في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحل نظامًا من معادلتين خطيتين من خلال تمثيلَيْهما البيانيَّيْن وتحديد نقطة التقاطع.
عندما يُطلَب منا حل نظام من المعادلات، فإن هذا يعني أننا نبحث عن مجموعة من القيم للمتغيِّرات، يمكنها أن تحقِّق كل معادلة. لنرى كيف يمكننا حل نظام من المعادلات بيانيًّا، هيا نتناول المثال الآتي:
نلاحظ أولًا أن هاتين المعادلتين دالتان خطيتان. وبما أن لدينا هنا معادلتين، فإننا نُسمِّي هذا «نظامًا من معادلتين خطيتين».
إننا نريد إيجاد قيمتَي ، اللتين تحقِّقان كلتا المعادلتين. لذا، هيا نفترض أن ، حلٌّ لكلتا المعادلتين. يمكننا بعد ذلك إيجاد القيمتين المحتملتين لـ ، بيانيًّا. ونلاحظ أنه بما أن ، فإننا نعلم أن النقطة تقع على الخط المستقيم الذي يمثِّل المعادلة الأولى. وبالمثل، بما أن ، فإن النقطة تقع على الخط المستقيم الذي يمثِّل المعادلة الثانية. إذن النقطة تقع على كلا الخطين المستقيمين؛ ومن ثَمَّ، فإنها نقطة تقاطُع بينهما.
يمكننا رسم هاتين المعادلتين بيانيًّا؛ حيث كلٌّ من المعادلتين يمثِّل خطًّا مستقيمًا في المستوى الإحداثي. وهما بصيغة الميل والمقطع. لذا، نرسم المستقيم الأول؛ حيث طول الجزء المقطوع له من المحور يساوي ١، وميله يساوي ١، ثم نرسم المستقيم الثاني؛ حيث طول الجزء المقطوع له من المحور يساوي ٤، وميله يساوي . وهذا يُعطينا الشكل الآتي.
يمكننا قراءة إحداثيات نقطة التقاطع على أنها . وتجدر الإشارة هنا إلى أننا قد أوضحنا أنه إذا كانت حلًّا لنظام المعادلتين، فإنها تمثِّل نقطة تقاطُع بين الخطين المستقيمين. لكننا نريد أيضًا التحقُّق من أن جميع نقاط التقاطع حلولٌ. ويمكننا أن نفعل ذلك بملاحظة أنه إذا كانت إحدى نقاط التقاطع، فإن النقطة تقع على الخط المستقيم الممثِّل لكل معادلة؛ ومن ثَمَّ يجب أن تحقِّق كل معادلة، وإن لم تحقِّقها فلن تقع على الخط المستقيم الممثِّل للمعادلة. إذن كل نقطة تقاطُع (إذا كانت موجودة) حلٌّ لنظام المعادلتين.
ويمكننا استخدام ذلك لاستنتاج أنه بما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة، فإن ، هما الحل الوحيد لنظام المعادلتين.
يمكننا أيضًا ملاحظة أنه إذا لم تكُن هناك أي نقاط تقاطُع بين الخطين المستقيمين الممثِّلين للمعادلتين، فلن توجد قيم للمتغيِّرات يمكنها أن تحقِّق المعادلتين. وهذا يقودنا إلى النتيجة الآتية.
نظرية: حل نظام من المعادلات بيانيًّا
كل حل لنظام من المعادلات هو نقطة تقاطع بين التمثيلات البيانية للمعادلات.
كل نقطة تقاطع للتمثيلات البيانية للمعادلات هي حل لنظام المعادلات.
إذا لم يكُن هناك أي نقاط تقاطع بين التمثيلات البيانية، فلن يوجد أي حلول لنظام المعادلات.
