شارح الدرس: الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحوِّل قياس الزوايا من الدرجات والدقائق والثواني إلى الدرجات فقط، والعكس.

تتكوَّن الزوايا عادة من شعاعين يشتركان في أحد أطرافهما، وتُسمَّى هذه النقطة المشترَكة رأس الزاوية. ويُسمَّى الشعاعان ضلعَي الزاوية. قياس الزاوية هو قياس المساحة المحصورة بين ضلعَي الزاوية.

يمكننا قياس أيِّ زاوية بالإشارة إلى الدوران الذي ينقل أحد أضلاع الزاوية إلى الضلع الآخَر. لدينا بعد ذلك قياسات زوايا تُناظِر، على سبيل المثال، ربع دورة أو نصف دورة.

عند استخدام الدرجات لإيجاد قياس الزوايا، فإن الدورة الكاملة تناظر زاوية قياسها ٠٦٣، ومن ثَمَّ فإن ربع دورة يناظر زاوية قياسها ٠٩، ونصف دورة يناظر زاوية قياسها ٠٨١، وهكذا.

ليس بالضرورة أن يكون قياس الزاوية عددًا صحيحًا من الدرجات في هذه الحالة، يمكننا بالطبع استخدام عدد عشري للتعبير عن قياس الزاوية بالدرجات. يمكننا أيضًا استخدام وحدتين جزئيتين من الـدرجة؛ وهما: الـدقيقة، والـثانية. لاحِظ التشابه بين وحدتَي الزمن الـدقيقة والـثانية!

تعريف: الدقائق والثواني

الـدرجة () تتكوَّن من ٦٠ دقيقة ()، والـدقيقة تتكوَّن من ٦٠ ثانية (): ١=٠٦،١=٠٦.

قبل استعراض المزيد من التفاصيل عن كيفية تحويل الدرجات العشرية إلى درجات، ودقائق، وثوان، دعونا نتناول مثالين على كيفية إجراء هذا التحويل باستخدام الآلة الحاسبة العلمية.

مثال ١: تحويل زاوية معبَّر عنها بالدرجات فقط إلى الدرجات والدقائق والثواني باستخدام الآلة الحاسبة

باستخدام الآلة الحاسبة، اكتب ٥١٫٨١ بالدرجات، والدقائق، والثواني.

الحل

لتحويل ٥١٫٨١ إلى درجات، ودقائق، وثوان، علينا كتابة ١٨٫١٥ على الآلة الحاسبة. إذن، هذا يعتمد على الآلة الحاسبة التي نستخدمها. عادةً ما يتعيَّن علينا استخدام المفتاح ؛ فإما أن نستخدمه بعد كتابة ١٨٫١٥ ثم نضغط =، أو أن نضغط = أولًا، ثم shift، ثم . عندئذٍ، ما سنراه على الآلة الحاسبة هو: ٠٩٨١.

إذن، ٥١٫٨١=٠٩٨١؛ وهو ما يُقرَأ على النحو الآتي: «١٨ درجة، و٩ دقائق، و٠ ثانية».

هيا نلقِ نظرة على التحويل من الدرجات، والدقائق، والثواني، إلى الدرجات فقط باستخدام الآلة الحاسبة.

مثال ٢: تحويل زاوية معبَّر عنها بالدرجات والدقائق والثواني إلى الدرجات فقط باستخدام الآلة الحاسبة

باستخدام الآلة الحاسبة، اكتب ٥٤٠٣٥٢ بالدرجات.

الحل

علينا كتابة ٥٤٠٣٥٢ على الآلة الحاسبة. هذا يعتمد على الآلة الحاسبة التي نستخدمها. وعادةً ما نفعل ذلك بالضغط على مفتاح بعد عدد الدرجات والدقائق والثواني، يتبعه =، ثم :

نحصل على: ٥٢١٥٫٥٢.

إذن، ٥٤٠٣٥٢=٥٢١٥٫٥٢.

هيا نستخدم فهمنا لتعريفَي الـدقيقة والـثانية لإجراء هذه التحويلات يدويًّا.

يمكننا تمثيل حقيقة أن درجة واحدة تساوي ٦٠ دقيقة بخطِّ أعداد مزدوج:

لذا إذا تناولنا، على سبيل المثال، ٣٦ دقيقة، فإنه ما يساوي ٦٣٠٦ من درجة واحدة؛ أي ٦٣٠٦=٦٠١=٦٫٠. نوجد الدرجة العشرية بقسمة عدد الدقائق على ٦٠.

لدينا العلاقة نفسها بين الدقائق والثواني، ويمكننا تمثيل العلاقة بين الدرجات، والدقائق، والثواني، بخطِّ أعداد ثلاثي:

كيفية تحويل الدقائق والثواني إلى درجات عشرية

لتحويل الدقائق إلى درجات عشرية، نقسم عدد الدقائق، 𞹟، على ٦٠: 𞹟=󰂔𞹟٠٦󰂓.

لتحويل الثواني إلى درجات عشرية، نقسم عدد الثواني، 𞸖، على ٣‎ ‎٦٠٠: 𞸖=󰂔𞸖٠٠٦٣󰂓.

دعونا نستخدم ذلك لتحويل قياس زاوية من الدرجات، والدقائق، والثواني، إلى الدرجات العشرية.

مثال ٣: فهم كيفية تحويل زاوية معبَّر عنها بالدرجات والدقائق والثواني إلى الدرجات فقط دون استخدام الآلة الحاسبة

يحاول سامح تحويل ٥٣٧٤١٨ إلى درجات فقط دون استخدام آلة حاسبة. أولًا، حوَّل الدقائق إلى درجات بقسمة ٤٧ على ٦٠، ثم حوَّل الثواني إلى دقائق بقسمة ٣٥ على ٦٠. في النهاية، جمع كل أجزاء الدرجات للحصول على الإجابة. كانت إجابته ٧٦٦٣٫٢٨.

  1. هل العملية التي أجراها صحيحة؟
    1. نعم
    2. لا
  2. إذا كنت تعتقد أن العملية التي أجراها خطأ، فأيٌّ من الآتي صواب؟
    1. يجب عليه قسمة ٣٥ ثانية على ٦٠ في ٦٠(٣‎ ‎٦٠٠) لتحويلها إلى درجات. ومن ثَمَّ، فإن إجابته ستكون ٣٩٧٫١٨.
    2. يجب عليه جمع جميع الدرجات، والدقائق، والثواني، بقسمة الدقائق أو الثواني على ٦٠. ومن ثَمَّ، فإن إجابته ستكون ٣٦١.
    3. أعتقد أن العملية التي أجراها صحيحة.

الحل

الجزء الأول

نتناول في هذا السؤال قياس زاوية يساوي ٥٣٧٤١٨. تذكَّر أن ١=٠٦، ١=٠٦. إذن، ٧٤ يساوي ٧٤٠٦ من درجة واحدة، والعملية التي أجراها سامح لتحويل الدقائق إلى درجات بقسمة ٤٧ على ٦٠ صحيحة.

لكن، يستخدم سامح العملية نفسها لتحويل الثواني إلى دقائق؛ أي بقسمة ٣٥ على ٦٠. وبما أن ١=٠٦، فإن قسمة ٥٣ على ٦٠ تعطينا عدد الدقائق، وليس عدد الدرجات. إذن، العملية التي أجراها سامح خطأ (الخيار (ب)).

الجزء الثاني

كما هو موضَّح في الشكل الآتي، لدينا ٥٣=󰂔٥٣٠٦󰂓 و١=󰂔١٠٦󰂓، إذن ٥٣=󰂔٥٣٠٦×١٠٦󰂓=󰂔٥٣٠٠٦٣󰂓. علينا قسمة ٥٣ على ٠٦×٠٦=٠٠٦٣ لتحويل ٥٣ إلى درجات.

نجد أن: ٧٤=(٧٤÷٠٦)=̇٣٨٧٫٠،٥٣=(٥٣÷٠٠٦٣)=̇٢٧٩٠٠٫٠.

ومن ثَمَّ: ٥٣٧٤١٨=(١٨+̇٣٨٧٫٠+̇٢٧٩٠٠٫٠)=̇٥٠٣٩٧٫١٨٣٩٧٫١٨٣.بزل

الخيار (أ) هو الإجابة الصحيحة.

مثال ٤: تحويل زاوية معبَّر عنها بالدرجات والدقائق والثواني إلى الدرجات فقط دون استخدام الآلة الحاسبة

دون استخدام الآلة الحاسبة، اكتب ٥٤٠٣٠٢ بالدرجات.

الحل

نتناول هنا زاوية قياسها ٥٤٠٣٠٢. بما أن ٠٦=١، ٠٣ يساوي ٠٣٠٦ من ١ (٠٦)، فإن ذلك يساوي نصف درجة؛ أي ٥٫٠.

وبما أن ٠٦=١، فإننا نحوِّل الثواني إلى دقائق بالقسمة على ٦٠. إذا قسمنا مرة أخرى على ٦٠، فإننا نحوِّل هذه الدقائق إلى درجات. ومن ثَمَّ، يكون لدينا: ٥٤=(٥٤÷٠٦)=(٥٤÷٠٠٦٣)٥٤=٥٢١٠٫٠.

وأخيرًا، نحصل على: ٥٤٠٣٠٢=٠٢+٥٫٠+٥٢١٠٫٠=٥٢١٥٫٠٢.

إذا كانت لدينا الآن زاوية مقيسة بالدرجات العشرية، فإنه يمكننا تحويل هذا القياس إلى درجات، ودقائق، وثوان بالاستفادة من حقيقة أن ١=٠٦=٠٠٦٣.

دعونا نأخذ، على سبيل المثال، ٥٢٫٢. هذا يساوي ٢ زائد ربع درجة. وبما أن الـدرجة تساوي ٠٦، فإن ربع درجة يساوي ٥١. إذن، ٥٢٫٢=٥١٢.

الجزء العشري من قياس ٢٫٢٥؛ أي ٠٫٢٥، يعطينا كسرًا من الـدرجة بالإضافة إلى درجتين صحيحتين. وهنا، ندرك بسهولة أن ٥٢٫٠=١٤، لكن يمكننا التعبير عن أيِّ جزء عشري على صورة كسر. على سبيل المثال، ٣٨٢٫٠=٣٨٢٠٠٠١. بإيجاد ٣٨٢٠٠٠١ من ٠٦ يمكننا تحويل ٣٨٢٫٠ إلى دقائق: ٣٨٢٫٠=٣٨٢٠٠٠١×٠٦٣٨٢٫٠=(٣٨٢٫٠×٠٦)٣٨٢٫٠=٨٩٫٦١.

نلاحظ أن ٣٨٢٫٠ لا يناظر عددًا صحيحًا من الدقائق. يمكننا الآن تحويل ٨٩٫٠ إلى ثوان تمامًا بنفس الطريقة التي حوَّلنا بها الدرجات العشرية إلى دقائق: ٨٩٫٠=٨٩٠٠١×٠٦٨٩٫٠=(٨٩٫٠×٠٦)٨٩٫٠=٨٫٨٥.

نجد أن: ٣٨٢٫٠=٦١٨٫٨٥٠.

كيفية تحويل الدرجات العشرية إلى دقائق وثوانٍ

  1. الجزء الصحيح من قياس أيِّ زاوية بالدرجات العشرية هو العدد الصحيح من الدرجات.
  2. بضرب الجزء العشري في ٦٠ نحصل على عدد الدقائق.
  3. إذا كان هذا عدد الدقائق في الجزء العشري، فإن ضرب هذا الجزء العشري في ٦٠ يعطينا عدد الثواني.

هيا نستخدم هذه الطريقة في المثال الأخير.

مثال ٥: تحويل زاوية معبَّر عنها بالدرجات فقط إلى الدرجات والدقائق والثواني دون استخدام الآلة الحاسبة

دون استخدام الآلة الحاسبة، اكتب ٧٫٠٢ بالدرجات، والدقائق، والثواني.

الحل

ننظر هنا إلى قياس الزاوية ٧٫٠٢.

الجزء الصحيح هو ٠٢.

الجزء العشري هو ٧٫٠؛ وبضربه في ٦٠، نجد أن عدد الدقائق: ٧٫٠=(٧٫٠×٠٦)٧٫٠=٢٤.

وبما أن ٢٤ عدد صحيح، فإنه لا توجد ثوان.

إذن: ٧٫٠٢=٠٢٤٠٢.

دعونا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الـدرجة () تتكوَّن من ٦٠ دقيقة ()، والـدقيقة تتكوَّن من ٦٠ ثانية (): ١=٠٦.١=٠٦.
  • لتحويل الدقائق إلى درجات عشرية نقسم عدد الدقائق على ٦٠: 𞹟=󰂔𞹟٠٦󰂓=(𞹟÷٠٦).
  • لتحويل الثواني إلى درجات عشرية نقسم عدد الثواني على ٣‎ ‎٦٠٠: 𞸖=󰂔𞸖٠٠٦٣󰂓=(𞸖÷٠٠٦٣).
  • لتحويل الدرجات العشرية إلى دقائق وثوانٍ:
    • الجزء الصحيح من القياس في الـدرجات العشرية هو العدد الصحيح من الـدرجات.
    • بضرب الجزء العشري في ٦٠ نحصل على عدد الـدقائق.
    • إذا كان هذا عدد الـدقائق في الجزء العشري، فإن ضرب هذا الجزء العشري في ٦٠ يعطينا عدد الثواني.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.