شارح الدرس: معادلتا العمودي والمماس الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد ميل ومعادلة المماس والعمودي على منحنًى عند نقطة مُعطاة باستخدام المشتقات.

تُخبرنا قيمة مشتقة دالة منحنًى عند نقطة ما بميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة، وهناك العديد من الطُّرق المختلفة لإيجاد مشتقات دوال مختلفة. يُمكننا استخدام طُرق الاشتقاق هذه لمساعدتنا في إيجاد معادلة المماس لدوالَّ مختلفة قابلة للاشتقاق.

أولًا، لنتذكَّر تحديدًا ما نعنيه بمماس منحنًى عند نقطة.

تعريف: مماس منحنًى عند نقطة

بالنسبة إلى المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، والنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ على المنحنى، نقول إن الخط 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠ هو مماس المنحنى عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ إذا:

  • كان المماس يمرُّ بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١
  • كان للمنحنى والمماس الميل نفسه عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١.

في التعريف السابق، أوضحنا أن المماس والمنحنى سيكون لهما الميل نفسه عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. هذا يعني أنه عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، سيماس فقط المستقيم المنحنى.

يُمكن إيجاد معادلة مستقيم باستخدام قيمة ميله وإحداثيَّيْ نقطة تقع على المستقيم. من التعريف السابق، نعلم أن كلًّا من المماس والمنحنى يمرَّان بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. ومن ثَمَّ، فإن المُعطى الوحيد الناقص هو الميل.

يُمكننا بعد ذلك استخدام الاشتقاق لإيجاد ميل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، عند هذه النقطة. بالنسبة إلى الدالة 󰎨، القابلة للاشتقاق عند 𞸎١، يُعطَى هذا الميل من خلال: 󰎨󰁓𞸎󰁒١.

لنتناول مثالًا على كيفية استخدام ذلك لإيجاد معادلة المماس لمنحنًى عند نقطة.

مثال ١: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة كثيرة الحدود عند قيمة 𝑥 مُعطاة

عيِّن معادلة المماس للمنحنى 𞸑=٢𞸎+٨𞸎٩١٣٢، عندما تكون 𞸎=٢.

الحل

لإيجاد معادلة المماس لمنحنًى عند نقطة ما، نحتاج إلى مُعطَيَيْن: إحداثيَّا النقطة وميل المنحنى عند هذه النقطة.

يطلب منَّا السؤال أن نُوجِد المماس عند 𞸎=٢؛ لذا قيمة الإحداثي 𞸎 ستساوي ٢. يُمكننا إيجاد قيمة الإحداثي 𞸑 المناظِر لقيمة 𞸎 هذه من خلال التعويض بـ 𞸎=٢ في معادلة المنحنى: 𞸑=٢(٢)+٨(٢)٩١=٦١+٢٣٩١=٣.٣٢

يُعطينا هذا النقطة (٢،٣) على المنحنى الذي لا بدَّ أن يمرَّ به المماس.

بعد ذلك، نحتاج إلى أن نعرف ميل المنحنى عند 𞸎=٢، ولإيجاد ذلك، علينا أن نشتقَّ: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸎+٨𞸎٩١󰁒=٦𞸎+٦١𞸎.٣٢٢

سنعوِّض بعد ذلك بـ 𞸎=٢ لإيجاد ميل المماس عند هذه النقطة: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦(٢)+٦١(٢)=٤٢+٢٣=٨.𞸎=٢٢

والآن، لإيجاد معادلة المماس، نتذكَّر أن معادلة الخط الذي ميله 𞸌، ويمرُّ بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ تُعطَى بواسطة: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒.١١

في هذه الحالة لدينا: 𞸑(٣)=٨(𞸎٢)𞸑+٣=٨𞸎٦١𞸑٨𞸎+٩١=٠.

ومن ثَمَّ، فإن معادلة المماس للمنحنى عند 𞸎=٢ تُعطَى بواسطة المعادلة: 𞸑٨𞸎+٩١=٠.

