شارح الدرس: حلُّ المعادلات الأُسِّية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ معادلات أُسِّية باستخدام طُرق بيانية.

تظهر الدوال الأسية في العديد من مجالات العلوم المختلفة، وتشمل تطبيقاتُها الاضمحلالَ الإشعاعي وتمثيل نموذج التعداد السكاني والفائدة المركبة وانتشار الفيروسات، وذلك على سبيل المثال لا الحصر.

بما أن الدوال الأسية تظهر في العديد من المجالات المختلفة، إذن دراسة الدوال الأسية مهمة. على وجه التحديد، يمثِّل حل المعادلات الأسية مهارة يمكننا تطبيقها في العديد من المسائل المختلفة. على سبيل المثال، لتحديد طول الفترة الزمنية التي نحتاج إليها من أجل استثمار مبلغ معيَّن من المال في حساب ذي فائدة مركبة، علينا حل معادلة أسية.

قبل أن نوضِّح كيفية حل معادلة أسية، هيا أولًا نتذكَّر تعريف الدالة الأسية.

تعريف: الدوال الأسية

الدالة الأسية هي دالة تكون على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡×𞸁𞸎؛ حيث 󰏡، 𞸁 ثابتان حقيقيان، 𞸁 قيمة موجبة، 𞸁١.

هناك العديد من الطرق لإيجاد حلول المعادلات الأسية التي على الصورة 󰏡×𞸁=𞸓(𞸎)𞸎 لدالة ما مُعطاة 𞸓(𞸎). على سبيل المثال، يمكننا استخدام إعادة الترتيب. لكن هذا غير ممكن دائمًا. بدلًا من ذلك، نُوجِد حلولًا لهذه المعادلات بيانيًّا.

إذا عُلِم التمثيل البياني للدالة الأسية 𞸑=󰏡×𞸁𞸎، فإن أي نقطة على المنحنى لها إحداثيات على الصورة 󰁓𞸎،󰏡×𞸁󰁒𞸎. وإذا رسمنا 𞸑=𞸓(𞸎) على المحورين نفسهما، فإن أي نقطة تقاطع ستقع على كلا المنحنيين. وعلى وجه التحديد، يكون الإحداثيان 𞸑 لهما متساويين، وهو ما يُعطينا: 󰏡×𞸁=𞸓(𞸎).𞸎

هيا نرَ مثالًا على كيفية استخدام هذه الطريقة لحل معادلة أسية.

افترض أن المطلوب منا هو حل ٤=٨𞸎، بمعلومية التمثيل البياني الآتي للدالة 𞸑=٤𞸎.

نريد إيجاد قيم 𞸎 التي تحقِّق هذه المعادلة. يمكننا فعل ذلك برسم 𞸑=٨ على التمثيل البياني، وإيجاد إحداثيات نقاط التقاطع.

يمكننا ملاحظة أن هناك نقطة تقاطع واحدة، حيث 𞸎=٥٫١. وبما أن هذه النقطة تقع على المنحنى 𞸑=٤𞸎، إذن يجب أن نحصل على ٤=٨٥٫١. ومن ثَمَّ، 𞸎=٥٫١ هو حل هذه المعادلة. في الواقع، بما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة، إذن يمكننا استنتاج أن هناك حلًّا واحدًا فقط للمعادلة. يمكننا كتابة مجموعة حلول المعادلة على الصورة {٥٫١}؛ وهذه تُسمَّى مجموعة الحل.

تجدر الإشارة إلى أنه أحيانًا لن تكون لنقاط التقاطع قيمة دقيقة للإحداثي 𞸎. في هذه الحالات، نُوجِد القيمة التقريبية للحلول بيانيًّا، ويمكننا استخدام خطوط شبكة بيانية صغيرة لتحديد التقدير.

لا يمكن دائمًا حل هذه المعادلات. على سبيل المثال، إذا كان المطلوب منا، بدلًا من ذلك، حل المعادلة ٤=١𞸎، فإننا نرسم 𞸑=١ على التمثيل البياني، ونبحث عن نقاط التقاطع.

نلاحظ هنا أنه لا تُوجَد نقاط تقاطع. في الواقع، نحن نَعرف أن قيم ٤𞸎 موجبة لأي قيمة لـ 𞸎؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن أن تساوي أبدًا ١. يمكننا القول إن المعادلة ليس لها حلول، أو بدلًا من ذلك، يمكننا القول إن مجموعة حل المعادلة هي .

من الممكن أيضًا أن يكون هناك عدة حلول. على سبيل المثال، انظر إلى الشكل الآتي لكلٍّ من 𞸑=٤𞸎، 𞸑=٧٣𞸎+٥٣.

يمكننا ملاحظة أن هناك نقطتَي تقاطع؛ إحداهما عند 𞸎=٥٫٠، والأخرى عند 𞸎=١. ومن ثَمَّ، فإن هذين هما الحلان الوحيدان للمعادلة: ٤=٧٣𞸎+٥٣.𞸎

وعليه، يمكننا القول إن مجموعة الحل لهذه المعادلة هي {٥٫٠،١}. يمكننا التحقُّق من أن هذين هما الحلان للمعادلة بالتعويض. على سبيل المثال، نُعوِّض بالقيمة 𞸎=١ في المعادلة، لنحصل على: ٤=٧٣(١)+٥٣٤=٢١٣٤=٤.١

وبما أن هذه المعادلة صحيحة، إذن نكون قد تأكدنا من أن 𞸎=١ هو حل للمعادلة.

في الأمثلة القليلة الأولى، سنستخدم التمثيلات البيانية المُعطاة لدوال أسية من أجل إيجاد مجموعة حل معادلة أسية بيانيًّا.

مثال ١: إيجاد مجموعة حل معادلة أسية بيانيًّا

استخدم التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢٥𞸎 لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢=٢٥𞸎.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق هذه المعادلة. في هذا السؤال، نريد إيجاد كل قيم 𞸎 التي تجعل المعادلة ٢=٢٥𞸎 صحيحة. يمكننا فعل ذلك بتذكُّر أن أي نقطة على منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) يكون لها الإحداثيان (𞸎،󰎨(𞸎)).

يمكننا البدء بإعادة كتابة المعادلة المُعطاة على الصورة: ٢=٢󰎨(𞸎)=٢.٥𞸎

إذن علينا إيجاد جميع قيم 𞸎؛ بحيث تكون 󰎨(𞸎)=٢. يمكننا إيجادها بتحديد موقع جميع النقاط على المنحنى التي لها الإحداثي 𞸑 يساوي ٢؛ ومن ثَمَّ نرسم 𞸑=٢ على الشكل، ونُوجِد إحداثيات نقطة التقاطع.

بقراءة الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع، يمكننا ملاحظة أن 󰎨(٤)=٢، وبما أن هذه هي نقطة التقاطع الوحيدة، إذن هذه هي القيمة الوحيدة لـ 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)=٢.

ومن ثَمَّ، فإن الحل الوحيد للمعادلة هو 𞸎=٤. يمكننا التحقُّق من صحة هذا الحل بالتعويض بالقيمة 𞸎=٤ في المعادلة: ٢=٢٢=٢٢=٢.٥٤١

وبما أن هذه المعادلة صحيحة، إذن هذا يؤكِّد أن 𞸎=٤ هو حل للمعادلة. إذن مجموعة حل المعادلة ٢=٢٥𞸎 هي {٤}.

مثال ٢: إيجاد مجموعة حل معادلة أسية بيانيًّا

يوضِّح الشكل التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢٢𞸎. استخدِم هذا التمثيل البياني لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢=٤٢𞸎.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق هذه المعادلة. لدينا التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢٢𞸎؛ ومن ثَمَّ، فإن أي نقطة على هذا التمثيل البياني تكون لها إحداثيات على الصورة 󰁓𞸎،٢󰁒٢𞸎. وعليه، يمكننا إيجاد قيم ٢٢𞸎 باستخدام قيم الإحداثي 𞸑 للمنحنى. على وجه التحديد، يمكننا إعادة كتابة المعادلة المُعطاة على الصورة: ٢=٤󰎨(𞸎)=٤.٢𞸎

إذن، لحل هذه المعادلة، علينا إيجاد القيم التي تكون عندها القيم المُخرَجة للدالة 󰎨(𞸎) تساوي ٤. سنرسم 𞸑=٤ على التمثيل البياني نفسه، ونُوجِد إحداثيات نقاط التقاطع.

إحداثيات نقطة التقاطع هي (١،٤)؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن 󰎨(١)=٤. وبما أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط، إذن هذا هو الحل الوحيد للمعادلة. وعليه، يكون 𞸎=١ هو الحل الوحيد للمعادلة، ومجموعة الحل هي {١}.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا التحقُّق من أن ١ هو الحل بالتعويض بالقيمة 𞸎=١ في المعادلة: ٢=٤٢=٤٤=٤.٢(١)٢

إذن، مجموعة حل المعادلة هي {١}.

في الأمثلة القليلة الآتية، سنتعرَّف على كيفية تطبيق هذه الطريقة على معادلة أسية علينا إعادة ترتيبها أولًا.

مثال ٣: إيجاد مجموعة حل معادلة أسية بيانيًّا

يوضِّح الشكل التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢٢𞸎. استخدِم هذا التمثيل البياني لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢٢١=٤٢𞸎.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق هذه المعادلة. يمكننا إعادة كتابة المعادلة وإعادة ترتيبها بدلالة 󰎨 على الصورة: ٢٢١=٤󰎨(𞸎)٢١=٤󰎨(𞸎)=٦١.٢𞸎

ومن ثَمَّ، فإن حلول المعادلة هي قيم 𞸎 بحيث تكون 󰎨(𞸎)=٦١. يمكننا إيجاد هذه القيم بتذكُّر أن أي نقطة على المنحنى تكون على الصورة (𞸎،󰎨(𞸎))؛ وعليه، تكون حلول المعادلة هي النقاط على المنحنى التي لها الإحداثي 𞸑 يساوي ١٦.

هناك نقطة واحدة فقط على المنحنى بها الإحداثي 𞸑 يساوي ١٦، هذه هي النقطة (٢،٦١). ومن ثَمَّ، 󰎨(٢)=٦١، والحل الوحيد لهذه المعادلة هو 𞸎=٢. يمكننا التأكُّد من أن هذا هو حل المعادلة بالتعويض بالقيمة 𞸎=٢ في المعادلة الأصلية: ٢٢١=٤٢٢١=٤٦١٢١=٤٤=٤.٢(٢)٤

وبما أن هذه المعادلة صحيحة، نكون بذلك قد تأكَّدنا من أن 𞸎=٢ هو حل المعادلة.

إذن، مجموعة حل المعادلة ٢٢١=٤٢𞸎 هي {٢}.

مثال ٤: إيجاد مجموعة حل معادلة أسية بيانيًّا

يوضِّح الشكل منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢. استخدم هذا المنحنى لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢+٥=٩𞸎٢.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق هذه المعادلة. بما أن لدينا التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)، إذن نبدأ بإعادة كتابة المعادلة بدلالة 󰎨(𞸎)، وإعادة ترتيبها: ٢+٥=٩󰎨(𞸎)+٥=٩󰎨(𞸎)=٤.𞸎٢

ومن ثَمَّ، يمكننا حل المعادلة بإيجاد قيم 𞸎 بحيث ينتج عن 󰎨 القيمة المخرجة ٤. يمكننا إيجاد هذه القيم بتذكُّر أن أي نقطة على المنحنى لها إحداثيات على الصورة (𞸎،󰎨(𞸎)).

بما أننا نريد 󰎨(𞸎)=٤، إذن نرسم المستقيم 𞸑=٤، ونُوجِد إحداثيات أي نقاط تقاطع.

نجد أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط لها الإحداثيات (٤،٤). إذن 󰎨(٤)=٤، 𞸎=٤ هو الحل الوحيد للمعادلة. يمكننا التحقُّق من صحة هذا الحل للمعادلة بالتعويض بالقيمة 𞸎=٤ في المعادلة المُعطاة: ٢+٥=٩٢+٥=٩٤+٥=٩٩=٩.٤٢٢

وبما أن هذه المعادلة صحيحة، نكون قد تحقَّقنا من أن 𞸎=٤ هو حل المعادلة.

إذن، مجموعة حل المعادلة المُعطاة هي {٤}.

في المثالين الأخيرين، سنرى كيفية تطبيق هذه الطريقة عندما تساوي الدالة الأسية دالة خطية بدلًا من ثابت.

مثال ٥: حل معادلة أسية بمعلومية تمثيل بياني

استخدم التمثيل البياني الآتي لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢=𞸎٢𞸎٣.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق هذه المعادلة. لدينا التمثيلان البيانيان لكلٍّ من 𞸑=٢𞸎٣، 𞸑=𞸎٢، والإحداثي 𞸑 لأي نقطة على التمثيل البياني يوضِّح القيمة المُخرَجة للدالة عند قيمة 𞸎 هذه. ومن ثَمَّ، عند نقطتَي التقاطع بين التمثيلين البيانيين، سيكون لدينا ٢=𞸎٢𞸎٣. إذن يمكننا استخدام نقاط التقاطع لإيجاد حلول المعادلة.

قيمتا الإحداثي 𞸎 لنقطتَي التقاطع هما ٣ و٤، إذن هناك حلان للمعادلة. يمكننا التحقُّق من صحة هذين الحلين بالتعويض بهما في المعادلة الأصلية.

نعوِّض بالقيمة 𞸎=٣: ٢=٣٢٢=١١=١.٣٣٠

ونعوِّض بالقيمة 𞸎=٤: ٢=٤٢٢=٢٢=٢.٤٣١

وبما أن كلتا المعادلتين صحيحتان، فقد تأكَّدنا بذلك من أن كلًّا من 𞸎=٣، 𞸎=٤ حلان للمعادلة.

إذن، مجموعة حل المعادلة هي {٣،٤}.

مثال ٦: حل معادلة أسية بيانيًّا

يوضِّح المنحنى الآتي الدالة 󰎨(𞸎)=٢١𞸎. استخدِم هذا المنحنى وارسم الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٢ لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢=𞸎+٣𞸎.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق هذه المعادلة. أي نقطة على المنحنى المُعطى تكون لها إحداثيات على الصورة 󰁓𞸎،٢󰁒𞸎. إذا رسمنا 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٢، فإن نقاط التقاطع بين التمثيلين البيانيين يكون بها قيم الإحداثي 𞸎 متساوية وقيم الإحداثي 𞸑 متساوية. وبما أن قيم الإحداثي 𞸑 تكون متساوية، إذن يكون لدينا ٢=𞸎+٣𞸎 عند هذه النقاط، وهو ما يُعطينا حلول المعادلة.

هناك عدة طرق لرسم الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٢؛ حيث يمكننا ملاحظة أنه عند 𞸎=٠: 󰎨(٠)=٠+٣=٣.٢

إذن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هو ٣. يمكننا حل 󰎨(𞸎)=٠٢ لإيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸎: ٠=𞸎+٣𞸎=٣.

إذن الجزء المقطوع من المحور 𞸎 هو ٣، والمستقيم يمر بهاتين النقطتين.

يمكننا بعد ذلك تحديد قيمة الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع الوحيدة بين المستقيم والمنحنى لنجد أن 𞸎=١، وهي الحل الوحيد للمعادلة المُعطاة. يمكننا التحقُّق من صحة هذا الحل للمعادلة المُعطاة بالتعويض بالقيمة 𞸎=١ في المعادلة: ٢=(١)+٣٢=٢٢=٢.(١)١

وبما أن المعادلة صحيحة، نكون بذلك قد تأكَّدنا من أن 𞸎=١ هو حل المعادلة.

إذن، مجموعة حل المعادلة هي {١}.

هيا الآن نختتم بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقِّق المعادلة.
  • يمكننا حل المعادلات على الصورة 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎) بإيجاد قيم الإحداثي 𞸎 لنقاط التقاطع بين التمثيلين البيانيين لكلٍّ من 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸑=𞸓(𞸎).
  • في بعض الأحيان، قد نحتاج إلى إعادة ترتيب المعادلة لتصبح على صورة يسهل حلها بيانيًّا.
  • يمكن ألا تكون هناك حلول للمعادلة، وفي هذه الحالة مجموعة الحل هي .
  • قد لا نتمكن من تحديد القيم الدقيقة لإحداثيات نقطة التقاطع من التمثيل البياني. في هذه الحالات، يمكننا استخدام شبكة بيانية ذات مربعات صغيرة لتقريب حلول المعادلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.