شارح الدرس: فترات تزايد وتناقص الدالة الرياضيات

مثال ١: تحديد إذا ما كانت الدالة في التمثيل البياني المعطى تزايدية أو تناقصية أو غير ذلك

يوضِّح الآتي تمثيلًا بيانيًّا لدالة. أيُّ العبارات التالية صواب عن هذه الدالة؟

1. الدالة ثابتة على .
2. الدالة تناقصية على .
3. الدالة تزايدية على .
4. الدالة ثابتة على .
5. الدالة تزايدية على .

الحل

لنبدأ بتذكر ما تخبرنا به الكلمات «تزايدية» و«تناقصية» و«ثابتة» عن التمثيلات البيانية للدالة.

أولًا، تكون الدالة تزايديةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة . ثانيًا، تكون الدالة تناقصيةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة . وأخيرًا، تكون الدالة ثابتةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة ، لثابت ما .

إذا قارَنَّا هذه التعريفات بالتمثيل البياني، فسنجد أن لدينا خطًّا مستقيمًا أفقيًّا؛ ومن ثَمَّ يجب أن تكون الدالة ثابتة. لكل قيمة ، نلاحظ أن القيمة المخرجة، تساوي .

إذا نظرنا إلى الخط المستقيم الأفقي الذي يمثل الدالة، فسنجد أن به سهمين عند الطرفين. هذا يعني أن الخط المستقيم يجب أن يمتد من إلى . الفترة هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن تكون الدالة ثابتة لجميع الأعداد الحقيقية.

ومن ثَمَّ، فإن إجابتنا تكون الخيار أ: الدالة ثابتة على .

مثال ٢: وصف اطِّراد دالة متعددة التعريف باستخدام تمثيل بياني

أيُّ العبارات الآتية تَصِف اطِّراد الدالة المُمثَّلة في الشكل الآتي؟

1. الدالة تزايدية على وتناقصية على .
2. الدالة تزايدية على وتناقصية على .
3. الدالة تزايدية على وثابتة على وتناقصية على .
4. الدالة تزايدية على وثابتة على وتناقصية على .

الحل

يصف اطِّراد الدالة إذا ما كانت تزايدية أو تناقصية على فترة محددة. في هذا المثال، لدينا أربعة خيارات ممكنة.

نتذكر أن الدالة تكون تزايديةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة . وتكون الدالة تناقصيةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة . وأخيرًا، تكون الدالة ثابتةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة ، لثابت ما .

يتكون هذا التمثيل البياني من ثلاثة أجزاء رئيسية.

بين ، ، كلما تزايدت قيمة تزداد القيمة المخرجة أيضًا. وهذا يعني أن الدالة تزايدية على الفترة . وبما أن الخيارات تستخدم فترات زمنية مفتوحة، فلا داعي للقلق بشأن طرفي الفترة في هذا السؤال.

بين ، القيمة المخرجة ، دائمًا تساوي ٣؛ لذا تكون الدالة ثابتة على هذه الفترة. وهذا يعني أن الدالة تكون ثابتة على الفترة . مرة أخرى، الفترة مفتوحة من الطرفين.

بين ، كلما ازدادت قيمة ، تناقصت القيمة المخرجة . وهذا يعني أن الدالة تناقصية على الفترة .

يمكن وصف اطراد الدالة بأنها تزايدية على الفترة ، وثابتة على الفترة ، وتناقصية على الفترة .

ومن ثَمَّ، فإن إجابتنا تكون الخيار ج: الدالة تزايدية على ، وثابتة على ، وتناقصية على .

مثال ٣: تحديد مناطق التزايد والتناقص في التمثيل البياني

التمثيل البياني للدالة موضَّح كالآتي. أيُّ العبارات الآتية صحيح عن الدالة؟

1. الدالة تزايدية على وتزايدية على .
2. الدالة تناقصية على وتناقصية على .
3. الدالة تزايدية على وتزايدية على .
4. الدالة تناقصية على وتناقصية على .

الحل

كل عبارة من العبارات تتناول اطراد الدالة، أي إنها إما أن تكون تزايدية أو تناقصية على فترة محددة. نتذكر أن الدالة تزايديةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة . وتكون الدالة تناقصيةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة .

يحتوي هذا التمثيل البياني على خطي تقارب. ونحن نرى أن المحور هو خط تقارب رأسي، ولدينا خط تقارب أفقي عند: . هذا يعني أن ٠ لا يقع في مجال .

وبما أن ٠ لا يقع في مجال ، علينا التفكير في اطراد الدالة على مجالها، أي الفترتين ، .

لنتناول الآن ما يحدث للتمثيل البياني بينما تزداد الدالة . كلما تحركنا من إلى ٠ على طول المحور ، تزداد قيمة . وهذا يعني أنه على الفترة ، تكون الدالة تزايدية.

يحدث الشيء نفسه عندما ننتقل من ٠ إلى على طول المحور ، حيث تتزايد مخرجات الدالة . وهذا يعني أنه على الفترة ، تكون الدالة تزايدية أيضًا.

من المهم أن نلاحظ ما يحدث عند . ٠ لا يقع ضمن مجال ، وهو ما يعني أنه لا يقع ضمن الفترات حيث تزايدية أو تناقصية.

يمكننا استنتاج أن الدالة تزايدية على وتزايدية .