تُعطينا هذه الطريقة نتيجةً مُفيدةً للغاية لإيجاد معادلة مماس المنحنى عند نقطة (بشرط أن تكون مشتقة دالة المنحنى موجودة عند هذه النقطة). إذا كان لدينا المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، والنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ التي تقع على المنحنى، يجب أن يكون لمماس هذا المنحنى عند هذه النقطة الميل 󰎨󰁓𞸎󰁒١. تذكَّر أن صيغة الميل ونقطة للمستقيم تُخبرنا بمعادلة المستقيم الذي يمرُّ بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، وميله 𞸌، تُعطى بواسطة: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒.٠٠

إذن، إذا عرفنا ميل هذا المماس والنقطة التي يمرُّ بها، فستكون هذه هي جميع المُعطَيات التي نحتاجها لإيجاد معادلته.

تعريف: معادلة المماس

معادلة المماس للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ تُعطَى من خلال: 𞸑𞸑=󰎨󰁓𞸎󰁒×󰁓𞸎𞸎󰁒.١١١

تفترض هذه الصيغة أن الدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق عند 𞸎١. إذا لم تكن الدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق عند 𞸎١، فلن يُمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد معادلة المماس عند 𞸎١. بدلًا من ذلك، سيكون علينا النظر في المسألة بيانيًّا. حاول إيجاد مماسَّيِ المنحنَيَيْن الآتيَيْن عند 𞸎=٠.

في التمثيل البياني الأول، يُمكننا أن نرى أن المنحنى غير مُعرَّف عند 𞸎=٠، وهو ما يعني أيضًا أن دالته غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎=٠. إذا كان المنحنى غير مُعرَّف عند 𞸎=٠، فلا يُمكن أن يكون له مماس عند قيمة 𞸎 هذه.

في التمثيل البياني الثاني، يُمكننا ملاحظة أن المماس عند 𞸎=٠ لا بدَّ أن يكون رأسيًّا. إذا أردنا اشتقاق الدالة: 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎،󰎨(𞸎)=١٣𞸎.٣٢٣

يُمكننا بعد ذلك محاولة إيجاد ميل المنحنى عند 𞸎=٠: 󰎨(٠)=١٣󰂔٠󰂓=١٠.٢٣

يُمكننا بعد ذلك ملاحظة أنه غير مُعرَّف. عندما لا تكون الدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق عند نقطة، سيساعدنا رسم التمثيل البياني عادة في تحديد إذا ما كانت النقطة عندها مماس رأسي.

ركَّزنا حتى الآن على المماس. لكن، ثمة نوع آخَر مُهِمٌّ من المستقيمات، والذي علينا وضعه في اعتبارنا، يُسمَّى العمودي. يُشبه العمودي على منحنًى عند نقطة إلى حدٍّ كبير المماس؛ إلَّا أن الاختلاف الوحيد بينهما هو أن العمودي يكون عموديًّا على المماس.

تعريف: العمودي على منحنًى عند نقطة

بالنسبة إلى المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، والنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ التي تقع على المنحنى، نقول إن المستقيم 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠ عمودي على المنحنى عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ إذا:

  • كانت النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ تقع على المستقيم
  • كان هذا المستقيم عموديًّا على مماس المنحنى عند هذه النقطة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكننا تعريف العمودي بناءً على معلومة أنه عمودي على المنحنى عند هذه النقطة؛ بالرغم من أنه قد يكون من الأسهل أن نفكِّر في أن يكون المستقيم عموديًّا على المماس.

يتطلَّب إيجاد معادلة الخط العمودي مزيدًا من العمل؛ لأن مشتقة الدالة لن تُعطينا إلَّا ميل المماس فقط. لإيجاد معادلة الخط العمودي على منحنًى عند نقطة ما، نحتاج إلى نقطة تقع على المستقيم وميله لإيجاد معادلته في صورة الميل ونقطة.

