدين يساوي دائمًا ضعف طول الفترة السابقة.

بأخذ الوسط الهندسي للحدين الأول والثالث في هذه المتتابعة: 󰋴𞸀𞸀=󰋴٣×٢١=󰋴٦٣=٦=𞸀.١٣٢

بعبارة أخرى، الحد الثاني في المتتابعة الهندسية هو الوسط الهندسي للحدين الذين يقعان قبله وبعده. أيضًا: 󰋴٢١×٨٤=󰋴٦٧٥=٤٢.

ومن ثَمَّ فإن الحد الرابع، ٢٤، هو الوسط الهندسي لـ ١٢، ٤٨، وهما الحدان اللذان يقعان قبله وبعده في المتتابعة الهندسية.

حقيقة قياسية: الحدود المتتالية للمتتابعة الهندسية ذات نسبة موجبة

إذا كانت لدينا متتابعة هندسية ذات نسبة موجبة، فإن أي حد وسيط في هذه المتتابعة هو المتوسط الهندسي للحدين المتجاورين.

في المثال الأول، سنحسب الوسط الهندسي لعددين.

مثال ١: إيجاد الوسط الهندسي لعددين

أوجد الوسط الهندسي بين ١٦، ٤.

الحل

تذكر أن الوسط الهندسي لعددين 𞸀، 𞸁 لهما الإشارة نفسها يكون: 󰋴𞸀𞸁.

وبما أن ١٦، ٤ موجبان، فإن الوسط الهندسي يساوي: 󰋴٦١×٤=󰋴٤٦=٨.

الوسط الهندسي بين ١٦، ٤ هو ٨.

في المثال التالي، سنوجد الوسط الهندسي لمقدارين جبريين.

مثال ٢: كتابة مقدار جبري لوصف الوسط الهندسي لحدين

أوجد الوسط الهندسي للعددين: ٩𞸎٦٣، ٦٣𞸑٠٤.

الحل

تذكر أن الوسط الهندسي لعددين 𞸀، 𞸁 لهما الإشارة نفسها هو: 󰋴𞸀𞸁.

بما أن المقدارين ٩𞸎٦٣، ٦٣𞸑٠٤ لهما أسس زوجية، فلا بد أن تكون هذه الكميات غير سالبة. ومن ثَمَّ، فإن الوسط الهندسي يُعطى بدلالة: 󰋴(٩𞸎)×(٦٣𞸑)=󰋴٩×٦٣𞸎𞸑=󰋴٤٢٣𞸎𞸑.٦٣٠٤٦٣٠٤٦٣٠٤

نحن نتذكر أن الجذر التربيعي يمكن توزيعه على كل عامل. بعبارة أخرى: 󰋴٤٢٣𞸎𞸑=󰋴٤٢٣×󰋴𞸎×󰋴𞸑=٨١󰋴𞸎󰋴𞸑.٦٣٠٤٦٣٠٤٦٣٠٤

نحن نعلم أنه يمكن كتابة الجذر التربيعي في صورة أس ١٢. وتذكر أنه عند رفع قوة إلى أس، نضرب الأسين: ٨١󰋴𞸎×󰋴𞸑=٠٨١󰁓𞸎󰁒󰁓𞸑󰁒=٨١𞸎𞸑=٨١𞸎𞸑.٦٣٠٤٦٣٠٤٨١٠٢١٢١٢٦٣٢٠٤٢

ومن ثَمَّ، فإن الوسط الهندسي هو: ٨١𞸎𞸑٨١٠٢.

يمكننا أيضًا حساب الوسط الهندسي لأكثر من عددين. فإذا كان لدينا أي ثلاثة أعداد 𞸀، 𞸁، 𞸢، يُعرَّف الوسط الهندسي بدلالة: ٣󰋴𞸀𞸁𞸢.

بخلاف الوسط الهندسي لعددين، يكون الوسط الهندسي لثلاثة أعداد مُعرَّفًا جيدًا حتى إذا كانت إشارات الأعداد مختلفة. لكن من الناحية العملية، تستخدم القيم الموجبة فقط عند تناول الوسط الهندسي.

إذا كانت 𞸀، 𞸁، 𞸢 أعدادًا موجبة، يمثل الوسط الهندسي طول ضلع المكعب الذي له نفس حجم صندوق على شكل متوازي المستطيلات والذي أضلاعه 𞸀، 𞸁، 𞸢.

حجم الصندوق على شكل متوازي المستطيلات في الطرف الأيمن هو 𞸀𞸁𞸢، بينما يكون حجم المكعب في الطرف الأيسر معطى بدلالة: ٣٣٣٣󰋴𞸀𞸁𞸢×󰋴𞸀𞸁𞸢×󰋴𞸀𞸁𞸢=󰂔󰋴𞸀𞸁𞸢󰂓=𞸀𞸁𞸢.٣

ومن ثَمَّ، فإن الصندوق على شكل متوازي المستطيلات الذي أطوال أضلاعه 𞸀، 𞸁، 𞸢 له نفس حجم المكعب الذي يُعطى طول ضلعه بدلالة الوسط الهندسي. بوجه عام، يمكن تعريف الوسط الهندسي لمتتابعة من الأعداد بطريقة مماثلة.

تعريف: الوسط الهندسي لمتتابعة من الأعداد

إذا كانت لدينا متتابعة من الأعداد 𞸀،𞸀،،𞸀١٢𞸍، يكون الوسط الهندسي لمتتابعة الأعداد هو: 𞸍󰋷𞸀𞸀𞸀.١٢𞸍

وعلى وجه التحديد، حاصل ضرب 𞸀𞸀𞸀١٢𞸍 يجب أن يكون موجبًا عندما يكون 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا.

لنتناول مثالًا نحسب فيه الوسط الهندسي لثلاثة أعداد باستخدام هذه الصيغة.

مثال ٣: إيجاد الوسط الهندسي بين مجموعات الأعداد

أوجد الوسط الهندسي للأعداد ٦، ٧٢، ١٠٨.

الحل

تذكر أن الوسط الهندسي لمتتابعة الأعداد: 𞸀،𞸀،،𞸀١٢𞸍 هو: 𞸍󰋷𞸀𞸀𞸀.١٢𞸍

في هذا المثال، لدينا ثلاثة أعداد، وهو ما يؤدي إلى: 𞸍=٣. ومن ثَمَّ، علينا حساب: ٣󰋴𞸀𞸀𞸀.١٢٣

نعوض بالقيم ٦، ٧٢، ١٠٨ عن 𞸀١، 𞸀٢، 𞸀٣، على الترتيب: ٣٣󰋴٦×٢٧×٨٠١=󰋴٦٥٦٦٤=٦٣.

ومن ثَمَّ، فإن الوسط الهندسي للأعداد الثلاثة المعطاة هو ٣٦.

في الأمثلة السابقة، تناولنا الوسط الهندسي لعددين أو أكثر. نحن نتناول الآن مفهومًا مرتبطًا بالوسط الهندسي، يعرف بـ 𞸍 من الأوساط الهندسية بين عددين.

تعريف: ن من الأوساط الهندسية

إذا كان لدينا عددان 𞸀، 𞸁، تكون 𞸍 من الأوساط الهندسية بين 𞸀، 𞸁 هي القيم في المتتابعة الهندسية من 𞸀 إلى 𞸁 مع وجود 𞸍 من الحدود بينهما تحديدًا.

يمكننا ملاحظة أن 𞸍 من الأوساط الهندسية تشير إلى متتابعة 𞸍 من الاعداد، بينما يشير الوسط الهندسي لعددين إلى عدد واحد. لاحظ أن الوسط الهندسي الواحد بين عددين هو الحد الوحيد بين عددين معطيين في متتابعة هندسية. وبما أن أي حد وسيط في متتابعة هندسية هو الوسط الهندسي للحدين المتجاورين، فإن الوسط الهندسي الواحد بين عددين هو نفسه الوسط الهندسي للعددين المعطيين.

دعونا نوجد الأوساط الهندسية بين عددين في المثال التالي.

مثال ٤: إدخال الأوساط الهندسية بين عددين

أدخل خمسة أوساط هندسية موجبة بين ١٢٨٣ و ٢٧٦٩١.

الحل

𞸍 من الأوساط الهندسية بين عددين هي 𞸍 من حدود متتابعة هندسية بين العددين المعطيين. وبما أن علينا إيجاد خمس أوساط هندسية موجبة بين ١٢٨٣، ٢٧٦٩١ علينا أولًا تحديد متتابعة هندسية موجبة تبدأ بـ ١٢٨٣ وتنتهي بـ ٢٧٦٩١ مع وجود خمسة حدود بينهما تحديدًا. تذكر أن الحد العام للمتتابعة الهندسية مع الحد الأول 𞸀١ والنسبة 𞸓 هو: 𞸀=𞸀𞸓.𞸍١𞸍١

وبما أن الحد الأول في المتتابعة الهندسية هو ١٢٨٣، يكون لدينا: 𞸀=١٢٨٣١. وبما أنه توجد خمسة حدود بين الحدين الأول والأخير، يمكننا ملاحظة أن الحد الأخير ٢٧٦٩١ هو الحد السابع في هذه المتتابعة الهندسية، وهذا يعني أن: 𞸀=٢٧٦٩١٧. بالتعويض بـ 𞸍=٧، 𞸀=١٢٨٣١، 𞸀=٢٧٦٩١٧ في الصيغة أعلاه: ٢٧٦٩١=١٢٨٣𞸓،𞸓=٢٧٦٩١×٨٣١٢=٤٦.٦٦

وبما أن ٦ قوة زوجية، فإن أخذ الجذر السادس لطرفي المعادلة ينتج عنه القيمتان الموجبة والسالبة: 𞸓=󰋴٤٦󰋴٤٦،٦٦أو وهو ما يؤدي إلى 𞸓=٢ أو 𞸓=٢. لكن، بما أننا نبحث عن متتابعة هندسية موجبة، يمكننا تجاهل النسبة السالبة. وهذا يخبرنا بأن المتتابعة الهندسية لها: 𞸀=١٢٨٣١، 𞸓=٢. نحن نعلم أنه يمكن الحصول على حد في متتابعة هندسية بضرب الحد السابق له في النسبة. نبدأ بـ 𞸀=١٢٨٣١، نضرب كل حد في ٢ للحصول على المتتابعة: ١٢٨٣،١٢٩١،٢٤٩١،٤٨٩١،٨٦١٩١،٦٣٣٩١،٢٧٦٩١.

يمكننا التوقف عند ٢٧٦٩١ بما أن هذا هو الحد الأخير المعطى في المتتابعة الهندسية.

بأخذ الحدود الخمسة بين الحدين الأول والأخير في هذه المتتابعة، نجد أن الأوساط الهندسية الموجبة الخمسة بين هذين العددين المعطيين هي: ١٢٩١،٢٤٩١،٤٨٩١،٨٦١٩١،٦٣٣٩١.

في المثال السابق، حددنا الأوساط الهندسية التي تقع بين عددين معطيين. إذا أمعَنَّا النظر جيدًا، فسنجد أنه كان يوجد خياران ممكنان للمتتابعة الهندسية في هذا المثال، أحدهما بنسبة موجبة 𞸓=٢ والآخر بنسبة سالبة 𞸓=٢. وبما أن المسألة تشير إلى أوساط هندسية موجبة، فإننا تجاهلنا النسبة السالبة. ولكن، هذا يخبرنا أيضًا أنه ما لم تقتصر الأوساط الهندسية على إشارة محددة، لكانت لدينا مجموعتان 𞸍 من الأوساط الهندسية بين عددين عندما يكون عدد الأوساط الهندسية فرديًّا.

على سبيل المثال، انظر المتتابعة الهندسية التي ناقشناها سابقًا: (٣،٦،٢١،٤٢،٨٤). بما أن الحدود ٦، ١٢، ٢٤ تقع بين ٣، ٤٨ في المتسلسلة الهندسية، فهي ثلاثة أوساط هندسية تقع بين ٣، ٤٨. لكنها ليست الأوساط الهندسية الثلاثة الوحيدة بين ٣، ٤٨. ونحن نعرف أيضًا أن (٣،٦،٢١،٤٢،٨٤) هي متتابعة هندسية بنسبة ٢ والحدود الثلاثة ٦،٢١،٤٢ تقع بين ٣، ٤٨ في متتابعة هندسية. ومن ثَمَّ، ٦،٢١،٤٢ هي أيضًا ثلاثة أوساط هندسية بين ٣، ٤٨.

في المثال التالي، سنوجد كل قيم 𞸍 من الأوساط الهندسية الممكنة بين عددين.

مثال ٥: إيجاد الأوساط الهندسية لمتتابعة هندسية معطاة

أوجد الأوساط الهندسية للمتتابعة (٢،،،،٢٠٨٤).

الحل

الأوساط الهندسية بين عددين هي حدود متتابعة هندسية بين العددين المعطيين. ومن ثَمَّ، علينا أولًا تحديد المتتابعة الهندسية التي تبدأ بالعدد ٢ وتنتهي بالعدد ٤‎ ‎٨٠٢ مع وجود ثلاثة حدود بينهما تحديدًا. تذكر أن الحد العام للمتتابعة الهندسية مع الحد الأول 𞸀١ والنسبة 𞸓 هو: 𞸀=𞸀𞸓.𞸍١𞸍١

وبما أن الحد الأول في المتتابعة الهندسية هو ٢، يكون لدينا 𞸀=٢١. كما نلاحظ أن الحد ٤‎ ‎٨٠٢ هو الحد الخامس للمتتابعة الهندسية، وهو ما يؤدي إلى: 𞸀=٢٠٨٤٥. بالتعويض بـ 𞸍=٥، 𞸀=٢١، 𞸀=٢٠٨٤٥ في الصيغة أعلاه: ٢٠٨٤=٢𞸓،𞸓=١٠٤٢.٤٤وديإ

وبما أن العدد أربعة هو قوة زوجية، فإن أخذ الجذر الرابع لطرفي المعادلة سينتج عنه القيمتان الموجبة والسالبة: 𞸓=󰋴١٠٤٢󰋴١٠٤٢،٤٤أو وهو ما يؤدي إلى: 𞸓=٧ أو 𞸓=٧. هذا يخبرنا أن هناك متتابعتين هندسيتين ممكنتين مع تحقيق الشروط المعطاة الآتية: المتتابعة الهندسية ذات 𞸀=٢١، 𞸓=٧ والمتتابعة الهندسية ذات 𞸀=٢١، 𞸓=٧. لنوجد أولًا المتتابعة ذات 𞸓=٧. نحن نعلم أنه يمكن الحصول على كل حد في متتابعة هندسية من خلال ضرب الحد السابق في النسبة. لنبدأ بـ 𞸀=٢١، نضرب كل حد في سبعة للحصول على المتتابعة: ٢،٤١،٨٩،٦٨٦،٢٠٨٤.

يمكننا التوقف عند ٤‎ ‎٨٠٢؛ لأن هذا هو الحد الأخير في المتتابعة. وهذا يعني أن الأوساط الهندسية هي ١٤، ٩٨، ٦٨٦.

بعد ذلك، دعونا نوجد المتتابعة الهندسية ذات النسبة ٧. لنبدأ بـ ٢، نضرب كل حد في ٧ لنحصل على: ٢،٤١،٨٩،٦٨٦،٢٠٨٤.

وهذا يعطينا الأوساط الهندسية ٤١،٨٩،٦٨٦.

إذن، الأوساط الهندسية للمتتابعة المعطاة هي: ٤١،٨٩،٦٨٦٤١،٨٩،٦٨٦.أو

في المثال الأخير، سنحدد عدد الأوساط الهندسية بين عددين عندما تتوفر لدينا معطيات كافية.

مثال ٦: إيجاد عدد الأوساط الهندسية المدخلة بين عددين تحت شرط معين

أوجد عدد الأوساط الهندسية المدخلة بين العددين ٨٢، ١‎ ‎٣١٢، علمًا بأن مجموع آخِر وسطين يساوي ضِعف مجموع أول وسطين.

الحل

تذكر أن الأوساط الهندسية بين عددين هي حدود المتتابعة الهندسية بين العددين المعطيين. في هذا المثال، علينا إيجاد عدد الأوساط الهندسية الواقعة بين ٨٢، ١‎ ‎٣١٢ بحيث تستوفي الأوساط الشرط المعطى. يمكننا إيجاد عدد الأوساط الهندسية أولًا عن طريق تحديد المتتابعة الهندسية بين العددين المعطيين التي تحقق الشرط المعطى. دعونا نحدد المتتابعة الهندسية التي تبدأ بـ ٨٢ وننتهي بـ ١‎ ‎٣١٢. إذا كانت هناك حدود 𞸈 في هذه المتتابعة، يمكن أن نشير إليها بـ: 𞸀=٢٨،𞸀=٢١٣١.١𞸈

الحد العام لمتتابعة هندسية حدها الأول 𞸀١ والنسبة 𞸓 هو: 𞸀=𞸀𞸓.𞸍١𞸍١

وأخبرنا السؤال بأن مجموع آخر وسطين يساوي ضعف مجموع أول وسطين. بما أن الوسطين الهندسيين يستبعدان الحد الأول، 𞸀١ والحد الأخير، 𞸀𞸈 من المتتابعة الهندسية: يكون آخر وسطين هما: 𞸀𞸈٢، 𞸀𞸈١. وبالمثل، نجد أن أول وسطين هما 𞸀٢، 𞸀٣. بوضع الشرط المعطى في معادلة تتضمن هذين الحدين: 𞸀+𞸀=٢󰁓𞸀+𞸀󰁒.𞸈٢𞸈١٢٣

وباستخدام صيغة الحد العام، يمكننا كتابة: 𞸀=𞸀𞸓=٢٨𞸓،𞸀=𞸀𞸓=٢٨𞸓،𞸀=𞸀𞸓=٢٨𞸓،𞸀=𞸀𞸓=٢٨𞸓.٢١٢١٣١٣١٢𞸈٢١(𞸈٢)١𞸈٣𞸈١١(𞸈١)١𞸈٢

ومن ثَمَّ، يكون لدينا: ٢٨𞸓+٢٨𞸓=٢󰁓٢٨𞸓+٢٨𞸓󰁒.𞸈٣𞸈٢٢

يمكننا أخذ عامل مشترك ٢٨𞸓𞸈٣ من الطرف الأيمن في المعادلة و٢٨𞸓 من الطرف الأيسر للمعادلة: ٢٨𞸓(١+𞸓)=٤٦١𞸓(١+𞸓).𞸈٣

ونحن نعرف أن 𞸓١، لأن هذه النسبة ستكوِّن فقط متتابعة هندسية مع إشارات متناوبة ٢٨،٢٨،٢٨،٢٨، لا يمكن أن تصل إلى ١‎ ‎٣١٢. 𞸓١ يعني ١+𞸓٠؛ لذا يمكننا قسمة طرفي المعادلة على: ٢٨(١+𞸓) لنحصل على: 𞸓=٢𞸓.𞸈٣

ونحن نعرف أيضًا أن 𞸓٠؛ وذلك لأن هذا يؤدي إلى متتابعة من الأصفار بجانب العدد ٨٢. وقسمة طرفي المعادلة على 𞸓 تعطينا: 𞸓=٢.𞸈٤

الآن، يوجد مجهولان في هذه المعادلة؛ لذا نحتاج إلى معادلة أخرى لمساعدتنا في إيجاد المجاهيل. ونحن نعرف أن 𞸀=٢١٣١𞸈. واستخدام صيغة الحدود العامة للمتتابعة الهندسية، يعطينا: ٢٨𞸓=٢١٣١.𞸈١

وهذا يؤدي إلى 𞸓=٦١𞸈١. ويمكننا قسمة هذه المعادلة على معادلة: 𞸓𞸈٤ لنحصل على: ٢٨𞸓𞸓=٢١٣١٢=٦٥٦.𞸈١𞸈٤

وقسمة طرفي المعادلة على ٨٢ وتبسيط الكسر، يؤديان إلى: 𞸓=٦٥٦٢٨=٨.(𞸈١)(𞸈٤)

وبما أن: (𞸈١)(𞸈٤)=٣، يكون لدينا: 𞸓=٨.٣

وهذا يعطينا: 𞸓=󰋴٨=٢٣. الآن وقد عرفنا قيمة 𞸓، يمكننا التعويض بهذه القيمة في 𞸓=٢𞸈٤ لإيجاد 𞸈: ٢=٢.𞸈٤

وإذا كان ٢ مرفوعًا لقوة ما يساوي ٢، فلا بد أن يساوي الأس ١. ومن ثَمَّ: 𞸈٤=١،𞸈=٥.وديإ

هذا يوضح لنا أنه توجد خمسة حدود في هذه المتتابعة الهندسية. دعونا نتحقق من ذلك عن طريق حساب المتتابعة الهندسية. لنبدأ بالعدد ٨٢، نضرب كل حد في النسبة ٢ لنحصل على: ٢٨،٤٦١،٨٢٣،٦٥٦،٢١٣١.

يمكننا ملاحظة أنه توجد خمسة حدود تحديدًا في هذه المتتابعة الهندسية، تبدأ بالعدد ٨٢ وتنتهي بالعدد ١‎ ‎٣١٢. وبما أن الوسط الهندسي لا يتضمن الحدين الأول والأخير، فإن عدد الوسط الهندسي هو: ٥٢=٣.

هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كان لدينا عددان 𞸀، 𞸁، لهما الإشارة نفسها، يكون الوسط الهندسي لـ 𞸀، 𞸁 هو: 󰋴𞸀𞸁.
  • إذا كانت لدينا متتابعة أعداد 𞸀،𞸀،،𞸀١٢𞸍، يكون الوسط الهندسي لمتتابعة الأعداد هو: 𞸍󰋷𞸀𞸀𞸀.١٢𞸍 على وجه التحديد، يجب أن يكون حاصل ضرب 𞸀𞸀𞸀١٢𞸍 موجبًا عندما يكون 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا.
  • إذا كان لدينا عددان 𞸀، 𞸁، تكون 𞸍 من الأوساط الهندسية بين 𞸀، 𞸁 هي القيم في المتتابعة الهندسية من 𞸀 إلى 𞸁 مع وجود 𞸍 من الحدود بين العددين تحديدًا.
  • في متتابعة هندسية على الصورة العامة 𞸇=𞸇𞸓𞸍١𞸍١ تسمى القيم من 𞸇٢ إلى 𞸇𞸍١ الأوساط الحسابية. الوسط الهندسي ذوا𞸊 هو الحد ذوا(𞸊+١).
  • وبما أن الأوساط الهندسية هي جميع الحدود في متتابعة هندسية، باستثناء الحدين الأول والأخير لمتتابعة بعدد 𞸍 من الحدود، توجد 𞸍٢ من الأوساط الهندسية بين 𞸇١، 𞸇𞸍.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية