شارح الدرس: مرافقات الأعداد المركَّبة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: مرافق العدد المركب

ما مرافق العدد المركب ؟

الحل

تذكَّر أن المرافق المركب للعدد يساوي . وبالنسبة إلى العدد المركب المُعطى، فإن ، (احرص على عدم نسيان إشارة السالب). إذن، مرافق العدد المركب يساوي ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى .

مثال ٢: المرافق المركب لعدد حقيقي

إذا كان عددًا حقيقيًّا، فكم يساوي مرافقه؟

الحل

تعريف المرافق المركب للعدد هو . وإذا كان عددًا حقيقيًّا بحتًا، فإن . ومن ثَمَّ، نستنتج أنه إذا كان عددًا حقيقيًّا، فإن .

مثال ٣: مجموع عدد ومرافقه المركب

أوجد المرافق المركب للعدد ، ثم أوجد مجموع العدد ومرافقه المركب.

الحل

المرافق المركب للعدد يساوي . ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى العدد المركب المُعطى، لدينا ، . وعليه، فإن المرافق المركب يساوي .

يمكننا الآن جمع هذين العددين معًا والحصول على:

مثال ٤: حل المعادلات التي تتضمَّن مرافقات الأعداد المركبة

أوجد العدد المركب الذي يحقِّق المعادلتين:

الحل

باستخدام المتطابقة والمعادلة الأولى، يمكننا كتابة:

ومن ثَمَّ، . وبالمثل، بالنظر إلى المعادلة الثانية، نضرب أولًا الطرفين في ، وهو ما يعطينا:

والآن، يمكننا استخدام المتطابقة لإعادة كتابة هذا على الصورة:

بالقسمة على يصبح لدينا . وبذلك فإن معرفة كلٍّ من الجزأين الحقيقي والتخيُّلي للعدد يعرِّفه على وجه الخصوص. ومن ثَمَّ:

مثال ٥: حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه المركب

أوجد مرافق العدد المركب ، ثم أوجد حاصل ضرب هذا العدد في مرافقه.

الحل

نُوجِد مرافق العدد المركب بجعل الجزء التخيُّلي من العدد المركب سالبًا. إذن، .

يمكننا الآن أن نفكر في حاصل ضرب هذين العددين:

بما أن ، إذن يصبح لدينا .

مثال ٦: المرافقات المركبة للمجاميع وحواصل الضرب

افترض أن ، .

1. احسب ، .
2. أوجد ، .
3. أوجد ، .

الحل

الجزء الأول

لإيجاد مرافق عدد مركب، نجعل الجزء التخيُّلي منه سالبًا. إذن: و:

الجزء الثاني

باستخدام إجابتَي الجزء الأول، نحسب:

وبتجميع الحدود المتشابهة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي:

والآن، يمكننا حساب . أولًا، نُوجِد قيمة الحد داخل القوس:

بأخذ المرافق المركب، يصبح لدينا:

الجزء الثالث

باستخدام إجابتَي الجزء الأول، يمكننا كتابة:

وبفك القوسين نحصل على:

بتجميع الحدود المتشابهة واستخدام حقيقة أن ، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:

سنحسب بإيجاد أولًا، ثم أخذ المرافق المركب كالآتي:

بفك الأقواس نجد أن:

وبالتبسيط نحصل على:

بأخذ المرافق المركب لكلٍّ من طرفَي المعادلة نجد أن:

مثال ٧: حل المعادلات التي تتضمَّن مرافقات الأعداد المركبة

أوجد حل .

الحل

يمكننا حل هذه المسألة بإحدى طريقتين: يمكننا كتابة والتعويض بها في المعادلة، ثم إيجاد قيمتَي ، ؛ أو بدلًا من ذلك يمكننا استخدام متطابقات مرافق العدد المركب. سنستعرض كلتا الطريقتين. نبدأ بالطريقة الأولى، لدينا:

بفك الأقواس يصبح لدينا:

وبمساواة الجزأين الحقيقي والتخيُّلي يصبح لدينا ، وهو ما يعني أن ، . بالتعويض بقيمة نحصل على:

ومن ثَمَّ، . وبذلك يصبح لدينا حلان ممكنان للمعادلة: ، .

بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام متطابقات مرافق العدد المركب كما يلي. نلاحظ أولًا أن الطرف الأيمن من المعادلة يتكوَّن من جزأين:

ولدينا متطابقة لكلٍّ من هذين الجزأين:

1. ،
2. .

بمساواة الجزأين الحقيقي والتخيُّلي نحصل على المعادلتين نفسهما اللتين حصلنا عليهما باستخدام الطريقة الأولى.