وبما أننا نعرف بالفعل أن العمودي يمرُّ بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، فإن كلَّ ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ميل الخط العمودي لنتمكَّن من إيجاد معادلته في صورة الميل ونقطة.

علينا إيجاد مقدار يعبِّر عن ميل العمودي بدلالة ميل المماس. لفعل ذلك، سنلاحِظ أولًا أنه إذا كان المماس أفقيًّا، فلا بدَّ أن يكون الخط العمودي عموديًّا عليه؛ أي يجب أن يكون خطًّا رأسيًّا، والعكس صحيح.

هذا يعني أنه يُمكننا الآن أن نفترض أننا نتعامل مع مماس ليس أفقيًّا ولا رأسيًّا. لذا، يُمكننا كتابة معادلة المماس عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ على الصورة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸢؛ حيث 𞸌 لا يساوي صفرًا. كما يُمكننا أن نقول إن معادلة العمودي هي: 𞸑=𞸍𞸎+𞸃.

لإيجاد مقدار يعبِّر عن ميل الخط العمودي 𞸍، سنبدأ برسم:

لإيجاد مقدار يعبِّر عن الميل 𞸍، سنُضيف المستقيم 𞸎=𞸎+١١.

نلاحِظ الآن أن لدينا مثلثًا يحتوي على زاوية قائمة عند 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. يُمكننا إيجاد إحداثيات الرءوس. نعرف بالفعل إحداثيات الرأس عند 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، وسنقارن الرأسين الآخَرين بهذه النقطة لإيجاد إحداثياتهما.

بما أننا اخترنا المستقيم الرأسي ليكون على بُعد وحدة واحدة إلى اليمين من 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، فسيكون الرأسان الآخَران على بُعد وحدة واحدة إلى اليمين. يُمكننا إيجاد الإحداثي 𞸑 لهذين الرأسين من خلال أن نتذكَّر أن ميل المستقيم يُخبرنا بمقدار تغيُّر 𞸑 مقابل كلِّ تغيُّر مقداره وحدة واحدة في 𞸎. بما أن مقدار التغيُّر في 𞸎 يساوي وحدة واحدة لكلا الرأسين، والتغيُّر في 𞸑 بالنسبة إلى المماس سيكون 𞸌، وسيكون التغيُّر في 𞸑 بالنسبة إلى الخط العمودي 𞸍.

إذن ستكون إحداثيات الرءوس 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑+𞸌󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑+𞸍󰁒١١.

يُمكننا بعد ذلك إيجاد طول كلٍّ من أضلاع هذا المثلث، باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين. لن نستعرض خطوات العملية الحسابية هذه، لكن النتائج موضَّحة فيما يأتي.

وأخيرًا، بما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يُمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث؛ حيث يكون وتر هذا المثلث هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو الخط الرأسي في هذه الحالة. وفي واقع الأمر، بما أن هذا الخط رأسي، فسيكون طول هذا الخط هو الفرق بين إحداثيَّيْ 𞸑. في هذه الحالة، سنستخدم |𞸌𞸍| لأننا لا نعرف إشارة 𞸌𞸍: 󰂔󰋴١+𞸌󰂓+󰂔󰋴١+𞸍󰂓=|𞸌𞸍|١+𞸌+١+𞸍=𞸌٢𞸌𞸍+𞸍٢=٢𞸌𞸍𞸍=١𞸌.٢٢٢٢٢٢٢٢٢

يُعطينا هذا معادلة لإيجاد ميل الخط العمودي؛ وهو سالب مقلوب ميل المماس. كما نعلم كيف نُوجِد ميل المماس باستخدام المشتقة.

هذا يعني أنه يُمكننا استخدام حقيقة أن 𞸌=󰎨󰁓𞸎󰁒١ لإيجاد صيغة لمعادلة الخط العمودي.