وبما أن ٠ لا يقع في مجال ، علينا التفكير في اطراد الدالة على الفترتين ، فقط. وبذلك، تكون الدالة تزايدية على مجالها بأكمله.

ومن ثَمَّ، فإن إجابتنا تكون الخيار أ: الدالة تزايدية على وتزايدية على .

مثال ٤: تحديد الشرط لدالة أسية لتكون تزايدية

ما الشرط اللازم وجوده في لـ حيث عدد موجب، لكي تصبح دالة تزايدية؟

الحل

تكون الدالة تزايديةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة .

للتأكد من أن الدالة تزايدية لكل قيم الموجبة، علينا معرفة أن لدينا دالة أسية. الصورة العامة للدالة الأسية هي . إذا كان ، إذن فإن الدالة تزايدية، وإذا كان فإن الدالة تناقصية. ويمكن توضيح ذلك جزئيًّا كما يلي.

نبدأ بـ ، وعلينا إيجاد قيم بحيث يكون .

يمكننا كتابة:

ويمكننا استخدام ذلك للمقارنة بين قيمتي الدالتين ،

نحن نعرف أن ، ؛ ومن ثَمَّ:

ونحن نعرف أيضًا أن ، ومن ثَمَّ:

لتكون الدالة تزايدية، نحتاج أن تتحقق المتباينة لجميع هذه القيم الممكنة لـ ، . بالتعويض في التعبير عن ، يمكننا إعادة كتابة هذه المتباينة على الصورة:

وبما أن ، عددان موجبان، فإن هذه المتباينة تكون صحيحة فقط إذا كان لأي قيمة موجبة لـ . يمكننا إيجاد قيم التي تحقق هذه المتباينة عن طريق أخذ لوغاريتمات الطرفين:

وبما أن عدد موجب، فلا بد أن يكون لدينا: وهذا يكون صحيحًا عندما: .

ومن ثَمَّ، تكون الدالة تزايدية، لـ الموجبة، عندما يكون . في هذا السؤال، ومن ثَمَّ يكون لدينا المتباينة:

ومن ثَمَّ، إذا كان ؛ إذن تكون دالة تزايدية لقيم الموجبة.

مثال ٥: تحديد مناطق التزايد والتناقص لدالة المقلوب

أيٌّ من العبارات الآتية صواب بالنسبة إلى الدالة ؟

1. تزايدية على الفترتين ، .
2. تزايدية على الفترتين ، .
3. تناقصية على الفترتين ، .
4. تناقصية على الفترتين ، .

الحل

نلاحظ أن الدالة دالة المقلوب. يمكننا إيجاد منطقتي التزايد والتناقص للدالة من تمثيلها البياني؛ ومن ثَمَّ إحدى طرق الإجابة على هذا السؤال هي رسم المنحنى .

نبدأ برسم التمثيل البياني . يحتوي هذا التمثيل البياني على خطي تقارب أفقي ورأسي يتكونان من المحور والمحور .

سنتناول الآن متسلسلة من التحويلات التي تنقل الدالة إلى .

أولًا، التمثيل البياني للدالة هو انعكاس لـ في المحور ولها نفس خطي التقارب الأفقي والرأسي.

بعد ذلك، يمكننا نقل إلى من خلال نقل التمثيل البياني ٧ وحدات إلى اليمين. وبما أن ، وهو ما يعني أن خط التقارب الرأسي أصبح الآن الخط المستقيم الذي يحتوي على المعادلة ، وبما أن الانتقال الأفقي لا يؤثر على موضع خط التقارب الأفقي، يظل مثل المحور .

وتحتوي الدالة على سالب هذا العدد، ومن ثَمَّ يمكننا نقل إلى من خلال عكس ذلك في المحور . لن يتغير خطي التقارب الرأسي والأفقي بموجب هذا التحويل، حيث إن هو خط التقارب الأفقي.

وأخيرًا، لنقل إلى ، نجري انتقالًا رأسيًّا بمقدار ٥ وحدات لأسفل. وهذا ينقل خط التقارب الأفقي لأسفل ٥ وحدات، ويترك خط التقارب الرأسي دون تغيير. يكون لدينا إذن خط تقارب أفقي عند .

الدالة هي دالة المقلوب ولها خط تقارب رأسي عند ، وخط تقارب أفقي عند .

علينا الآن تحديد موضع تزايد هذه الدالة وموضع تناقصها.

نتذكر أن الدالة تزايديةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة . تكون الدالة تناقصيةعلى الفترة إذا كان لأي في الفترة .

فكلما تحركنا من إلى ٧ على المحور ، تتناقص القيمة المخرجة للدالة .

وهذا يعني أنه على الفترة ، تكون الدالة تناقصية.

وبالمثل، كلما تحركنا من ٧ إلى على المحور ، تتزايد القيمة المخرجة للدالة . وهذا يعني أنه على الفترة ، تكون الدالة تناقصية أيضًا.

من المهم أن نلاحظ ما يحدث عند . العدد ٧ لا يقع ضمن مجال ، وهو ما يعني أنه لا يمكن أن يكون في الفترات حيث تكون تزايدية أو تناقصية.

يمكننا استنتاج أن الدالة تناقصية على الفترتين ، ، وبعبارة أخرى، هي دالة تناقصية.

ومن ثَمَّ، فإن إجابتنا تكون الخيار د: تناقصية على الفترتين ، .