شارح الدرس: الأعداد المرافقة للأعداد المركَّبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص الأعداد المرافقة للأعداد المركَّبة لإيجاد قيمة مقدار.

من أحد المفاهيم المهمة المتعلِّقة بالأعداد المركبة مرافق العدد المركب. وقد تكون فكرة المرافق ليست جديدة. فعند تعلُّم كيفية التعامل مع الجذور وتبسيطها، ربما تكون قد تعرَّفت على فكرة المرافق. بالنسبة إلى التعبير الجذري 󰏡+𞸁󰋴𞸢، يُعرَّف المرافق لهذا التعبير كالآتي: 󰏡𞸁󰋴𞸢. ومرافق العدد المركب هو بالفعل حالة خاصة من هذه الصيغة؛ حيث 𞸢 عدد سالب.

تعريف: مرافق العدد المركب

بالنسبة إلى العدد المركب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، يُعرَّف مرافق هذا العدد المركب، 𞸏، كالآتي: 𞸏=󰏡𞸁𞸕. وُيرمَز أحيانًا لمرافق العدد المركب بـ 𞸏.

وفقًا للتعريف، يمكننا ملاحظة أنه بالنسبة لأي عدد مركب 𞸏، يكون مرافق المرافق لهذا العدد هو 𞸏؛ وهو ما يعني أن: 󰂔𞸏󰂓=𞸏.

مثال ١: مرافق العدد المركب

ما مرافق العدد المركب ٢٧𞸕؟

الحل

تذكَّر أن المرافق المركب للعدد 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 يساوي 𞸏=󰏡𞸁𞸕. وبالنسبة إلى العدد المركب المُعطى، فإن 󰏡=٢، 𞸁=٧ (احرص على عدم نسيان إشارة السالب). إذن، مرافق العدد المركب يساوي ٢(٧)𞸕، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٢+٧𞸕.

مثال ٢: المرافق المركب لعدد حقيقي

إذا كان 𞸏 عددًا حقيقيًّا، فكم يساوي مرافقه؟

الحل

تعريف المرافق المركب للعدد 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 هو 𞸏=󰏡𞸁𞸕. وإذا كان 𞸏 عددًا حقيقيًّا بحتًا، فإن 𞸁=٠. ومن ثَمَّ، نستنتج أنه إذا كان 𞸏 عددًا حقيقيًّا، فإن 𞸏=𞸏.

بطريقة عكسية، إذا كان العدد المركب 𞸏=𞸏، فإن: 󰏡+𞸁𞸕=󰏡𞸁𞸕 وبتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على: ٢𞸁𞸕=٠.

إذن 𞸁=٠، ومن ذلك يمكننا استنتاج أن 𞸏 عدد حقيقي.

وبالمثل، يمكننا طرح سؤال عن مرافق العدد المركب لعدد تخيُّلي بحت 𞸏. باستخدام تعريف مرافق العدد المركب، مع ملاحظة أنه لدينا 󰏡=٠، نجد أنه، بالنسبة لأي عدد تخيُّلي بحت: 𞸏=𞸏.

مثال ٣: مجموع عدد ومرافقه المركب

أوجد المرافق المركب للعدد ٧𞸕، ثم أوجد مجموع العدد ومرافقه المركب.

الحل

المرافق المركب للعدد 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 يساوي 𞸏=󰏡𞸁𞸕. ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى العدد المركب المُعطى، لدينا 󰏡=٧، 𞸁=١. وعليه، فإن المرافق المركب يساوي ٧+𞸕.

يمكننا الآن جمع هذين العددين معًا والحصول على: ٧𞸕+٧+𞸕=٤١.

لاحظ أن ناتج جمع هذا العدد ومرافقه المركب هو عدد حقيقي. وهذه ليست مصادفة؛ حيث إن بالنسبة لأي عدد مركب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، يكون لدينا: 𞸏+𞸏=󰏡+𞸁𞸕+󰏡𞸁𞸕=٢󰏡.

يمكننا أيضًا كتابة هذا على الصورة 𞸏+𞸏=٢(𞸏)اءا.

يمكننا أيضًا أن نطرح سؤالًا عما يحدث عند حساب الفرق بين عدد ومرافقه المركب. بالمثل، يمكننا كتابة: 𞸏𞸏=󰏡+𞸁𞸕(󰏡𞸁𞸕)=٢𞸁𞸕، وهو ما يمكننا التعبير عنه على الصورة 𞸏𞸏=٢𞸕(𞸏)اءا.

نتناول الآن مثالًا ننظر فيه الفرق بين عدد ما ومرافقه المركب.

مثال ٤: حل المعادلات التي تتضمَّن مرافقات الأعداد المركبة

أوجد العدد المركب 𞸏 الذي يحقِّق المعادلتين: 𞸏+𞸏=٥،𞸏𞸏=٣𞸕.

الحل

باستخدام المتطابقة 𞸏+𞸏=٢(𞸏)اءا والمعادلة الأولى، يمكننا كتابة: ٢(𞸏)=٥.اءا

ومن ثَمَّ، اءا(𞸏)=٥٢. وبالمثل، بالنظر إلى المعادلة الثانية، نضرب أولًا الطرفين في ١، وهو ما يعطينا: 𞸏𞸏=٣𞸕.

والآن، يمكننا استخدام المتطابقة 𞸏𞸏=٢𞸕(𞸏)اءا لإعادة كتابة هذا على الصورة: ٢𞸕(𞸏)=٣𞸕.اءا

بالقسمة على ٢𞸕 يصبح لدينا اءا(𞸏)=٣𞸕٢𞸕=٣٢. وبذلك فإن معرفة كلٍّ من الجزأين الحقيقي والتخيُّلي للعدد 𞸏 يعرِّفه على وجه الخصوص. ومن ثَمَّ: 𞸏=٥٢٣٢𞸕.

مثال ٥: حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه المركب

أوجد مرافق العدد المركب ١+𞸕، ثم أوجد حاصل ضرب هذا العدد في مرافقه.

الحل

نُوجِد مرافق العدد المركب بجعل الجزء التخيُّلي من العدد المركب سالبًا. إذن، (١+𞸕)=١𞸕.

يمكننا الآن أن نفكر في حاصل ضرب هذين العددين: (١+𞸕)(١𞸕)=١+𞸕𞸕+𞸕=١𞸕.٢٢

بما أن 𞸕=١٢، إذن يصبح لدينا (١+𞸕)(١𞸕)=٢.

مرة أخرى، نلاحظ أن حاصل ضرب هذا العدد المركب في مرافقه المركب يساوي عددًا حقيقيًّا. وهذا مثال على خاصية عامة من خواص مرافق العدد المركب. على وجه التحديد، نجد أن حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه هو في الواقع حالة خاصة للفرق بين مربعين: (𞸎𞸑)(𞸎+𞸑)=𞸎𞸑٢٢. بجعل 𞸎=󰏡، 𞸑=𞸁𞸕 نحصل على (󰏡+𞸁𞸕)(󰏡𞸁𞸕)=󰏡(𞸁𞸕)٢٢، وباستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، نحصل على: 𞸏𞸏=󰏡+𞸁.٢٢

خواص مرافق العدد المركب

لأي عدد مركب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕:

  1. 𞸏+𞸏=٢(𞸏)اءا،
  2. 𞸏𞸏=٢𞸕(𞸏)اءا،
  3. 𞸏𞸏=󰏡+𞸁٢٢،
  4. 𞸏=𞸏 يكافئ 𞸏𞹇.

مثال ٦: المرافقات المركبة للمجاميع وحواصل الضرب

افترض أن 𞸏=٥𞸕󰋴٣١، 𞸏=󰋴٢+𞸕󰋴٥٢.

  1. احسب 𞸏١، 𞸏٢.
  2. أوجد 𞸏+𞸏١٢، (𞸏+𞸏)١٢.
  3. أوجد 𞸏𞸏١٢، (𞸏𞸏)١٢.

الحل

الجزء الأول

لإيجاد مرافق عدد مركب، نجعل الجزء التخيُّلي منه سالبًا. إذن: 𞸏=٥+𞸕󰋴٣١ و: 𞸏=󰋴٢𞸕󰋴٥.٢

الجزء الثاني

باستخدام إجابتَي الجزء الأول، نحسب: 𞸏+𞸏=٥+𞸕󰋴٣+󰋴٢𞸕󰋴٥.١٢

وبتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: 𞸏+𞸏=٥+󰋴٢+󰂔󰋴٣󰋴٥󰂓𞸕.١٢

والآن، يمكننا حساب (𞸏+𞸏)١٢. أولًا، نُوجِد قيمة الحد داخل القوس: 𞸏+𞸏=٥𞸕󰋴٣+󰋴٢+𞸕󰋴٥=٥+󰋴٢+󰂔󰋴٥󰋴٣󰂓𞸕.١٢

بأخذ المرافق المركب، يصبح لدينا: (𞸏+𞸏)=٥+󰋴٢󰂔󰋴٥󰋴٣󰂓𞸕=٥+󰋴٢+󰂔󰋴٣󰋴٥󰂓𞸕.١٢

الجزء الثالث

باستخدام إجابتَي الجزء الأول، يمكننا كتابة: 𞸏𞸏=󰂔٥+𞸕󰋴٣󰂓󰂔󰋴٢𞸕󰋴٥󰂓.١٢

وبفك القوسين نحصل على: 𞸏𞸏=٥󰋴٢٥𞸕󰋴٥+𞸕󰋴٣󰋴٢𞸕󰋴٣󰋴٥.١٢٢

بتجميع الحدود المتشابهة واستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: 𞸏𞸏=٥󰋴٢+󰋴٥١󰂔٥󰋴٥󰋴٦󰂓𞸕.١٢

