شارح الدرس: اختيار عينة عشوائية طبقية الرياضيات

مثال ١: تحديد إذا ما كان سيناريو اختيار العيِّنة هو اختيار عيِّنة عشوائية طبقية

في دراسة مَسْحية مُعيَّنة عن الكليات التي يرغب بعض طلاب مدرسة ثانوية في الالتحاق بها، اختيرت عشوائيًّا عيِّنة مُكوَّنة من ٢‎ ‎٠٠٠ من مجتمع مُكوَّن من ٤٠‎ ‎٠٠٠. هل يُعَدُّ ذلك أخْذ عيِّنة طبقية؟

الحل

يُستخدَم اختيار العيِّنة العشوائية الطبقية عندما ينقسم المجتمع الإحصائي بشكلٍ طبيعي إلى مجموعات، أو طبقات. تَعكِس مثل هذه العيِّنة نِسَب كلِّ طبقة داخل المجتمع الإحصائي. ويتحقَّق ذلك بأخْذ عيِّنات عشوائية من كلِّ طبقة تتناسب مع حجم الطبقة المنفردة داخل المجتمع الإحصائي بأكمله.

في هذا المثال، يتكوَّن المجتمع الإحصائي من ٤٠‎ ‎٠٠٠ طالب. ليس لدينا أيُّ معلومات عمَّا إذا كان المجتمع الإحصائي مقسَّمًا إلى طبقات أم لا؛ لذا يجب علينا افتراض أن العيِّنة العشوائية المكوَّنة من ٢‎ ‎٠٠٠ طالب اختيرت مباشرة من المجتمع الإحصائي. إذن لا يُعَدُّ ذلك أخْذ عيِّنة طبقية.

مثال ٢: اختيار عيِّنة عشوائية طبقية

أيٌّ من الآتي ليس صوابًا عن اختيار العيِّنة الطبقية؟

1. يُطلَق على اختيار العيِّنات العشوائية الطبقية أيضًا اختيار العيِّنات العشوائية المُتناسِبة.
2. يُتِيح اختيار العيِّنات العشوائية الطبقية للباحثين الحصول على مجتمع عيِّنة يُمثِّل المجتمع الإحصائي الكامل الخاضِع للدراسة أفضل تمثيل.
3. اختيار العيِّنات الطبقية اختيار عشوائي للبيانات من مجتمع إحصائي كامل.
4. اختيار العيِّنات العشوائية الطبقية طريقةُ أخْذ عيِّنات تتضمَّن تقسيم مجتمع إلى مجموعات فرعية أصغر تُعرَف باسم الطبقات.
5. العيِّنات العشوائية الطبقية أداة قياس إحصائية.

الحل

نتذكَّر أن اختيار العيِّنة العشوائية الطبقية أسلوبٌ لاختيار العيِّنات يُستخدَم عندما يكون من المُمكِن تقسيم المجتمع الإحصائي بشكل طبيعي إلى مجموعات أو طبقات صغيرة مختلفة غير متداخِلة.

تُؤخَذ العيِّنات العشوائية من كلِّ طبقة منفردة، وتُجمَّع معًا لتكوين عيِّنة كلية. يَعكِس حجمُ العيِّنة العشوائية المأخوذة من كلِّ طبقة حجمَ هذه الطبقة داخل المجتمع الإحصائي.

لنرَ الآن إذا ما كان كلُّ خيار من الخيارات المُعطاة يتوافق مع هذا التعريف.

1. يُطلَق على العيِّنات العشوائية الطبقية أيضًا العيِّنات العشوائية المتناسِبة. (صواب أم خطأ؟)
   في العيِّنات العشوائية الطبقية، يُقسَّم المجتمع الإحصائي محلَّ الاهتمام إلى مجموعات أو طبقات. يَعكِس حجمُ العيِّنة المأخوذ من كلِّ طبقة النسبة من المجتمع الإحصائي التي تمثِّلها هذه الطبقة. وبناءً عليه، فلن يكون من الخطأ تسمية العيِّنات العشوائية الطبقية باسمٍ بديل مثل العيِّنات العشوائية المتناسِبة
2. يُتِيح اختيار العيِّنات العشوائية الطبقية للباحثين الحصول على مجتمع عيِّنة يُمثِّل المجتمع الإحصائي الكامل الخاضِع للدراسة أفضل تمثيل. (صواب أم خطأ؟)
   نَستخدِم العيِّنات العشوائية الطبقية عندما يُمكن تقسيم المجتمع الإحصائي إلى مجموعات أو طبقات غير متداخِلة. تُحسَب نِسَب هذه المجموعات ضمن تعداد السكان، وتُطبَّق النِّسَب نفسها على العيِّنات العشوائية المأخوذة من كلِّ مجموعة. هذا يعني أن المجموعات المختلفة تكون مُمثَّلة بشكلٍ متناسِب في العيِّنة النهائية المُجمَّعة. ومن ثَمَّ، يجب عدم تفضيل أيِّ مجموعة ولا تمثيلها تمثيلًا ناقصًا، ولا بدَّ أن تَعكِس هذه العيِّنة التكوين النسبي للمجتمع الإحصائي بأكمله. وتمثِّل هذه العيِّنة المجتمع الإحصائي الكامل الخاضِع للدراسة أفضل تمثيل. إذن تكون العبارة (ب) صوابًا عن العيِّنات العشوائية الطبقية.
3. اختيار العيِّنات الطبقية اختيار عشوائي للبيانات من مجتمع إحصائي كامل. (صواب أم خطأ؟)
   بحسب التعريف، العيِّنة العشوائية الطبقية هي تلك التي تجمع عددًا من العيِّنات المنفردة المأخوذة من مجموعات مختلفة من المجتمع الإحصائي. يَعكِس حجمُ العيِّنة من كلِّ مجموعة نسبة هذه المجموعة، أو الطبقة، داخل المجتمع الإحصائي. ومن ثَمَّ، لن يكون اختيار البيانات عشوائيًّا من مجتمع إحصائي كامل. إذن هذه العبارة عن العيِّنات الطبقية خطأ.
4. اختيار العيِّنات العشوائية الطبقية طريقة أخْذ عيِّنات تتضمَّن تقسيم مجتمع إلى مجموعات فرعية أصغر تُعرَف باسم الطبقات. (صواب أم خطأ؟)
   بحسب التعريف، العيِّنات العشوائية الطبقية تتضمَّن تقسيم المجتمع الإحصائي إلى مجموعات فرعية أصغر. تُعرَف هذه المجموعات الأصغر باسم الطبقات، ويَعكِس حجمُ العيِّنة المأخوذة من كلِّ مجموعة حجمَ هذه المجموعة داخل المجتمع الإحصائي. إذن تكون هذه العبارة صوابًا عن العيِّنات الطبقية.
5. العيِّنات العشوائية الطبقية أداة قياس إحصائية. (صواب أم خطأ؟)
   تَعكِس العيِّنة العشوائية الطبقية نِسَب المجموعات الفرعية المختلفة الأصغر داخل المجتمع الإحصائي. بقياس المجتمع الإحصائي، ومن ثَمَّ العيِّنة بهذه الطريقة، نُحافِظ على النِّسَب الموجودة داخل المجتمع الإحصائي؛ بحيث تعكس النتائج والتنبؤات الإحصائية المأخوذة من بيانات العيِّنة التكوين الحقيقي للمجتمع الإحصائي. من هذا المنطلَق، تكون العيِّنة العشوائية الطبقية أداة قياس إحصائية. إذن تكون هذه العبارة صوابًا عن العيِّنات الطبقية.

ومن ثَمَّ، نجد أن العبارة الوحيدة (ج) ليست صوابًا عن العيِّنة الطبقية.

مثال ٣: حساب حجم العيِّنة لطبقة معيَّنة بمعلومية نسبة العيِّنة المطلوبة

في إحدى دراسات الموارد البشرية عن الرواتب في شركة مُعيَّنة بها ١‎ ‎٠٠٠ موظَّف، قُسِّم الموظَّفون إلى ذكور وإناث. إذا كانت النسبة المئوية الكلية للإناث في الشركة ٦٠ بالمائة، واختيرت عيِّنة من ٤٠ شخصًا، فما عدد الذكور في العيِّنة؟

الحل

بما أن المجتمع الإحصائي، أيِ الموظفين في الشركة، ينقسم بشكلٍ طبيعي إلى طبقتين؛ أيِ الذكور والإناث، فإننا نَستخدِم عيِّنة عشوائية طبقية باعتبارها أسلوب العيِّنات الذي سنتَّبعه. هذا يعني أن العيِّنة تَعكِس نسبتَيِ الموظَّفين الذكور والإناث داخل الشركة.

وبما أن ٦٠ بالمائة من الموظَّفين إناث، فإنه يجب أيضًا أن يكون ٦٠ بالمائة من العيِّنة إناثًا. هذا يعني أن الباقي؛ أي بالمائة، من العيِّنة لا بدَّ أن يكونوا ذكورًا. علمنا من السؤال أن العيِّنة تتكوَّن من ٤٠ شخصًا. ومن ثَمَّ، ٤٠ بالمائة من هذا العدد الذي يساوي ٤٠ شخصًا لا بدَّ أن يكونوا ذكورًا. أي:

مثال ٤: حساب حجم عيِّنة لطبقة معيَّنة بمعلومية حجمَيِ الطبقة والمجتمع الإحصائي

يحتاج أمير إلى إجراء دراسة لتحديد إذا ما كان الطلاب في مدرسته يُحبُّون لعب كرة القدم. قرَّر أن يُقسِّم الطلاب إلى مجموعتين، فتيان وفتيات، علمًا بأن إجمالي الطلاب في مدرسته يبلغ ٢٠٠ طالب، ٨٠ منهم من الفتيات.

إذا قرَّر أمير أن حجم العيِّنة سيكون ٥٠، فما عدد الفتيات اللاتي يجب عليه اختيارهن لهذه الدراسة؟

الحل

بما أن المجتمع الإحصائي للطلاب مُقسَّم إلى طبقتين مختلفتين؛ أي الفتيان والفتيات، فإن أسلوب العيِّنات المناسِب هو اختيار عيِّنة عشوائية طبقية.

العيِّنة العشوائية الطبقية هي تلك التي تَجمَع بين عدد من العيِّنات العشوائية المنفصلة المأخوذة من مجموعات مختلفة داخل المجتمع الإحصائي. ويَعكِس حجمُ العيِّنة لكلِّ مجموعة نسبة هذه المجموعة، أو الطبقة، داخل المجتمع الاحصائي.

بتطبيق هذا على نسبة الطلاب التي لدينا؛ أيْ ٨٠ فتاة من إجمالي ٢٠٠ طالب. إذن نسبة الفتيات ، التي على صورة نسبة مئوية تساوي .

هذا يعني أنه للتعبير عن نسبتَيِ الفتيان والفتيات في المجتمع الإحصائي، لا بدَّ أن يكون من عيِّنة أمير من الفتيات. حجم عيِّنة أمير يساوي ٥٠ طالبًا، وسيكون من ٥٠ يساوي:

إذن يجب على أمير اختيار ٢٠ فتاة لهذه الدراسة.

لاحِظ أنه كان بإمكاننا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج بطريقة مختلفة قليلًا، باستخدام صيغة حجم العيِّنة للطبقتين. هذا يعني أنه لأيِّ مجتمع إحصائي مكوَّن من عدد من العناصر، والحجم الكلي للعيِّنة هو ، فإن حجم العيِّنة، ، لطبقة واحدة تحتوي على من العناصر يساوي:

في هذه الحالة، ، ، ، إذن:

مثال ٥: حجم العيِّنة لطبقة معيَّنة بمعلومية حجم العيِّنة لطبقات أخرى وحجم المجتمع الإحصائي

قرَّر عالِمٌ إجراءَ دراسة مَسْحية على آثار دواء مُعيَّن في مدينة تعدادها ١٠٠‎ ‎٠٠٠ شخص. قسَّم العالِم المدينةَ إلى ثلاث مجموعات حسب المناطق: مركز المدينة، وخارج المدينة، والضواحي. يُوجَد ١٠‎ ‎٠٠٠ شخص في الضواحي، و٣٠‎ ‎٠٠٠ شخص خارج المدينة. إذا قرَّر العالِمُ أَخْذَ عيِّنة من ١‎ ‎٠٠٠ شخص، فما عدد الأشخاص الذين ينبغي أن تشملهم الدراسة من الضواحي؟

الحل

بما أن المدينة مُقسَّمة إلى ثلاث مجموعات أو طبقات مختلفة، فإن أسلوب العيِّنات المناسب هو اختيار عيِّنة عشوائية طبقية.

نتذكَّر أن العيِّنة العشوائية الطبقية هي تلك التي تجمع بين عدد من العيِّنات العشوائية المنفصلة، المأخوذة من مجموعات مختلفة داخل المجتمع الإحصائي. ويَعكِس حجمُ العيِّنة المأخوذة من كلِّ مجموعة نسبة هذه المجموعة، أو الطبقة، داخل المجتمع الإحصائي.

في هذه الحالة، نحن نعرف من السؤال إجمالي عدد المجتمع الإحصائي وعدد الأشخاص في الضواحي وخارج المدينة، لكننا لا نعرف عدد الأشخاص في مركز المدينة:

على الرغم من أننا لا نحتاج إلى معرفة عدد الأشخاص في مركز المدينة للإجابة عن السؤال، فإننا نلاحِظ أنه لا بدَّ أن يكون هناك شخص في مركز المدينة.

يُريد العالِم أخْذ عيِّنة مُمثِّلة مكوَّنة من ١‎ ‎٠٠٠ شخص من المجتمع الإحصائي، ومطلوبٌ منَّا في السؤال معرفة عدد الأشخاص الذين يجب اختيارهم من الضواحي ضمن هؤلاء. بتطبيق العيِّنة العشوائية الطبقية، فإنه يجب أن تكون نسبة الأشخاص من الضواحي في العيِّنة تساوي نسبة الأشخاص من الضواحي في المجتمع الإحصائي بأكمله. هناك ١٠‎ ‎٠٠٠ شخص في الضواحي، وعلى صورة نسبة من إجمالي عدد المجتمع الإحصائي، هذا يساوي:

وعلى صورة نسبة مئوية، هذا يساوي . ومن ثَمَّ، من العيِّنة يجب أن يكونوا أشخاصًا من الضواحي. إذا كان حجم العيِّنة ١‎ ‎٠٠٠ شخص، فإن من هذا العدد يساوي:

إذن ينبغي أن تشمل العيِّنة ١٠٠ شخص من الضواحي.

لاحِظ أننا كان بإمكاننا التوصُّل إلى هذا الاستنتاج بطريقة مختلفة قليلًا، باستخدام صيغة حجم العيِّنة للطبقات. هذا يعني أنه لأيِّ مجتمعٍ إحصائي مكوَّن من عدد من العناصر، والحجم الكلي للعيِّنة هو ، فإن حجم العيِّنة، ، لطبقة واحدة تحتوي على من العناصر يساوي:

في هذه الحالة، ، ، ، إذن:

مثال ٦: استخدام طريقة احتجاز واسترداد العيِّنة لتقدير حجم مجتمع إحصائي معيَّن

في دراسة لقسم الموارد البشرية عن الرواتب في شركة معيَّنة، قُسِّم الموظَّفون إلى ذكور وإناث. كانت النسبة المئوية الكلية للإناث في الشركة ٦٠ بالمائة. اختِيرت عيِّنة مُكوَّنة من ١٠ موظَّفين من الشركة. مثَّل الذكور في تلك العيِّنة ٥ بالمائة من الذكور في الشركة. ما إجمالي عدد الموظَّفين في هذه الشركة؟

الحل

في البداية، نلاحِظ أن ٦٠ بالمائة من الموظَّفين في الشركة إناث، وأن الموظَّفين مقسَّمون إلى ذكور وإناث. هذا يعني أن بالمائة من الموظَّفين لا بدَّ أن يكونوا ذكورًا. إذا افترضنا أن هو إجمالي عدد الموظَّفين في الشركة، إذن عدد الموظَّفين الذكور يساوي ٤٠ بالمائة من ؛ أيْ ، أو .

لإيجاد إجمالي عدد الموظفين، ، نَستخدِم صيغة احتجاز واسترداد العيِّنة. وهي تنصُّ على أن حجم المحتوى الإحصائي: حيث هو العدد الذي احتُجِز في البداية ووُضِعت علامات عليه ثم أُطلِق؛ هو العدد الذي احتُجِز لاحقًا، هو العدد الذي عُثِر عليه ووُجِد أنه موضوع علامات عليه.

في هذه الحالة، بتعريف «جميع الموظَّفين من الذكور» باعتبارهم هؤلاء الذين «احتُجِزوا، ووُضِعت علامات عليهم، ثم أُطلِقوا» نحصل على .

من مُعطيات السؤال، نعلم أن حجم العيِّنة؛ أي العدد الذي «احتُجِز» لاحقًا ، يساوي ١٠. بالإضافة إلى ذلك، يمثِّل الذكور في هذه العيِّنة التالية ٥ بالمائة من الذكور في الشركة. وهذا يعني أن:

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

بالتعويض بهذه القِيَم في صيغة احتجاز واسترداد العيِّنة لحجم المجتمع الإحصائي، فإننا نحصل على:

إذن إجمالي عدد الموظَّفين في الشركة هو ٢٠٠.