تعريف: معادلة الخط العمودي على منحنًى

إذا كان 󰎨󰁓𞸎󰁒٠١، فستكون معادلة الخط العمودي على المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ مُعطاة بواسطة: 𞸑𞸑=١󰎨󰁓𞸎󰁒󰁓𞸎𞸎󰁒.١١١

إذا كان ميل المنحنى عند 𞸎١ يساوي صفرًا، فسيكون الخط العمودي رأسيًّا، وستكون معادلته 𞸎=𞸎١. إذا لم يكن ميل المنحنى مُعرَّفًا عند نقطة، فسيكون هناك احتمالان.

  1. سيكون خط المماس للمنحنى عند هذه النقطة رأسيًّا؛ وفي هذه الحالة سيكون الخط العمودي أفقيًّا.
  2. لن يكون المماس للمنحنى عند هذه النقطة موجودًا؛ وفي هذه الحالة لن يكون الخط العمودي موجودًا.

لنتناول بعض الأمثلة على تطبيق هذه الصِّيَغ على بعض المنحنيات.

مثال ٢: إيجاد معادلة العمودي على منحنى دالة كثيرة الحدود عند نقطة بمعلومية الإحداثي س

أوجد معادلة العمودي على المنحنى الذي تُمثِّله المعادلة 𞸑=٢𞸎٧𞸎+٢٣٢، عندما تكون 𞸎=٢.

الحل

علينا إيجاد معادلة العمودي على منحنًى عند نقطة. للقيام بذلك، علينا إيجاد نقطة على المستقيم وميله. يُمكننا إيجاد نقطة على المستقيم بالتعويض بـ 𞸎=٢ في معادلة المنحنى: 𞸑=٢(٢)٧(٢)+٢=٠١.٣٢

إذن يمرُّ الخط العمودي بالنقطة (٢،٠١).

بعد ذلك، نتذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ميل الخط العمودي باستخدام ميل المماس.

إذا افترضنا أن 󰎨(𞸎)=٢𞸎٧𞸎٢٣٢، فسيكون للمماس الميل 󰎨(٢): 󰎨(𞸎)=٦𞸎٤١𞸎،󰎨(٢)=٦(٢)٤١(٢)=٤.٢٢

أوضحنا أن المماس سيكون له ميل يساوي ٤، ولكن ميل الخط العمودي هو سالب مقلوب هذه القيمة: اادي=١󰎨(٢)=١٤.

نعلم أن ميل المستقيم يساوي ١٤، كما نعلم أنه يمرُّ بالنقطة (٢،٠١). هذا يُعطينا المعادلة: 𞸑(٠١)=١٤(𞸎(٢))𞸑+٠١=١٤(𞸎+٢)٤𞸑٠٤=𞸎+٢٤𞸑+𞸎+٢٤=٠.

إذن تُعطَى معادلة الخط العمودي على المنحنى عند 𞸎=٢ بواسطة: ٤𞸑+𞸎+٢٤=٠.

في المثال الآتي، سنتناول كيفية إيجاد النقاط على منحنًى حيث يكون المماس عند تلك النقطة موازيًا لمستقيم معلوم.

مثال ٣: إيجاد الإحداثي س للنقطة على منحنى دالة تربيعية حيث يكون المماس موازيًا للمحور س

ما الإحداثي 𞸎 للنقطة التي يكون عندها المماس للمنحنى 𞸑=𞸎+٢١𞸎+١١٢ موازيًا للمحور 𞸎؟

الحل

علينا إيجاد الإحداثي 𞸎؛ حيث يكون المماس لهذا المنحنى موازيًا للمحور 𞸎. نعلم أن المحور 𞸎 أفقي، إذن أيُّ خطٍّ موازٍ له سيكون أفقيًّا أيضًا؛ بعبارة أخرى: لا بدَّ أن يساوي ميل هذا المماس صفرًا.

نعلم أيضًا أنه، بالنسبة إلى المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، سيكون ميل المماس لهذا المنحنى عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ هو قيمة مشتقته عند هذه النقطة، في هذه الحالة 󰎨󰁓𞸎󰁒١.

إذن، لحلِّ هذا السؤال، علينا إيجاد قِيَم 𞸎؛ حيث تساوي المشتقة صفرًا.

بما أن الدالة كثيرة الحدود، يُمكننا اشتقاقها باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎+٢١𞸎+١١󰁒=٢𞸎+٢١.٢

من خلال مساواة المشتقة بصفر، يُمكننا إيجاد قِيَم 𞸎؛ حيث يكون المماس موازيًا للمحور 𞸎: ٢𞸎+٢١=٠𞸎=٦.

إذن المماس لهذا المنحنى يكون موازيًا للمحور 𞸎، عند 𞸎=٦.

في المثال الآتي، سنُوجِد معادلة مماس منحنًى يصنع زاوية معيَّنة مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.

مثال ٤: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة تكعيبية بمعلومية الزاوية التي يصنعها المماس مع المحور س

أوجد معادلة مماس المنحنى 𞸑=𞸎+٩𞸎+٦٢𞸎٣٢، الذي يصنع زاوية قياسها ٥٣١ مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.

الحل

في هذا السؤال، علينا إيجاد المماس لمنحنًى يصنع زاوية قياسها ٥٣١ مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎. هذا يعني أنه للإجابة عن هذا السؤال سيكون علينا إيجاد الميل المناظِر للمستقيم الذي يصنع هذه الزاوية مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.

أولًا، إذا نقلنا مستقيمًا، فلن يغيِّر الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎. إذن يُمكننا أن نبدأ برسم المستقيم المارِّ بنقطة الأصل (بما أنها الحالة الأبسط)، مكوِّنًا زاوية قياسها ٥٣١ مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎. سيكون لهذا المستقيم ميل المماس نفسه.

ثم يُمكننا ملاحظة أن ٥٣١=٠٩+٥٤، ما يعطينا الشكل الآتي:

هناك طريقتان لإيجاد ميل هذا المستقيم؛ يُمكننا استخدام حقيقة أن ميل المستقيم هو ظلُّ الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎، في هذه الحالة، ٥٣١=١، أو يُمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد ميل هذا المستقيم. في كلتا الحالتين، نرى أن السؤال يطلب منَّا إيجاد المماس الذي ميله ١.

ميل المماس عند نقطة ما هو نفسه قيمة مشتقة دالة المنحنى عند تلك النقطة؛ لذا نساوي المشتقة بـ ١، ونحلُّ المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎+٩𞸎+٦٢𞸎󰁒=٣𞸎+٨١𞸎+٦٢.٣٢٢

هذا يعني أن علينا حلَّ: ٣𞸎+٨١𞸎+٦٢=١٣𞸎+٨١𞸎+٧٢=٠𞸎+٦𞸎+٩=٠(𞸎+٣)=٠.٢٢٢٢

إذن الحلُّ هو 𞸎=٣.

لإيجاد معادلة المماس للمنحنى عند 𞸎=٣، علينا إيجاد إحداثيَّيْ نقطة على المستقيم. يُمكننا إيجاد ذلك بالتعويض بـ 𞸎=٣ في معادلة المنحنى: 𞸑=(٣)+٩(٣)+٦٢(٣)=٤٢.٣٢

يمرُّ المماس الذي نريد بالنقطة (٣،٤٢)، وميله يساوي ١.

يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد معادلة المستقيم: 𞸑(٤٢)=١(𞸎(٣))𞸑+٤٢=(𞸎+٣)𞸑+٤٢=𞸎٣𞸑+𞸎+٧٢=٠.

إذن مماس المنحنى الذي يصنع زاوية قياسها ٥٣١ مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 معادلته هي: 𞸑+𞸎+٧٢=٠.

ليس الأمر سهلًا دائمًا مثل اشتقاق كثيرة الحدود لإيجاد ميل المماس أو العمودي للمنحنى. سيكون علينا أحيانًا تطبيق قواعد اشتقاق أخرى لتُساعدنا في إيجاد هذه القيمة. لنتناول مثالًا على ذلك.

