في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل نظامًا يتكوَّن من معادلتين على صورة معادلة مصفوفية.
قبل أن نبدأ، من المهمِّ أن نكون على دراية بضرب المصفوفات؛ حيث يُعدُّ هذا ضروريًّا في تعريف تمثيل نظام من المعادلات بدلالة المصفوفات. نحن نعرف كيف نحلُّ نظامًا من المعادلات باستخدام بعض الطرق مثل الحذف والتعويض. لكن في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل نظامًا يتكون من معادلتين خطيتين على صورة معادلة مصفوفية.
قبل أن نستعرض بعض الأمثلة التي سنمثِّل فيها الأنظمة المكوَّنة من معادلتين على صورة مصفوفة، دعونا نتناول الصورة العامة لهذه العملية.
كيفية تمثيل نظام يتكوَّن من معادلتين خطيتين على صورة معادلة مصفوفية
إذا كان لدينا نظام مكوَّن من المعادلتين: وأردنا تمثيل ذلك على صورة معادلة مصفوفية، فسنبدأ بتكوين مصفوفة رتبتها لمعامِلات المتغيِّرات. نحن نعلم أن المصفوفة ستكون من الرتبة لأن لدينا مجهولين في كلِّ معادلة من المعادلتين.
هذا يعطينا المصفوفة التالية، وهي التي تُعرَف باسم «مصفوفة المعامِلات»:
بعد ذلك، نُكمِل المعادلة المصفوفية بالقول إن هذه المصفوفة المضروبة في مصفوفة المتغيِّرات التي رتبتها ؛ أي ، حيث ، المجهولان لدينا، تساوي المصفوفة التي رتبتها ، حيث ، القيمتان الناتجتان. وهذه المصفوفة تُعرَف أحيانًا باسم «مصفوفة الثوابت».
فيما يلي المعادلة المصفوفية كاملة:
من المهمِّ التأكيد على أن القيم في مصفوفة المعامِلات تأخذ إشارات القيم في نظام المعادلات.
يمكننا استخدام ضرب المصفوفات لتوضيح كيفية عمل هذه المعادلة المصفوفية؛ فباستخدام ضرب المصفوفات، يُبسَّط الطرف الأيمن من هذه المعادلة لنحصل على:
هذه المصفوفة لا بد أن تساوي مصفوفة الثوابت:
وأخيرًا، تتساوى هاتان المصفوفتان تمامًا عند حلِّ النظام الأصلي.
والآن، سنتناول بعض الأمثلة.
مثال ١: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية على صورة معادلة مصفوفية
اكتب المعادلتين الآنيتين: على صورة معادلة مصفوفية.
الحل
نتذكَّر أنه إذا كان لدينا نظام مكوَّن من معادلتين على الصورة: فإنه يمكن تمثيل ذلك بمعادلة مصفوفية على الصورة: حيث هي مصفوفة المعامِلات التي يحتوي العمود الأول فيها على معاملَي ، ويحتوي العمود الثاني فيها على معاملَي ، هي مصفوفة المتغيِّرات، هي مصفوفة الثوابت لكلٍّ من المعادلتين.
إذن، يمكن تمثيل زوج المعادلات المُعطَى في هذا السؤال على صورة المعادلة المصفوفية الآتية:
في المثال التالي، سوف نحلُّ مسألة تتضمَّن معامِلات ونواتج كسرية؛ لإثبات أن طريقة الحلِّ لا تتغيَّر.
مثال ٢: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية على صورة معادلة مصفوفية
اكتب المعادلتين الآنيتين: على صورة معادلة مصفوفية.
الحل
نلاحظ أولًا أن المعادلة الثانية على الصورة:
إذن، علينا مراعاة ذلك عند تمثيله في المعادلة المصفوفية؛ لأنه من الأخطاء الشائعة أن يتمَّ ترتيب العناصر في مصفوفة المعامِلات بطريقة غير صحيحة. ولتجنُّب هذا، علينا إعادة كتابة نظام المعادلات على الصورة:
نتذكَّر أنه إذا كان لدينا نظام مكوَّن من معادلتين على الصورة: فإنه يمكن تمثيل ذلك بمعادلة مصفوفية على الصورة: مع العلم بأن العناصر الموجودة في مصفوفة المعامِلات تأخذ إشارات معامِلات المتغيِّرات في المعادلتين الأصليتين.
إذن، بمراعاة ذلك، نجد أنه يمكن تمثيل نظام المعادلات على صورة المعادلة المصفوفية الآتية:
في أول سؤالين، مثَّلنا نظامين من المعادلات على صورة معادلة مصفوفية. وفي المثالين التاليين، سنكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن تمثيلها باستخدام معادلة مصفوفية مُعطَاة.
مثال ٣: تحديد زوج من المعادلات الآنية من معادلة مصفوفية
اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلُّها باستخدام المعادلة المصفوفية المُعطَاة:
الحل
يمكننا ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة للحصول على:
بما أنه لا بد من أن تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون عناصرهما متساوية؛ إذن مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلُّها هي:
في المثال التالي، سنوجد أيضًا مجموعة المعادلات التي يمكن تمثيلها بمعادلة مصفوفية مُعطَاة، لكن هذه المرة سنتناول المعامِلات التي لها إشارات مختلفة.
مثال ٤: تحديد زوج من المعادلات الآنية من معادلة مصفوفية
اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلُّها باستخدام المعادلة المصفوفية المُعطَاة:
الحل
في هذه المسألة، يمكننا ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة للحصول على:
وبما أنه لا بد من أن تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون عناصرهما متساوية؛ إذن مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلُّها هي:
سنتناول الآن مثالًا على تمثيل زوج من المعادلات الآنية على صورة معادلة مصفوفية تتطلَّب إجراء بعض العمليات الجبرية.
مثال ٥: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية على صورة معادلة مصفوفية
عبِّر عن المعادلتين الآنيتين: على صورة معادلة مصفوفية.
الحل
في البداية، سنعيد ترتيب المعادلتين لتكونا على الصورة: حيث سيمكِّننا هذا من تمثيل نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية.
سنبدأ بالمعادلة الأولى:
يمكننا إضافة و٢٤ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على:
بعد ذلك، نعيد ترتيب المعادلة الثانية بإضافة إلى كلِّ طرف. وهذا يعطينا:
أصبحت لدينا الآن المعادلتان:
نتذكَّر أن أيَّ نظام مكوَّن من معادلتين على الصورة: يمكن تمثيله بمعادلة مصفوفية على الصورة: حيث نتذكَّر أن كلّ من معاملي ، يساوي واحدًا.
إذن، يمكن تمثيل زوج المعادلات في هذا السؤال على صورة المعادلة المصفوفية الآتية:
في المثال الأخير، سنتناول مسألة تتضمَّن العنصر صفرًا في مصفوفة المعامِلات.
مثال ٦: تحديد زوج من المعادلات الآنية من معادلة مصفوفية تتضمَّن العنصر صفرًا
أيُّ نظام من أنظمة المعادلات الآتية يُمكِن تمثيله على صورة المعادلة المصفوفية ؟
الحل
في هذه المسألة، يمكننا ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة للحصول على:
بما أنه لا بد من أن تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون عناصرهما متساوية؛ إذن مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن تمثيلها هي:
لكننا لا نكتب أيِّ متغيِّرات معاملها يساوي صفرًا، ومن ثَمَّ نعيد كتابة المعادلتين لتكونا على الصورة: وهذا هو الخيار (أ).
سنختم الآن بتلخيص النقاط الرئيسية في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- أيُّ نظام مكوَّن من معادلتين على الصورة: يمكن تمثيله بمعادلة مصفوفية على الصورة: حيث تُعرَف المصفوفة باسم «مصفوفة المعامِلات»، وتُعرَف المصفوفة باسم «مصفوفة الثوابت».
- تأخذ العناصر في مصفوفة المعامِلات إشارات معامِلات المتغيِّرات في المعادلات الأصلية.
