شارح الدرس: معادلات القيمة المطلقة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التي تتضمَّن القيمة المطلقة.

تذكر أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي المسافة الذي يبعُدها عن الصفر على خط الأعداد. على سبيل المثال، في المقدار |٥| (الذي يمكن قراءته القيمة المطلقة لـ ٥) الرقم ٥ مُعطى باستخدام رمز القيمة المطلقة، وهو الخطان الرأسيان. وبما أن ٥ يقع على بعد ٥ وحدات من الصفر على خط الأعداد؛ إذن قيمة المقدار تساوي ٥. قيمة المقدار |٥| (الذي يمكن قراءته القيمة المطلقة لـ ٥) هي ٥ أيضًا؛ لأن ٥ يقع أيضًا على بعد خمس وحدات من صفر على خط الأعداد.

تعريف: القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لأي عدد هي مقدار العدد دون النظر إلى إشارته: |𞸎|=󰃇𞸎𞸎٠،𞸎𞸎<٠.إذانإذان

دعونا أيضًا نتذكر كيفية رسم التمثيل البياني لدالة القيمة المطلقة. للقيام بذلك، يمكننا إكمال جدول القيم لـ 𞸑=|𞸎|:

𞸎٣٢١٠١٢٣
𞸑٣٢١٠٠٢٣

بعد ذلك، يمكننا وضع الأزواج الاحداثية على المستوى الديكارتي لنرسم التمثيل البياني:

تُعَدُّ القدرة على تطبيق تعريف القيمة المطلقة والتمثيل البياني للقيمة المطلقة مفيدة جدًّا عند حل معادلات القيمة المطلقة؛ ومن ثَمَّ فإن التدريب على هذه المهارات مهم جدًّا.

هيا نتعرف الآن على مفهوم معادلات القيمة المطلقة.

انظر إلى المعادلة |𞸎+١|=٣.

قبل أن ننظر إلى ذلك جبريًّا، من الأفضل عادةً التفكير في المسألة بيانيًّا. إذن، على المحورين نفسيهما، دعونا نرسم 𞸑=|𞸎+١|، 𞸑=٣. للقيام بذلك، يمكننا إكمال جدول القيم لـ 𞸑=|𞸎+١|:

𞸎٣٢١٠١٢٣
𞸑٢١٠١٢٣٤

من هذا التمثيل البياني، يمكننا أن نلاحظ أن المستقيمين يتقاطعان عند نقطتين مختلفتين عند 𞸎=٤ وعند 𞸎=٢.

إذن، حل المعادلة |𞸎+١|=٣ هو 𞸎=٤ أو 𞸎=٢. ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة {٤،٢}.

يمكننا أن نرى أيضًا من التمثيل البياني كيف يمكننا حل هذه المعادلة جبريًّا. بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف: |𞸎+١|=󰃇𞸎+١𞸎١،(𞸎+١)𞸎<١.إذانإذان

بما أن |𞸎+١|=٣، فسنحل المعادلتين 𞸎+١=٣، (𞸎+١)=٣.

فنبدأ بالمعادلة: 𞸎+١=٣(١)𞸎=٢.حا

بعد ذلك، نحل: (𞸎+١)=٣()𞸎١=٣(١)𞸎=٤(١)𞸎=٤.زعااسإاا

بدمج هاتين المعادلتين، يمكننا ملاحظة أن الحل هو 𞸎=٤ أو 𞸎=٢، وهو نفس الحل الذي توصلنا إليه من النظر إلى التمثيلين البيانيين.

هناك طريقة جبرية بديلة يمكن استخدامها بدلًا من استخدام ترميز الدالة متعددة تعريف، وهي جعل مقدار القيمة المطلقة يساوي موجب وسالب الكمية الأخرى.

في هذا المثال، |𞸎+١|=٣، علينا حل معادلتين: 𞸎+١=٣𞸎+١=٣.

بطرح واحد من طرفي المعادلتين، نحصل مرة أخرى على الحلين 𞸎=٢، 𞸎=٤.

يمكن تلخيص هذه الطريقة كما يلي.

كيفية حل معادلات القيمة المطلقة

  1. نعزل مقدار القيمة المطلقة في طرف بمفرده.
  2. نجعل الكمية الموجودة داخل رمز القيمة المطلقة تساوي موجب وسالب الكمية الموجودة في الطرف الآخر من المعادلة.
  3. نحل لإيجاد قيمة المجهول في كلتا المعادلتين.
  4. نتحقق من الإجابة تحليلًا أو بيانيًّا.

الطريقتان متكافئتان، ورغم أنه يمكننا استخدام أي منهما لحل معادلات القيمة المطلقة، فإن إحداهما قد تجعل العملية الحسابية أكثر فاعلية.

سنحل الآن مجموعة متنوعة من معادلات القيمة المطلقة جبريًّا وبيانيًّا.

مثال ١: حل معادلات القيمة المطلقة

ما مجموعة حل المعادلة ٣|𞸎|٦٦=٠؟

الحل

سنحل هذه المسألة أولًا بالطريقة الجبرية ثم بالطريقة البيانية.

لحل هذه المعادلة جبريًّا، سنتبع الخطوات الأربعة التالية:

  1. نعزل مقدار القيمة المطلقة في طرف بمفرده.
  2. نجعل الكمية الموجودة داخل رمز القيمة المطلقة تساوي موجب وسالب الكمية الموجودة في الطرف الآخر من المعادلة.
  3. نحل لإيجاد قيمة المجهول في كلتا المعادلتين.
  4. نتحقق من الإجابة تحليلًا أو بيانيًّا.

لكي نعزل مقدار القيمة المطلقة في طرف بمفرده، فإننا نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لجعل |𞸎| المتغير التابع في: ٣|𞸎|٦٦=٠(٦٦)٣|𞸎|=٦٦(٣)|𞸎|=٢٢.إاا

بتذكُّر أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي المسافة التي يبعدها عن الصفر، يصبح لدينا حلان ممكنان:

إما: 𞸎=٢٢ أو: 𞸎=٢٢

مجموعة حل المعادلة ٣|𞸎|٦٦=٠ تحتوي على القيمتين ٢٢ و٢٢.

يمكننا التحقُّق من الحل بالتعويض بالقيمتين في المعادلة الأصلية، ٣|𞸎|٦٦=٠. في كلتا الحالتين، الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا.

سنرى الآن كيف يمكننا توضيح هذا الحل بيانيًّا. انظر إلى المعادلة 𞸑=|𞸎|. يمكن رسم التمثيل البياني لهذه المعادلة على زوج من المحاور الإحداثية كما يلي:

بما أن |𞸎|=٢٢ فيمكننا رسم خطٍّ أفقيٍّ 𞸑=٢٢ على التمثيل البياني نفسه.

يتقاطع المستقيمان عند نقطتين مختلفتين 𞸎=٢٢، 𞸎=٢٢، وهما حَلَّا المعادلة ٣|𞸎|٦٦=٠.

الإجابة: {٢٢،٢٢}.

مثال ٢: حل معادلات القيمة المطلقة

أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة |𞸎+٤|=𞸎+٤.

الحل

بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف: |𞸎+٤|=󰃇𞸎+٤𞸎٤،(𞸎+٤)𞸎<٤.إذانإذان

بما أن |𞸎+٤|=𞸎+٤، فيمكننا التفكير في حل المعادلتين 𞸎+٤=𞸎+٤، (𞸎+٤)=𞸎+٤.

أولًا: عند 𞸎٤، نحل المعادلة: 𞸎+٤=𞸎+٤.

وبما أن الطرف الأيسر من المعادلة هو نفسه الطرف الأيمن، فإن هذه المعادلة صحيحة لجميع قيم 𞸎. لكننا حصرنا الحلول في قيم 𞸎 الأكبر من أو تساوي ٤؛ ومن ثَمَّ فإن حل هذا الجزء من المعادلة هو 𞸎٤.

وثانيًا: عند 𞸎<٤ نحتاج إلى حل المعادلة: (𞸎+٤)=𞸎+٤()𞸎٤=𞸎+٤(𞸎)٤=٢𞸎+٤(٤)٨=٢𞸎(٢)٤=𞸎.زعااسإاحاا

وفي هذه الحالة، حيث إننا مقيَّدون بالفترة 𞸎<٤، فهذا ليس حلًّا صحيحًا لهذا الجزء من المعادلة.

لكن هذا الحل متضمَّن بالفعل في حل المعادلة الأولى. حل المعادلة |𞸎+٤|=𞸎+٤ هو 𞸎٤، الذي يمكن كتابة بصورة ترميز الفترة [٤،[.

يمكننا التحقق من هذا الحل بيانيًّا. لنبدأ برسم المعادلة 𞸑=𞸎+٤ على المستوى الديكارتي.

عن طريق رسم المعادلة 𞸑=|𞸎+٤| على المحاور نفسها، نلاحظ أن التمثيلين ينطبقان عند قيم 𞸎 حيث 𞸎٤.

وهذا يؤكِّد الحل السابق. |𞸎+٤|=𞸎+٤ عند 𞸎٤.

الإجابة: [٤،[.

الأمثلة المتبقية في هذا الشارح سوف تتضمن حل معادلات القيمة المطلقة التي ينتج عنها مقادير تربيعية.

مثال ٣: حل معادلات القيمة المطلقة

أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة ١١𞸎+٤٤|𞸎+٤|=𞸎.

الحل

في هذا السؤال، نبدأ بملاحظة أنه بما أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا، فإن الطرف الأيمن من المعادلة سيكون غير معرَّف عند 𞸎=٤. هذا يعني أن لدينا حالتين مختلفين علينا التفكير فيهما: أولًا، عند 𞸎+٤>٠ وثانيًا، عند 𞸎+٤<٠.

بتذكُّر تعريفنا لدالة القيمة المطلقة، يمكننا تمثيل هذا الجزء من المعادلة باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف: |𞸎+٤|=󰃇𞸎+٤𞸎>٤،(𞸎+٤)𞸎<٤.إذانإذان

عند 𞸎>٤ نحل المعادلة: ١١𞸎+٤٤𞸎+٤=𞸎((𞸎+٤))١١𞸎+٤٤=𞸎(𞸎+٤)()١١𞸎+٤٤=𞸎+٤𞸎(١١𞸎٤٤)٠=𞸎٧𞸎٤٤()٠=(𞸎١١)(𞸎+٤).بازعااسحواافا٢٢

إذن: إأو𞸎=١١𞸎=٤.

بما أننا أوضحنا بالفعل أن 𞸎 لا يمكن أن يساوي ٤؛ إذن هذه المعادلة لها حل واحد صحيح.

عند 𞸎<٤، نحتاج إلى حل المعادلة: ١١𞸎+٤٤(𞸎+٤)=𞸎((𞸎+٤))١١𞸎+٤٤=𞸎(𞸎+٤)()١١𞸎+٤٤=𞸎٤𞸎(𞸎٤𞸎)𞸎+٥١𞸎+٤٤=٠()(𞸎+١١)(𞸎+٤)=٠.بازعااسوإاافا٢٢٢

إذن: إأو𞸎=١١𞸎=٤.

ومرة أخرى، أوضحنا أن 𞸎 لا يمكن أن يساوي ٤، أي إن هذه المعادلة لها حل واحد صحيح.

حَلَّا المعادلة ١١𞸎+٤٤|𞸎+٤| هما 𞸎=١١، 𞸎=١١ ويمكن كتابتهما باستخدام ترميز المجموعة على الصورة {١١،١١}.

الإجابة: {١١،١١}.

مثال ٤: حل المعادلات الخطية التي تتضمن قيمًا مطلقة

أوجد مجموعة حل المعادلة |𞸎٣||𞸎+١|=٤.

الحل

بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، يمكننا تمثيل الجزء |𞸎٣| من المعادلة باستخدام ترميز الدالة المتعددة التعريف: |𞸎٣|=󰃇𞸎٣𞸎>٣،(𞸎٣)𞸎٣.إذانإذان

يمكننا أيضًا تمثيل الجزء |𞸎+١| من المعادلة باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف: |𞸎+١|=󰃇𞸎+١𞸎١،(𞸎+١)𞸎<١.إذانإذان

هذا يعني أن علينا التفكير في ثلاثة سيناريوهات.

أولًا: عند 𞸎<١ نعلم أن 𞸎٣<٠، 𞸎+١<٠. علينا حل المعادلة: (𞸎٣)(𞸎+١)=٤𞸎+٣+𞸎+١=٤٤=٤.

إذن |𞸎٣||𞸎+١|=٤ صحيحة لجميع قيم 𞸎<١.

