في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد إحداثيات نقطة، والمسافة بين نقطتين، وإحداثيات نقطة المنتصف وأحد الطرفين في الفضاء الثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغ.
يجب أن نكون بالفعل على دراية بكيفية إيجاد كل هذه القيم في الفضاء الثنائي الأبعاد. أي نقطة في الفضاء الثنائي الأبعاد تكون لها إحداثيان ، ويمكن كتابتها على الصورة . وكل عدد من الأعداد الحقيقية في الزوج المرتب يمثل إزاحة هذه النقطة من نقطة الأصل، بعبارة أخرى، المسافة المقطوعة في الاتجاه الموجب أو السالب من النقطة .
إذا كانت إحداثيات النقطتين ، هي ، على الترتيب، فيمكننا حساب نقطة المنتصف باستخدام الصيغة: .
إذا كانت إحداثيات النقطتين ، هي ، ، على الترتيب، فيمكننا حساب المسافة بينهما باستخدام صيغة المسافة المستنتجة من نظرية فيثاغورس، .
سنوضح في هذا الشارح كيف يمكننا توسيع نطاق هذه الصيغ لتشمل إحداثيًّا ثالثًا عند التعامل مع نقاط في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
تعريف: إحداثيات نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد
أي نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد سيكون لها الإحداثيات ، ، ويمكن كتابتها على الصورة . كل عدد حقيقي في الثلاثي المرتب يساوي المسافة من نقطة الأصل مقيسة على طول المحور المُناظر.
في المثال الأول، سنحدد المستوى الذي تقع فيه نقطة، أحد إحداثياتها يساوي صفرًا.
مثال ١: تحديد المستوى الذي يقع فيه الإحداثي المُعطى
في أيٍّ من المستويات الإحداثية التالية تقع النقطة ؟
الحل
نعلم أن النقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد ستكون لها الإحداثيات ، ، . وفي هذا السؤال، ، ، .
بما أن الإحداثي يساوي صفرًا، فإن النقطة تقع على بُعد صفر من نقطة الأصل في الاتجاه . وهذا يعني أنها تقع في المستوى . في الواقع، أي نقطة إحداثياتها ستقع على هذا المستوى.
إذن، نستنتج أن النقطة تقع على المستوى .
الإجابة: المستوى
تعريف: المستويات الإحداثية الثلاثة
أي نقطة إحداثياتها ستقع في المستوى .
وبالمثل، أي نقطة إحداثياتها ستقع في المستوى ، وأي نقطة إحداثياتها ستقع في المستوى .
في السؤال التالي، سنتناول كيفية إيجاد إحداثيات نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
مثال ٢: إيجاد إحداثيات نقطة معطاة في الفضاء الثلاثي الأبعاد
حدد إحداثيات النقطة .
الحل
أي نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد ستكون لها الإحداثيات ، ، ، ويمكن كتابتها على الصورة .
بالانتقال من نقطة الأصل، نتحرك بمقدار ۳ وحدات في الاتجاه الموجب من محور ، وبمقدار وحدات في اتجاه محور، وأخيرًا ۳ وحدات في اتجاه محور .
وهذا يعني أن ، ، .
إحداثيات النقطة هي .
الإجابة:
لعلنا نتذكر أن صيغة نقطة المنتصف في الفضاء الثنائي الأبعاد تخبرنا ببساطة بأن علينا إيجاد القيمة المتوسطة لإحداثيات نقطتين. أي إننا نوجد متوسط إحداثيَّيْ ومتوسط إحداثيَّيْ . سنوسع الآن هذه الفكرة لتشمل الفضاء الثلاثي الأبعاد من خلال إيجاد متوسط إحداثيَّيْ أيضًا.
لإيجاد متوسط أي عددين، نجمعهما ثم نقسم مجموعهما على اثنين.
تعريف: نقطة المنتصف بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد
إذا كانت إحداثيات النقطتين ، هي ، ، على الترتيب، فيمكننا إيجاد نقطة المنتصف باستخدام الصيغة التالية:
في المثال التالي، سنستخدم هذه الصيغة لإيجاد نقطة المنتصف بين نقطتين في الفضاء.
مثال ٣: إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف في الفضاء الثلاثي الأبعاد
إحداثيات النقطتين ، هي ، على الترتيب. أوجد إحداثيات نقطة منتصف .
الحل
لإيجاد نقطة المنتصف لنقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد، سنستخدم صيغة حساب نقطة منتصف النقطتين ، :
نفترض أن إحداثيات النقطة هي وإحداثيات النقطة هي .
نقطة المنتصف بين النقطتين ، هي:
وإحداثيات نقطة منتصف هي: .
الإجابة:
في المثال التالي، سنستخدم صيغة نقطة المنتصف لإيجاد إحداثيات أحد الطرفين بمعلومية نقطة المنتصف بين نقطتين في الفضاء وبمعلومية إحداثيات الطرف الآخر.
مثال ٤: إيجاد إحداثيات أحد طرفي قطعة مستقيمة بمعلومية إحداثيات نقطة المنتصف وإحداثيات نقطة البداية.
إذا كانت نقطة منتصف ؛ حيث ، فما إحداثيات النقطة ؟
الحل
لإيجاد نقطة المنتصف لنقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد، سنستخدم صيغة حساب نقطة منتصف النقطتين ، :
نعلم أن النقطة إحداثياتها ونفترض أن النقطة إحداثياتها . إحداثيات نقطة المنتصف بين هاتين النقطتين هي .
بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يصبح لدينا:
يمكننا بعد ذلك المساواة بين المركبات الفردية، مما يعطينا ثلاث معادلات علينا حلها.
أولًا، الإحداثي يعطينا:
بضرب طرفي المعادلة في ٢، نحصل على:
إذن،
ثانيًا، الإحداثي يعطينا:
وبضرب طرفي المعادلة في ٢، نحصل على:
إذن،
وأخيرًا، الإحداثي يعطينا:
بضرب طرفي المعادلة في ٢، نحصل على:
إذن،
إحداثيات النقطة هي: .
الإجابة:
في الفضاء الثنائي الأبعاد، يمكننا حساب المسافة بين نقطتين باستخدام نظرية فيثاغورس. وتنص هذه النظرية على أن ، حيث طول أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية والمعروف بالوتر.
إذا كانت إحداثيات النقطتين ، هي ، على الترتيب، فيمكننا حساب المسافة بينهما باستخدام الصيغة التالية:
سنفكر الآن في كيفية حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
انظر إلى المنشور المستطيل الثلاثي الأبعاد ، الموضح بالأسفل، لنفترض أننا نريد التحرك من الزاوية السفلية الأمامية يسارًا، ، إلى الزاوية العلوية الخلفية يمينًا، .
أولًا، لننظر إلى المثلث في الجزء السفلي من المنشور. تنص نظرية فيثاغورس على أن .
إذن، .
والآن، نصنع مثلثًا آخر ، قاعدته وارتفاعه .
يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس مرة أخرى على النحو . وبالتعويض بطول الضلعين ، ، نجد أن .
إذن، .
تعريف: المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد
إذا كانت إحداثيات النقطتين ، هي ، ، على الترتيب، فيمكننا حساب المسافة بينهما باستخدام الصيغة التالية:
وهذا تطبيق لنظرية فيثاغورس على الفضاء الثلاثي الأبعاد؛ حيث نوجد مجموع مربعات الفروق بين الإحداثيات ثم نأخذ الجذر التربيعي لهذه الإجابة.
في السؤالين الأخيرين، سنحسب أقصر مسافة بين نقطة وأحد المحاور، وكذلك المسافة بين نقطتين في الفضاء.
مثال ٥: إيجاد المسافة بين نقطتين بمعلومية إحداثياتهما في الفضاء الثلاثي الأبعاد
أوجد المسافة بين النقطتين ، .
الحل
لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد، سنستخدم الصيغة التالية، حيث إحداثيات النقطتين ، هي ، على الترتيب:
نفترض أن إحداثيات النقطة هي وإحداثيات النقطة هي .
المسافة بينهما:
المسافة بين النقطتين ، تساوي وحدة طول.
الإجابة: وحدة طول
مثال ٦: إيجاد المسافة بين نقطة ومحور في الفضاء الثلاثي الأبعاد
ما أقصر مسافة بين النقطة ومحور ؟
الحل
نعلم أن أي نقطة تقع على المحور ، إذا كان إحداثيا ، لها يساويان صفرًا. وهذا يعني أنه يمكننا تعريف أي نقطة على المحور كالآتي .
نعلم أن المسافة المطلوبة هي المسافة العمودية من النقطة إلى المحور ، وهذا يعني أن مسقط النقطة على المحور سيكون عند النقطة .
يمكن حساب المسافة بين نقطتين باستخدام الصيغة: كالتالي:
المسافة بين النقطة والمحور تساوي وحدة طول.
الإجابة: وحدة طول
سنختم هذا الشارح باسترجاع بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- تُكتَب إحداثيات أي نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد على الصورة .
- إذا كان الإحداثي يساوي صفرًا، فسنعلم أن النقطة تقع في المستوى ، وإذا كان الإحداثي يساوي صفرًا، فسنعلم أن النقطة تقع في المستوى ، وإذا كان الإحداثي يساوي صفرًا، فسنعلم أن النقطة تقع في المستوى .
- إذا كان الإحداثيان ، يساويان صفرًا، فإن النقطة تقع على المحور ، وإذا كان الإحداثيان ، يساويان صفرًا، فإن النقطة تقع على المحور ، وإذا كان الإحداثيان ، يساويان صفرًا، فإن النقطة تقع على المحور .
- تقع نقطة المنتصف لنقطتين إحداثياتهما ، عند النقطة .
- يمكننا أيضًا استخدام صيغة نقطة المنتصف لإيجاد أحد طرفي قطعة مستقيمة، بمعلومية نقطة المنتصف ونقطة الطرف الآخر.
- المسافة بين نقطتين إحداثياتهما ، تساوي .
