شارح الدرس: مثلث القوى الرياضيات

مثال ١: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم في حالة الاتزان باستخدام المحصلة

استخدِم الشكل الآتي لإيجاد الشد في . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

تذكَّر أنه إذا كان هناك زوج من القوى ، يؤثِّر على جسم جاسئ، وهذا الجسم في حالة اتزان، فإننا نعلم أنه لا بد أن هناك قوة ثالثة تؤثِّر على الجسم، وهي مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه للمحصلة لـ ، .

في هذه الحالة، القوتان المؤثِّرتان هما الشد ، والشد . والقوة الثالثة هي القوة المتجهة لأسفل التي مقدارها ١٠ نيوتن. ولذلك نعلم أن مقدار المحصلة لـ ، تساوي ١٠. تذكَّر المعادلة التي تربط مربع مقدار المحصلة بالزاوية بين قوتين:

ومن ثم، لدينا:

نلاحظ أنه في هذا التركيب، ؛ ومن ثم:

بالنظر إلى الشكل، يمكننا حساب باستخدام قاعدة جيب التمام:

إذن:

يمكننا التعويض بهذا التعبير لـ مرةً أخرى في معادلة الشد التي لدينا:

ومن ثم:

وبذلك، فإن مقدار الشد في يساوي ٩٫٠٥ نيوتن، لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٢: استخدام مثلث من القوى لحل مسألة كلامية

حاول رامي حلَّ مسألة تتعلَّق بالميكانيكا فيها القوى المستوية الثلاث ، ، تؤثِّر على جسم. أراد تحديد إذا ما كان الجسم في حالة اتزان أم لا. تذكَّر قول معلِّمه إذا ما كان بإمكانه ترتيب القُوى في مثلث أم لا. لذلك رسم الشكل الموضَّح.

استنتج رامي أن القوى الثلاث في حالة اتزان. هل هو على صواب؟

أيُّ العبارات الآتية تَصِف وصفًا صحيحًا ما قام به؟

1. لم ينتبه لاتجاه القُوى. يجب أن تتلاقى جميع القُوى رأسًا بذيلٍ. مع ذلك، في هذا الشكل، تلاقت القوتان ، رأسًا برأس. لذلك لم تُشكِّل القُوى في الحقيقة مثلثًا.
2. لم يقُم بأيِّ شيء خطأ.
3. استخدم الطريقة الخطأ؛ فمثلث القُوى ليس طريقة صحيحة للتحقُّق من الاتزان.
4. رتَّب القُوى ترتيبًا غير صواب. كان عليه أن يبدأ بالقوة التي يُمثِّلها السهم الأطول، ويتحرَّك إلى القوة التي يُمثِّلها السهم الأقصر.

الحل

لتحديد إذا ما كانت القوى في حالة اتزان أو لا، يمكننا الرجوع إلى الشكل الموجود في السؤال.

من الشكل، نلاحظ أن:

ومن ثَمَّ، فإن مجموع القوى الثلاث يُعطى بالعلاقة:

بما أن لا تساوي صفرًا، إذن محصلة القوى المؤثِّرة لا تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، فإن القوى ليست في حالة اتزان.

يمكننا بذلك استبعاد خيارين من خيارات الجزء الثاني من السؤال على الفور.

من الواضح أن هناك خطأً ما؛ لأن القوى ليست في حالة اتزان، على الرغم من أنها تكوِّن مثلثًا؛ لذا، من الخطأ قول إنه لم يقُم بأي شيء خطأ.

الخطأ الذي وقع ليس أنه لا يمكن استخدام مثلث القوى هذا لتوضيح أن هناك ثلاث قوًى في حالة اتزان، فهذه طريقة صحيحة.

وينص أحد الخيارات المتبقية على الآتي:

رتَّب القوى ترتيبًا غير صواب. كان عليه أن يبدأ بالقوة التي يُمثِّلها السهم الأطول، ويتحرَّك إلى القوة التي يُمثِّلها السهم الأقصر.

يمكن أن نفهم من هذا أنه يجب أن تتلاقى أسهم جميع القوى رأسًا بذيلٍ حسب الطول، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

من الواضح أن لن تساوي صفرًا إذا تحقَّق ذلك؛ ومن ثم، فإن القوى ليست في حالة اتزان، إذن هذا لا يُوضِّح أن القوى في حالة اتزان.

والخيار الأخير المتبقي ينص على الآتي:

«لم ينتبه إلى اتجاه القوى. يجب أن تتلاقي جميع القوى رأسًا بذيلٍ. مع ذلك، تلتقي في هذا الشكل ، رأسًا برأسٍ. إذن لا تُشكِّل القوى في الحقيقة مثلثًا».

صحيح أن ، تلتقيان رأسًا برأسٍ، وصحيح أيضًا أن جميع الأسهم في مثلث القوى يجب أن تتلاقى رأسًا بذيلٍ. لو كان السهم الذي يُمثِّل معكوسًا، لتكوَّن مثلث قوًى محصلته تساوي صفرًا، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يحدِّد هذا الخيار ما أُجرِيَ بطريقة غير صحيحة.

من المهم أن نلاحظ ذلك؛ بتغيُّر اتجاه حتى يكون رأسها عند ذيل بدلًا من ، حُذِفت واستبدلت بها قوة أخرى لها نفس مقدار ، لكن في الاتجاه المضاد. من ثَمَّ، فإن القوى الثلاث الموضَّحة في السؤال لا يمكن أن تكون في حالة اتزان.

مثال ٣: استخدام مثلث القوى لحل مسألة اتزان

تؤثِّر ثلاث قوًى مستوية ، ، على جسم في حالة اتزان. يُكوِّن مثلث القوى مثلثًا قائم الزاوية، كما هو موضَّح.

إذا كانت ، ، فأوجد مقدار .

الحل

بالنسبة إلى الجسم الذي تؤثِّر عليه القوى ، ، ليكون في حالة اتزان، يجب أن يكون الآتي صحيحًا:

المثلث الذي كوَّنته القوى مثلث قائم الزاوية؛ ومن ثَمَّ، باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن:

بإعادة الترتيب لتكون هي المتغيِّر التابع، نحصل على:

بالتعويض بمقادير القوى، نجد أن:

ولا يؤخذ في الاعتبار الجذر التربيعي السالب لـ ١٤٤؛ لأن مقادير المتجهات لا بد أن تكون قيمتها موجبة.

مثال ٤: إيجاد النسبة بين ثلاث قوًى تؤثِّر موازيةً لأضلاع مثلث قائم الزاوية، بمعلومية أن النظام في حالة اتزان

في الشكل التالي، ثلاث قُوًى مقاديرها ، ،  نيوتن متلاقية في نقطة. خطوط عمل القوى موازية لأضلاع المثلث القائم. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد .

الحل

طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، ، غير معلوم، لكن باستخدام نظرية فيثاغورس نجد أن:

لتكوين مثلث قوًى محصلته تساوي صفرًا، يجب أن تكون النسبة بين مقادير القوى هي النسبة نفسها بين أطوال أضلاع المثلث.

بالمقارنة بين أطوال أضلاع المثلث، نجد الآتي: وكذلك:

ومن ثم، نرى أن:

مثال ٥: اتزان نظام مكوَّن من ثلاث قوًى تؤثِّر في شكل مثلث

يقع جسم تحت تأثير ثلاث قوًى مقاديرها ، ، ٣٦ نيوتن، وهي تؤثِّر على الجسم في اتجاه ، ، ، على الترتيب؛ حيث مثلث فيه ، ، . إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد ، .

الحل

لتكوين مثلث قوًى محصلته تساوي صفرًا، يجب أن تتساوى النسب بين مقادير القوى مع النسب بين أطوال أضلاع المثلث ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

مثلث القوى المناظر لهذا المثلث موضَّح في الشكل الآتي.

طولا الضلعين ، متساويان، إذن مقدار هو ٣٦ نيوتن.

النسبة بين طولَي الضلعين ، موضَّحة على النحو الآتي:

ومن ثم، فإن مقدار يُعطى بالعلاقة:

مثال ٦: إيجاد الشد في خيطين يجعلان قضيبًا منتظمًا في حالة اتزان

قضيب منتظم طوله ٥٠ سم ووزنه ١٤٣ نيوتن، معلَّق تعليقًا حرًّا من طرفيه في السقف بخيطين متعامدين متصِلين بالنقطة نفسها في السقف. إذا كان طول أحد الخيطين ٣٠ سم، فأوجد الشد في كلا الخيطين.

الحل

القضيب والخيطان ممثَّلان في الشكل الآتي.

يكوِّن القضيب والخيطان مثلثًا قائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إيجاد ، الذي يمثِّل طول الضلع المجهول:

القوى المؤثِّرة هي وزن القضيب وقوتا الشد في الخيطين. هذه القوى في حالة اتزان؛ ومن ثَمَّ، يمكن رسمها تؤثِّر عند نفس النقطة. ونمثِّل ذلك كما في الشكل الآتي؛ حيث يناظر الشد في الخيط الذي طوله ٤٠ سم، ويناظر الشد في الخيط الذي طوله ٣٠ سم.

يمكن أن تكوِّن هذه القوى مثلث قوًى، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

وبما أن القوى في حالة اتزان، إذن نجد أن:

وَرَد في السؤال أن: وبناءً على ذلك، فإن:

نَعرِف من المثلث المكوَّن بواسطة القضيب والخيطين أن طولَي ضلعَي المثلث اللذين يمثِّلان الخيطين هما ٤٠ سم و٣٠ سم. النسبة بين طولَي ضلعَي هذا المثلث تساوي النسبة بين قوتَي الشد في الخيطين، وبهذا يصبح لدينا:

بالتعويض بالمقدار الذي يعبِّر عن  في: نحصل على:

وكذلك: