في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد مجال الدالة الكسرية والمجال المشترك لدالتين كسريتين أو أكثر.
هيا نتذكَّر ما نعنيه بمجال الدالة. عندما نُعرِّف دالةً ما، نكتبها عادةً على الصورة . وهذا يعني أنه لكل تنتقل الدالة إلى . ونكتب ذلك على الصورة . ومن ثَمَّ، نُطلِق على مجال الدالة، المجال المقابل للدالة. نوضِّح هذه الفكرة في الشكل الآتي:
فمجال هو ، والمجال المقابل هو . أضف إلى ذلك أن مدى الدالة ، الذي نرمز له بـ ، هو ، وهو في هذه الحالة أصغر من المجال المقابل. إذا أردنا أن نكتب أن ١ مرسوم إلى ٢ عن طريق ، سنكتب ذلك رياضيًّا هكذا .
لتوضيح مثال يستخدم معادلة محدَّدة، افترض أن لدينا الدالة مُعرَّفة بالصورة:
يمكننا تعريف المجال لهذه الدالة ليكون مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ حيث يمكننا أخذ أي ، وهو عدد حقيقي، والتعويض به في المعادلة دون مشكلة. يمكننا أيضًا تعريف المجال المقابل لهذه الدالة ليكون فقط؛ لأنه بالنسبة إلى أي ، نعلم أن . لسنا بحاجة إلى معرفة ذلك هنا، لكن مدى هذه الدالة هو . نعلم ذلك لأن لكل ، إذن قيمة لا يمكن أن تكون أقل من ٧. من ناحية أخرى، كلما ازداد ، استمر في الازدياد، للوصول في النهاية إلى .
تذكَّر أن الدالة الكثيرة الحدود تأخذ الصورة:
المقدار السابق هو دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، أو دالة تربيعية. عادةً، بالنسبة إلى أي دالة كثيرة الحدود، نريد إيجاد كلٍّ من . ولكن، كما سنلاحظ لاحقًا، بالنسبة إلى الدوال المختلفة، قد نحتاج في بعض الأحيان إلى تقييد المجال بناءً على ماهية الدالة التي لدينا.
تذكَّر أن العدد الكسري (أو الكسر) هو أي عدد على الصورة ؛ حيث ، عددان صحيحان، . من المهم تذكُّر أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا؛ لأن القسمة على صفر عملية غير مُعرَّفة. يمكننا توسيع نطاق فكرة الأعداد الكسرية هذه لتشمل الدوال الكسرية، باستخدام التعريف الآتي.
تعريف: الدوال الكسرية
الدالة تُسمَّى دالة كسرية إذا أمكن كتابتها على الصورة: حيث ، دالتان كثيرتا حدود، لكل .
ونلاحظ أن المجال للدالة يجب أن يستبعد أي نقاط ؛ حيث . وبما أن دالة كثيرة الحدود، إذن هذا يعني أحيانًا أن علينا إيجاد أصفارها لإيجاد النقاط غير الصحيحة. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا الدالة:
يمكننا القول إن هذه الدالة غير صحيحة إذا كان ، ويمكننا حلها بسهولة لإيجاد أن لا يمكن أن يساوي ٢. ومن ثَمَّ، يجب أن يكون مجال هذه الدالة هو ؛ أي مجموعة كل الأعداد الحقيقية ما عدا ٢. ونلاحظ أن المجال المقابل لهذه الدالة لا يزال ، وبوجهٍ عام، فإن أي دالة كسرية يظل لها مجال مقابل .
نتناول مثالًا أكثر تعقيدًا يتعين علينا فيه حل معادلة تربيعية لإيجاد القيم غير المعرَّفة.
مثال ١: إيجاد القيم التي تكون غير معرَّفة لدالة كسرية
عند أي قيمة من قيم تكون الدالة غير معرَّفة؟
الحل
لإيجاد عند أي قيم تكون الدالة غير معرَّفة، علينا فقط التفكير في مقام الكسر، ، وعندما يساوي صفرًا. وذلك لأنه أيًّا كانت القيم التي يأخذها البسط ، فهي لن تجعل الدالة غير معرَّفة.
نحاول حل . لحل معادلة تربيعية، يمكننا تحليلها أو استخدام القانون العام. هيا نحاول تحليلها بافتراض أن:
يمكننا ملاحظة أن ، لا بد أن يساوي مجموعهما ١٢، وحاصل ضربهما ٣٢. عند تجربة أعداد مختلفة، يمكننا ملاحظة أن أخذ ، صحيح، أو العكس صحيح. ومن ثَمَّ، يكون لدينا:
إذن أو هو حل المعادلة، ويمكننا القول إن الدالة الأصلية غير معرَّفة لكل .
هيا نحاول حل مسألة أخرى مشابهة، ولكن هذه المرة في مثال علينا فيه إيجاد مجال الدالة.
مثال ٢: إيجاد مجال دالة كسرية
ما مجال الدالة ؟
الحل
لإيجاد مجال هذه الدالة، علينا إيجاد القيم التي تكون الدالة عندها غير معرَّفة، وهو ما يعني أن علينا التفكير في النقاط التي يكون عندها المقام .
لحل معادلة تربيعية، نرغب عادةً في تحليلها، أو تطبيق المعادلة التربيعية. ولكن في هذا المثال، قد لا يكون هذا ممكنًا. في الواقع، إذا أعدنا ترتيب المعادلة السابقة، فسنلاحظ أن:
وبما أن قيمة سالبة، إذن لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لها (إذا كان ). هذا يعني أن هذه المعادلة ليس لها أي حلول. بعبارة أخرى، لا توجد أي نقطة يكون عندها ؛ ومن ثَمَّ، فإن الدالة الكسرية معرَّفة لجميع القيم. إذن مجال هو .
لقد تناولنا الآن بعض الأمثلة؛ حيث تناولنا الدوال الكسرية وحسبنا النقاط التي تكون عندها الدالة غير معرَّفة (ومن ثَمَّ مجالاتها). وقد نواجه أيضًا مسائل يكون لدينا فيها مجال الدالة وعلينا إيجاد القيم التي تناسب المجال. نتناول مثالًا يستخدم هذا المفهوم.
مثال ٣: إيجاد قيمة دالة بمعلومية المجال
إذا كان مجال الدالة هو ، فأوجد قيمة .
الحل
يحتوي هذا السؤال على جزأين. علينا أولًا أن نحاول إيجاد النقاط التي لا يمكن عندها إيجاد قيمة ، وهو ما يسمح لنا بإيجاد المتغيِّر المجهول . بعد ذلك، يمكننا التعويض بـ في لإيجاد الإجابة.
في البداية، يمكننا ملاحظة أن هو مجموع دالتين كسريتين منفصلتين. لحساب النقاط التي لا يمكن عندها إيجاد قيمة ؛ ومن ثَمَّ مجالها، علينا ببساطة التفكير في النقاط التي لا يمكن عندها إيجاد قيمة أيٍّ من الدالتين على حدة؛ لأنه في هذه الحالة لن يكون المجموع صحيحًا أيضًا. هيا نفعل ذلك أولًا مع:
هذه دالة كسرية بسيطة، ويمكننا ملاحظة ذلك عندما يكون المقام ؛ أي إنه غير صحيح. بعد ذلك، يكون لدينا:
ونلاحظ هنا أن الدالة غير صحيحة عندما يكون المقام . إعادة الترتيب تُعطينا .
والآن، مجال الدالة هو ، وهو ما يعني أنه لا يمكن إيجاد قيمة عند أو . يمكننا ملاحظة أن الشرط يأتي من . ومن ثَمَّ، فإن يجب أن يؤدِّي إلى . وجمع هاتين المعادلتين، يُعطينا أو . وهذا يُعطينا:
لحل المسألة، نريد أخيرًا إيجاد قيمة . وبعد أن أوجدنا قيمة ، يمكننا ببساطة التعويض بـ ٣ في المعادلة:
في المثال السابق، تطرَّقنا إلى فكرة أن جمع عدة دوال كسرية معًا يعني أن مجال الدالة الناتجة يجب أن يتضمَّن مجال كل دالة منفصلة. بجانب ذلك لدينا فكرة المجال المشترك لدالتين كسريتين أو أكثر. وفي مثال بسيط، افترض أن لدينا الدالتين الآتيتين:
للنظر في المجال المشترك هنا، نأخذ ببساطة تقاطع المجالين. هذا يعني أن المجال المشترك لهاتين الدالتين هو:
وبوجه عام، يمكننا أخذ أي عدد من الدوال، والمجال المشترك هو ببساطة تقاطع هذه المجالات. لذا، كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد مجال كل دالة على حدة، وجمعها معًا. نُلقي نظرة على مثال يتناول هذا المفهوم.
مثال ٤: إيجاد المجال المشترك لثلاث دوال كسرية
أوجد المجال المشترك للدوال ، ، .
الحل
لإيجاد المجال المشترك لهذه الدوال، علينا إيجاد مجال كلٍّ منها على حدة، ثم أخذ تقاطعها. بدايةً، ننظر إلى:
بالنظر إلى المقام ، يمكننا ملاحظة أن غير معرَّفة عندما يكون ؛ وذلك لأننا سنقسم على صفر. ومن ثَمَّ، فإن مجال هذه الدالة يتضمَّن جميع النقاط ما عدا هذه النقطة، وهي . بعد ذلك، يكون لدينا:
وبطريقة مشابهة، نلاحظ أن غير معرفة عندما يكون ، إذن يجب أن يكون المجال . وأخيرًا، نتناول:
تكون غير معرَّفة عندما يكون المقام يساوي صفرًا. هذه الدالة هي دالة تكعيبية كثيرة الحدود، ولكن لأن لها عاملًا مشتركًا ، يمكننا تحليلها بسهولة إلى حدٍّ ما على النحو الآتي:
عند مساواة ذلك بالصفر، فإننا نلاحظ أن غير معرَّفة لـ أو . ومن ثَمَّ، يكون المجال هو .
وأخيرًا، علينا دمج المجالين معًا عن طريق أخذ تقاطعهما. وببساطة، هذا التقاطع هو ناقص جميع النقاط التي أخذناها من كل دالة. وخلاصة القول، إن المجال المشترك هو:
وأخيرًا، نُلقي نظرة على مثال آخر يتضمَّن بعض المفاهيم التي تناولناها حتى الآن.
مثال ٥: إيجاد قيمة دالة بمعلومية المجال المشترك
إذا كان المجال المشترك للدالتين ، هو ، فأوجد قيمة .
الحل
المجال المشترك هو تقاطع مجالَي ، . لإيجاد قيمة ، نبدأ بحساب مجالَي ، ومقارنة هاتين القيمتين بـ .
في البداية، هيا ننظر إلى:
لإيجاد مجال دالة كسرية، علينا إيجاد متى يساوي المقام صفرًا. في هذه الحالة، نلاحظ أن:
بما أن يجب أن تكون لها قيمة حقيقية، نستنتج أن هذه المعادلة ليس لها أي حلول؛ أي لكل . ومن ثَمَّ، يكون مجال ببساطة هو .
حسنًا، قبل حساب مجال ، هيا نلاحظ ذلك؛ بما أننا نعرف أن المجال المشترك هو ، إذن يكون لدينا:
وبما أن كل نقطة في مجال تنتمي إلى ، إذن يكون لدينا:
وهذا يوضِّح لنا أن كل نقطة من نقطتَي التفرد ، يجب أن تَنتج عن . الآن، تساوي:
كما هو الحال مع ، يمكننا إيجاد مجال هذه الدالة بالنظر إلى النقاط التي يكون عندها المقام يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، علينا حل:
عادةً، يمكننا حل هذه المعادلة التربيعية بدلالة . ولكن، بما أننا نعلم أن مجال ، إذن يجب أن يناظر حلا هذه المعادلة نقطتَي التفرد ، .
دالة تربيعية مع الحلين ، يجب أن تكون على الصورة:
بمقارنة هذا مع مقام ، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، نجد أن .
هيا نختم بتلخيص النقاط الرئيسية التي تعلَّمناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- تُسمَّى الدالة دالة كسرية إذا أمكن كتابتها على الصورة: حيث ، دالتان كثيرتا حدود لكل .
- يمكننا تحديد مجال دالة كسرية عن طريق حل في المقام، واستبعاد هذه النقاط من .
- يمكن إيجاد المجال المشترك لدالتين كسريتين أو أكثر عن طريق أخذ تقاطع مجالَيْهما.
