في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد ميل ومعادلة المماس والعمودي على منحنًى عند نقطة مُعطاة باستخدام المشتقات.
تُخبرنا قيمة مشتقة دالة منحنًى عند نقطة ما بميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة، وهناك العديد من الطُّرق المختلفة لإيجاد مشتقات دوال مختلفة. يُمكننا استخدام طُرق الاشتقاق هذه لمساعدتنا في إيجاد معادلة المماس لدوالَّ مختلفة قابلة للاشتقاق.
أولًا، نتذكَّر تحديدًا ما نعنيه بمماس منحنًى عند نقطة.
تعريف: مماس منحنًى عند نقطة
بالنسبة إلى المنحنى ، والنقطة على المنحنى، نقول إن الخط هو مماس المنحنى عند النقطة إذا:
- كان المماس يمرُّ بالنقطة
- كان للمنحنى والمماس الميل نفسه عند النقطة .
في التعريف السابق، أوضحنا أن المماس والمنحنى سيكون لهما الميل نفسه عند النقطة . هذا يعني أنه عند النقطة ، سيَمَسُّ فقط المستقيمُ المنحنى.
يُمكن إيجاد معادلة مستقيم باستخدام قيمة ميله وإحداثيَّيْ نقطة تقع على المستقيم. من التعريف السابق، نعلم أن كلًّا من المماس والمنحنى يمرَّان بالنقطة . ومن ثَمَّ، فإن المُعطى الوحيد الناقص هو الميل.
يُمكننا بعد ذلك استخدام الاشتقاق لإيجاد ميل المنحنى ، عند هذه النقطة. بالنسبة إلى الدالة ، القابلة للاشتقاق عند ، يُعطَى هذا الميل من خلال: .
هيا نتناول مثالًا لكيفية استخدام ذلك لإيجاد معادلة المماس لمنحنًى عند نقطة.
مثال ١: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة كثيرة الحدود عند قيمة س مُعطاة
عيِّن معادلة المماس للمنحنى ، عند .
الحل
لإيجاد معادلة المماس لمنحنًى عند نقطة ما، نحتاج إلى مُعطَيَيْن: إحداثيَّي النقطة وميل المنحنى عند هذه النقطة.
يطلب منَّا السؤال أن نُوجِد المماس عند ؛ لذا قيمة الإحداثي ستساوي ٢. يُمكننا إيجاد قيمة الإحداثي المناظِرة لقيمة هذه من خلال التعويض بـ في معادلة المنحنى:
يُعطينا هذا النقطة على المنحنى الذي لا بدَّ أن يمرَّ به المماس.
بعد ذلك، نحتاج إلى أن نعرف ميل المنحنى عند ، ولإيجاد ذلك، علينا أن نشتقَّ:
سنعوِّض بعد ذلك بـ لإيجاد ميل المماس عند هذه النقطة:
والآن، لإيجاد معادلة المماس، نتذكَّر أن معادلة الخط الذي ميله ، ويمرُّ بالنقطة تُعطَى بواسطة:
في هذه الحالة لدينا:
ومن ثَمَّ، فإن معادلة المماس للمنحنى عند تُعطَى بواسطة المعادلة: .
تُعطينا هذه الطريقة نتيجةً مُفيدةً للغاية لإيجاد معادلة مماس المنحنى عند نقطة (بشرط أن تكون مشتقة دالة المنحنى موجودة عند هذه النقطة). إذا كان لدينا المنحنى ، والنقطة التي تقع على المنحنى، يجب أن يكون لمماس هذا المنحنى عند هذه النقطة الميل . تذكَّر أن صيغة الميل ونقطة للمستقيم تُخبرنا بأن معادلة المستقيم الذي يمرُّ بالنقطة ، وميله ، تُعطى بواسطة:
إذن، إذا عرفنا ميل هذا المماس والنقطة التي يمرُّ بها، فستكون هذه هي جميع المُعطَيات التي نحتاج إليها لإيجاد معادلته.
تعريف: معادلة المماس
معادلة المماس للمنحنى عند النقطة تُعطَى من خلال:
تفترض هذه الصيغة أن الدالة قابلة للاشتقاق عند . إذا لم تكُن الدالة قابلة للاشتقاق عند ، فلن يُمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد معادلة المماس عند . بدلًا من ذلك، سيكون علينا النظر في المسألة بيانيًّا. حاول إيجاد مماسَّيِ المنحنَيَيْن الآتيَيْن عند .
في التمثيل البياني الأول، يُمكننا أن نرى أن المنحنى غير مُعرَّف عند ، وهو ما يعني أيضًا أن دالته غير قابلة للاشتقاق عند . إذا كان المنحنى غير مُعرَّف عند ، فلا يُمكن أن يكون له مماس عند قيمة هذه.
في التمثيل البياني الثاني، يُمكننا ملاحظة أن المماس عند لا بدَّ أن يكون رأسيًّا. إذا أردنا اشتقاق الدالة:
يُمكننا بعد ذلك محاولة إيجاد ميل المنحنى عند :
يُمكننا بعد ذلك ملاحظة أنه غير مُعرَّف. عندما لا تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة، سيساعدنا رسم التمثيل البياني عادةً في تحديد إذا ما كانت النقطة عندها مماس رأسي.
ركَّزنا حتى الآن على المماس. لكن، ثمة نوع آخَر مُهِمٌّ من المستقيمات، علينا وضعه في اعتبارنا، يُسمَّى العمودي. يُشبه العمودي على منحنًى عند نقطة، إلى حدٍّ كبير، المماس، إلَّا أن الاختلاف الوحيد بينهما هو أن العمودي يكون عموديًّا على المماس.
تعريف: العمودي على منحنًى عند نقطة
بالنسبة إلى المنحنى ، والنقطة التي تقع على المنحنى، نقول إن المستقيم عمودي على المنحنى عند النقطة إذا:
- كانت النقطة تقع على المستقيم
- كان هذا المستقيم عموديًّا على مماس المنحنى عند هذه النقطة.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكننا تعريف العمودي بناءً على معلومة أنه عمودي على المنحنى عند هذه النقطة؛ بالرغم من أنه قد يكون من السهل أن نفكِّر في أن يكون المستقيم عموديًّا على المماس.
يتطلَّب إيجاد معادلة الخط العمودي مزيدًا من العمل؛ لأن مشتقة الدالة لن تُعطينا إلَّا ميل المماس فقط. لإيجاد معادلة الخط العمودي على منحنًى عند نقطة ما، نحتاج إلى نقطة تقع على المستقيم وميله لإيجاد معادلته في صورة الميل ونقطة.
وبما أننا نعرف بالفعل أن العمودي يمرُّ بالنقطة ، فإن كلَّ ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ميل الخط العمودي لنتمكَّن من إيجاد معادلته في صورة الميل ونقطة.
علينا إيجاد مقدار يعبِّر عن ميل العمودي بدلالة ميل المماس. لفعل ذلك، سنلاحِظ أولًا أنه إذا كان المماس أفقيًّا، فلا بدَّ أن يكون الخط العمودي عموديًّا عليه؛ أي يجب أن يكون خطًّا رأسيًّا، والعكس صحيح.
هذا يعني أنه يُمكننا الآن أن نفترض أننا نتعامل مع مماس ليس أفقيًّا ولا رأسيًّا. لذا، يُمكننا كتابة معادلة المماس عند النقطة على الصورة ؛ حيث لا يساوي صفرًا. كما يُمكننا أن نقول إن معادلة العمودي هي .
لإيجاد مقدار يعبِّر عن ميل الخط العمودي ، سنبدأ برسم توضيحي:
لإيجاد مقدار يعبِّر عن الميل ، سنُضيف المستقيم .
نلاحِظ الآن أن لدينا مثلثًا يحتوي على زاوية قائمة عند . يُمكننا إيجاد إحداثيات الرءوس. نعرف بالفعل إحداثيات الرأس عند ، وسنقارن الرأسين الآخَرين بهذه النقطة لإيجاد إحداثياتهما.
بما أننا اخترنا المستقيم الرأسي ليكون على بُعد وحدة واحدة إلى اليمين من ، فسيكون الرأسان الآخَران على بُعد وحدة واحدة إلى اليمين. يُمكننا إيجاد قيمتَي الإحداثي لهذين الرأسين من خلال أن نتذكَّر أن ميل المستقيم يُخبرنا بمقدار تغيُّر مقابل كلِّ تغيُّر مقداره وحدة واحدة في . بما أن مقدار التغيُّر في يساوي وحدة واحدة لكلا الرأسين، إذن التغيُّر في للمماس يكون ، والتغيُّر في للخط العمودي يكون .
إذن ستكون إحداثيات الرءوس ، ، .
يُمكننا بعد ذلك إيجاد طول كلٍّ من أضلاع هذا المثلث، باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين. لن نستعرض خطوات العملية الحسابية هذه، لكن النتائج موضَّحة فيما يأتي.
وأخيرًا، بما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يُمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث؛ حيث يكون وتر هذا المثلث هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو الخط الرأسي في هذه الحالة. وفي واقع الأمر، بما أن هذا الخط رأسي، فسيكون طول هذا الخط هو الفرق بين قيمتَي الإحداثي . في هذه الحالة، سنستخدم لأننا لا نعرف إشارة :
يُعطينا هذا معادلة لإيجاد ميل الخط العمودي؛ وهو سالب مقلوب ميل المماس. كما نعلم كيف نُوجِد ميل المماس باستخدام المشتقة.
هذا يعني أنه يُمكننا استخدام حقيقة أن لإيجاد صيغة لمعادلة الخط العمودي.
تعريف: معادلة الخط العمودي على منحنًى
إذا كانت ، فستكون معادلة الخط العمودي على المنحنى عند النقطة مُعطاة بواسطة:
إذا كان ميل المنحنى عند يساوي صفرًا، فسيكون الخط العمودي رأسيًّا، وستكون معادلته . إذا لم يكُن ميل المنحنى مُعرَّفًا عند نقطة، فسيكون هناك احتمالان.
- سيكون خط المماس للمنحنى عند هذه النقطة رأسيًّا؛ وفي هذه الحالة سيكون الخط العمودي أفقيًّا.
- لن يكون المماس للمنحنى عند هذه النقطة موجودًا؛ وفي هذه الحالة لن يكون الخط العمودي موجودًا.
هيا نتناول بعض الأمثلة لتطبيق هذه الصِّيَغ على بعض المنحنيات.
مثال ٢: إيجاد معادلة العمودي على منحنى دالة كثيرة الحدود عند نقطة بمعلومية قيمة الإحداثي س
أوجد معادلة العمودي على المنحنى الذي تُمثِّله المعادلة ، عند .
الحل
علينا إيجاد معادلة العمودي على منحنًى عند نقطة. للقيام بذلك، علينا إيجاد نقطة على المستقيم وميله. يُمكننا إيجاد نقطة على المستقيم بالتعويض بـ في معادلة المنحنى:
إذن يمرُّ الخط العمودي بالنقطة .
بعد ذلك، نتذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ميل الخط العمودي باستخدام ميل المماس.
إذا افترضنا أن ، فسيكون للمماس الميل :
أوضحنا أن المماس سيكون له ميل يساوي ٤، ولكن ميل الخط العمودي هو سالب مقلوب هذه القيمة:
نعلم أن ميل المستقيم يساوي ، كما نعلم أنه يمرُّ بالنقطة . هذا يُعطينا المعادلة:
إذن تُعطَى معادلة الخط العمودي على المنحنى عند بواسطة:
في المثال الآتي، سنتناول كيفية إيجاد النقاط على منحنًى حيث يكون المماس عند تلك النقطة موازيًا لمستقيم معلوم.
مثال ٣: إيجاد قيمة الإحداثي س للنقطة على منحنى دالة تربيعية حيث يكون المماس موازيًا للمحور س
ما الإحداثي للنقطة التي يكون عندها المماس للمنحنى موازيًا للمحور ؟
الحل
علينا إيجاد الإحداثي ؛ حيث يكون المماس لهذا المنحنى موازيًا للمحور . نعلم أن المحور أفقي، إذن أيُّ خطٍّ موازٍ له سيكون أفقيًّا أيضًا؛ بعبارة أخرى: لا بدَّ أن يساوي ميل هذا المماس صفرًا.
نعلم أيضًا أنه، بالنسبة إلى المنحنى ، سيكون ميل المماس لهذا المنحنى عند النقطة هو قيمة مشتقته عند هذه النقطة، في هذه الحالة .
إذن، لحلِّ هذا السؤال، علينا إيجاد قِيَم ؛ حيث تساوي المشتقة صفرًا.
بما أن الدالة كثيرة الحدود، يُمكننا اشتقاقها باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق:
من خلال مساواة المشتقة بصفر، يُمكننا إيجاد قِيَم ؛ حيث يكون المماس موازيًا للمحور :
إذن المماس لهذا المنحنى يكون موازيًا للمحور ، عند .
في المثال الآتي، سنُوجِد معادلة مماس منحنًى يصنع زاوية معيَّنة مع الاتجاه الموجب للمحور .
مثال ٤: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة تكعيبية بمعلومية الزاوية التي يصنعها المماس مع المحور س
أوجد معادلة مماس المنحنى ، الذي يصنع زاوية قياسها مع الاتجاه الموجب للمحور .
الحل
في هذا السؤال، علينا إيجاد المماس لمنحنًى يصنع زاوية قياسها مع الاتجاه الموجب للمحور . هذا يعني أنه للإجابة عن هذا السؤال سيكون علينا إيجاد الميل المناظِر للمستقيم الذي يصنع هذه الزاوية مع الاتجاه الموجب للمحور .
أولًا، إذا نقلنا مستقيمًا، فلن يغيِّر الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور . إذن يُمكننا أن نبدأ برسم المستقيم المارِّ بنقطة الأصل (بما أنها الحالة الأبسط)، مكوِّنًا زاوية قياسها مع الاتجاه الموجب للمحور . سيكون لهذا المستقيم ميل المماس نفسه.
ثم يُمكننا ملاحظة أن ، ما يعطينا الشكل الآتي:
هناك طريقتان لإيجاد ميل هذا المستقيم؛ يُمكننا استخدام حقيقة أن ميل المستقيم هو ظلُّ الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور ، في هذه الحالة، ، أو يُمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد ميل هذا المستقيم. في كلتا الحالتين، نرى أن السؤال يطلب منَّا إيجاد المماس الذي ميله .
ميل المماس عند نقطة ما هو نفس قيمة مشتقة دالة المنحنى عند تلك النقطة؛ لذا نساوي المشتقة بـ ، ونحلُّ المعادلة لإيجاد قيمة :
هذا يعني أن علينا حلَّ:
إذن الحلُّ هو .
لإيجاد معادلة المماس للمنحنى عند ، علينا إيجاد إحداثيَّيْ نقطة على المستقيم. يُمكننا إيجاد ذلك بالتعويض بـ في معادلة المنحنى:
يمرُّ المماس الذي نريده بالنقطة ، وميله يساوي .
يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد معادلة المستقيم:
إذن مماس المنحنى الذي يصنع زاوية قياسها مع الاتجاه الموجب للمحور معادلته هي:
ليس الأمر سهلًا دائمًا مثل اشتقاق كثيرة الحدود لإيجاد ميل المماس أو العمودي للمنحنى. سيكون علينا أحيانًا تطبيق قواعد اشتقاق أخرى لتُساعدنا في إيجاد هذه القيمة. هيا نتناول مثالًا لذلك.
مثال ٥: إيجاد معادلة العمودي لمنحنى دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية عند إحداثي س معلوم
أوجد جميع النقاط التي قيم الإحداثي لها تقع في ؛ حيث إن مماس المنحنى يوازي الخط المستقيم .
الحل
أولًا، لكي يوازي مستقيم مستقيمًا آخَر ، لا بدَّ أن يكون له الميل نفسه. ومن ثَمَّ، لا بدَّ أن يكون ميل المماس يساوي . تذكَّر أن ميل المماس للمنحنى عند القيمة يساوي . في هذه الحالة، . يُمكننا اشتقاق ذلك باستخدام حقيقة أنه، لأيِّ ثابت ؛ حيث يُقاس بوحدة الراديان:
إذن:
بوضْع ميل المماس يساوي نحصل على:
ثم يُمكننا حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة في الفترة :
يُمكننا رسم هذا على النحو الآتي:
حصلنا على حلَّيْن هما ، . وأخيرًا، علينا إيجاد إحداثيات هذه النقاط بالتعويض بقِيَم هذه في الدالة : وهو ما يُعطينا الإحداثيَّيْن ، .
إذن إحداثيات النقاط التي إحداثيها يقع في ؛ حيث يكون للمنحنى مماس موازٍ للمستقيم ، هي ، .
في المثال الأخير، سنحدِّد نقطة التقاطع بين منحنَيَيْن حيث يكون التقاطع عموديًّا.
مثال ٦: إيجاد النقطة حيث يتقاطع منحنَيَا دالَّتَيْن تربيعيتين عموديًّا
المنحنيان ، يتقاطعان عند نقطة. ما هذه النقطة؟
الحل
نقول إن منحنَيَيْن يتقاطعان عموديًّا إذا كانا يتقاطعان مُكوِّنين زوايا قائمة. وبالمثل، يكون مماسا كلا المنحنَيَيْن عند نقطة التقاطع متعامدين (يلتقيان عند زاوية قائمة).
نتذكَّر أن ميل منحنًى عند نقطة يُعطَى من خلال قيمة مشتقته عند هذه النقطة. نبدأ بإيجاد جميع نقاط تقاطع هذين المنحنَيَيْن من خلال مساواة الدالتين وحلِّ ذلك لإيجاد قيمة :
ومن ثَمَّ، يتقاطع المنحنيان عند ، وعند . علينا إيجاد ميلَيْ كلا المنحنَيَيْن عند كلٍّ من قيمتَيْ هاتين لتحديد إذا ما كانا متعامدين. نفعل ذلك باشتقاق كلِّ دالة منحنًى باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. بالنسبة إلى المنحنى الأول:
يُمكننا استخدام ذلك لإيجاد الميل عند كلتا قيمتَيْ .
عند :
عند :
يُمكننا تكرار الأمر نفسه مع المنحنى الثاني:
عند :
عند :
وبما أن ميل كلٍّ من المستقيمات الأربعة لا يساوي صفرًا، ولكي تكون هذه المستقيمات متعامدة، لا بدَّ أن يكون ميل أحد المستقيمات سالب مقلوب ميل مستقيم آخَر. بأخْذ سالب مقلوب نحصل على: الذي لا يساوي ميل المنحنى الثاني عند هذه النقطة، إذن لا يكون المماسان متعامدين.
وبأخْذ سالب مقلوب ١، نحصل على: الذي يساوي ميل المنحنى الثاني عند هذه النقطة. إذن المماسان متعامدان.
يُمكننا إيجاد إحداثيَّيْ هذه النقطة بالتعويض بـ في معادلة أيٍّ من المنحنَيَيْن:
إذن يتقاطع المنحنيان عموديًّا عند النقطة .
هيا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض الأمور التي تناولناها عند إيجاد معادلات الخطوط المماسية والعمودية للمنحنيات.
النقاط الرئيسية
- معادلة المماس للمنحنى عند النقطة تُعطَى من خلال:
- إذا كانت ، فستُعطَى معادلة الخط العمودي على عند النقطة من خلال:
- إذا كانت ، فسيكون مماس عند النقطة أفقيًّا، وستكون معادلته:
- إذا كانت ، فسيكون الخط العمودي على عند النقطة رأسيًّا، وستكون معادلته:
- يتقاطع منحنيان عموديًّا عند النقطة ، إذا كان المنحنيان يمرَّان بهذه النقطة، وكان ميلا مماسيَهْما عند هذه النقطة متعامدَيْن.
- إذا لم تكُن مُعرَّفة، فقد نظلُّ قادرين على إيجاد خط المماس والخط العمودي عند . ولكن هذا ليس مُمكِنًا دائمًا.