ثانيًا: عند ١𞸎٣ نعرف أن 𞸎٣٠، 𞸎+١٠. وعلينا حل المعادلة: (𞸎٣)(𞸎+١)=٤𞸎+٣𞸎١=٤٢𞸎+٢=٤٢𞸎=٢𞸎=١.

إذن |𞸎٣||𞸎+١|=٤ صحيحة أيضًا عند 𞸎=١.

وأخيرًا، عند 𞸎>٣ نعرف أن 𞸎٣>٠، 𞸎+١>٠. علينا حل المعادلة: (𞸎٣)(𞸎+١)=٤𞸎٣𞸎١=٤٤=٤.

إذن، لا توجد حلول للمعادلة |𞸎٣||𞸎+١|=٤ عند 𞸎>٣.

يمكننا إذن استنتاج أن المعادلة |𞸎٣||𞸎+١|=٤ صحيحة لجميع قيم 𞸎 الأصغر من أو تساوي ١. ويمكن كتابة ذلك باستخدام ترميز المجموعة على الصورة ]،١].

الإجابة: ]،١].

مثال ٥: إيجاد مجموعة حل معادلات تربيعية تتضمن قيمة مطلقة

أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة ٤𞸎|𞸎|٤𞸎=٠.

الحل

لحل هذه المعادلة، نتبع الخطوات الأربعة التالية:

  1. نعزل تعبير القيمة المطلَقة في طرف بمفرده.
  2. نجعل الكمية الموجودة داخل رمز القيمة المطلقة تساوي موجب وسالب الكمية الموجودة في الطرف الآخر من المعادلة.
  3. نحل لإيجاد قيمة المجهول في كلتا المعادلتين.
  4. نتحقق من الإجابة تحليلًا أو بيانيًّا.

لدينا: ٤𞸎|𞸎|٤𞸎=٠()٤𞸎(|𞸎|١)=٠.افا

إما: ٤𞸎=٠(٤)𞸎=٠ا أو: |𞸎|١=٠(١)|𞸎|=١.إا

بتذكُّر أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي المسافة التي يبعدها عن الصفر، نجد أن هناك حلين ممكنين لهذه المعادلة:

إما: 𞸎=١ أو: 𞸎=١.

بدمج الناتجين معًا، يصبح لدينا ثلاثة حلول ممكنة، 𞸎=١، 𞸎=٠، 𞸎=١. ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة {١،٠،١}.

الإجابة: {١،٠،١}

مثال ٦: إيجاد مجموعة حل المعادلات الجذرية المتضمنة قيمة مطلقة

أوجد مجموعة حل المعادلة 󰋴٤𞸎٨٢𞸎+٩٤=|𞸎+٤|٢.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن القيمة المطلقة لأي دالة يجب أن تكون موجبة. هذا يعني أنه يمكننا تربيع طرفي المعادلة دون إضافة أي حلول دخيلة: 󰂔󰋴٤𞸎٨٢𞸎+٩٤󰂓=󰁓|𞸎+٤|󰁒٤𞸎٨٢𞸎+٩٤=(𞸎+٤)()٤𞸎٨٢𞸎+٩٤=𞸎+٨𞸎+٦١(𞸎+٨𞸎+٦١)٣𞸎٦٣𞸎+٣٣=٠(٣)𞸎٢١𞸎+١١=٠()(𞸎١١)(𞸎١)=٠.٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢زعااسحااافا

إذن: إأو𞸎=١١𞸎=١.

عند التحقُّق من أن هذه الحلول تحقق المعادلة الأصلية، نجد أن:

الطرف الأيسر: 󰋴٤(١١)٨٢(١١)+٩٤=󰋴٥٢٢=٥١٢ الطرف الأيمن: |(١١)+٤|=|٥١|=٥١

والطرف الأيسر: 󰋴٤(١)٨٢(١)+٩٤=󰋴٥٢=٥٢ الطرف الأيمن: |(١)+٤|=|٥|=٥.

يمكننا إذن استنتاج أن هناك حلين للمعادلة 󰋴٤𞸎٨٢𞸎+٩٤=|𞸎+٤|٢. وهما 𞸎=١١، 𞸎=١. ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة {١،١١}.

يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا كما هو موضح أدناه.

نقطتا تقاطع 𞸑=󰋴٤𞸎٨٢𞸎+٩٤٢، 𞸑=|𞸎+٤| تحدث عند 𞸎=١١، 𞸎=١.

