في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التي تتضمَّن القيمة المطلقة.
تذكر أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي المسافة الذي يبعُدها عن الصفر على خط الأعداد. على سبيل المثال، في المقدار (الذي يمكن قراءته القيمة المطلقة لـ ) العدد مُعطى باستخدام رمز القيمة المطلقة، وهو الخطان الرأسيان. وبما أن يقع على بعد ٥ وحدات من الصفر على خط الأعداد؛ إذن قيمة المقدار تساوي ٥. قيمة المقدار (الذي يمكن قراءته القيمة المطلقة لـ ٥) هي ٥ أيضًا؛ لأن ٥ يقع أيضًا على بعد خمس وحدات من صفر على خط الأعداد.
تعريف: القيمة المطلقة
القيمة المطلقة لأي عدد هي مقدار العدد دون النظر إلى إشارته:
دعونا أيضًا نتذكر كيفية رسم التمثيل البياني لدالة القيمة المطلقة. للقيام بذلك، يمكننا إكمال جدول القيم لـ :
| ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ||||
| ٣ | ٢ | ١ | ٠ | ٠ | ٢ | ٣ |
بعد ذلك، يمكننا وضع الأزواج الإحداثية على المستوى الإحداثي لنرسم التمثيل البياني:
تُعَدُّ القدرة على تطبيق تعريف القيمة المطلقة والتمثيل البياني للقيمة المطلقة مفيدة جدًّا عند حل معادلات القيمة المطلقة؛ ومن ثَمَّ فإن التدريب على هذه المهارات مهم جدًّا.
هيا نتعرف الآن على مفهوم معادلات القيمة المطلقة.
انظر إلى المعادلة .
قبل أن ننظر إلى ذلك جبريًّا، من الأفضل عادةً التفكير في المسألة بيانيًّا. إذن، على المحورين نفسيهما، دعونا نرسم ، . للقيام بذلك، يمكننا إكمال جدول القيم لـ :
| ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ||||
| ٢ | ١ | ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ |
من هذا التمثيل البياني، يمكننا أن نلاحظ أن المستقيمين يتقاطعان عند نقطتين مختلفتين عند وعند .
إذن، حل المعادلة هو أو . ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة .
يمكننا أن نرى أيضًا من التمثيل البياني كيف يمكننا حل هذه المعادلة جبريًّا. بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف:
بما أن ، فسنحل المعادلتين ، .
فنبدأ بالمعادلة:
بعد ذلك، نحل:
بدمج هاتين المعادلتين، يمكننا ملاحظة أن الحل هو أو ، وهو نفس الحل الذي توصلنا إليه من النظر إلى التمثيلين البيانيين.
هناك طريقة جبرية بديلة يمكن استخدامها بدلًا من استخدام ترميز الدالة متعددة تعريف، وهي جعل مقدار القيمة المطلقة يساوي موجب وسالب الكمية الأخرى.
في هذا المثال، ، علينا حل معادلتين:
بطرح واحد من طرفي المعادلتين، نحصل مرة أخرى على الحلين ، .
يمكن تلخيص هذه الطريقة كما يلي.
خطوات: حل معادلات القيمة المطلقة
- نعزل مقدار القيمة المطلقة في طرف بمفرده.
- نجعل الكمية الموجودة داخل رمز القيمة المطلقة تساوي موجب وسالب الكمية الموجودة في الطرف الآخر من المعادلة.
- نحل لإيجاد قيمة المجهول في كلتا المعادلتين.
- نتحقق من الإجابة تحليلًا أو بيانيًّا.
الطريقتان متكافئتان، ورغم أنه يمكننا استخدام أي منهما لحل معادلات القيمة المطلقة، فإن إحداهما قد تجعل العملية الحسابية أكثر فاعلية.
سنحل الآن مجموعة متنوعة من معادلات القيمة المطلقة جبريًّا وبيانيًّا.
مثال ١: حل معادلات القيمة المطلقة
ما مجموعة حل المعادلة ؟
الحل
سنحل هذه المسألة أولًا بالطريقة الجبرية ثم بالطريقة البيانية.
لحل هذه المعادلة جبريًّا، سنتبع الخطوات الأربعة التالية:
- نعزل مقدار القيمة المطلقة في طرف بمفرده.
- نجعل الكمية الموجودة داخل رمز القيمة المطلقة تساوي موجب وسالب الكمية الموجودة في الطرف الآخر من المعادلة.
- نحل لإيجاد قيمة المجهول في كلتا المعادلتين.
- نتحقق من الإجابة تحليلًا أو بيانيًّا.
لكي نعزل مقدار القيمة المطلقة في طرف بمفرده، فإننا نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغير التابع في:
بتذكُّر أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي المسافة التي يبعدها عن الصفر، يصبح لدينا حلان ممكنان:
إما: أو:
مجموعة حل المعادلة تحتوي على القيمتين و٢٢.
يمكننا التحقُّق من الحل بالتعويض بالقيمتين في المعادلة الأصلية، . في كلتا الحالتين، الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا.
سنرى الآن كيف يمكننا توضيح هذا الحل بيانيًّا. انظر إلى المعادلة . يمكن رسم التمثيل البياني لهذه المعادلة على زوج من المحاور الإحداثية كما يلي:
بما أن فيمكننا رسم الخط الأفقي على التمثيل البياني نفسه.
يتقاطع المستقيمان عند نقطتين مختلفتين ، ، وهما حَلَّا المعادلة .
إذن، مجموعة الحل هي .
مثال ٢: حل معادلات القيمة المطلقة
أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة .
الحل
بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف:
بما أن ، فيمكننا التفكير في حل المعادلتين ، .
أولًا: عند ، نحل المعادلة:
وبما أن الطرف الأيسر من المعادلة هو نفسه الطرف الأيمن، فإن هذه المعادلة صحيحة لجميع قيم . لكننا حصرنا الحلول في قيم الأكبر من أو تساوي ؛ ومن ثَمَّ فإن حل هذا الجزء من المعادلة هو .
وثانيًا: عند نحتاج إلى حل المعادلة:
وفي هذه الحالة، حيث إننا مقيَّدون بالفترة ، فهذا ليس حلًّا صحيحًا لهذا الجزء من المعادلة.
لكن هذا الحل متضمَّن بالفعل في حل المعادلة الأولى. حل المعادلة هو ، الذي يمكن كتابة بصورة ترميز الفترة .
يمكننا التحقق من هذا الحل بيانيًّا. لنبدأ برسم المعادلة على المستوى الإحداثي.
عن طريق رسم المعادلة على المحاور نفسها، نلاحظ أن التمثيلين ينطبقان عند قيم حيث .
وهذا يؤكِّد الحل السابق، عند .
إذن، مجموعة الحل هي .
الأمثلة المتبقية في هذا الشارح سوف تتضمن حل معادلات القيمة المطلقة التي ينتج عنها مقادير تربيعية.
مثال ٣: حل معادلات القيمة المطلقة
أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة .
الحل
في هذا السؤال، نبدأ بملاحظة أنه بما أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا، فإن الطرف الأيمن من المعادلة سيكون غير معرَّف عند . هذا يعني أن لدينا حالتين مختلفين علينا التفكير فيهما: أولًا، عند وثانيًا، عند .
بتذكُّر تعريفنا لدالة القيمة المطلقة، يمكننا تمثيل هذا الجزء من المعادلة باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف:
عند نحل المعادلة:
إذن:
بما أننا أوضحنا بالفعل أن لا يمكن أن يساوي ؛ إذن هذه المعادلة لها حل واحد صحيح.
عند ، نحتاج إلى حل المعادلة:
إذن:
ومرة أخرى، أوضحنا أن لا يمكن أن يساوي ، أي إن هذه المعادلة لها حل واحد صحيح.
حَلَّا المعادلة هما ، ويمكن كتابتهما باستخدام ترميز المجموعة على الصورة .
مثال ٤: حل المعادلات الخطية التي تتضمن قيمًا مطلقة
أوجد مجموعة حل المعادلة .
الحل
بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، يمكننا تمثيل الجزء من المعادلة باستخدام ترميز الدالة المتعددة التعريف:
يمكننا أيضًا تمثيل الجزء من المعادلة باستخدام ترميز الدالة متعددة التعريف:
هذا يعني أن علينا التفكير في ثلاثة سيناريوهات.
أولًا: عند نعلم أن ، . علينا حل المعادلة:
إذن صحيحة لجميع قيم .
ثانيًا: عند نعرف أن ، . وعلينا حل المعادلة:
إذن صحيحة أيضًا عند .
وأخيرًا، عند نعرف أن ، . علينا حل المعادلة:
إذن، لا توجد حلول للمعادلة عند .
يمكننا إذن استنتاج أن المعادلة صحيحة لجميع قيم الأصغر من أو تساوي . ويمكن كتابة ذلك باستخدام ترميز المجموعة على الصورة .
مثال ٥: إيجاد مجموعة حل معادلات تربيعية تتضمن قيمة مطلقة
أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة .
الحل
لحل هذه المعادلة، نتبع الخطوات الأربعة التالية:
- نعزل مقدار القيمة المطلَقة في طرف بمفرده.
- نجعل الكمية الموجودة داخل رمز القيمة المطلقة تساوي موجب وسالب الكمية الموجودة في الطرف الآخر من المعادلة.
- نحل لإيجاد قيمة المجهول في كلتا المعادلتين.
- نتحقق من الإجابة تحليلًا أو بيانيًّا.
لدينا:
إما: أو:
بتذكُّر أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي المسافة التي يبعدها عن الصفر، نجد أن هناك حلين ممكنين لهذه المعادلة:
إما: أو:
بدمج الناتجين معًا، يصبح لدينا ثلاثة حلول ممكنة، ، ، . ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة .
مثال ٦: إيجاد مجموعة حل المعادلات الجذرية المتضمنة قيمة مطلقة
أوجد مجموعة حل المعادلة .
الحل
نبدأ بتذكُّر أن القيمة المطلقة لأي دالة يجب أن تكون موجبة. هذا يعني أنه يمكننا تربيع طرفي المعادلة دون إضافة أي حلول دخيلة:
إذن:
عند التحقُّق من أن هذه الحلول تحقق المعادلة الأصلية، نجد أن:
الطرف الأيسر: الطرف الأيمن:
والطرف الأيسر: الطرف الأيمن:
يمكننا إذن استنتاج أن هناك حلين للمعادلة . وهما ، . ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة .
يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا كما هو موضح أدناه.
نقطتا تقاطع ، تحدث عند ، .
إذن، مجموعة الحل هي
مثال ٧: إيجاد مجموعة حل معادلات تربيعية تتضمن قيمة مطلقة باستخدام التحليل
أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة .
الحل
بتذكُّر تعريف دالة القيمة المطلقة، نجد أن لدينا حالتين مختلفتين: أولًا عند وثانيًا، عند .
في الحالة الأولى، نحل المعادلة:
إذن:
نتأكَّد من صحة هذين الحلين عن طريق التعويض بهما في المعادلة .
عند ،
عند ،
إذن، الحلان ، صحيحان.
عند ، نحل المعادلة:
إذن:
نتأكَّد من أن هذين الحلين صحيحان عن طريق التعويض بهما في المعادلة .
عند ،
عند ،
إذن، الحلان ، كلاهما صحيح.
بدمج الناتجين معًا، نجد أن هناك أربعة حلول ممكنة للمعادلة . وهي ، ، ، . ويمكن كتابة ذلك كمجموعة حل على الصورة .
يمكننا أيضًا توضيح ذلك بيانيًّا. دعونا نبدأ برسم المعادلة على المستوى الإحداثي.
من أجل رسم التمثيل البياني للمعادلة نعكس الجزء الموجود أسفل المحور حول الخط المستقيم على التمثيل البياني كما هو موضح بالشكل التالي.
وبعد رسم الخط الأفقي ، نرى أن هذا يتقاطع مع عند أربع نقاط مختلفة.
هذه تُناظِر ، ، ، كما هو مُحدَّد في الحل الجبري بالأعلى.
إذن، مجموعة الحل هي .
سنختتم هذا الشارح عن طريق تذكُّر بعض المفاهيم المهمة.
النقاط الرئيسية
- القيمة المطلقة هي مقدار العدد بغَضِّ النظر عن إشارته.
- نحل معادلات القيمة المطلقة بالنظر إلى مجموعة القيم التي يمكن أن تجعل قيمة المقدار الذي نحسب له القيمة المطلقة موجبة وسالبة.
- نحسب بعد ذلك مجموعات الحل بشكل منفصل ونتحقق من أن كل حل يحقق المعادلة الأصلية.
- يمكن حل معادلات القيمة المطلقة بيانيًّا وجبريًّا.
