في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيم الدوال المثلثية.
عادةً ما نُوجِد قيم الدوال المثلثية عند استخدام متطابقة واحدة أو أكثر من متطابقات فيثاغورس، التي تربط بين الدوال المثلثية المختلفة ومقلوباتها.
لهذه المتطابقات المثلثية العديد من التطبيقات الحياتية في مجالات مختلفة؛ مثل الفيزياء والهندسة والعمارة وعلم الروبوتات والنظريات الموسيقية والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. في الفيزياء، يمكن استخدامها في حركة المقذوفات، وتمثيل آليات الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتردِّدة والمستمرة، وإيجاد مسار كتلة حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.
هيا نبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية، التي نتناول متطابقات فيثاغورس المرتبطة بها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية الآتي:
يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كالآتي:
هذه الدوال تحقِّق المتطابقة المثلثية الآتية:
نلاحظ أن هذه النسب المثلثية مُعرَّفة للزوايا الحادة ، وأن الدوال المثلثية لجميع قيم مُعرَّفة على دائرة الوحدة.
افترض أن نقطة تتحرَّك على دائرة الوحدة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند موضع معيَّن إحداثياته على دائرة الوحدة بزاوية قياسها ، تكون دالة الجيب مُعرَّفة على الصورة ، ودالة جيب التمام مُعرَّفة على الصورة ، كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارة أخرى، الدوال المثلثية مُعرَّفة باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي.
نلاحظ أنه يمكننا التعامل مع متطابقة فيثاغورس لاستنتاج المتطابقات الأخرى لمقلوب الدوال المثلثية. على وجه التحديد، عند القسمة على ، نحصل على:
وبالمثل، بالقسمة على ، يمكننا الحصول على المتطابقة التي تربط بين ، :
هذا يعني أنه لا يتعيَّن علينا حفظ كل متطابقات فيثاغورس الثلاث؛ لأنه يمكننا استنتاج جميع المتطابقات الأخرى من المتطابقة الأساسية التي تتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام.
هيا نُوجِد قيمة مقدار معيَّن باستخدام متطابقة، بدون أي معلومات أخرى. يعني هذا أنه ستظل القيم دائمًا ثابتة، بغض النظر عن قياس الزاوية أو قيمة الدالة المثلثية عند تلك الزاوية.
مثال ١: تطبيق متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة بعض المقادير
أوجد قيمة .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار دالة مثلثية معيَّنة باستخدام متطابقة فيثاغورس.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، فإننا نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
إذا وزَّعنا الأقواس الموضَّحة في المقدار المُعطى واستخدمنا هذه المتطابقة، نحصل على:
دالة الجيب تكافئ دالة جيب التمام بانتقال مقداره إلى اليسار، وهو ما يمكن تصوُّره بمقارنة التمثيلين البيانيين لكلتا الدالتين.
على وجه التحديد، لدينا متطابقتا الإزاحة الآتيتان للزاويتين ، :
يمكننا أيضًا توضيح ذلك على دائرة الوحدة كالآتي:
وبالمثل، بالتعويض عن بـ ، نحصل على المتطابقتين المثلثيتين الآتيتين للزاويتين المتتامتين ، :
يمكننا توضيح ذلك كالآتي:
يَصِف الشكلُ المثلثَ القائم الزاوية الذي يتضمَّن الزاوية في الوضع القياسي، ويقطع دائرة الوحدة عند ، وزاويته حادة القياس، .
يمكننا استخدام هاتين المتطابقتين للزاويتين المتتامتين إلى جانب متطابقات فيثاغورس لتبسيط مقادير الدوال المثلثية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المقدار: فيمكننا تجميع هاتين المتطابقتين واستخدامهما لإيجاد متطابقات الدوال المثلثية الأخرى المُعرَّفة بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.
