في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب مجموع متتابعة هندسية غير منتهية.
المتتابعة الهندسية متتابعة لها نسبة مُشترَكة (أساس المتتابعة) بين الحدود المتتالية. يُمكننا حساب قيمة أساس المتتابعة بقسمة أيِّ حدٍّ على الحدِّ الذي يسبقه.
على سبيل المثال، المتتابعة الآتية متتابعة هندسية:
هذه المتتابعة لها أساس يساوي ٣؛ لأن كلَّ حدٍّ يُمكن حسابه بضرب الحدِّ السابق في ٣.
إذا عَرَّفنا الحدَّ الأول في المتتابعة الهندسية العامة على أنه ، وأساس المتتابعة الهندسية على أنه ، نحصل بذلك على المتتابعة الآتية:
نلاحظ الآن أن أُسَّ في كلِّ حدٍّ أقلُّ من رقم هذا الحدِّ بمقدار واحد، وهو ما يُعطينا حدًّا عامًّا، وهو .
لاحظ ما يحدث عندما نقسم حدًّا على الحدِّ الذي يسبقه:
لا يُهِمُّ أيُّ حدَّيْن من الحدود سنختار، فخارج قسمتهما دائمًا يكون ، وهو أساس المتتابعة الهندسية.
هيَّا نعمِّم ذلك.
تعريف:
المتتابعة الهندسية متتابعة بها نسبة مُشترَكة بين الحدود المتتالية. ويُعطَى الحدُّ العامُّ، لمتتابعة هندسية حدُّها الأول ، والنسبة المُشترَكة بها بالعلاقة:
أما المتسلسلة الهندسية فهي مجموع عدد معيَّن من حدود متتابعة هندسية. ويُمكن أن تكون المتسلسلة منتهية أو غير منتهية.
تعريف:
النسبة المُشتركة، ، لمتتابعة هندسية، حدُّها تُعطَى بالعلاقة:
أو يُمكن أن تُعطَى أيضًا بالعلاقة:
الآن لنعد إلى مثالنا السابق للمتتابعة الهندسية:
نلاحظ أنه كلما ازداد رقم الحدِّ، ، تزداد قيمة الحدِّ نفسه، ، أُسِّيًّا. ومن ثَمَّ، يُمكننا استنتاج أننا إذا حسبنا مجموع عدد كبير من الحدود، فإن الناتج سيكون كبيرًا. وفي الحقيقة، مع اقتراب لما لا نهاية لهذه المتتابعة، فإن مجموع الحدود، ، يقترب أيضًا لما لا نهاية.
لكن هذا لا يحدث دائمًا. ففي الواقع، وعلى عكس ما هو مُتعارَف عليه نوعًا ما، بعض المتتابعات الهندسية غير المنتهية لها بالفعل مجموع مُنتهٍ. وقد نرى هذه الأنواع من المتتابعات عند دراسة هندسة الفراكتال، مثل حساب مساحة ندفة الثلج لكوخ، أو عند تحويل الأعداد العشرية الدورية إلى صورتها الكسرية المكافئة.
فعندما يكون مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية منتهيًا، نقول إن المتسلسلة (أيْ مجموع كلِّ الحدود) متقاربة. لكي تكون المتسلسلة الهندسية متقاربة، نحتاج إلى أن تقلَّ قيمة الحدود المُتتالية أُسِّيًّا إلى أن تقترب من الصفر. لكي يتحقَّق ذلك، يجب أن تقع قيمة أساس المتتابعة الهندسية في الفترة .
على سبيل المثال، المتتابعة الهندسية الآتية أساسها يساوي ، وهي متقاربة؛ حيث إنه كلما اقترب لما لا نهاية، تقترب قيمة للصفر، وهو ما يعني أنه يُمكننا إيجاد مجموع المتتابعة غير المنتهية:
تعريف:
تكون المتسلسلة الهندسية غير المنتهية متقاربة إذا كانت القيمة المُطلقة لأساسها، ، أصغر من ١:
لإيجاد صيغة لمجموع الحدود في متتابعة هندسية غير منتهية، دعونا نفكِّر أولًا في المتسلسلة الهندسية المنتهية التي حدُّها الأول ، وأساسها ، وتحتوي على عدد من الحدود:
بضرب هذه المعادلة في ، نحصل على:
يُمكننا الآن طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، وتحليلها تحليلًا كاملًا. لاحِظ أنه عند طرح الحدود في الطرف الأيسر، تصبح معظم الحدود صفرًا:
بقسمة طرفَيْ هذه المعادلة على ، فإننا نستنتج بذلك صيغةً لإيجاد مجموع أول عدد من الحدود لمتسلسلة هندسية حدُّها الأول ، وأساسها :
ذكرنا سابقًا أنه في حالة المتسلسلة الهندسية المتقاربة، يكون .
وهذا يعني أنه كلما اقترب لما لا نهاية، يجب أن تقترب قيمة للصفر.
بعبارة أخرى، إذا كان ، فإن .
يُمكننا أن ننظر فيما يحدث مع متسلسلتنا الهندسية المتقاربة عند اقتراب لما لا نهاية. إذا كان ، تكون:
وأحيانًا يُسمَّى ذلك المجموع اللانهائي لمتسلسلة هندسية.
تعريف: مجموع متسلسلة هندسية غير منتهية
إذا كان أساس المتسلسلة ، يحقِّق فإن مجموع أيِّ متسلسلة هندسية غير منتهية حدُّها الأول هو:
هيَّا نُلقِ نظرةً الآن على سؤال نحتاج فيه إلى الاستعانة بمعرفتنا بأساس المتتابعات الهندسية وشروط تقارب هذه المتسلسلات، وحساب قيمة متسلسلة هندسية غير منتهية متقاربة.
مثال ١: إيجاد مجموع متسلسلة هندسية غير منتهية
أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية .
الحل
نعلم أنه إذا كان أساس المتتابعة الهندسية ، يحقِّق ، فمجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي حدُّها الأول هو:
نرى أن الحدَّ الأول هو ؛ ومن ثَمَّ علينا حساب أساس المتتابعة الهندسية . يُمكننا إيجاد الأساس بقسمة أيِّ حدٍّ على الحدِّ الذي يسبقه؛ لذا سنقسم أول حدَّيْن:
يُمكننا ملاحظة أن القيمة المُطلقة لأساس المتتابعة الهندسية أصغر من ١؛ ومن ثَمَّ يُمكننا إيجاد مجموع هذه المتسلسلة بوضْع ، :
إذن مجموع المتسلسلة يساوي ١٣.
في المثال الآتي، سنرى كيف نطبِّق هذه الطريقة عند التعامل مع النِّسَب الجذرية.
مثال ٢: إيجاد أساس متتابعة هندسية غير منتهية وإيجاد مجموعها إنْ وُجد
انظر المتسلسلة .
المتسلسلة هندسية. ما أساسُها؟
هل تلك المتسلسلة متقاربة؟ إذا كانت الإجابة نعم، فما مجموعها؟
الحل
الجزء الأول
يُمكن إيجاد أساس المتتابعة الهندسية ، بقسمة أيِّ حدٍّ في المتسلسلة على الحدِّ الذي يسبقه. لنختَرْ أول حدَّيْن:
إذن أساس المتتابعة هو .
لاحِظ أننا سنحصل على النتيجة نفسها إذا قسمنا الحدَّ الثالث على الحدِّ الثاني، أو أيِّ حدٍّ على الحدِّ الذي يسبقه!
الجزء الثاني
تكون المتسلسلة الهندسية متقاربة، إذا كان ، أو .
في هذا السؤال، ، وهو ما يعني أن هذه المتسلسلة متقاربة. يُمكننا إذن إيجاد مجموع المتسلسلة التي حدُّها الأول ، وأساسها بتطبيق الصيغة: حيث ، :
لتبسيط ، نوحِّد المقامين على :
وبهذا، يصبح مجموع المتسلسلة:
لكي ننتهي من المسألة، يجب أن نتذكَّر إنطاق المقام عن طريق الضرب في مرافق. ويُمكن إيجاد المرافق بتغيير الإشارة بين الحدَّيْن:
بتحليل هذا المقدار، نجد أن:
نعم، هذه المتسلسلة متقاربة، ومجموعها اللانهائي قيمته .
في المثالين السابقين، افترضنا وجود المجموع، وحسبنا هذا المجموع بناء على الحدود القليلة الأولى من المتسلسلة. يُمكننا أيضًا استخدام صيغة الحدِّ لمتتابعة هندسية للحصول على النتيجة نفسها.
مثال ٣: إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود لمتتابعة هندسية بمعلومية حدِّها العام
أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي تبدأ بـ ؛ حيث حدُّها هو .
الحل
الحدُّ العام لمتسلسلة هندسية حدُّها الأول ، وأساسها هو:
وبمقارنة هذا بمتتابعتنا، نجد أنهما غير متطابقين قليلًا. بدلًا من ذلك، يُمكننا استخدام صيغة الحدِّ الموجودة لدينا لإيجاد الحدَّيْن الأوَّلين.
عندما يكون :
وعندما يكون :
ومن ثَمَّ يكون الحدُّ الأول ٣، وأساس المتتابعة الهندسية هو .
بما أن أساس المتتابعة يقع في الفترة ، فهذا يعني أن المتسلسلة متقاربة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا إيجاد مجموعها باستخدام الصيغة: حيث ، :
وكما ذكرنا من قبل، فإن تطبيق هذه العملية يتجاوز المتسلسلة المُعطاة فقط. إذ يُمكننا، في الواقع، تمثيل عدد عشري دوري في صورة كسر من خلال التفكير في العدد العشري باعتباره متسلسلة هندسية.
مثال ٤: الأعداد العشرية الدورية
من خلال إيجاد مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية، عبِّر عن في صورة كسر اعتيادي.
الحل
العدد العشري الدوري .
وهذا يعني أنه يُمكننا تقسيمه إلى ، ثم كتابة كلِّ حدٍّ على صورة كسر:
هذه متسلسلة هندسية حدُّها الأول ، وأساسها . بما أن أساس المتتابعة الهندسية يقع في الفترة ، فيمكننا القول إن هذه المتسلسلة متقاربة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا أن نُوجِد مجموعها.
باستخدام الصيغة: حيث ، نحصل على:
بالتبسيط الكامل، نجد أن العدد العشري الدوري يكافئ .
لندرسِ الآن كيف تختلف هذه العملية مع العدد العشري الدوري الذي لا تتكرَّر أرقامه كلها.
مثال ٥: الأعداد العشرية الدورية
من خلال إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، عبِّر عن في صورة كسر اعتيادي.
الحل
العدد العشري الدوري .
هذا يعني أنه يُمكننا تقسيمه إلى:
بالنظر إلى المجموع ، نرى أن لدينا متسلسلة هندسية حدُّها الأول . ومن ثَمَّ، فإن أساسها هو .
وبما أن القيمة المُطلقة لأساس المتتابعة هذا أصغر من ١، فإن هذه المتسلسلة متقاربة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا إيجاد مجموعها.
باستخدام الصيغة: حيث ، نحصل على:
بالتبسيط بالكامل، نلاحظ أن العدد العشري الدوري يكافئ .
وهذا يعني أن:
وعلى صورة الكسر الاعتيادي، فإن يساوي .
في المثال الآتي، سنتناول كيفية إيجاد المجموع اللانهائي لمتسلسلة هندسية بمعلومية حدَّيْن من حدودها. وهذا سيتضمَّن تطبيق صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية، ثم العمل بطريقة عكسية لحساب قيمة أساس المتتابعة.
مثال ٦: إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية بمعلومية قيمتَيْ حدَّيْن
أوجد مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية، إذا كان الحدُّ الأول ١٧١، والحدُّ الرابع .
الحل
تكون المتسلسلة الهندسية متقاربة إذا كان ، أو ؛ حيث هو أساس المتتابعة الهندسية.
وفي هذه الحالة، سيكون مجموع حدود المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي حدُّها الأول هو:
لاحِظ أن لدينا قيمة كلٍّ من الحدَّيْن الأول والرابع؛ ومن ثَمَّ علينا استخدام هذين المُعطَيَيْن لحساب أساس المتتابعة الهندسية.
سنستخدم صيغة الحدِّ للمتتابعة الهندسية التي بها ، :
لإيجاد قيمة ، سنقسم الطرفين على ١٧١، ونُوجِد الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة:
وبما أن القيمة المُطلقة لأساس المتتابعة هذا أصغر من ١، فإن هذه المتسلسلة متقاربة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا إيجاد مجموعها.
باستخدام الصيغة: حيث ، نحصل على:
إذن، مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية يساوي ٢٢٨.
في المثال الأخير، نُلقي نظرةً على كيفية تطبيق صيغة المجموع اللانهائي لمتسلسلة هندسية لحساب الحدِّ الأول.
مثال ٧: إيجاد الحدِّ الأول من متتابعة هندسية غير منتهية بمعلومية أساس المتتابعة ومجموع الحدود
أوجد الحدَّ الأول من المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي أساسها ، ومجموعها .
الحل
نعلم أنه إذا كان أساس المتتابعة ، يحقِّق ، فإن مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي حدُّها الأول هو:
بوضْع ، نلاحِظ أن القيمة المُطلقة لـ تحقِّق بالفعل شرط أن تكون المتسلسلة متقاربة.
وبوضْع ، فإن صيغة المجموع اللانهائي تصبح:
لإيجاد قيمة ، الحدِّ الأول، نضرب كلا طرفَيْ هذه المعادلة في :
إذن الحدُّ الأول في المتتابعة الهندسية غير المنتهية هو .
النقاط الرئيسية
- تكون المتسلسلة الهندسية غير المنتهية متقاربة إذا كانت القيمة المُطلقة لأساسها أصغر من ١:
- بالنسبة إلى المتسلسلة الهندسية المتقاربة التي حدُّها الأول ، يُعطَى المجموع اللانهائي بالعلاقة:
- بالتعبير عن عدد عشري دوري في صورة متتابعة هندسية، يُمكننا إيجاد مجموعه وكتابته على صورة كسر اعتيادي.
