شارح الدرس: مثلث القوى الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ المسائل المتعلِّقة باتزان جسيم تحت تأثير ثلاث قُوًى باستخدام طريقة مثلث القُوَى.

القوى هي متجهات؛ ومن ثَمَّ، يمكن تمثيل القوة هندسيًّا على صورة سهم يُشير إلى اتجاه القوة؛ بحيث يكون الطول متناسبًا مع مقدار القوة.

يُمثَّل جمع قوتين باستخدام سهمين؛ بحيث يكون رأس السهم الأول عند ذيل السهم الثاني، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

وتُعطى القوة المحصلة 󰄮󰄮𞹟𞸇، لكلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟𞸇=󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢ وتمثَّل هندسيًّا باستخدام سهم يكون ذيله عند نفس النقطة التي يكون عندها ذيل 󰄮󰄮𞹟١، ورأسه عند نفس النقطة التي يكون عندها رأس 󰄮󰄮𞹟٢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

هيا نُعرِّف قوةً ما 󰄮󰄮𞹟 لها مقدار يساوي مقدار 󰄮󰄮𞹟𞸇، تؤثِّر في الاتجاه المضاد لها. عند جمع 󰄮󰄮𞹟 مع 󰄮󰄮𞹟𞸇، نحصل على: 󰄮󰄮𞹟𞸇+󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮𞹟𞸇󰄮󰄮𞹟𞸇=٠.

يمكننا أن نستنتج من ذلك أن: 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=٠.١٢

ويُمثَّل ذلك هندسيًّا في الشكل الآتي:

أما الأسهم الثلاثة التي تمثِّل القوى الثلاث، فهي متصلة كلها؛ بحيث يكون رأس أحدها عند ذيل الآخر، مكوِّنة بذلك مثلثًا.

نفترض أن جميع هذه القوى تؤثِّر على جسيم م، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

من المعروف أن محصلة هذه القوى تساوي صفرًا. إذا كانت هذه القوى هي فقط المؤثِّرة فقط على م، فإن القوة المحصلة تساوي صفرًا، ويكون م في حالة اتزان.

لا يلزم أن تكون القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ عموديتين على قوتين من القوى في المثلث الذي تساوي القوة المحصلة له صفرًا. يوضِّح الشكل التالي مثالًا على مثلث قوًى؛ حيث لا تكون فيه أيُّ قوًى يتعامد بعضها على بعض؛ يوضِّح الشكل أيضًا تأثير هذه القوى على جسيم م في حالة اتزان.

يمكننا تعريف مثلث القوى في حالة اتزان كالآتي.

تعريف: مثلث القوى في حالة الاتزان

متجهات القوى الثلاث التي تكوِّن مثلثًا؛ حيث تكون اتجاهات جميع القوى إما في اتجاه عقارب الساعة وإما عكس اتجاه عقارب الساعة حول المثلث، تكون محصلتها تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، تكون القوى في حالة اتزان.

هيا نلقِ نظرة على مثال تكون فيه القوى ممثَّلة هندسيًّا باستخدام مثلث من الأسهم.

مثال ١: استخدام مثلث القوى لحل مسألة كلامية

حاول رامي حَلَّ مسألة تتعلَّق بالميكانيكا؛ فيها ثلاث قوًى مستوية 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ تؤثِّر على جسم. أراد تحديد إذا ما كان الجسم في حالة اتزان أو لا. تذكَّرَ قولَ معلِّمه عمَّا إذا كان بإمكانه ترتيب القوى في مثلث أو لا. لذلك، رَسَمَ الشكل الموضَّح.

استنتجَ رامي أن القوى الثلاث في حالة اتزان. هل هو على صواب؟

أيُّ العبارات التالية تَصِف بشكل أصح ما قام به؟

  • لم ينتبه لاتجاه القوى. يجب أن تتلاقي جميع القوى رأسًا بذيلٍ. مع ذلك، تلتقي في هذا الشكل 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ عند رأسيهما. إذن لا تشكِّل القوى في الحقيقة مثلثًا.
  • لم يقُم بأيِّ شيء خاطئ.
  • لقد استخدم الطريقة الخاطئة، فمثلث القوى ليس طريقة صحيحة للتحقُّق من الاتزان.
  • لقد رتَّب القوى ترتيبًا خاطئًا. كان عليه أن يبدأ بالقوة التي يمثِّلها السهم الأطول، ويتحرَّك إلى القوة التي يمثِّلها السهم الأقصر.

