شارح الدرس: العمليات على المصفوفات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف ندمج عمليات جمع المصفوفات وطرحها وضربها في عدد ثابت وكيف ندوّر المصفوفات.

بمجرد تعريف المصفوفة، يمكن إجراء العديد من العمليات عليها. في أبسط المستويات، يمكن دمج مصفوفتين لهما نفس الأبعاد باستخدام عمليتين من العمليات الرياضية الأكثر شيوعًا، وهما: الجمع والطرح. وتُوجَد أيضًا عملية ضرب المصفوفة في عدد ثابت، والتي تحاكي إلى حدٍّ ما الفهم التقليدي للضرب. يمكن أن تكون هذه العمليات وحدها كافية لأن تمنح الجبر الخطي خواصَّ مميزة تكفي لأن تضمن التحليل الكامل والمناقشة. يمكن أيضًا دمج عملية التدوير، التي هي في حد ذاتها مفهوم غير فعَّال ظاهريًّا، مع عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد ثابت لإنتاج هياكل جبرية أكثر ثراءً من الجبر التقليدي. سيستكشف هذا الشارح جميع هذه العمليات وطرق دمجها واستخدامها.

في هذه المرحلة، من الجدير بالملاحظة أن ثمة عمليات أخرى في الجبر الخطي؛ مثل: رفع المصفوفة لقوة، وإيجاد معكوس المصفوفة، تساهم بشكل كبير في هذا المجال. وبالمثل، يمكن تقديم مفاهيم؛ مثل المحدِّد والأثر مع هذه المفاهيم؛ حيث ينتج عن كلٍّ منهما هيكل جبري يرتبط بجميع العمليات التي وصفناها سابقًا. وعلى الرغم من أن هذه الأفكار تقع خارج نطاق موضوع هذا الشارح، يرجى الانتباه إلى أن التعريفات والنظريات والأمثلة أدناه ما هي إلا جزء من صورة أكبر بكثير.

أول نقطة نلاحظها هي أنه لا يمكن دمج ، باستخدام الجمع والطرح إلا إذا كانت لهما الرتبة نفسها. ولو كانت لدينا المصفوفتان: لما كانت هناك إذن طريقة لدمجهما باستخدام الجمع أو الطرح. هذا لأن تحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين، أما فتحتوي على صفين وأربعة أعمدة.

والآن نتناول مصفوفتين جديدتين:

تحتوي هاتان المصفوفتان على صفين وثلاثة أعمدة؛ ومن ثَمَّ، يمكن دمجهما باستخدام الجمع أو الطرح. ولكي نجمع المصفوفتين، فإننا نتعامل مع كل عنصر على حِدة:

كما يمكن إجراء عملية الطرح على كل عنصر على حِدة:

نتناول الآن مثالًا على ذلك.

تبدو عمليتا الجمع والطرح غير مؤثِّرتين إلى حدٍّ ما عند إجرائهما بشكل منفصل، ومن النادر أن يكون جمع مصفوفتين أو طرحهما أمرًا مثيرًا للاهتمام في حد ذاته. وبدلًا من ذلك، من الأرجح أن ندمج هاتين العمليتين مع العمليات المختلفة الأخرى. إحدى هذه العمليات الأكثر شيوعًا هي مدوَّر المصفوفة، الذي سنُعرِّفه الآن.

عادةً ما يُوصَف تدوير المصفوفات بأنه «عملية تبديل الصفوف بالأعمدة» أو «عكس ما حول عناصر القطر». لكن كلا المفهومين متكافئان، ويمكن توضيحهما بمثال. انظر المصفوفة: التي رتبتها . إذن سيكون مدوَّر المصفوفة، ، له الرتبة : حيث تمثِّل العناصر الكميات التي لم نحسبها بعدُ.

ولكتابة عناصر هذه المصفوفة، نأخذ الصف الأول من ، ونكتب هذه العناصر بنفس ترتيبها في العمود الأول من ، كما هو موضَّح:

ولكتابة العناصر المتبقية، نأخذ الآن الصف الثاني من ، ونكتب العناصر بنفس ترتيبها في العمود الثاني من :

بعد رؤية المصفوفتين أعلاه، بإمكاننا الآن أن نفهم لماذا نَصِف عملية التدوير بأنها تبديل الصفوف بالأعمدة. يمكننا أيضًا كتابة هاتين المصفوفتين مع تمييز عناصر القطر فقط:

يمكننا ملاحظة أن ، . وبعد معرفة أن عناصر القطر لا تتغيَّر، يمكننا أن نلاحظ الآن السبب الذي جعلنا «نعكس» ما حول هذه العناصر عند تدوير المصفوفة الأصلية.

في هذا الشارح، رأينا بالفعل كيف أن جمع المصفوفات لا يكون ممكنًا إلا بين مصفوفتين لهما الرتبة نفسها، ويمكن دمجهما أيضًا، مع العلم بأن تدوير المصفوفة سينطبق على مصفوفة رتبتها ويُنتِج مصفوفة رتبتها . ما لم يكن ، وهو ما يعطينا مصفوفة «مُربعة»، فإن رتبة المصفوفة تكون مختلفة عن رتبة مدوَّرها. يتناول السؤال الآتي كلتا الفكرتين.

في كثير من الأحيان، عند التعامل مع الجبر التقليدي، يُطلَب منَّا إيجاد كمية مجهولة في معادلة مُعطاة. يمكن طرح السؤال نفسه عند التعامل مع الجبر الخطي، بالرغم من وجود مزيد من العمليات الحسابية المحتملة؛ مثل التدوير.

يكون ضرب مصفوفتين ، معرَّفَّا جيدًا إذا كانت رتبتا المصفوفتين متوافقتين. وبذلك، نعرف أنه يمكننا تعريف حاصل ضرب المصفوفتين ما دامت تحتوي على عدد من الأعمدة بقدر ما تحتويه من صفوف. بعبارة أخرى، إذا كانت رتبتها ، ورتبة هي ، فإن حاصل ضرب المصفوفتين معرَّف جيدًا؛ لأن تحتوي على عدد من الأعمدة، وتحتوي على عدد من الصفوف. وتكون المصفوفة الناتجة من الرتبة .

بوجه عام، تختلف قيمة حاصل ضرب المصفوفتين عن قيمة حاصل ضرب المصفوفتين ؛ ما يعني أن ، كما يتضح أن ضرب المصفوفات بوجه عام «ليس إبداليًّا». وهذا يتناقض مع الجبر التقليدي؛ فمن المعلوم أن العددين ، يكونان «إبداليين» عند إجراء عملية الضرب عليهما؛ ما يعني أن . علاوةً على ذلك، إذا كانت رتبتا ، تسمحان بوجود حاصل ضرب المصفوفتين ، فهذا لا يعني أن حاصل الضرب موجودًا. في الواقع، لا يمكن تعريف كلٍّ من ، جيدًا، إلا إذا كانت من الرتبة ، وكانت من الرتبة .

على الرغم من أن ضرب المصفوفات له تعريف أكثر دقةً بالنسبة إلى المصفوفات ذات الرتبة الكبيرة، فبالنسبة إلى المصفوفات من الرتبة ، يمكن تعريف حاصل الضرب هذا بسهولة. انظر المصفوفتين:

إن أسهل طريقة لتجنُّب ارتكاب الأخطاء عند حساب حاصل ضرب المصفوفات هي التعامل مع كل عنصر على حِدة. بما أن رتبتها ، ورتبة هي ، فإن المصفوفة رتبتها . ومن ثَمَّ، فنحن نريد إيجاد مصفوفة على الصورة: حيث يُمثِّل الرمز العناصر المجهولة التي يلزم حسابها. ولحساب قيمة العنصر في الصف الأول والعمود الأول من ، ندمج الصف الأول من مع العمود الأول من ، كما هو موضَّح:

إذن نحسب قيمة العنصر عن طريق دمج العناصر معًا بالترتيب. وتكون قيمة العنصر الملوَّن بالأخضر هي ، ما يعطينا:

ونحسَب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من باستخدام الصف الأول من والعمود الثاني من ، كما هو موضَّح: حيث أجرينا العملية الحسابية .

ولحساب قيمة العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول من ، نستخدم الصف الثاني من والعمود الأول من : حيث حسبنا . وأخيرًا، نستخدم الصف الثاني من والعمود الثاني من لحساب: بعد حساب .

لاحظ أن حساب في هذه الحالة يعطينا ناتجًا مختلفًا عن ؛ أي إن:

في هذا الشارح وحده، أوضحنا العمليات على المصفوفات التي تتضمَّن الجمع/الطرح والتدوير والضرب (لمصفوفات رتبتها على الأقل). وعلى الرغم من وجود عمليات أكثر بكثير يمكن إجراؤها على المصفوفات، سنتدرب الآن على سؤال يجمع جميع الأفكار التي تناولناها في هذا الشارح معًا.

بمعرفة المزيد عن الجبر الخطي، كان من الممكن تبسيط العمليات الحسابية أعلاه بعض الشيء باستخدام إحدى خواص المصفوفات التي تنص على أن . عند التعامل فقط مع عمليات الجمع/الطرح والتدوير والضرب، تنشأ مجموعة من الخواص الجبرية الأخرى، والتي ينتج عنها نظام جبري له هياكل لا تنشأ أبدًا في العمليات الجبرية التقليدية. ولا يمكن إثراء هذه المجموعة من القواعد إلا من خلال تضمين عمليات أخرى على المصفوفات؛ مثل: الضرب في عدد ثابت وإيجاد معكوس المصفوفة والرفع لقوة، إضافةً إلى مفاهيم ذات صلة تساهم أيضًا في ذلك؛ مثل المحدِّد والأثر.