في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب كمية حركة جسم يتحرَّك في خط مستقيم باستخدام الصيغة: .
تخيَّل جسمين: شاحنة تتحرَّك وسرعتها ٣٠ ميلًا/س على طريق، وطائرة ورقية تتحرَّك وسرعتها ميلان/س في الهواء. ما الجسم الذي يتطلَّب قوة أكبر لإيقافه خلال الفترة الزمنية نفسها؟ نحن نعلم بشكل بديهي أن الشاحنة ستحتاج إلى قوة أكبر لإيقافها؛ لأن لها كتلة أكبر، وتتحرَّك بسرعة أكبر. وعليه، يُمكننا أن نقول إن الشاحنة لديها كمية حركة أكبر. يُمكن التفكير في كمية الحركة على أنها قياس مدى صعوبة إيقاف جسم يتحرَّك.
العاملان اللذان يُساهمان في كمية الحركة لجسم هما كتلته ، وسرعته . كلما ازدادت كتلة الجسم، ازدادت كمية حركته، وبالمثل، كلما ازدادت سرعة الجسم، ازدادت كمية حركته. وبمعرفة ذلك، يُمكننا الآن تعريف كمية الحركة رياضيًّا.
تعريف: كمية الحركة
كمية الحركة ، لجسم، تساوي كتلته ، مضروبة في سرعته :
وبما أن السرعة كمية متجهة، والكتلة كمية قياسية، فإن كمية الحركة تكون كمية متجهة. لكنَّنا في أغلب الأحيان نريد فقط مقدار كمية الحركة، وهو ما يُمكننا كتابته على النحو الآتي:
وبما أن الكتلة هي كمية قياسية، إذن يُمكننا أخْذها خارج علامة المقدار، وهو ما يُعطينا:
في الطرف الأيسر هي مقدار السرعة المتجهة، أو السرعة القياسية. يُمكننا الإشارة إلى مقدار كمية الحركة باعتبارها فقط، والسرعة القياسية باعتبارها فقط، وهو ما يُعطينا:
هذه هي الصورة القياسية لتعريف كمية الحركة، وهي الصورة التي سنستخدمها في معظم الأحيان.
على سبيل المثال، تخيَّل كرة بولينج كتلتها ١٢ كجم، وتتحرَّك بسرعة مقدارها ٥ م/ث على مضمار بولينج. ما كمية حركة كرة البولينج؟ يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في ، لنحصل على ، وهو ما يُعطينا ٦٠ كجم⋅م/ث.
وهذا يوضِّح لنا أن الوحدة القياسية لكمية الحركة هي كجم⋅م/ث، أو «كيلوجرام ⋅ متر لكل ثانية»، ولكن يُمكن قياس كمية الحركة بوحدات أخرى؛ في الواقع، أيُّ وحدة لقياس الكتلة مضروبة في وحدة لقياس السرعة هي وحدة صحيحة لقياس كمية الحركة.
لنلقِ نظرةً على بعض أمثلة الأسئلة.
مثال ١: إيجاد كمية حركة جسم بمعلومية سرعته.
أوجد كمية حركة سيارة كتلتها ٢٫١ طن متري، تتحرَّك بسرعة ٤٢ كم/س.
الحل
كتلة السيارة ٢٫١ طن متري، وسرعة السيارة ٤٢ كم/س. هذان هما العاملان اللذان يؤثِّران على كمية حركة جسمٍ ما، ويُمكننا التعويض بهما مباشرة في الصيغة لإيجاد كمية الحركة:
هنا استخدمنا وحدة طن متري. هذه الإجابة ممثَّلة بوحدة طن متري ⋅ كيلومتر لكل ساعة، وهي وحدة غير مألوفة إلى حدٍّ ما، لكنَّها تظلُّ وحدة صحيحة لقياس كمية الحركة.
مثال ٢: إيجاد كمية حركة جسم ساقط بعد مسافة معلومة
احسب كمية الحركة لحجر كتلته ٥٢٠ جم بعد سقوطه رأسيًّا مسافة ٨٫١ م. عجلة الجاذبية الأرضية تساوي .
الحل
في هذا السؤال، نحن لا نعلم سرعة الحجر، وهي ما نحتاج إلى معرفته لحساب كمية الحركة؛ لذا علينا إيجاد السرعة أولًا.
يُخبرنا السؤال بالمسافة التي يَسقُطها الحجر، والعجلة التي يَسقُط بها. لا يذكر السؤال شيئًا عن الحركة الابتدائية للحجر؛ ومن ثَمَّ يُمكننا افتراض أن الحجر يبدأ من وضع السكون. بمعلومية هذه المعلومات الثلاث، تُوجَد صيغة يُمكننا استخدامها لإيجاد سرعة الجسم بعد أن سقط مسافة ٨٫١ م، وهي إحدى معادلات الحركة: حيث هي السرعة الابتدائية للحجر، هي العجلة التي يَسقُط بها الحجر، هي المسافة التي يقطعها الحجر، هي السرعة النهائية للحجر. بما أن يساوي ٠، فإن يساوي ٠ أيضًا، ويُمكن تبسيط هذه الصيغة إلى:
نحن نحاول إيجاد ؛ ومن ثَمَّ سنجعل المتغيِّر التابع في المعادلة. لفعل ذلك، علينا أخْذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة:
يُمكننا الآن التعويض بالقِيَم التي لدينا لـ ، :
إذن يبدأ الحجر من وضْع السكون، ثم يبدأ في السقوط بعجلة تساوي ٩٫٨ م/ث٢ نتيجة الجاذبية الأرضية، وعندما يسقط مسافة قدرها ٨٫١ م، تصبح سرعته ١٢٫٦ م/ث.