الحل

لتحديد إذا ما كانت القوى في حالة اتزان، يمكننا الرجوع إلى الشكل الموجود في السؤال.

نستنتج من الشكل أن: 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮𞹟.١٢٣

ومن ثَمَّ، فإن مجموع القوى الثلاث يُعطى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=٢󰄮󰄮𞹟.١٢٣٣٣٣

بما أن 󰄮󰄮𞹟٣ لا تساوي صفرًا، إذن محصلة القوى المؤثِّرة لا تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، فالقوى ليست في حالة اتزان.

يمكننا بذلك استبعاد خيارين من الجزء الثاني من السؤال على الفور.

من الواضح أن هناك خطأً ما؛ لأن القوى ليست في حالة اتزان، بالرغم من أنها تكوِّن مثلثًا؛ لذا، من الخطأ قول إنه لم يقُم بأي شيء خاطئ.

الخطأ الذي وقع ليس أنه لا يمكن استخدام مثلث القوى هذا لتوضيح أن هناك ثلاث قوًى في حالة اتزان، فهذه طريقة صحيحة.

أحد الخيارات المتبقية ينص على:

«رتَّب القوى ترتيبًا خاطئًا. كان عليه أن يبدأ بالقوة التي يُمثِّلها السهم الأطول، ويتحرَّك إلى القوة التي يُمثِّلها السهم الأقصر.»

يمكن أن نفهم من هذا أنه يجب أن تتلاقى أسهم جميع القوى رأسًا بذيلٍ حسب الطول، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

من الواضح أن 󰄮󰄮𞹟𞸇 لا تساوي صفرًا إذا تحقَّق ذلك؛ ومن ثَمَّ، فإن القوى ليست في حالة اتزان، إذن هذا لا يُوضِّح أن القوى في حالة اتزان.

الخيار الأخير المتبقي يقول:

«لم ينتبه إلى اتجاه القوى. يجب أن تتلاقي جميع القوى رأسًا بذيلٍ.» مع ذلك، تلتقي في هذا الشكل 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ رأسًا برأسٍ. إذن لا تُشكِّل القوى في الحقيقة مثلثًا.

صحيح أن 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ لا تلتقيان رأسًا برأسٍ، وصحيح أيضًا أن جميع القوى في مثلث القوى يجب أن تتلاقى رأسًا بذيلٍ. لو كان سهم 󰄮󰄮𞹟٣ معكوسًا، لتكوَّن مثلث قوًى محصلته تساوي صفرًا، كما هو موضَّح بالشكل الآتي:

يحدِّد هذا الخيار ما أُجرِيَ بطريقة غير صحيحة.

من المهم أن نلاحظ أنه، بتغير اتجاه 󰄮󰄮𞹟٣؛ بحيث يكون رأسها عند ذيل 󰄮󰄮𞹟١ بدلًا من ذيل 󰄮󰄮𞹟٢، حُذِفت 󰄮󰄮𞹟٣ واستبدلت بها قوة أخرى لها نفس مقدار 󰄮󰄮𞹟٣، ولكن في الاتجاه المضاد. من ثَمَّ، فإن القوى الثلاث الموضَّحة في السؤال لا يمكن أن تكون في حالة اتزان.

والآن، هيا نلقِ نظرة على مثال يُستخدم فيه مثلث القوى لتحديد مقدار قوة مجهولة.

مثال ٢: استخدام مثلث القوى لحل مسألة اتزان

تؤثِّر ثلاث قوًى مستوية 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ على جسم في حالة اتزان. يُكوِّن مثلث القوى مثلثًا قائم الزاوية، كما هو موضَّح.

إذا كانت 󰄮󰄮𞹟=٥١، 󰄮󰄮𞹟=٣١٢، فأوجد مقدار 󰄮󰄮𞹟٣.

الحل

بالنسبة إلى الجسم الذي تؤثِّر عليه القوى 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ ليكون في حالة اتزان، يجب أن يكون الآتي صحيحًا: 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=٠.١٢٣

المثلث الذي كوَّنته القوى هو مثلث قائم الزاوية؛ ومن ثَمَّ، باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن: 𞹟=𞹟+𞹟.٢٢٢١٢٣

بإعادة الترتيب لتكون 𞹟٣ هي المتغيِّر التابع، نحصل على: 𞹟=𞹟𞹟.٢٣٢٢٢١

بالتعويض بمقادير القوى، نجد أن: 𞹟=٣١٥=٤٤١𞹟=󰋴٤٤١=٢١.٢٣٢٢٣

ولا يؤخذ في الاعتبار الجذر التربيعي السالب لـ ١٤٤؛ لأن مقادير المتجهات لا بد أن تكون قيمتها موجبة.

نتناول الآن مثالًا تؤثِّر فيه ثلاث قوًى عند نقطة.

مثال ٣: إيجاد النسبة بين ثلاث قوًى تؤثِّر موازيةً لأضلاع مثلث قائم الزاوية، بمعلومية أن النظام في حالة اتزان

في الشكل التالي، ثلاث قوًى مقاديرها 𞹟١، 𞹟٢، 𞹟٣ نيوتن متلاقية في نقطة. خطوط عمل القوى موازية لأضلاع المثلث القائم. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد 𞹟𞹟𞹟١٢٣.

الحل

طول الوتر في المثلث القائم، 𞸏، غير معلوم، لكن باستخدام نظرية فيثاغورس نجد أن: 𞸏=٧٨+٨٫٨٠٢=٤٤٫٦١١٥𞸏=󰋴٤٤٫٦١١٥=٢٫٦٢٢.٢٢٢

لتكوين مثلث قوًى محصلته تساوي صفرًا، يجب أن تكون النسبة بين مقادير القوى هي النسبة نفسها بين أطوال أضلاع المثلث.

بالمقارنة بين أطوال أضلاع المثلث، نجد الآتي: ٢٫٦٢٢٧٨=٢٦٢٢٠٧٨=٣١٥ و: ٢٫٦٢٢٨٫٨٠٢=٢٦٢٢٨٨٠٢=٧٧٣٨٤٣=٣١٢١.

ومن ثَمَّ، نستنتج أن: 𞹟𞹟𞹟=٥٢١٣١.١٢٣

نتناول الآن مثالًا يتضمَّن إيجاد قوة في مثلث قوًى متساوي الساقين بدلًا من مثلث قوًى قائم الزاوية.

مثال ٤: اتزان نظام مكوَّن من ثلاث قوًى تؤثِّر في شكل مثلث

يقع جسم تحت تأثير ثلاث قوًى مقاديرها 𞹟١، 𞹟٢، ٣٦ نيوتن، وهي تؤثِّر على الجسم في اتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، 󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡 على الترتيب؛ حيث 󰏡𞸁𞸢 مثلث فيه 󰏡𞸁=٤، 𞸁𞸢=٦، 󰏡𞸢=٦. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد 𞹟١، 𞹟٢.

الحل

لتكوين مثلث قوًى محصلته تساوي صفرًا، يجب أن تتساوى النسب بين مقادير القوى مع النسب بين أطوال أضلاع المثلث 󰏡𞸁𞸢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

مثلث القوى المناظر لهذا المثلث موضَّح في الشكل الآتي:

طولا الضلعين 𞸁𞸢، 𞸢󰏡 متساويان، إذن مقدار 𞹟٢ هو ٣٦ نيوتن.

النسبة بين طولَي الضلعين 𞸢󰏡، 󰏡𞸁 موضَّحة على النحو الآتي: 󰏡𞸁𞸢󰏡=٤٦=٢٣.

ومن ثَمَّ، فإن مقدار 𞹟١ يُعطى بالعلاقة: 𞹟=٦٣󰂔٢٣󰂓=٤٢.١

نلقي نظرة على مثال لمسألة تتضمَّن اتزان جسم معلَّق باستخدام مثلث قوًى.

مثال ٥: إيجاد الشد في خيطين يجعلان قضيبًا منتظمًا في حالة اتزان

قضيب منتظم طوله ٥٠ سم، ووزنه ١٤٣ نيوتن معلَّق تعليقًا حرًّا من طرفيه في السقف بخيطين متعامدين متصِلين بالنقطة نفسها في السقف. إذا كان طول أحد الخيطين ٣٠ سم، فأوجد الشد في كلا الخيطين.

الحل

القضيب والخيطان ممثَّلان في الشكل الآتي:

يكوِّن القضيب والخيطان مثلثًا قائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إيجاد 𞸋، الذي يمثِّل طول الضلع المجهول: ٠٥=٠٣+𞸋𞸋=٠٥٠٣=٠٠٥٢٠٠٩=٠٠٦١𞸋=󰋴٠٠٦١=٠٤.٢٢٢٢٢٢

القوى المؤثِّرة هي وزن القضيب وقوتا الشد في الخيطين. هذه القوى في حالة اتزان؛ ومن ثَمَّ، يمكن رسمها تؤثِّر عند نفس النقطة. ونمثِّل ذلك كما في الشكل التالي؛ حيث يناظر 󰄮󰄮󰄮𞸔١ الشد في الخيط الذي طوله ٤٠ سم، ويناظر 󰄮󰄮󰄮𞸔٢ الشد في الخيط الذي طوله ٣٠ سم.

يمكن أن تكوِّن هذه القوى مثلث قوًى، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

وبما أن القوى في حالة اتزان، إذن نجد أن: 𞸅=𞸔+𞸔.٢٢١٢٢

وَرَد في السؤال أن: 𞸅=٣٤١؛ وبناءً على ذلك، فإن: ٣٤١=𞸔+𞸔.٢٢١٢٢

نَعرِف من المثلث المكوَّن بواسطة القضيب والخيطين أن طولَي ضلعَي المثلث اللذين يمثِّلان الخيطين هما ٤٠ سم و٣٠ سم. النسبة بين طولَي ضلعَي هذا المثلث تساوي النسبة بين قوتَي الشد في الخيطين، وبهذا يصبح لدينا: 𞸔=٠٤٠٣𞸔=٤٣𞸔.١٢٢

نعوِّض بالمقدار الذي يعبِّر عن 𞸔١ في: ٣٤١=𞸔+𞸔،٢٢١٢٢ نحصل على: ٣٤١=𞸔+󰂔٤٣𞸔󰂓٣٤١=𞸔+󰂔٦١٩󰂓𞸔٣٤١=󰂔٥٢٩󰂓𞸔𞸔=٣٤١󰂔٩٥٢󰂓𞸔=٣٤١󰂔٣٥󰂓=٩٢٤٥=٨٫٥٨.٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

وبالمثل: 𞸔=٤٣𞸔،𞸔=٤٣󰂔٩٢٤٥󰂓=٦١٧١٥١=٤٫٤١١.١٢١

والآن بعد أن تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة، هيا نلخِّص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة إلى أيِّ قوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ ومحصلتهما 󰄮󰄮𞹟𞸇، تتحقَّق حالة أن: 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟+󰁓󰄮󰄮𞹟𞸇󰁒=٠،١٢ حيث 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟𞸇، تكوِّن مثلث قوًى محصلته صفر.
  • الجسم الذي لا تؤثِّر عليه سوى قوًى تكوِّن مثلث قوًى يكون في حالة اتزان. يجب أن تتلاقى جميع الأسهم التي تمثِّل القوى رأسًا بذيلٍ.
  • النسب بين أطوال أضلاع المثلث تساوي النسب بين مقادير القوى في أيِّ مثلث قوًى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.