الإجابة: {١،١١}

مثال ٧: إيجاد مجموعة حل معادلات تربيعية تتضمن قيمة مطلقة باستخدام التحليل

أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة |𞸎+٣١𞸎+١٢|=١٢٢.

الحل

بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، نجد أن لدينا حالتين مختلفتين: أولًا عند 𞸎+٣١𞸎+١٢٠٢ وثانيًا، عند 𞸎+٣١𞸎+١٢<٠٢.

في الحالة الأولى، نحل المعادلة: 𞸎+٣١𞸎+١٢=١٢(١٢)𞸎+٣١𞸎=٠()𞸎(𞸎+٣١)=٠.٢٢حاافا

إذن: إأو𞸎=٠𞸎=٣١.

نتأكَّد من صحة هذين الحلين عن طريق التعويض بهما في المعادلة |𞸎+٣١𞸎+١٢|=١٢٢.

عند 𞸎=٠، |(٠)+٣١(٠)+١٢|=١٢|١٢|=١٢١٢=١٢.٢

عند 𞸎=٣١، |(٣١)+٣١(٣١)+١٢|=١٢|٩٦١٩٦١+١٢|=١٢|١٢|=١٢١٢=١٢.٢

إذن، الحلان 𞸎=٠، 𞸎=٣١ صحيحان.

عند 𞸎+٣١𞸎+١٢<٠٢، نحل المعادلة: 󰁓𞸎+٣١𞸎+١٢󰁒=١٢()𞸎٣١𞸎١٢=١٢(١٢)𞸎٣١𞸎٢٤=٠(١)𞸎+٣١𞸎+٢٤=٠()(𞸎+٦)(𞸎+٧)=٠.٢٢٢٢زعااسحااافا

إذن: إأو𞸎=٦𞸎=٧.

نتأكَّد من أن هذين الحلين صحيحان عن طريق التعويض بهما في المعادلة |𞸎+٣١𞸎+١٢|=١٢٢.

عند 𞸎=٦، |(٦)+٣١(٦)+١٢|=١٢|٦٣٨٧+١٢|=١٢|١٢|=١٢١٢=١٢.٢

عند 𞸎=٧، |(٧)+٣١(٧)+١٢|=١٢|٩٤١٩+١٢|=١٢|١٢|=١٢١٢=١٢.٢

إذن، الحلان 𞸎=٦، 𞸎=٧ كلاهما صحيح.

بدمج الناتجين معًا، نجد أن هناك أربعة حلول ممكنة للمعادلة |𞸎+٣١𞸎+١٢|=١٢٢. وهي 𞸎=٣١، 𞸎=٠، 𞸎=٦، 𞸎=٧. ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة {٣١،٧،٦،٠}.

يمكننا أيضًا توضيح ذلك بيانيًّا. دعونا نبدأ برسم المعادلة 𞸑=𞸎+٣١𞸎+١٢٢ على المستوى الديكارتي.

من أجل رسم التمثيل البياني للمعادلة 𞸑=|𞸎+٣١𞸎+١٢|٢ نعكس الجزء الموجود أسفل المحور 𞸎 حول الخط المستقيم 𞸑=٠ على التمثيل البياني كما هو موضح بالشكل التالي.

وبعد رسم الخط الأفقي 𞸑=٢٢ نرى أن هذا يتقاطع مع 𞸑=|𞸎+٣١𞸎+١٢|٢ عند أربع نقاط مختلفة.

هذه تُناظِر 𞸎=٣١، 𞸎=٠، 𞸎=٦، 𞸎=٧ كما هو مُحدَّد في الحل الجبري بالأعلى.

الإجابة: {٣١،٧،٦،٠}

سنختتم هذا الشارح عن طريق تذكُّر بعض المفاهيم المهمة.

النقاط الرئيسية

  • القيمة المطلقة هي مقدار العدد ما بغَضِّ النظر عن إشارته.
  • نحل معادلات القيمة المطلقة بالنظر إلى مجموعة القيم التي يمكن أن تجعل قيمة ما بداخل المطلقة موجبة وسالبة.
  • نحسب بعد ذلك مجموعات الحل بشكل منفصل ونتحقق من أن كل حل يحقق المعادلة الأصلية.
  • يمكن حل معادلات القيمة المطلقة بيانيًّا وجبريًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.