مثال ٥: إيجاد معادلة العمودي لمنحنى دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية عند إحداثي 𝑥 معلوم

أوجد جميع النقاط التي إحداثيات 𞸎 لها تقع عند [٠،𝜋[؛ حيث إن مماس المنحنى 𞸑=٢𞸎 يوازي الخط المستقيم 𞸑=𞸎٨١.

الحل

أولًا، لكي يوازي مستقيم مستقيمًا آخَر𞸑=𞸎٨١، لا بدَّ أن يكون له الميل نفسه. ومن ثَمَّ، لا بدَّ أن يكون ميل المماس يساوي ١. تذكَّر أن ميل المماس للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) عند القيمة 𞸎٠ يساوي 󰎨󰁓𞸎󰁒٠. في هذه الحالة، 󰎨(𞸎)=٢𞸎. يُمكننا اشتقاق ذلك باستخدام حقيقة أنه، لأيِّ ثابت 𞸍؛ حيث 𞸎 يُقاس بوحدة الراديان: 𞸃𞸃𞸎(󰏡𞸎)=󰏡󰏡𞸎.

إذن: 󰎨(𞸎)=٢٢𞸎.

بوضْع ميل المماس يساوي ١ نحصل على: ٢٢𞸎=١.

ثم يُمكننا حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎 في الفترة [٠،𝜋[: ٢𞸎=١٢.

يُمكننا رسم هذا على النحو الآتي:

حصلنا على حلَّيْن هما 𞸎=𝜋٣، 𞸎=٢𝜋٣. وأخيرًا، علينا إيجاد إحداثيات هذه النقاط بالتعويض بقِيَم 𞸎 هذه في الدالة ٢𞸎: و󰂔٢󰂔𝜋٣󰂓󰂓=󰋴٣٢󰂔٢󰂔٢𝜋٣󰂓󰂓=󰋴٣٢، وهو ما يُعطينا الإحداثيَّيْن 󰃭𝜋٣،󰋴٣٢󰃬، 󰃭٢𝜋٣،󰋴٣٢󰃬.

إذن إحداثيات النقاط إحداثيها 𞸎 يقع في [٠،𝜋[؛ حيث يكون للمنحنى 𞸑=٢𞸎 مماس موازٍ للمستقيم 𞸑=𞸎٨١، هي 󰃭𝜋٣،󰋴٣٢󰃬، و 󰃭٢𝜋٣،󰋴٣٢󰃬.

في المثال الأخير، سنحدِّد نقطة التقاطع بين منحنَيَيْن حيث يكون التقاطع عموديًّا.

مثال ٦: إيجاد النقطة حيث يتقاطع منحنَيَا دالَّتَيْن تربيعيتين عموديًّا

المنحنيان 𞸑=٢𞸎٣𞸎٢٢، 𞸑=٣𞸎+٥𞸎٥٢ يتقاطعان عند نقطة. ما هذه النقطة؟

الحل

نقول إن منحنَيَيْن يتقاطعان عموديًّا إذا كانا يتقاطعان مُكوِّنين زوايا قائمة. وبالمثل، يكون مماسا كلا المنحنَيَيْن عند نقطة التقاطع متعامدين (يلتقيان عند زاوية قائمة).

نتذكَّر أن ميل منحنًى عند نقطة يُعطَى من خلال قيمة مشتقته عند هذه النقطة. نبدأ بإيجاد جميع نقاط تقاطع هذين المنحنَيَيْن من خلال مساواة الدالتين وحلِّ ذلك لإيجاد قيمة 𞸎: ٢𞸎٣𞸎٢=٣𞸎+٥𞸎٥٢𞸎٣𞸎٢+٣𞸎٥𞸎+٥=٠٥𞸎٨𞸎+٣=٠(٥𞸎٣)(𞸎١)=٠.٢٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، يتقاطع المنحنيان عند 𞸎=٣٥، وعند 𞸎=١. علينا إيجاد ميلَيْ كلا المنحنَيَيْن عند كلٍّ من قيمتَيْ 𞸎 هاتين لتحديد إذا ما كانا متعامدين. نفعل ذلك باشتقاق كلِّ دالة منحنًى باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. بالنسبة إلى المنحنى الأول: 𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸎٣𞸎٢󰁒=٤𞸎٣.٢

يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد الميل عند كلا قيمتَيْ 𞸎.

عند 𞸎=٣٥: 𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸎٣𞸎٢󰁒󰍸=٤󰂔٣٥󰂓٣=٣٥.٢𞸎=٣٥

عند 𞸎=١: 𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸎٣𞸎٢󰁒󰍸=٤(١)٣=١.٢𞸎=١

يُمكننا تكرار الأمر نفسه مع المنحنى الثاني: 𞸃𞸃𞸎󰁓٣𞸎+٥𞸎٥󰁒=٦𞸎+٥.٢

عند 𞸎=٣٥: 𞸃𞸃𞸎󰁓٣𞸎+٥𞸎٥󰁒󰍸=٦󰂔٣٥󰂓+٥=٧٥٢.٢𞸎=٣٥

عند 𞸎=١: 𞸃𞸃𞸎󰁓٣𞸎+٥𞸎٥󰁒󰍸=٦(١)+٥=١.٢𞸎=١

وبما أن ميل كلٍّ من المستقيمات الأربعة لا يساوي صفرًا، ولكي تكون هذه المستقيمات متعامدة، لا بدَّ أن يكون ميل أحد المستقيمات سالب مقلوب ميل مستقيم آخَر. بأخْذ سالب مقلوب ٣٥ نحصل على: 󰂔٣٥󰂓=󰂔٥٣󰂓=٥٣،١ والذي لا يساوي ميل المنحنى الثاني عند هذه النقطة، إذن لا يكون المماسان متعامدين.

وبأخْذ سالب مقلوب ١، نحصل على: (١)=١،١ والذي يساوي ميل المنحنى الثاني عند هذه النقطة. إذن المماسان متعامدان.

يُمكننا إيجاد إحداثيَّيْ هذه النقطة بالتعويض بـ 𞸎=١ في معادلة أيٍّ من المنحنَيَيْن: 𞸑=٢(١)٣(١)٢=٢٣٢=٣.٢

إذن يتقاطع المنحنيان عموديًّا عند النقطة (١،٣).

لنختتم هذا الشارح بتلخيص بعض الأمور التي تناولناها عند إيجاد معادلات الخطوط المماسية والعمودية للمنحنيات.

النقاط الرئيسية

  • معادلة المماس للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ تُعطَى من خلال: 𞸑𞸑=󰎨󰁓𞸎󰁒󰁓𞸎𞸎󰁒.١١١
  • إذا كان 󰎨󰁓𞸎󰁒٠١، فستُعطَى معادلة الخط العمودي على 𞸑=󰎨(𞸎) عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ من خلال: 𞸑𞸑=١󰎨󰁓𞸎󰁒󰁓𞸎𞸎󰁒.١١١
  • إذا كان 󰎨󰁓𞸎󰁒=٠١، فسيكون مماس 𞸑=󰎨(𞸎) عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ أفقيًّا، وستكون معادلته: 𞸑=𞸑.١
  • إذا كان 󰎨󰁓𞸎󰁒=٠١، فسيكون الخط العمودي على 𞸑=󰎨(𞸎) عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ رأسيًّا، وستكون معادلته: 𞸎=𞸎.١
  • يتقاطع منحنيان عموديًّا عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، إذا كان المنحنيان يمرَّان بهذه النقطة، وكان ميلا مماسيَهْما عند هذه النقطة متعامدَيْن.
  • إذا لم يكن 󰎨󰁓𞸎󰁒١ مُعرَّفًا، فقد نظلُّ قادرين على إيجاد خط المماس والخط العمودي عند 𞸎١. ولكن هذا ليس مُمكِنًا دائمًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.