سنحسب (𞸏𞸏)١٢ بإيجاد 𞸏𞸏١٢ أولًا، ثم أخذ المرافق المركب كالآتي: 𞸏𞸏=󰂔٥𞸕󰋴٣󰂓󰂔󰋴٢+𞸕󰋴٥󰂓.١٢

بفك الأقواس نجد أن: 𞸏𞸏=٥󰋴٢+٥𞸕󰋴٥𞸕󰋴٣󰋴٢𞸕󰋴٣󰋴٥.١٢٢

وبالتبسيط نحصل على: 𞸏𞸏=٥󰋴٢+󰋴٥١+󰂔٥󰋴٥󰋴٦󰂓𞸕.١٢

بأخذ المرافق المركب لكلٍّ من طرفَي المعادلة نجد أن: (𞸏𞸏)=٥󰋴٢+󰋴٥١󰂔٥󰋴٥󰋴٦󰂓𞸕.١٢

في المثال السابق، رأينا أنه لأي عددين مركبين 𞸏١، 𞸏٢، يكون 𞸏+𞸏=(𞸏+𞸏)١٢١٢، 𞸏𞸏=(𞸏𞸏)١٢١٢. وهذه في الواقع قاعدة عامة تنطبق على أي عددين مركبين، واستنتاجها يتطلب استخدام الطرق نفسها المستخدَمة في المثال السابق.

مثال ٧: حل المعادلات التي تتضمَّن مرافقات الأعداد المركبة

أوجد حل 𞸏𞸏+𞸏𞸏=٤+٢𞸕.

الحل

يمكننا حل هذه المسألة بإحدى طريقتين: يمكننا كتابة 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 والتعويض بها في المعادلة، ثم إيجاد قيمتَي 󰏡، 𞸁؛ أو بدلًا من ذلك يمكننا استخدام متطابقات مرافق العدد المركب. سنستعرض كلتا الطريقتين. نبدأ بالطريقة الأولى، لدينا: ٤+٢𞸕=𞸏𞸏+𞸏𞸏=(󰏡+𞸁𞸕)(󰏡𞸁𞸕)+󰏡𞸁𞸕(󰏡+𞸁𞸕).

بفك الأقواس يصبح لدينا: ٤+٢𞸕=󰏡󰏡𞸁𞸕+󰏡𞸁𞸕𞸕𞸁٢𞸁𞸕=󰏡+𞸁٢𞸁𞸕.٢٢٢٢٢

وبمساواة الجزأين الحقيقي والتخيُّلي يصبح لدينا ٢=٢𞸁، وهو ما يعني أن 𞸁=١، 󰏡+𞸁=٤٢٢. بالتعويض بقيمة 𞸁 نحصل على: 󰏡+(١)=٤󰏡=٣.٢٢٢

ومن ثَمَّ، 󰏡=±󰋴٣. وبذلك يصبح لدينا حلان ممكنان للمعادلة: 𞸏=󰋴٣𞸕، 𞸏=󰋴٣𞸕.

بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام متطابقات مرافق العدد المركب كما يلي. نلاحظ أولًا أن الطرف الأيمن من المعادلة يتكوَّن من جزأين:

ولدينا متطابقة لكلٍّ من هذين الجزأين:

  1. 𞸏𞸏=󰏡+𞸁٢٢،
  2. 𞸏𞸏=٢𞸕(𞸏)اءا.

بمساواة الجزأين الحقيقي والتخيُّلي نحصل على المعادلتين نفسهما اللتين حصلنا عليهما باستخدام الطريقة الأولى.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة إلى العدد المركب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، يُعرَّف مرافقه المركب على النحو الآتي: 𞸏=󰏡𞸁𞸕.
  • بالنسبة لأي عددين مركبين 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١، 𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢، لدينا المتطابقات الآتية:
    • 󰁓𞸏±𞸏󰁒=𞸏±𞸏١٢١٢،
    • 󰁓𞸏𞸏󰁒=𞸏𞸏١٢١٢،
    • 𞸏+𞸏=٢󰁓𞸏󰁒١١١اءا،
    • 𞸏𞸏=٢𞸕󰁓𞸏󰁒١١١اءا،
    • 𞸏𞸏=󰏡+𞸁١١٢٢.
  • يساوي العدد المركب مرافقه إذا — وإذا فقط — كان عددًا حقيقيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.