الكمية الأخرى التي علينا معرفتها لحساب كمية حركة الحجر هي كتلته، وهي مُعطاة لنا. الكتلة مُعطاة بالجرام، لنحوِّل ذلك إلى الوحدة القياسية كيلوجرام. يُوجَد ١ ٠٠٠ جم في ١ كجم، ومن ثَمَّ ٥٢٠ جم = ٠٫٥٢ كجم.
يُمكننا الآن التعويض بقيمتَيْ كتلة الحجر وسرعته في صيغة كمية الحركة:
إذن، بعد سقوط الحجر مسافة قدرها ٨٫١ م، فإن كمية حركته تساوي ٦٫٥٥٢ كجم⋅م/ث.
مثال ٣: إيجاد الزيادة في كمية حركة جسم يتحرَّك بعجلة منتظمة بعد فترة زمنية مُحدَّدة
يتحرَّك جسم كتلته ١٧ كجم في خط مستقيم بعجلة ثابتة مقدارها ١٫٨ م/ث٢. كانت سرعته الابتدائية تساوي ٢٢٫٣ م/ث. أوجد الزيادة في كمية حركته خلال أول ٥ ثوانٍ.
الحل
يطلب منَّا هذا السؤال إيجاد الزيادة في كمية الحركة؛ أي التغيُّر في كمية الحركة، خلال فترة زمنية محدَّدة. لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد الفرق بين كمية حركته النهائية وكمية حركته الابتدائية. يُمكننا التعبير عن ذلك رياضيًّا على الصورة: حيث هو التغيُّر في كمية الحركة، هي كمية الحركة النهائية، هي كمية الحركة الابتدائية، هي السرعة النهائية، هي السرعة الابتدائية، هي الكتلة.
نحن نعرف بالفعل السرعة الابتدائية للجسم وكتلته، والشيء الوحيد الذي لا نعرفه هو سرعته النهائية؛ لذا علينا حسابها أولًا.
بما أن الجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة، إذن يُمكننا استخدام إحدى معادلات الحركة لإيجاد السرعة النهائية للجسم: حيث عجلة الجسم، الزمن الذي يتسارع خلاله الجسم. نحن نعرف جميع القِيَم الثلاث الموجودة في الطرف الأيسر من هذه المعادلة؛ ومن ثَمَّ يُمكننا استخدامها لإيجاد قيمة ؛ أي السرعة النهائية:
إذن نحن نعرف الآن السرعة الابتدائية للجسم وسرعته النهائية وكتلته. يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في المعادلة الموجودة لدينا سابقًا لإيجاد التغيُّر في كمية الحركة:
وهكذا، خلال أول ٥ ثوانٍ من حركة الجسم، تزداد كمية حركته بمقدار ١٥٣ كجم⋅م/ث.
مثال ٤: إيجاد كمية الحركة لجسم في زمن مُعطًى ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ إزاﺣﺘﻪ باعتبارها دالة في الزمن
سيارة كتلتها ١ ٣٥٠ كجم، تتحرَّك في خط مستقيم، وتُعطَى إزاحتها من نقطة ثابتة على الخط المستقيم عند اللحظة ثانية بالعلاقة: . أوجد مقدار كمية حركة السيارة عند .
الحل
في هذا السؤال، لدينا دالة لموضع السيارة تعتمد على الزمن فقط. لإيجاد كمية حركة السيارة عند زمن معيَّن، علينا معرفة سرعتها عند هذا الزمن. ولكي نحصل على السرعة عند زمن معيَّن، علينا الحصول على دالة عامة لسرعة السيارة تعتمد على الزمن.
تذكَّر أن السرعة لجسمٍ ما، تُعرَّف بأنها معدَّل تغيُّر إزاحة هذا الجسم. إنها مشتقة إزاحة الجسم بالنسبة إلى الزمن:
بما أن هذا السؤال يدور حول جسم يتحرَّك في بُعد واحد، يُمكننا استخدام الكميات القياسية لتمثيل السرعة ، والإزاحة ، وهذا يُعطينا:
وبحساب المشتقة بالنسبة إلى للدالة المُعطاة في السؤال، نحصل على:
نحن نريد معرفة سرعة السيارة عند ، إذن نعوِّض بهذه القيمة للزمن في المعادلة السابقة:
نحن الآن نعرف سرعة السيارة وكتلتها؛ لذا يُمكننا التعويض بهاتين القيمتين في صيغة كمية حركة السيارة:
عند ، كمية حركة السيارة تساوي ٤٤ ٥٥٠ كجم⋅م/ث.
مثال ٥: إيجاد كمية حركة جسم ما عند زمن معيَّن بمعلومية تعبير يمثِّل موضعه باعتباره دالة في الزمن.
يتحرَّك جسم كتلته ٧ كجم في خط مستقيم. يُعطَى متجه موضع الجسم عند اللحظة بالعلاقة: ؛ حيث مقيس بوحدة متر، مقيس بوحدة ثانية. أوجد كمية حركة الجسم بعد أن تمرَّ ثانيتان.
الحل
في هذا السؤال، لدينا دالة لموضع الجسم تعتمد على الزمن فقط. لإيجاد كمية حركة الجسم عند زمن معيَّن، علينا معرفة سرعة الجسم عند هذا الزمن. ولكي نحصل على السرعة عند زمن معيَّن، علينا الحصول على دالة عامة لسرعة الجسم تعتمد على الزمن.
السرعة، ، لجسمٍ ما هي مشتقة إزاحته، ، بالنسبة إلى الزمن:
وكمية الحركة، ، لجسمٍ ما تساوي كتلته، ، في سرعته:
لدينا الآن صيغة ستُعطينا كمية الحركة المتجهة للجسم عند الزمن . يُمكننا التعويض بقيمتَيْ كتلة الجسم والزمن في المعادلة:
إذن كمية حركة الجسم بعد أن تمرَّ ثانيتان تساوي كجم⋅م/ث.
في بداية هذا الشارح، كتبنا تعريفًا رياضيًّا لكمية الحركة:
إذا أخذنا المشتقة بالنسبة إلى الزمن لكلِّ طرف من طرفَي المعادلة: نلاحِظ أن مشتقة كمية الحركة بالنسبة إلى الزمن تساوي كتلة الجسم ، في عجلة الجسم . لكن يساوي أيضًا القوة المؤثِّرة على الجسم ؛ ومن ثَمَّ:
في حال كانت عجلة الجسم ثابتة أو أنَّنا نعرف العجلة المتوسطة، يُمكننا إيجاد التغيُّر في كمية حركة الجسم ، إذا عرفنا كتلته وعجلته والزمن الذي يتسارع خلاله : أو في الصورة القياسية:
لا تصحُّ هذه المعادلة إلا إذا كانت العجلة، ، ثابتة. أما في حالة تغيُّر العجلة بتغيُّر الزمن، ، فيمكننا استخدام المعادلة التي أوجدناها سابقًا لمعدل تغيُّر كمية الحركة مع الزمن بتكامل طرفَي المعادلة بالنسبة إلى الزمن . نحصل على الآتي:
يمكننا ملاحظة أن التكامل يلغي التغيُّر مع الزمن في الطرف الأيمن، وكلُّ ما يتبقَّى لدينا هو التغيُّر في كمية الحركة. يمكننا إخراج خارج التكامل في الطرف الأيسر لكونه ثابتًا. لنرَ الآن ما ستبدو عليه هذه المعادلة إذا أردنا إيجاد التغيُّر في كمية الحركة خلال الفترة الزمنية : أو في الصورة القياسية:
لنتناول مثالًا لكيفية استخدام ذلك في إيجاد التغيُّر في كمية الحركة.
مثال ٦: إيجاد التغيُّر في كمية حركة جسم بمعلومية عجلته
يتحرَّك جسمٌ كتلته ٥ كجم في خط مستقيم. عند الزمن ثانية، تُعطى عجلته بالعلاقة . أوجد التغيُّر في كمية حركة الجسم في الفترة الزمنية .
الحل
لدينا عجلة الجسم، ، بدلالة الزمن، ، وفي صورة كمية قياسية. ومن ثَمَّ لإيجاد التغيُّر في كمية حركته، يمكننا استخدام المعادلة:
يمكننا ملاحظة أن ، ، ، من المعادلة. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نحصل على:
باستخدام قاعدة القوة للتكامل، نزيد قوة بمقدار ١، ثم نقسم كل حد على القوة الجديدة. هذا يعطينا:
نحتاج الآن فقط إلى التعويض بقيم والتبسيط كالآتي:
يجب ألَّا ننسى تضمين الوحدة، فتكون الإجابة:
النقاط الرئيسية
- كمية حركة جسمٍ ما، ، تساوي حاصل ضرب كتلته، ، وسرعته، : .
- تُقاس كمية الحركة عادة بوحدة كيلوجرام ⋅ متر لكل ثانية، أو كجم⋅م/ث.
- في بعض الأحيان، قد نحتاج إلى استخدام معادلات الحركة لإيجاد سرعة الجسم لحساب كمية حركته.
- إذا كان لدينا دالة لموضع جسمٍ ما عند الزمن ، فيُمكننا أخْذ مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الزمن للحصول على دالة السرعة، ثم استخدام هذه الدالة في حساب كمية الحركة.