إذا كنا نتعامل مع نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين، فإننا نعلم أنه يمكن تمثيل كلتا المعادلتين بيانيًّا لنحصل على خطين مستقيمين. ومن ثَمَّ، نسترجع أن هناك ثلاثة احتمالات لتقاطع خطين مستقيمين في المستوى.
- يتقاطع المستقيمان عند نقطة واحدة فقط.
- المستقيمان مختلفان ومتوازيان؛ لذا، لا توجد نقاط تقاطع بينهما.
- المستقيمان منطبقان، وهذا يعني أن المستقيمين يتقاطعان عند كل نقطة تقع على كلٍّ منهما.
بما أن نقاط التقاطع هي حلول نظام المعادلات، فإن هذه الاحتمالات الثلاثة توضِّح لنا عدد حلول أنظمة المعادلات هذه. هناك ثلاثة احتمالات لعدد حلول نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين، وهي ٠ أو ١ أو عدد لا نهائي من الحلول، بناءً على طبيعة الخطين المستقيمين. من الجدير بالملاحظة أن هذا ينطبق أيضًا عندما يكون لدينا أكثر من خطين مستقيمين. ونُعطي اسمًا لكلٍّ من هذه الحالات الثلاث.
تعريف: عدد حلول نظام من المعادلات الخطية
إذا كان لنظامٍ من المعادلات الخطية حلٌّ واحدٌ، فإن هذا يعني أن هناك نقطة تقاطع واحدة بين الخطوط المستقيمة، ويُسمَّى هذا نظامًا مستقلًّا من المعادلات الخطية.
إذا كان نظامٌ من المعادلات الخطية له عدد لا نهائي من الحلول، فإن كل الخطوط المستقيمة تكون منطبقة، ويُسمَّى هذا نظامًا غير مستقل من المعادلات الخطية.
في كلتا الحالتين، يوجد لدينا حل واحد على الأقل للنظام؛ لذا نُشير إلى هذه الأنظمة بأنها أنظمة متسقة من المعادلات.
إذا كان نظام من المعادلات الخطية ليس له أي حلول، فلن توجد أي نقاط تقاطُع بين المستقيمات، ويُسمَّى هذا نظامًا غير متسق من المعادلات.
هيا نَستخدم الطريقة البيانية لحل نظام المعادلتين الخطيتين الآتي:
نلاحظ أولًا أن المعادلة الثانية ليست مُعطاة بصيغة الميل والمقطع؛ لذا، نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لتصبح بهذه الصيغة من خلال طرح من كلا طرفَي المعادلة، لنحصل على:
بعد ذلك، نرسم كلا الخطين المستقيمين على التمثيل البياني نفسه. طول الجزء المقطوع من المحور للمستقيم الأول هو ٣، وميله هو ٤، وطول الجزء المقطوع من المحور للمستقيم الثاني هو ١، وميله هو ، وهذا يُعطينا الشكل الآتي.
يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن هناك نقطة تقاطُع واحدة؛ ومن ثَمَّ، يوجد حل وحيد لنظام المعادلتين. لكن لا يمكننا تحديد الإحداثيات الدقيقة لنقطة التقاطع هذه. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن قيمة الإحداثي لنقطة التقاطع تقع بين الخطين المستقيمين ، ، وقيمة الإحداثي لنقطة التقاطع تقع بين الخطين المستقيمين ، .
لذا، على الرغم من أننا لا نستطيع استخدام الطريقة البيانية لإيجاد الحل الفعلي لنظام المعادلتين، يمكننا تحديد أنه يوجد حل وحيد، وهذا الحل يحقِّق المتباينتين ، .
وبذلك نكون قد أكملنا طريقة حل نظام من المعادلات الخطية بيانيًّا، ويمكننا كتابة الخطوات كالآتي.
خطوات: حل نظام من المعادلات الخطية بيانيًّا
- إذا لم تكُن لدينا التمثيلات البيانية للمعادلات الخطية، فعلينا رسم التمثيل البياني لكل خط مستقيم على محاور الإحداثيات نفسها. ولنفعل ذلك، قد نحتاج إلى إعادة ترتيب كل معادلة لتصبح بصيغة الميل والمقطع.
- أيُّ نقطة يتقاطع عندها كل المستقيمات هي حلٌّ لنظام المعادلات. على وجه التحديد، إذا لم تكُن هذه النقطة موجودة، فلا يوجد إذن أي حلول للنظام، وإذا كانت المستقيمات منطبقة، فسيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول.
- نقرأ إحداثيات نقطة التقاطع، إن أمكن، لإيجاد القيم الدقيقة للحل. وإذا لم يكُن ذلك ممكنًا، نستخدم خطوط الشبكة البيانية الصغيرة لإيجاد نطاق تقع فيه الحلول.
هيا نرَ الآن كيف يمكننا تطبيق هذه العملية لإيجاد حلول نظام من المعادلات الخطية بيانيًّا.
مثال ١: حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين باستخدام التمثيل البياني المُعطى
استخدم الرسم البياني الآتي لحل المعادلتين الآنيتين الموضَّحتين:
الحل
نسترجع أنه يمكننا إيجاد حل نظام من المعادلات باستخدام إحداثيات نقطة التقاطع بين التمثيلات البيانية للمعادلات. وهذا يعني أن إحداثيات نقطة التقاطع بين الخطين المستقيمين تُعطينا حل المعادلتين الآنيتين.
نلاحظ أن قيمة الإحداثي لهذه النقطة هي ١، وقيمة الإحداثي هي ٢. ومن ثَمَّ، فإن ، حلٌّ للمعادلتين الآنيتين، ويمكننا التحقُّق من صحة ذلك عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في المعادلتين.
إذا عوَّضنا بـ في المعادلة الأولى، فإننا نحصل على: وهذا يوافق الحل الذي توصَّلنا إليه. وبالمثل، إذا عوَّضنا بـ في المعادلة الثانية، فإننا نحصل على: وهذا يوافق أيضًا الحل الذي توصَّلنا إليه. بما أن المعادلتين صحيحتان، فإن هذا يؤكِّد أن الحل صحيح.
وبما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة، إذن فهي الحل الوحيد للمعادلتين الآنيتين.
إذن الحل الوحيد هو ، .
في المثال الآتي، سنوضِّح كيف يمكننا إيجاد حلول نظام من معادلتين باستخدام ترميز المجموعة.
مثال ٢: حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين باستخدام تمثيلهما البياني
أوجد مجموعة حل المعادلتين الممثَّلتين بالخطين المستقيمين ، .
الحل
نسترجع أنه يمكننا إيجاد حل نظام من معادلتين باستخدام إحداثيات نقطة التقاطع بين التمثيل البياني للمعادلتين. وهذا يعني أن إحداثيات نقطة التقاطع بين الخطين المستقيمين تُعطينا حل نظام المعادلتين.
بما أن هناك نقطة تقاطُع واحدة فقط، إذن نستنتج أن لدينا حلًّا واحدًا فقط، وهذا يعني أن مجموعة الحل ستتكوَّن من عنصر واحد فقط. ويمكننا إيجاد هذا الحل الوحيد عن طريق إيجاد قيم إحداثيات نقطة التقاطع من التمثيل البياني.
نلاحظ من التمثيل البياني أن إحداثيات هذه النقطة هي ، وهذا يعني أن القيمتين ، هما الحل الوحيد لنظام المعادلتين هذا. ولكتابة ذلك على صورة مجموعة حل، نتذكَّر أنه يمكننا تمثيل الحل على صورة زوج مرتَّب، ويماثل ذلك الإحداثيات.
إذن مجموعة حل المعادلتين الممثَّلتين بالخطين المستقيمين ، هي .
في المثالين السابقين، كانت لدينا بالفعل التمثيلات البيانية للمعادلات الخطية. لكن التمثيلات البيانية لن تُعطى لنا دائمًا. هيا نتناول الآن بعض الأمثلة التي علينا فيها حل نظام من المعادلات الخطية برسم التمثيل البياني لكل معادلة أولًا.
مثال ٣: حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين برسم تمثيل بياني
من خلال تمثيل ، بيانيًّا، أوجد النقطة التي تُحقِّق المعادلتين آنيًّا.
الحل
نسترجع أنه إذا كانت النقطة تحقِّق كلتا المعادلتين آنيًّا، فيجب أن تقع النقطة على الخطين المستقيمين الممثِّلين لكلتا المعادلتين. هذا يعني أنها ستكون نقطة تقاطع بين الخطين المستقيمين. وبالمثل، إذا كانت هي نقطة تقاطع بين الخطين المستقيمين، فإنها تحقِّق كلتا المعادلتين؛ ومن ثَمَّ، فهي حل لنظام المعادلتين. إذن يمكننا إيجاد حلول هذا النظام بإيجاد إحداثيات نقاط التقاطع. وسنفعل ذلك بتمثيل المعادلتين بيانيًّا.
توجد طرق كثيرة مختلفة لتمثيل الخط المستقيم بيانيًّا. على سبيل المثال، لرسم الخط المستقيم ، نتذكَّر أن طول الجزء المقطوع من المحور هو ، وطول الجزء المقطوع من المحور هو ، بشرط أن يكون ، وميله هو . إذا وصَّلنا هذه النقاط معًا بخط مستقيم، فسيمكننا رسم الخط المستقيم.
ويمكننا تطبيق ذلك على كل خط مستقيم لدينا. أولًا، طول الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور هو ، وطول الجزء الذي يقطعه من المحور هو . ثانيًا، طول الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور هو ٧، وطول الجزء الذي يقطعه من المحور هو .
وبما أن هذا ليس عددًا صحيحًا، إذن يمكننا إيجاد نقطة مختلفة باستخدام التعويض. سنعوِّض بـ في المعادلة، لنحصل على:
وهذا يُعطينا الشكل الآتي.
نلاحظ أن الخطين المستقيمين يتقاطعان على يسار النقطة . هيا نجرِّب بعد ذلك استخدام . نعوِّض بـ في معادلة الخط المستقيم الأول، لنحصل على:
بعد ذلك، نعوِّض بـ في معادلة الخط المستقيم الثاني، لنحصل على:
نلاحظ أن كلتا المعادلتين تُعطينا . ومن ثَمَّ، فإن ، تحقِّقان المعادلتين؛ لذا، يمكننا القول بأن النقطة التي تحقِّق كلتا المعادلتين هي .
مثال ٤: حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين برسم تمثيل بياني
ارسم المعادلتين الآنيتين بيانيًّا: ثم حل هذا النظام.
الحل
نسترجع أن نقاط تقاطع التمثيلين البيانيين لكلتا المعادلتين تُعطينا حلول نظام المعادلتين. هذا يعني أنه يمكننا حل النظام برسم كلتا المعادلتين، وبما أن هاتين المعادلتين خطيتان ومُعطاتان بصيغة الميل والمقطع، إذن هناك عدة طرق لرسم المعادلتين.
على سبيل المثال، لرسم الخط المستقيم ، نتذكَّر أن طول الجزء المقطوع من المحور هو ، وطول الجزء المقطوع من المحور هو ، بشرط أن يكون ، وميله هو . إذا وصَّلنا هذه النقاط معًا بخط مستقيم، فسيمكننا رسم الخط المستقيم.
في الخط المستقيم الأول، نلاحظ أن طول الجزء المقطوع من المحور هو ٧، وطول الجزء المقطوع من المحور هو . وبما أن هذا ليس عددًا صحيحًا، إذن يمكننا إيجاد نقطة أخرى على الخط المستقيم. سنعوِّض بـ في المعادلة، لنحصل على:
في الخط المستقيم الثاني، نلاحظ أن طول الجزء المقطوع من المحور هو ، وطول الجزء المقطوع من المحور هو . بتوصيل نقطتَي التقاطع لكل مستقيم مع المحورين، نحصل على الرسم الآتي.
يمكننا أن نلاحظ من الرسم أن هذين المستقيمين متوازيان، وهذا يعني أنه لا توجد نقاط تقاطع بينهما؛ ومن ثَمَّ لا توجد حلول للنظام.
يمكننا أيضًا أن نوفِّر على أنفسنا الجهد المبذول في رسم التمثيلين البيانيين؛ فإذا نظرنا إلى معادلتَي الخطين المستقيمين، فسنرى أنهما مكتوبتان بصيغة الميل والمقطع. نحن نعلم أن معامل يُعطينا ميل الخط المستقيم، ونرى أنه في كلتا المعادلتين يساوي ٢. ونلاحظ أيضًا من معادلتَي الخطين المستقيمين أن طولَي الجزأين المقطوعين من المحور مختلفان. هذا يوضِّح لنا أن هذين المستقيمين متوازيان (لهما الميل نفسه) ومختلفان (الجزء المقطوع من المحور لكلٍّ منهما مختلف). ومن ثَمَّ، لا يتقاطع المستقيمان، ولا توجد حلول للنظام.
إذن باستخدام أيٍّ من الطريقتين، فقد أوضحنا أنه لا توجد حلول؛ لأن المعادلتين تمثِّلان خطين مستقيمين متوازيين.
في المثال الآتي، سنشرح كيف يمكننا حل نظام من المعادلات الخطية عندما لا تكون المعادلات مُعطاة بصيغة الميل والمقطع.
مثال ٥: حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين برسم تمثيل بياني
عن طريق رسم التمثيل البياني لـ ، ، أوجد الإحداثيين ، للنقطة التي تُحقِّق كلتا المعادلتين آنيًّا.
الحل
نسترجع أنه يمكننا إيجاد حل نظام من المعادلات عن طريق إحداثيات نقطة التقاطع بين التمثيلات البيانية للمعادلات. هذا يعني أن إحداثيات نقطة التقاطع بين الخطين المستقيمين تُعطينا حل المعادلتين الآنيتين. ومن ثَمَّ، يمكننا حل هذا النظام برسم كل معادلة على التمثيل البياني نفسه وإيجاد إحداثيات نقاط التقاطع.
سنرسم كلا التمثيلين البيانيين بإيجاد طولَي الجزأين المقطوعين من المحور والمحور لكلٍّ منهما. نعوِّض بـ في معادلة الخط المستقيم الأول، ثم نحل المعادلة، لنحصل على:
وبما أن هذا ليس عددًا صحيحًا، إذن نستخدم نقطة أخرى. نعوِّض بـ في المعادلة، لنحصل على:
بعد ذلك، نُعيد ترتيب المعادلة، لنجد أن:
نعوِّض بـ في معادلة الخط المستقيم الأول، ثم نحل المعادلة، لنحصل على:
بعد ذلك، نعوِّض بـ في معادلة الخط المستقيم الثاني، ثم نحل المعادلة، لنحصل على:
وبما أن هذا ليس عددًا صحيحًا، إذن نستخدم نقطة أخرى. نعوِّض بـ في المعادلة، لنحصل على:
بعد ذلك، نُعيد ترتيب المعادلة، لنجد أن:
نعوِّض بـ في معادلة الخط المستقيم الثاني، ثم نحل المعادلة، لنحصل على:
بذلك نجد أن طولَي الجزأين المقطوعين من المحور والمحور لكلا المستقيمين متماثلان؛ وهذا يعني أن المستقيمين منطبقان. ومن ثَمَّ، يمكننا رسم المستقيمين بالشكل الآتي.
كل نقطة تقع على الخط المستقيم تحقِّق كلتا المعادلتين؛ لذا، فإن كل نقطة هي حلٌّ لنظام المعادلتين.
يمكننا أيضًا معرفة ذلك من نظام المعادلتين نفسه. إذا أعدنا ترتيب المعادلتين لتكون كلٌّ منهما بصيغة الميل والمقطع، يصبح لدينا: و:
نلاحظ أن المعادلتين تمثِّلان الخط المستقيم نفسه؛ ومن ثَمَّ فإن الخطين المستقيمين منطبقان.
هكذا نكون قد أوضحنا أن الخطين المستقيمين منطبقان؛ ولذلك يوجد عدد لا نهائي من الحلول.
في المثال الأخير، سنستخدم التمثيل البياني المُعطى لتحديد نظام المعادلات الذي يمكن حله باستخدام هذا التمثيل.
مثال ٦: تحديد مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلها باستخدام التمثيل البياني المُعطى
أيٌّ من المجموعات الآتية للمعادلتين الآنيتين يمكن حلُّها باستخدام الرسم البياني الموضَّح؟
- ،
- ،
- ،
- ،
- ،
الحل
نسترجع أن إحداثيات نقطة التقاطع بين خطين مستقيمين تُعطينا حل المعادلتين الآنيتين اللتين تمثِّلان معادلتَي الخطين المستقيمين. هذا يعني أننا يمكننا حل نظام من معادلتين باستخدام هذا التمثيل البياني.
ومن ثَمَّ، علينا إيجاد معادلتَي الخطين المستقيمين. سنفعل ذلك باسترجاع أن معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي ؛ حيث هو الميل، هو طول الجزء المقطوع من المحور . ويمكننا إيجاد هاتين القيمتين من الشكل الذي لدينا. نلاحظ أولًا أن طول الجزء المقطوع من المحور للمستقيم الأزرق هو ٥، وطول الجزء المقطوع من المحور للمستقيم الأحمر هو . بعد ذلك، نوجد ميل كل خط مستقيم باستخدام حقيقة أن ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، هو:
يمر المستقيم الأزرق بالنقطتين ، ؛ لذا، فإن ميله هو:
يمر المستقيم الأحمر بالنقطتين ، ؛ لذا، فإن ميله هو:
إذن للمستقيم الأزرق، نجد أن ، ومعادلته هي ، وللمستقيم الأحمر، نجد أن ، ومعادلته هي . وهذا يُعطينا نظام المعادلتين الآتي:
ومن ثَمَّ، فإن حل نظام المعادلتين الخطيتين، بمعلومية إحداثيات نقطة التقاطع، هو ، .
وهذا هو نظام المعادلتين الخطيتين المُعطى في الخيار (ج)؛ ، .
هيا نختتم الآن هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها فيه.
النقاط الرئيسية
- كل حل لنظام من المعادلات هو نقطة تقاطع لتمثيلاتها البيانية. وكل نقطة تقاطع للتمثيلات البيانية للمعادلات ستكون حلًّا لنظام المعادلات. لذا، يمكننا حل أنظمة المعادلات برسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة وإيجاد إحداثيات نقاط التقاطع.
- إذا لم توجد نقاط تقاطُع بين الخطوط المستقيمة، فلن توجد حلول لنظام المعادلات.
- يمكن أن يكون لنظامٍ من المعادلات الخطية ٠ أو ١ أو عدد لا نهائي من الحلول، وذلك بناءً على إذا ما كانت المستقيمات متوازية أو تتقاطع عند نقطة وحيدة أو منطبقة. يُسمَّى النظام الذي عدد حلوله صفر «نظامًا غير متسق»، ويُسمَّى النظام الذي له حل واحد «نظامًا مستقلًّا»، ويُسمَّى النظام الذي له عدد لا نهائي من الحلول «نظامًا غير مستقل».
