شارح الدرس: الوسط الهندسي الرياضيات

مثال ١: إيجاد الوسط الهندسي لعددين

أوجد الوسط الهندسي بين ١٦، ٤.

الحل

تذكر أن الوسط الهندسي لعددين ، لهما الإشارة نفسها يكون:

وبما أن ١٦، ٤ موجبان، فإن الوسط الهندسي يساوي:

الوسط الهندسي بين ١٦، ٤ هو ٨.

مثال ٢: كتابة مقدار جبري لوصف الوسط الهندسي لحدين

أوجد الوسط الهندسي للعددين: ، .

الحل

تذكر أن الوسط الهندسي لعددين ، لهما الإشارة نفسها هو:

بما أن المقدارين ، لهما أسس زوجية، فلا بد أن تكون هذه الكميات غير سالبة. ومن ثَمَّ، فإن الوسط الهندسي يُعطى بدلالة:

نحن نتذكر أن الجذر التربيعي يمكن توزيعه على كل عامل. بعبارة أخرى:

نحن نعلم أنه يمكن كتابة الجذر التربيعي في صورة أس . وتذكر أنه عند رفع قوة إلى أس، نضرب الأسين:

ومن ثَمَّ، فإن الوسط الهندسي هو: .

مثال ٣: إيجاد الوسط الهندسي بين مجموعات الأعداد

أوجد الوسط الهندسي للأعداد ٦، ٧٢، ١٠٨.

الحل

تذكر أن الوسط الهندسي لمتتابعة الأعداد: هو:

في هذا المثال، لدينا ثلاثة أعداد، وهو ما يؤدي إلى: . ومن ثَمَّ، علينا حساب:

نعوض بالقيم ٦، ٧٢، ١٠٨ عن ، ، ، على الترتيب:

ومن ثَمَّ، فإن الوسط الهندسي للأعداد الثلاثة المعطاة هو ٣٦.

مثال ٤: إدخال الأوساط الهندسية بين عددين

أدخل خمسة أوساط هندسية موجبة بين و .

الحل

من الأوساط الهندسية بين عددين هي من حدود متتابعة هندسية بين العددين المعطيين. وبما أن علينا إيجاد خمس أوساط هندسية موجبة بين ، علينا أولًا تحديد متتابعة هندسية موجبة تبدأ بـ وتنتهي بـ مع وجود خمسة حدود بينهما تحديدًا. تذكر أن الحد العام للمتتابعة الهندسية مع الحد الأول والنسبة هو:

وبما أن الحد الأول في المتتابعة الهندسية هو ، يكون لدينا: . وبما أنه توجد خمسة حدود بين الحدين الأول والأخير، يمكننا ملاحظة أن الحد الأخير هو الحد السابع في هذه المتتابعة الهندسية، وهذا يعني أن: . بالتعويض بـ ، ، في الصيغة أعلاه:

وبما أن ٦ قوة زوجية، فإن أخذ الجذر السادس لطرفي المعادلة ينتج عنه القيمتان الموجبة والسالبة: وهو ما يؤدي إلى أو . لكن، بما أننا نبحث عن متتابعة هندسية موجبة، يمكننا تجاهل النسبة السالبة. وهذا يخبرنا بأن المتتابعة الهندسية لها: ، . نحن نعلم أنه يمكن الحصول على حد في متتابعة هندسية بضرب الحد السابق له في النسبة. نبدأ بـ ، نضرب كل حد في ٢ للحصول على المتتابعة:

يمكننا التوقف عند بما أن هذا هو الحد الأخير المعطى في المتتابعة الهندسية.

بأخذ الحدود الخمسة بين الحدين الأول والأخير في هذه المتتابعة، نجد أن الأوساط الهندسية الموجبة الخمسة بين هذين العددين المعطيين هي:

مثال ٥: إيجاد الأوساط الهندسية لمتتابعة هندسية معطاة

أوجد الأوساط الهندسية للمتتابعة .

الحل

الأوساط الهندسية بين عددين هي حدود متتابعة هندسية بين العددين المعطيين. ومن ثَمَّ، علينا أولًا تحديد المتتابعة الهندسية التي تبدأ بالعدد ٢ وتنتهي بالعدد ٤‎ ‎٨٠٢ مع وجود ثلاثة حدود بينهما تحديدًا. تذكر أن الحد العام للمتتابعة الهندسية مع الحد الأول والنسبة هو:

وبما أن الحد الأول في المتتابعة الهندسية هو ٢، يكون لدينا . كما نلاحظ أن الحد ٤‎ ‎٨٠٢ هو الحد الخامس للمتتابعة الهندسية، وهو ما يؤدي إلى: . بالتعويض بـ ، ، في الصيغة أعلاه:

وبما أن العدد أربعة هو قوة زوجية، فإن أخذ الجذر الرابع لطرفي المعادلة سينتج عنه القيمتان الموجبة والسالبة: وهو ما يؤدي إلى: أو . هذا يخبرنا أن هناك متتابعتين هندسيتين ممكنتين مع تحقيق الشروط المعطاة الآتية: المتتابعة الهندسية ذات ، والمتتابعة الهندسية ذات ، . لنوجد أولًا المتتابعة ذات . نحن نعلم أنه يمكن الحصول على كل حد في متتابعة هندسية من خلال ضرب الحد السابق في النسبة. لنبدأ بـ ، نضرب كل حد في سبعة للحصول على المتتابعة:

يمكننا التوقف عند ٤‎ ‎٨٠٢؛ لأن هذا هو الحد الأخير في المتتابعة. وهذا يعني أن الأوساط الهندسية هي ١٤، ٩٨، ٦٨٦.

بعد ذلك، دعونا نوجد المتتابعة الهندسية ذات النسبة . لنبدأ بـ ٢، نضرب كل حد في لنحصل على:

وهذا يعطينا الأوساط الهندسية .

إذن، الأوساط الهندسية للمتتابعة المعطاة هي:

مثال ٦: إيجاد عدد الأوساط الهندسية المدخلة بين عددين تحت شرط معين

أوجد عدد الأوساط الهندسية المدخلة بين العددين ٨٢، ١‎ ‎٣١٢، علمًا بأن مجموع آخِر وسطين يساوي ضِعف مجموع أول وسطين.

الحل

تذكر أن الأوساط الهندسية بين عددين هي حدود المتتابعة الهندسية بين العددين المعطيين. في هذا المثال، علينا إيجاد عدد الأوساط الهندسية الواقعة بين ٨٢، ١‎ ‎٣١٢ بحيث تستوفي الأوساط الشرط المعطى. يمكننا إيجاد عدد الأوساط الهندسية أولًا عن طريق تحديد المتتابعة الهندسية بين العددين المعطيين التي تحقق الشرط المعطى. دعونا نحدد المتتابعة الهندسية التي تبدأ بـ ٨٢ وننتهي بـ ١‎ ‎٣١٢. إذا كانت هناك حدود في هذه المتتابعة، يمكن أن نشير إليها بـ:

الحد العام لمتتابعة هندسية حدها الأول والنسبة هو:

وأخبرنا السؤال بأن مجموع آخر وسطين يساوي ضعف مجموع أول وسطين. بما أن الوسطين الهندسيين يستبعدان الحد الأول، والحد الأخير، من المتتابعة الهندسية: يكون آخر وسطين هما: ، . وبالمثل، نجد أن أول وسطين هما ، . بوضع الشرط المعطى في معادلة تتضمن هذين الحدين:

وباستخدام صيغة الحد العام، يمكننا كتابة:

ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

يمكننا أخذ عامل مشترك من الطرف الأيمن في المعادلة و من الطرف الأيسر للمعادلة:

ونحن نعرف أن ، لأن هذه النسبة ستكوِّن فقط متتابعة هندسية مع إشارات متناوبة لا يمكن أن تصل إلى ١‎ ‎٣١٢. يعني ؛ لذا يمكننا قسمة طرفي المعادلة على: لنحصل على:

ونحن نعرف أيضًا أن ؛ وذلك لأن هذا يؤدي إلى متتابعة من الأصفار بجانب العدد ٨٢. وقسمة طرفي المعادلة على تعطينا:

الآن، يوجد مجهولان في هذه المعادلة؛ لذا نحتاج إلى معادلة أخرى لمساعدتنا في إيجاد المجاهيل. ونحن نعرف أن . واستخدام صيغة الحدود العامة للمتتابعة الهندسية، يعطينا:

وهذا يؤدي إلى . ويمكننا قسمة هذه المعادلة على معادلة: لنحصل على:

وقسمة طرفي المعادلة على ٨٢ وتبسيط الكسر، يؤديان إلى:

وبما أن: ، يكون لدينا:

وهذا يعطينا: . الآن وقد عرفنا قيمة ، يمكننا التعويض بهذه القيمة في لإيجاد :

وإذا كان ٢ مرفوعًا لقوة ما يساوي ٢، فلا بد أن يساوي الأس ١. ومن ثَمَّ:

هذا يوضح لنا أنه توجد خمسة حدود في هذه المتتابعة الهندسية. دعونا نتحقق من ذلك عن طريق حساب المتتابعة الهندسية. لنبدأ بالعدد ٨٢، نضرب كل حد في النسبة ٢ لنحصل على:

يمكننا ملاحظة أنه توجد خمسة حدود تحديدًا في هذه المتتابعة الهندسية، تبدأ بالعدد ٨٢ وتنتهي بالعدد ١‎ ‎٣١٢. وبما أن الوسط الهندسي لا يتضمن الحدين الأول والأخير، فإن عدد الوسط الهندسي هو: