تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: العمليات على المصفوفات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف ندمج عمليات جمع المصفوفات وطرحها وضربها في عدد ثابت وكيف ندوّر المصفوفات.

بمجرد تعريف المصفوفة، يمكن إجراء العديد من العمليات عليها. في أبسط المستويات، يمكن دمج مصفوفتين لهما نفس الأبعاد باستخدام عمليتين من العمليات الرياضية الأكثر شيوعًا، وهما: الجمع والطرح. وتُوجَد أيضًا عملية ضرب المصفوفة في عدد ثابت، والتي تحاكي إلى حدٍّ ما الفهم التقليدي للضرب. يمكن أن تكون هذه العمليات وحدها كافية لأن تمنح الجبر الخطي خواصَّ مميزة تكفي لأن تضمن التحليل الكامل والمناقشة. يمكن أيضًا دمج عملية التدوير، التي هي في حد ذاتها مفهوم غير فعَّال ظاهريًّا، مع عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد ثابت لإنتاج هياكل جبرية أكثر ثراءً من الجبر التقليدي. سيستكشف هذا الشارح جميع هذه العمليات وطرق دمجها واستخدامها.

في هذه المرحلة، من الجدير بالملاحظة أن ثمة عمليات أخرى في الجبر الخطي؛ مثل: رفع المصفوفة لقوة، وإيجاد معكوس المصفوفة، تساهم بشكل كبير في هذا المجال. وبالمثل، يمكن تقديم مفاهيم؛ مثل المحدِّد والأثر مع هذه المفاهيم؛ حيث ينتج عن كلٍّ منهما هيكل جبري يرتبط بجميع العمليات التي وصفناها سابقًا. وعلى الرغم من أن هذه الأفكار تقع خارج نطاق موضوع هذا الشارح، يرجى الانتباه إلى أن التعريفات والنظريات والأمثلة أدناه ما هي إلا جزء من صورة أكبر بكثير.

تعريف: جمع المصفوفات وطرحها

انظر المصفوفتين 𞸀، 𞸁، لكلٍّ منهما الرتبة 𞸌×𞸍، وهما موضَّحتان من خلال التعبيرين الآتيين: 𞸀=(󰏡)،𞸁=(𞸁).𞸕𞹑𞸕𞹑

إذن المصفوفة 𞸂=𞸀+𞸁 تَنتج من جمع المصفوفتين بحساب كل عنصر على حِدة. بعبارة أخرى، إذا كانت: 𞸂=(𞸢)،𞸕𞹑 فإن: 𞸢=󰏡+𞸁.𞸕𞹑𞸕𞹑𞸕𞹑

وبالمثل، تتم عملية الطرح أيضًا بحساب كل عنصر على حِدة. إذا كانت 󰎨=𞸀𞸁، ونعرِّفها على الصورة: 󰎨=(𞸃)،𞸕𞹑 فإن: 𞸃=󰏡𞸁.𞸕𞹑𞸕𞹑𞸕𞹑

أول نقطة نلاحظها هي أنه لا يمكن دمج 𞸀، 𞸁 باستخدام الجمع والطرح إلا إذا كانت لهما الرتبة نفسها. ولو كانت لدينا المصفوفتان: 𞸀=󰃭٥٣٢٣٠٣󰃬،𞸁=󰂔٠٣١١٢١٠٣󰂓، لما كانت هناك إذن طريقة لدمجهما باستخدام الجمع أو الطرح. هذا لأن 𞸀 تحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين، أما 𞸁 فتحتوي على صفين وأربعة أعمدة.

والآن نتناول مصفوفتين جديدتين: 𞸀=󰂔٥٠٣٢٣٣󰂓،𞸁=󰂔٣١١١٠٣󰂓.

تحتوي هاتان المصفوفتان على صفين وثلاثة أعمدة؛ ومن ثَمَّ، يمكن دمجهما باستخدام الجمع أو الطرح. ولكي نجمع المصفوفتين، فإننا نتعامل مع كل عنصر على حِدة: 𞸀+𞸁=󰂔٥٠٣٢٣٣󰂓+󰂔٣١١١٠٣󰂓=󰃁٥+٣٠+١٣+(١)٢+١٣+٠٣+٣󰃀=󰂔٨١٢١٣٠󰂓.

كما يمكن إجراء عملية الطرح على كل عنصر على حِدة: 𞸀𞸁=󰂔٥٠٣٢٣٣󰂓󰂔٣١١١٠٣󰂓=󰃁٥٣٠١٣(١)٢١٣٠٣٣󰃀=󰂔٢١٤٣٣٦󰂓.

نتناول الآن مثالًا على ذلك.

مثال ١: جمع مصفوفتين

احسب: 󰂔٨١١٣٧󰂓+󰂔٠١١٣١󰂓.

الحل

بالتعامل مع كل عنصر على حِدة، نحصل على: 󰂔٨١١٣٧󰂓+󰂔٠١١٣١󰂓=󰃁٨+٠١١١+(١)٣+٣٧+١󰃀=󰂔٨١٠١٠٨󰂓.

وعلى الرغم من أنه لم يُطلَب منَّا حساب ذلك، فإنه يمكننا أيضًا توضيح أن: 󰂔٨١١٣٧󰂓󰂔٠١١٣١󰂓=󰃁٨٠١١١(١)٣٣٧١󰃀=󰂔٢٢١٦٦󰂓.

تبدو عمليتا الجمع والطرح غير مؤثِّرتين إلى حدٍّ ما عند إجرائهما بشكل منفصل، ومن النادر أن يكون جمع مصفوفتين أو طرحهما أمرًا مثيرًا للاهتمام في حد ذاته. وبدلًا من ذلك، من الأرجح أن ندمج هاتين العمليتين مع العمليات المختلفة الأخرى. إحدى هذه العمليات الأكثر شيوعًا هي مدوَّر المصفوفة، الذي سنُعرِّفه الآن.

تعريف: مدوَّر المصفوفة

افترض أن مصفوفة 𞸀 لها عدد 𞸌 من الصفوف، وعدد 𞸍 من الأعمدة، وهي محدَّدة بالصيغة: 𞸀=(󰏡).𞸕𞹑

إذن، فإن «مدوَّر» المصفوفة 𞸀 هو مصفوفة لها عدد 𞸍 من الصفوف وعدد 𞸌 من الأعمدة، يمكن حسابها من عناصر المصفوفة 𞸀 من خلال الصيغة: 𞸀=(󰏡).𞹑𞸕

ويكون للمصفوفة الأصلية 𞸀 الرتبة 𞸌×𞸍، ولمدوَّر المصفوفة 𞸀 الرتبة 𞸍×𞸌.

عادةً ما يُوصَف تدوير المصفوفات بأنه «عملية تبديل الصفوف بالأعمدة» أو «عكس ما حول عناصر القطر». لكن كلا المفهومين متكافئان، ويمكن توضيحهما بمثال. انظر المصفوفة: 𞸀=󰂔٥٥٠٣٠٢٣٣󰂓، التي رتبتها ٢×٤. إذن سيكون مدوَّر المصفوفة، 𞸀، له الرتبة ٤×٢: 𞸀=، حيث تمثِّل العناصر الكميات التي لم نحسبها بعدُ.

ولكتابة عناصر هذه المصفوفة، نأخذ الصف الأول من 𞸀، ونكتب هذه العناصر بنفس ترتيبها في العمود الأول من 𞸀، كما هو موضَّح: 𞸀=󰂔٥٥٠٣٠٢٣٣󰂓،𞸀=٥٥٠٣.

ولكتابة العناصر المتبقية، نأخذ الآن الصف الثاني من 𞸀، ونكتب العناصر بنفس ترتيبها في العمود الثاني من 𞸀: 𞸀=󰂔٥٥٠٣٠٢٣٣󰂓،𞸀=٥٠٥٢٠٣٣٣.

بعد رؤية المصفوفتين أعلاه، بإمكاننا الآن أن نفهم لماذا نَصِف عملية التدوير بأنها تبديل الصفوف بالأعمدة. يمكننا أيضًا كتابة هاتين المصفوفتين مع تمييز عناصر القطر فقط: 𞸀=󰂔٥٥٠٣٠٢٣٣󰂓،𞸀=٥٠٥٢٠٣٣٣.

يمكننا ملاحظة أن 󰏡=󰏡=٥١١١١، 󰏡=󰏡=٢٢٢٢٢. وبعد معرفة أن عناصر القطر لا تتغيَّر، يمكننا أن نلاحظ الآن السبب الذي جعلنا «نعكس» ما حول هذه العناصر عند تدوير المصفوفة الأصلية.

مثال ٢: مدوَّر المصفوفة

إذا كانت: 𞸀=󰂔٢٦٦١٨٤󰂓، فأوجد 𞸀.

الحل

بما أن 𞸀 رتبتها ٢×٣، إذن يكون للمدوَّر 𞸀 الرتبة ٣×٢؛ ومن ثَمَّ، سيكون على الصورة: 𞸀=󰃁󰃀.

وستظل عناصر القطر كما هي، ما يعطينا:             𞸀=󰂔٢٦٦١٨٤󰂓،𞸀=󰃭٢٨󰃬.

بعد ذلك، نكتب الصف الأول من 𞸀 باعتباره العمود الأول من 𞸀: 𞸀=󰂔٢٦٦١٨٤󰂓،𞸀=󰃭٢٦٨٦󰃬.

وأخيرًا، نكتب الصف الثاني من 𞸀 باعتباره العمود الثاني من 𞸀: 𞸀=󰂔٢٦٦١٨٤󰂓،𞸀=󰃭٢١٦٨٦٤󰃬.

في هذا الشارح، رأينا بالفعل كيف أن جمع المصفوفات لا يكون ممكنًا إلا بين مصفوفتين لهما الرتبة نفسها، ويمكن دمجهما أيضًا، مع العلم بأن تدوير المصفوفة سينطبق على مصفوفة رتبتها 𞸌×𞸍 ويُنتِج مصفوفة رتبتها 𞸍×𞸌. ما لم يكن 𞸌=𞸍، وهو ما يعطينا مصفوفة «مُربعة»، فإن رتبة المصفوفة تكون مختلفة عن رتبة مدوَّرها. يتناول السؤال الآتي كلتا الفكرتين.

مثال ٣: جمع مصفوفتين وتدويرهما

إذا كان: 𞸀=󰂔٧٥٧٥٩٨󰂓،𞸁=󰃭٧٥٣٥١٤󰃬، فأوجد ناتج 𞸀𞸁، إن أمكن.

الحل

إن رتبة المصفوفة 𞸀 هي ٢×٣، ورتبة المصفوفة 𞸁 هي ٣×٢. نعلم بذلك أن رتبة 𞸁 ستكون ٢×٣، وهي نفس رتبة 𞸀؛ ما يعني أنه يمكن دمج هاتين المصفوفتين باستخدام الجمع (أو الطرح). ومن ذلك نحسب: 𞸁=󰂔٧٣١٥٥٤󰂓، وهو ما يعطينا: 𞸀𞸁=󰂔٧٥٧٥٩٨󰂓󰂔٧٣١٥٥٤󰂓=󰃁٧٧٥٣٧١٥(٥)٩(٥)٨(٤)󰃀=󰂔٤١٢٦٠١٤٢١󰂓.

في كثير من الأحيان، عند التعامل مع الجبر التقليدي، يُطلَب منَّا إيجاد كمية مجهولة في معادلة مُعطاة. يمكن طرح السؤال نفسه عند التعامل مع الجبر الخطي، بالرغم من وجود مزيد من العمليات الحسابية المحتملة؛ مثل التدوير.

مثال ٤: حل المعادلات المصفوفية باستخدام الجمع والتدوير

إذا كان: 𞸀=󰃭٥٩٧٠١٢٠٦٣٧󰃬،(𞸀+𞸁)=󰃭٣١١٢٢١٤٣٤٧١٣٦󰃬، فأوجد المصفوفة 𞸁.

الحل

لاحظ أن 𞸀 رتبتها ٣×٣؛ ما يعني أن 𞸁 لا بد أن تكون أيضًا من الرتبة ٣×٣، وإلا فلن يكون جمع 𞸀+𞸁 ممكنًا.

يمكننا أيضًا أن نتذكَّر الخاصية التي تشير إلى أنه بالنسبة إلى أيِّ مصفوفة 𞸂، فإن استخدام مدوَّر المصفوفة مرتين تَنتج عنه المصفوفة الأصلية 𞸂. بعبارة أخرى، (𞸂)=𞸂. ولذلك، يمكننا استخدام المعادلة المُعطاة: (𞸀+𞸁)=󰃭٣١١٢٢١٤٣٤٧١٣٦󰃬 وتدوير الطرفين لكي نحصل على: ((𞸀+𞸁))=󰃭٣١١٢٢١٤٣٤٧١٣٦󰃬.

وبما أن (𞸂)=𞸂، إذن يُبسَّط الطرف الأيمن من المعادلة إلى: 𞸀+𞸁=󰃭٣١١٢٢١٤٣٤٧١٣٦󰃬.

وبحساب مدوَّر المصفوفة الموجود على الطرف الأيسر، نحصل على: 𞸀+𞸁=󰃭٣١٤٧١١٢٣٣٢١٤٦󰃬.

يمكننا الآن طرح 𞸀 من كلا الطرفين، ما يعطينا: 𞸁=󰃭٣١٤٧١١٢٣٣٢١٤٦󰃬𞸀=󰃭٣١٤٧١١٢٣٣٢١٤٦󰃬󰃭٥٩٧٠١٢٠٦٣٧󰃬=󰃭٨٥٠١١١٥٣٦١١󰃬.

يمكننا التأكد من أن هذه المصفوفة تحقِّق بالفعل المعادلة الأصلية.

يكون ضرب مصفوفتين 𞸀، 𞸁 معرَّفَّا جيدًا إذا كانت رتبتا المصفوفتين متوافقتين. وبذلك، نعرف أنه يمكننا تعريف حاصل ضرب المصفوفتين 𞸀𞸁 ما دامت 𞸀 تحتوي على عدد من الأعمدة بقدر ما تحتويه 𞸁 من صفوف. بعبارة أخرى، إذا كانت 𞸀 رتبتها 𞸌×𞸍، ورتبة 𞸁 هي 𞸍×𞸋، فإن حاصل ضرب المصفوفتين 𞸀𞸁 معرَّف جيدًا؛ لأن 𞸀 تحتوي على عدد 𞸍 من الأعمدة، وتحتوي 𞸁 على عدد 𞸍 من الصفوف. وتكون المصفوفة الناتجة 𞸀𞸁 من الرتبة 𞸌×𞸋.

بوجه عام، تختلف قيمة حاصل ضرب المصفوفتين 𞸀𞸁 عن قيمة حاصل ضرب المصفوفتين 𞸁𞸀؛ ما يعني أن 𞸀𞸁𞸁𞸀، كما يتضح أن ضرب المصفوفات بوجه عام «ليس إبداليًّا». وهذا يتناقض مع الجبر التقليدي؛ فمن المعلوم أن العددين ك، م يكونان «إبداليين» عند إجراء عملية الضرب عليهما؛ ما يعني أن كممك=. علاوةً على ذلك، إذا كانت رتبتا 𞸀، 𞸁 تسمحان بوجود حاصل ضرب المصفوفتين 𞸀𞸁، فهذا لا يعني أن حاصل الضرب 𞸁𞸀 موجودًا. في الواقع، لا يمكن تعريف كلٍّ من 𞸀𞸁، 𞸁𞸀 جيدًا، إلا إذا كانت 𞸀 من الرتبة 𞸌×𞸍، وكانت 𞸁 من الرتبة 𞸍×𞸌.

على الرغم من أن ضرب المصفوفات له تعريف أكثر دقةً بالنسبة إلى المصفوفات ذات الرتبة الكبيرة، فبالنسبة إلى المصفوفات من الرتبة ٢×٢، يمكن تعريف حاصل الضرب هذا بسهولة. انظر المصفوفتين: 𞸀=󰂔٨٧٢٥󰂓،𞸁=󰂔١٥٣٢󰂓.

إن أسهل طريقة لتجنُّب ارتكاب الأخطاء عند حساب حاصل ضرب المصفوفات هي التعامل مع كل عنصر على حِدة. بما أن 𞸀 رتبتها ٢×٢، ورتبة 𞸁 هي ٢×٢، فإن المصفوفة 𞸀𞸁 رتبتها ٢×٢. ومن ثَمَّ، فنحن نريد إيجاد مصفوفة على الصورة: 𞸀𞸁=󰂔󰂓،حيث يُمثِّل الرمز العناصر المجهولة التي يلزم حسابها. ولحساب قيمة العنصر في الصف الأول والعمود الأول من 𞸀𞸁، ندمج الصف الأول من 𞸀 مع العمود الأول من 𞸁، كما هو موضَّح: 𞸀𞸁=󰂔󰂓=󰂔٨٧٢٥󰂓󰂔١٥٣٢󰂓.

إذن نحسب قيمة العنصر عن طريق دمج العناصر معًا بالترتيب. وتكون قيمة العنصر الملوَّن بالأخضر هي ٨×(١)+٧×٣=٣١، ما يعطينا: 𞸀𞸁=󰂔٣١󰂓=󰂔٨٧٢٥󰂓󰂔١٥٣٢󰂓.

ونحسَب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من 𞸀𞸁 باستخدام الصف الأول من 𞸀 والعمود الثاني من 𞸁، كما هو موضَّح: 𞸀𞸁=󰂔٣١٤٥󰂓=󰂔٨٧٢٥󰂓󰂔١٥٣٢󰂓، حيث أجرينا العملية الحسابية ٨×٥+٧×٢=٤٥.

ولحساب قيمة العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول من 𞸀𞸁، نستخدم الصف الثاني من 𞸀 والعمود الأول من 𞸁: 𞸀𞸁=󰂔٣١٤٥٣١󰂓=󰂔٨٧٢٥󰂓󰂔١٥٣٢󰂓، حيث حسبنا ٢×(١)+٥×٣=٣١. وأخيرًا، نستخدم الصف الثاني من 𞸀 والعمود الثاني من 𞸁 لحساب: 𞸀𞸁=󰂔٣١٤٥٣١٠٢󰂓=󰂔٨٧٢٥󰂓󰂔١٥٣٢󰂓، بعد حساب ٢×٥+٥×٢=٠٢.

لاحظ أن حساب 𞸁𞸀 في هذه الحالة يعطينا ناتجًا مختلفًا عن 𞸀𞸁؛ أي إن: 𞸁𞸀=󰂔٢٨١٨٢١٣󰂓.

في هذا الشارح وحده، أوضحنا العمليات على المصفوفات التي تتضمَّن الجمع/الطرح والتدوير والضرب (لمصفوفات رتبتها ٢×٢ على الأقل). وعلى الرغم من وجود عمليات أكثر بكثير يمكن إجراؤها على المصفوفات، سنتدرب الآن على سؤال يجمع جميع الأفكار التي تناولناها في هذا الشارح معًا.

مثال ٥: حل المعادلات المصفوفية

إذا كان: 𞸀=󰂔٦٥١٢󰂓،(𞸀+𞸁)=󰂔٤٤١١٦󰂓، فأوجد (𞸀𞸁).

الحل

علينا أولًا حساب 𞸁 من المعادلة الموجودة في أقصى اليسار. نتذكَّر بدايةً أن (𞸂)=𞸂 لأي مصفوفة 𞸂، إذن يمكننا استخدام مدوَّر المصفوفة: (𞸀+𞸁)=󰂔٤٤١١٦󰂓 لنحصل على: ((𞸀+𞸁))=󰂔٤٤١١٦󰂓.

وبتبسيط الطرف الأيمن وحساب المدوَّر في الطرف الأيسر، نحصل على: 𞸀+𞸁=󰂔٤١١٤٦󰂓.

وبنقل المصفوفة 𞸀 من الطرف الأيمن للمعادلة إلى الطرف الأيسر، نحصل على: 𞸁=󰂔٤١١٤٦󰂓𞸀=󰂔٤١١٤٦󰂓󰂔٦٥١٢󰂓=󰂔٢٦٥٤󰂓.

لقد طُلِب منَّا في البداية حساب المصفوفة (𞸀𞸁). لكي نفعل ذلك، سندوِّر أولًا 𞸀 لإيجاد: 𞸀=󰂔٦٥١٢󰂓،𞸀=󰂔٦١٥٢󰂓.

وبعد ذلك، نحسب حاصل ضرب المصفوفتين: 𞸀𞸁=󰂔٦١٥٢󰂓󰂔٢٦٥٤󰂓=󰂔٧١٠٤٠٢٨٣󰂓.

ثم نُوجِد المدوَّر للحصول على: (𞸀𞸁)=󰂔٧١٠٢٠٤٨٣󰂓.

بمعرفة المزيد عن الجبر الخطي، كان من الممكن تبسيط العمليات الحسابية أعلاه بعض الشيء باستخدام إحدى خواص المصفوفات التي تنص على أن (𞸀𞸁)=𞸁𞸀. عند التعامل فقط مع عمليات الجمع/الطرح والتدوير والضرب، تنشأ مجموعة من الخواص الجبرية الأخرى، والتي ينتج عنها نظام جبري له هياكل لا تنشأ أبدًا في العمليات الجبرية التقليدية. ولا يمكن إثراء هذه المجموعة من القواعد إلا من خلال تضمين عمليات أخرى على المصفوفات؛ مثل: الضرب في عدد ثابت وإيجاد معكوس المصفوفة والرفع لقوة، إضافةً إلى مفاهيم ذات صلة تساهم أيضًا في ذلك؛ مثل المحدِّد والأثر.

النقاط الرئيسية

تتلخَّص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح فيما يلي:

  • لا يتم تعريف الجمع أو الطرح بين مصفوفتين جيدًا إلا إذا كانت لهما الرتبة نفسها.
  • تُجرى عمليات جمع المصفوفات أو طرحها بحساب كل عنصر على حِدة.
  • بالنسبة إلى أي مصفوفة 𞸀 رتبتها 𞸌×𞸍، ينتج عن مدوَّر المصفوفة مصفوفة رتبتها 𞸍×𞸌.
  • يبدِّل مدوَّر المصفوفة الصفوف بالأعمدة. وبالمثل، فإن مدوَّر المصفوفة «يعكس» عناصر المصفوفة حول عناصر القطر الرئيسي.
  • لا يُعرَّف حاصل ضرب المصفوفتين 𞸀𞸁 إلا إذا كانت 𞸀 رتبتها 𞸌×𞸍، ورتبة 𞸁 هي 𞸍×𞸋.
  • لا يُعَد ضرب المصفوفات إبداليًّا، ما يعني بوجه عام أن 𞸀𞸁𞸁𞸀.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.