شارح الدرس: قاعدة القوة للاشتقاق الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قاعدة القوة للاشتقاق، ومشتقة مجموع دالتين لإيجاد مشتقات دوال كثيرات الحدود، ودوال القُوى العامة.

نبدأ بتذكُّر تعريف المشتقة.

قد يكون استخدام هذا التعريف لحساب المشتقات عملية مُمِلَّة وشاقَّة إلى حدٍّ ما. علينا إذن أن نُوجِد بعض القواعد التي يُمكننا استخدامها لتبسيط إيجاد مشتقات الدوال. في هذا الشارح، سنتناول بعض القواعد الأساسية التي تمكِّننا من اشتقاق مجموعة كاملة من الدوال.

سنبدأ باستعراض إحدى أبسط أنواع الدوال: الدوال الثابتة.

يوضِّح المثال السابق قاعدة عامة للمشتقات، وهي أن مشتقة أيِّ ثابت تساوي صفرًا.

يُمكننا الآن استعراض دوال على الصورة: .

يقودنا السؤال السابق إلى قاعدة عامة لاشتقاق قُوى ؛ نسمِّيها: قاعدة القُوة.

من أجل إثبات قاعدة القُوة للأعداد الصحيحة الموجبة، علينا استخدام نظرية ذات الحدَّيْن. تذكَّر أن نظرية ذات الحدَّيْن تُمكِّننا من فكِّ المقادير ذات الحدَّيْن المرفوعة لأيِّ قوة صحيحة موجبة على وجه التحديد:

لنفترض أن ، باستخدام تعريف المشتقة، نحصل على:

وباستخدام نظرية ذات الحدَّيْن، يُمكننا فكُّ ، كما يأتي:

بما أن ، يُمكننا حذف العامل المشترَك من البسط والمقام لنحصل على:

بحساب النهاية عند ، فإن الحدَّ الوحيد الذي يكون بدون قوة موجبة هو . ومن ثَمَّ:

لاحِظ أنه إذا جعلنا ، نحصل على دالة ثابتة، وتوضِّح قاعدة القُوة أن المشتقة تساوي صفرًا، بالتوافق مع القاعدة الأولى الخاصة بمشتقات الدوال الثابتة.

وعلى الرغم من أن هذه قاعدة مُهمَّة تُمكِّننا من حساب مشتقات مجموعة أكبر من الدوال، فإنها تظلُّ محدودة إلى حدٍّ ما؛ لأننا لا نستطيع استخدامها لاشتقاق دوال مكوَّنة من حدود متعدِّدة مثل كثيرات الحدود. إذن سنتعرَّف على القواعد التي توضِّح كيفية اشتقاق دوال مضروبة في ثوابت، ودوال على صورة مجموع دالتَيْ في أبسط صيغة. نبدأ بحساب مشتقة الدالة ؛ حيث ثابت، دالة قابلة للاشتقاق.

باستخدام تعريف المشتقة، نحصل على:

وبإخراج العامل المشترَك ، نحصل على:

إذا كانت دالة قابلة للاشتقاق، فيُمكننا استخدام قواعد النهايات المحدَّدة لإعادة كتابة ذلك على الصورة:

سنفكِّر الآن في مشتقة دالة معرَّفة على صورة مجموع دالتين قابلتين للاشتقاق. لنفترض أن ؛ إذن، باستخدام تعريف المشتقة، نحصل على:

بما أن كلًّا من ، قابلتان للاشتقاق، فإننا نحصل على:

باستخدام هذه القاعدة مع قاعدة الضرب في عدد ثابت، نجد أن:

وباستخدام قاعدة المجموع، نحصل على:

يُمكننا الآن استخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت لنحصل على:

سنلخِّص هذه النتائج فيما يأتي.

نعرف الآن الأدوات اللازمة التي تُمكِّننا من اشتقاق كثيرات الحدود.

يوضِّح المثال السابق كيفية تطبيق قواعد المجموع والفرق والضرب في عدد ثابت بعناية. بوجهٍ عام، لا يتعيَّن علينا توضيح التفاصيل الكاملة لتطبيق هذه القواعد عند اشتقاق الدوال. في الأمثلة الآتية، لن نستخدم المستوى نفسه من التفاصيل عند تطبيق هذه القواعد.

في المثال الآتي، سنتناول هل يُمكن تعميم قاعدة القُوة لتشمل القُوى السالبة.

في المثال السابق رأينا أن:

ويمكن أيضًا كتابة ذلك على الصورة: وهذا يُماثِل صورة قاعدة القُوة، إذا جعلنا . ليس هذا من قَبِيل المُصادفة؛ وفي الحقيقة، تُعمَّم قاعدة القُوة على جميع الأعداد الصحيحة.

لن نُثبت الآن هذه الصورة من قاعدة القُوة. لكن يصبح من السهل إثباتها بمجرد التعرُّف على قواعد أكثر تقدمًا للاشتقاق. في المثال الآتي، سنتناول إذا ما كان يُمكن تعميم قاعدة القُوة لتشمل الأُسُس الكسرية.

لقد أوضح المثال السابق أن:

يُمكننا إعادة كتابة ذلك باستخدام الأُسس على الصورة: وهي الصيغة التي سنحصل عليها بالضبط إذا جعلنا في قاعدة القُوى. وهذا مجددًا ليس من قَبِيل المُصادفة. في الواقع، لا تُعمَّم قاعدة القُوة على القُوى الكسرية فحسب، بل تُعمَّم أيضًا على أيِّ قوة حقيقية.

لن نُثبت هنا هذه الصورة الأكثر شيوعًا لقاعدة القُوة. سيكون من البسيط إثبات الصورة العامة لقاعدة القوة فَوْر تعرُّفنا على أسلوب اشتقاق الدالة اللوغاريتمية.

في المثالين الأخيرين، سنطبِّق قاعدة القُوة وقواعد المجموع والفرق والضرب في عدد ثابت لإيجاد مشتقات الدوال العامة.

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة من هذا الشارح.