تعريف: المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسبة
تُحقِّق الدوال المثلثية متطابقات الزاويتين المتتامتين لجميع قياسات في مجالاتها. على وجه التحديد، يكون لدينا:
يمكننا استنتاج متطابقات الزاويتين المتتامتين لدوال مثلثية أخرى عن طريق ربطها بالمتطابقات التي تتضمَّن الجيب وجيب التمام. على سبيل المثال، بالنسبة إلى دالة الظل، يكون لدينا:
تُقاس كل هذه المتطابقات أيضًا بالراديان، تحديدًا، بالتعويض عن درجة بـ راديان.
والآن، هيا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقة مع دالة الجيب لتبسيط مقدار دالة مثلثية مُعطاة باستخدام متطابقة فيثاغورس.
مثال ٢: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين ومتطابقات فيثاغورس
بسِّط .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار دالة مثلثية معيَّنة من خلال تطبيق متطابقة فيثاغورس ومتطابقة الزاويتين المتتامتين.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالة الجيب، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس: ومتطابقة الزاويتين المتتامتين:
باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين في المقدار المُعطى وتطبيق متطابقة فيثاغورس، نحصل على:
يمكننا إيجاد قيمة مقدار مثلثي من قيمة دالة مثلثية. في المثال التالي، نُوجِد قيمة مقدار باستخدام معلومات عن أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية.
مثال ٣: إيجاد قيمة متطابقات فيثاغورس للزوايا في المثلثات القائمة الزاوية
أوجد ، إذا كان مثلثًا قائم الزاوية في ؛ حيث ، .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار مثلثي معيَّن باستخدام معلومات عن أطوال المثلث القائم الزاوية، لإيجاد قيمة دالة مثلثية معيَّنة، وتطبيق متطابقات فيثاغورس.
يمكننا إيجاد قيمة المقدار المطلوب باستخدام طريقتين مختلفتين. أولًا، باستخدام متطابقات فيثاغورس، وثانيًا، باستخدام نظرية فيثاغورس. نبدأ بطريقة إيجاد هذه القيمة باستخدام متطابقات فيثاغورس.
الطريقة الأولى
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالة الظل، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
وفقًا للتعريف، دالة القاطع هي:
الضلع هو الضلع المقابل للزاوية ، والضلع هو وتر المثلث القائم الزاوية. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد جيب هذه الزاوية بحساب النسبة بين هذين الطولين. يصبح لدينا:
وفقًا لمتطابقة فيثاغورس وتعريف دالة القاطع:
هيا نُوجِد أولًا مقام الطرف الأيسر من هذا المقدار، الذي يعتمد على قيمة ؛ حيث نعلم قيمة . وبما أن هذا يتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس التي تربط هاتين القيمتين: والتي يمكننا إعادة ترتيبها على الصورة ، وهنا نعوِّض بالقيمة المُعطاة لدالة الجيب، لنحصل على:
ومن ثَمَّ، في المقدار المُعطى، نحصل على:
الطريقة الثانية
يمكننا أيضًا إيجاد هذه القيمة بإيجاد الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية من نظرية فيثاغورس، واستخدام ذلك لحساب قيمة ، التي تساوي النسبة بين الضلعين المقابل والمجاور. بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية، نحصل على:
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا . يمكننا الآن إيجاد ظل الزاوية باستخدام النسبة بين الضلع المقابل، ، والضلع المجاور، :
نلاحظ أن هذه النسبة هي نفس نسبة القيمة بين الجيب وجيب تمام الزاوية؛ لأن يعني أن ؛ حيث زاوية حادة؛ ومن ثَمَّ:
والآن، يمكننا تربيع هذه القيمة، وإضافة ١ لإيجاد قيمة المقدار المطلوب:
في المثال التالي، نُوجِد قيمة تربيع دالة مثلثية، ، من القيمة المُعطاة لتربيع دالة مثلثية أخرى، ، باستخدام متطابقات فيثاغورس.
مثال ٤: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة دالة مثلثية
أوجد قيمة إذا كان .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة تربيع دالة مثلثية من قيمة تربيع دالة مثلثية أخرى.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي ظل التمام وقاطع التمام، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
ومن ثَمَّ، إذا أعدنا ترتيب هذا المقدار لجعل المتغيِّر التابع، وعوَّضنا بـ ، فإننا نحصل على:
يمكننا أيضًا إيجاد قيمة مقدار دالة مثلثية من قيمة مقدار آخر، من خلال تطبيق متطابقة فيثاغورس، دون استخدام القيم الفعلية للدوال. هيا نتناول مثالًا على ذلك.
مثال ٥: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة مقدار دالة مثلثية
أوجد قيمة ، إذا كان .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار دالة مثلثية معيَّن من قيمة مقدار آخر.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
وبما أن متطابقة فيثاغورس تتضمَّن تربيع دالتَي الجيب وجيب التمام، فمن المنطقي البدء بتربيع طرفَي المعادلة. إذا أخذنا تربيع المقدار المُعطى ، ووزَّعنا الأقواس، وطبَّقنا هذه المتطابقة، نحصل على:
والآن، هيا نُحدِّد قيمة مقدار دالة مثلثية آخر، لكن هذه المرة باستخدام عدة متطابقات من متطابقات فيثاغورس وتعريف مقلوب الدوال المثلثية.
مثال ٦: إيجاد قيمة مقادير مثلثية بمعلومية معادلات مثلثية
أوجد قيمة ، إذا كان .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار مثلثي معيَّن من قيمة مقدار آخر.
يمكننا إيجاد قيمة المقدار المُعطى بطريقتين مختلفتين: أولًا، باستخدام متطابقات فيثاغورس، وثانيًا، عن طريق تربيع المعادلة المُعطاة وتبسيط المعادلة الناتجة. هيا نبدأ بالطريقة التي نستخدم فيها متطابقات فيثاغورس.
الطريقة الأولى
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي الظل وظل التمام، إذن نتذكَّر متطابقات فيثاغورس:
لاحِظ أن دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام تُعرَّف كالآتي:
يمكننا كتابة الطرف الأيمن من المقدار المثلثي المُعطى على الصورة:
بما أن الطرف الأيمن من هذا المقدار يتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس: التي يمكن استخدامها لتبسيط بسط المقدار:
ومن ثَمَّ، فإن المقدار المُعطى يكافئ:
والآن، بالنسبة إلى المقدار الذي نريد إيجاد قيمته، يمكننا تطبيق متطابقات فيثاغورس للحصول على:
الطريقة الثانية
نلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا إيجاد هذه القيمة دون تطبيق متطابقات فيثاغورس بتربيع المقدار المُعطى، ، واستخدام تعريف دالة ظل التمام:
ومن ثَمَّ، نحصل على القيمة كالآتي:
حتى الآن، الأمثلة التي تناولناها تضمَّنت إيجاد قيمة مقدار مثلثي عن طريق تطبيق متطابقات فيثاغورس. في بعض الأمثلة، استخدمنا أيضًا قيمًا معلومة لدالة مثلثية أو مقدار آخر. لكن ماذا لو أردنا إيجاد قيمة دالة مثلثية من قيمة مقدار دالة مثلثية أخرى؟ في بعض الحالات، قد نحتاج إلى معرفة الرُّبع الذي تقع فيه الزاوية؛ لأن إشارات الدوال المثلثية يمكن أن تختلف في كل رُبع.
تتضمَّن متطابقات فيثاغورس تربيع قيم الدوال المثلثية؛ لذا، قد نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لنحصل على قيمة دالة مثلثية أخرى، يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. تعتمد إشارة الدوال المثلثية على الرُّبع الذي نتناوله. يساعدنا مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية على تذكُّر إشارات الدوال المثلثية لكل رُبع.
هيا نتذكَّر مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.
قاعدة: مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية
في الرُّبع الأول، تكون كل الدوال المثلثية موجبة.
في الرُّبع الثاني، تكون دالة الجيب موجبة.
في الرُّبع الثالث، تكون دالة الظل موجبة.
في الرُّبع الرابع، تكون دالة جيب التمام موجبة.
تسمح لنا متطابقات فيثاغورس بتحديد قيمة أي دالة مثلثية، على سبيل المثال من قيمة دالة مثلثية أخرى مُعطاة، . من متطابقة فيثاغورس الأولى ، نحصل على:
تكون دالة جيب التمام موجبة في الرُّبعين الأول والرابع، وسالبة في الرُّبعين الثاني والثالث. بعبارة أخرى، تعتمد قيمة دالة جيب التمام على قيمة وأي رُبع تقع فيه الزاوية .
والآن، هيا نُلقِ نظرة على مثال نُوجِد خلاله قيمة دالة جيب التمام من القيمة المُعطاة لدالة الجيب في رُبع معيَّن، باستخدام متطابقة فيثاغورس.
مثال ٧: استخدام نسبة الجيب لإيجاد جيب تمام زاوية
أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة دالة مثلثية معيَّنة من قيمة دالة أخرى، في رُبع معيَّن.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
إذا عوَّضنا بقيمة وأعدنا ترتيب ذلك، نجد:
وبما أن ، إذن هذا يناظر الرُّبع الرابع. لعلنا نتذكَّر من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية أن إشارة دالة جيب التمام تكون موجبة. ومن ثَمَّ، بأخذ الإشارة الموجبة:
في الواقع، يمكننا كتابة قيم الدالة المثلثية الأخرى بدلالة ، واستخدام قيمة دالة جيب التمام الناتجة عن متطابقات فيثاغورس الأخرى أو تعريف الدوال بدلالة الجيب وجيب التمام. على سبيل المثال، بالنسبة إلى دالة الظل، يكون لدينا:
تعتمد إشارة كل دالة مثلثية على إشارة والرُّبع الذي تقع فيه الزاوية .
في المثال التالي، نُوجِد قيمة دالة الظل من القيمة المُعطاة لدالة الجيب في رُبع معيَّن باستخدام متطابقة فيثاغورس.
مثال ٨: استخدام متطابقة فيثاغورس لإيجاد قيمة دالة مثلثية بمعلومية دالة مثلثية أخرى والرُّبع الذي تقع فيه الزاوية
بمعلومية أن ، ، أوجد .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة دالة مثلثية معيَّنة من قيمة دالة مثلثية أخرى، في رُبع معيَّن.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
لاحظ أنه، وفقًا لتعريف دالة الظل، يكون لدينا:
هيا أولًا نُحدِّد مقام هذا المقدار. بإعادة ترتيب متطابقة فيثاغورس، وبأخذ الجذر التربيعي، نحصل على:
بما أن ، وهو ما يمثِّل الرُّبع الثاني، فإن دالة جيب التمام تكون سالبة، ونأخذ سالب الجذر:
بالتعويض بالقيمة المُعطاة ، نحصل على:
ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى دالة الظل، نحصل على:
والآن، نتناول مثالًا نُوجِد فيه قيمة دالة القاطع من مقدار مثلثي مُعطى في الرُّبع الأول؛ حيث تكون جميع الدوال المثلثية موجبة، عن طريق تطبيق متطابقة فيثاغورس.
مثال ٩: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة دالة مثلثية لزاوية
أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة دالة مثلثية معيَّنة من قيمة مقدار مثلثي معلوم، في رُبع مُعطى.
بما أن هذا المثال يتضمَّن دالتَي الظل والقاطع، إذن نتذكَّر متطابقة فيثاغورس:
يمكننا أيضًا إعادة كتابة هذه المتطابقة على الصورة . باستخدام صيغة الفرق بين مرُبعين، ، يمكننا إعادة كتابة هذه المتطابقة كالآتي:
إذا عوَّضنا بالمقدار المُعطى، ، نحصل على:
والآن يمكننا التعويض بقيمة لحذف من المقدار وإيجاد قيمة :
بدلًا من إيجاد قيمة دوال مثلثية معيَّنة، يمكننا إيجاد قيمة مقدار معيَّن من قيمة أو مقدار مُعطى.
والآن، نتناول مثالًا نُوجِد فيه قيمة مقدار من قيمة مُعطاة في الرُّبع الثالث.
مثال ١٠: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة مقدار دالة مثلثية بمعلومية دالة مثلثية والرُّبع الذي تقع فيه زاوية
أوجد قيمة ، إذا كان ، .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار مثلثي معيَّن من قيمة دالة مثلثية. نبدأ أولًا بإيجاد قيمتَي دالتَي الجيب وجيب التمام، كلٌّ على حدة، ثم نأخذ حاصل الضرب لإيجاد قيمة المقدار المُعطى.
لاحظ أن دالتَي قاطع التمام وظل التمام مُعرَّفتان كالآتي:
في المقدار المُعطى، يمكننا التعويض بهما، ونستخدم متطابقة فيثاغورس للحصول على مقدار بدلالة كالآتي:
بما أن الطرف الأيسر يتضمَّن دالة جيب التمام، ولدينا قيمة دالة الجيب، إذن نستخدم متطابقة فيثاغورس: ومن ثَمَّ، نحصل على:
وأخيرًا، هيا نتناول مثالًا نُوجِد فيه قيمة مقدار مثلثي من قيمة مُعطاة لدالة الظل في الرُّبعين الثالث والرابع عن طريق إيجاد قيمتَي دالتَي الجيب وجيب التمام أولًا، والتعويض بذلك في المقدار المُعطى.
مثال ١١: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة مقدار مثلثي
أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث .
الحل
في هذا المثال، نُوجِد قيمة مقدار مثلثي معيَّن من قيمة دالة مثلثية. نبدأ أولًا بإيجاد قيمتَي دالتَي الجيب وجيب التمام، كلٌّ على حدة، ثم نأخذ حاصل الضرب لإيجاد قيمة المقدار المُعطى.
يمكننا كتابة المقدار المُعطى، ، على صورة قيمة لدالة الظل:
لعلنا نتذكَّر من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية أن دالة الظل تكون موجبة في الرُّبع الثالث، وسالبة في الرُّبع الرابع. بما أن دالة الظل تأخذ قيمة سالبة، ونحن نعلم أن الزاوية تقع في الرُّبع الثالث أو الرابع، وتناظر المدى ، إذن الزاوية يجب أن تقع في الرُّبع الرابع.
بما أننا نعرف قيمة دالة الظل، إذن يمكننا إيجاد قيمة دالة جيب التمام من متطابقة فيثاغورس التي تتضمَّن دالتَي الظل والقاطع: مع تعريف دالة القاطع بدلالة دالة جيب التمام:
يمكننا إعادة ترتيب متطابقة فيثاغورس هذه لجعل المتغيِّر التابع كالآتي:
وبما أن الزاوية تقع في الرُّبع الرابع، إذن نتذكَّر من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية أن قاعدة جيب التمام؛ ومن ثَمَّ دالة القاطع، تكون موجبة في الرُّبع الرابع. عند التعويض بقيمة دالة الظل من المقدار المُعطى، نحصل على:
يمكننا أيضًا إيجاد قيمة دالة جيب تمام الزاوية عن طريق أخذ مقلوب ذلك، للحصول على:
والآن، بما أننا نعرف قيمة دالة جيب التمام، إذن يمكننا إيجاد قيمة دالة الجيب باستخدام متطابقة فيثاغورس:
يمكننا إعادة ترتيب هذه المتطابقة، التي تتضمَّن دالتَي الجيب وجيب التمام، لجعل المتغيِّر التابع:
وبما أن دالة الجيب سالبة في الرُّبع الرابع، إذن يصبح لدينا:
