تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: قاعدة القوة للاشتقاق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قاعدة القوة للاشتقاق، ومشتقة مجموع دالتين لإيجاد مشتقات دوال كثيرات الحدود، ودوال القُوى العامة.

نبدأ بتذكُّر تعريف المشتقة.

تعريف: مشتقة الدالة

مشتقة أيِّ دالة 󰎨 تُعرَف بالصورة: 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤󰍱𞸤٠ـــــ عند النقاط التي تُوجَد عندها النهاية.

قد يكون استخدام هذا التعريف لحساب المشتقات عملية مُمِلَّة وشاقَّة إلى حدٍّ ما. علينا إذن أن نُوجِد بعض القواعد التي يُمكننا استخدامها لتبسيط إيجاد مشتقات الدوال. في هذا الشارح، سنتناول بعض القواعد الأساسية التي تمكِّننا من اشتقاق مجموعة كاملة من الدوال.

سنبدأ باستعراض إحدى أبسط أنواع الدوال: الدوال الثابتة.

مثال ١: مشتقة ثابت

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎، إذا كانت 𞸑=٠٦.

الحل

تذكَّر تعريف المشتقة للدالة العامة 𞸑=󰎨(𞸎): 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤.󰍱𞸤٠ـــــ

بالتعويض في 󰎨(𞸎)=٠٦، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٠٦(٠٦)𞸤=٠=٠.ــــــــــ𞸤٠𞸤٠

إذن مشتقة 𞸑=٠٦ تساوي صفرًا لجميع قِيَم 𞸎.

يوضِّح المثال السابق قاعدة عامة للمشتقات، وهي أن مشتقة أيِّ ثابت تساوي صفرًا.

قاعدة: مشتقة دالة ثابتة

لأي ثابت 𞸖: 𞸃𞸃𞸎(𞸖)=٠.

يُمكننا الآن استعراض دوال على الصورة: 󰎨(𞸎)=𞸎𞸍.

مثال ٢: قاعدة القُوة للأعداد الصحيحة الموجبة

  1. أوجد مشتقة 󰎨(𞸎)=𞸎١، من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.
  2. أوجد مشتقة 󰎨(𞸎)=𞸎٢٢، من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.
  3. أوجد مشتقة 󰎨(𞸎)=𞸎٣٣، من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.
  4. عن طريق مُراعاة هذا النمط، ما مشتقة 󰎨(𞸎)=𞸎𞸍؟

الحل

الجزء ١

تذكَّر تعريف المشتقة للدالة العامة 𞸑=󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤.󰍱𞸤٠ـــــ

باستخدام الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎١، نحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸤𞸎𞸤=𞸤𞸤.󰍱١𞸤٠𞸤٠ــــــــــ

بما أن 𞸤٠، يمكننا حذف العامل المشترَك 𞸤 من البسط والمقام لنحصل على: 󰎨(𞸎)=١=١.󰍱١𞸤٠ـــــ

الجزء ٢

باستخدام الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢٢، وتعريف المشتقة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=(𞸎+𞸤)𞸎𞸤.󰍱٢𞸤٠٢٢ـــــ

بفكِّ الأقواس في البسط، نحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸤𞸎+𞸤𞸎𞸤=٢𞸤𞸎+𞸤𞸤.󰍱٢𞸤٠٢٢٢𞸤٠٢ــــــــــ

بما أن 𞸤٠، يُمكننا حذف العامل المشترَك 𞸤 من البسط والمقام لنحصل على: 󰎨(𞸎)=(٢𞸎+𞸤)=٢𞸎.󰍱٢𞸤٠ـــــ

الجزء ٣

باستخدام الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣٣، وتعريف المشتقة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=(𞸎+𞸤)𞸎𞸤.󰍱٣𞸤٠٣٣ـــــ

بفكِّ الأقواس في البسط، نحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸎+٣𞸤𞸎+٣𞸤𞸎+𞸤𞸎𞸤=٣𞸤𞸎+٣𞸤𞸎+𞸤𞸤.󰍱٣𞸤٠٣٢٢٣٣𞸤٠٢٢٣ــــــــــ

بما أن 𞸤٠، يُمكننا حذف العامل المشترَك 𞸤 من البسط والمقام لنحصل على: 󰎨(𞸎)=󰁓٣𞸎+٣𞸤𞸎+𞸤󰁒=٣𞸎.󰍱٣𞸤٠٢٢٢ـــــ

الجزء ٤

بتجميع نواتج الأجزاء الثلاثة الأولى من السؤال، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎(𞸎)=١،𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=٢𞸎،𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=٣𞸎.٢٣٢

نلاحظ أنه عندما نُوجِد مشتقة قُوى 𞸎، تقلُّ القوة بمقدار واحد. بالإضافة إلى ذلك، نجد أن هناك ثابتًا يساوي القوة الأصلية. إذن: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎.𞸍𞸍١

يقودنا السؤال السابق إلى قاعدة عامة لاشتقاق قُوى 𞸎؛ نسمِّيها: قاعدة القُوة.

قاعدة: قاعدة القُوة للأعداد الصحيحة الموجبة

لأيِّ عدد صحيح موجب 𞸍: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎.𞸍𞸍١

من أجل إثبات قاعدة القُوة للأعداد الصحيحة الموجبة، علينا استخدام نظرية ذات الحدَّيْن. تذكَّر أن نظرية ذات الحدَّيْن تُمكِّننا من فكِّ المقادير ذات الحدَّيْن المرفوعة لأيِّ قوة صحيحة موجبة على وجه التحديد: (𞸀+𞸁)=𞸀+󰃁𞸍١󰃀𞸀𞸁+󰃁𞸍٢󰃀𞸀𞸁++󰃁𞸍𞸍١󰃀𞸀𞸁+𞸁.𞸍𞸍𞸍١𞸍٢٢٢𞸍١𞸍

لنفترض أن 󰎨(𞸎)=𞸎𞸍، باستخدام تعريف المشتقة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=(𞸎+𞸤)𞸎𞸤.󰍱𞸤٠𞸍𞸍ـــــ

وباستخدام نظرية ذات الحدَّيْن، يُمكننا فكُّ (𞸎+𞸤)𞸍، كما يأتي: 󰎨(𞸎)=󰃁𞸎+󰁓󰁒𞸎𞸤+󰁓󰁒𞸎𞸤++󰁓󰁒𞸎𞸤+𞸤󰃀𞸎𞸤=󰁓󰁒𞸎𞸤+󰁓󰁒𞸎𞸤++󰁓󰁒𞸎𞸤+𞸤𞸤.󰍱𞸤٠𞸍𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸍١٢𞸍١𞸍𞸍𞸤٠𞸍١𞸍١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸍١٢𞸍١𞸍ــــــــــ

بما أن 𞸤٠، يُمكننا حذف العامل المشترَك 𞸤 من البسط والمقام لنحصل على: 󰎨(𞸎)=󰃁󰃁𞸍١󰃀𞸎+󰃁𞸍٢󰃀𞸎𞸤++󰃁𞸍𞸍١󰃀𞸎𞸤+𞸤󰃀.󰍱𞸤٠𞸍١𞸍٢٢𞸍٢𞸍١ـــــ

بحساب النهاية عند 𞸤٠، فإن الحدَّ الوحيد الذي يكون بدون قوة موجبة 𞸤 هو 󰃁𞸍١󰃀𞸎𞸍١. ومن ثَمَّ: 󰎨(𞸎)=󰃁𞸍١󰃀𞸎=𞸍𞸎.󰍱𞸍١𞸍١

لاحِظ أنه إذا جعلنا 𞸍=٠، نحصل على دالة ثابتة، وتوضِّح قاعدة القُوة أن المشتقة تساوي صفرًا، بالتوافق مع القاعدة الأولى الخاصة بمشتقات الدوال الثابتة.

وعلى الرغم من أن هذه قاعدة مُهمَّة تُمكِّننا من حساب مشتقات مجموعة أكبر من الدوال، فإنها تظلُّ محدودة إلى حدٍّ ما؛ لأننا لا نستطيع استخدامها لاشتقاق دوال مكوَّنة من حدود متعدِّدة مثل كثيرات الحدود. إذن سنتعرَّف على القواعد التي توضِّح كيفية اشتقاق دوال مضروبة في ثوابت، ودوال على صورة مجموع دالتَيْ في أبسط صيغة. نبدأ بحساب مشتقة الدالة 󰎨(𞸎)=𞸖𞸓(𞸎)؛ حيث 𞸖 ثابت، 𞸓 دالة قابلة للاشتقاق.

باستخدام تعريف المشتقة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸖𞸓(𞸎+𞸤)𞸖𞸓(𞸎)𞸤.󰍱𞸤٠ـــــ

وبإخراج العامل المشترَك 𞸖، نحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸖󰃁𞸓(𞸎+𞸤)𞸓(𞸎)𞸤󰃀.󰍱𞸤٠ـــــ

إذا كانت 𞸓 دالة قابلة للاشتقاق، فيُمكننا استخدام قواعد النهايات المحدَّدة لإعادة كتابة ذلك على الصورة: 󰎨(𞸎)=𞸖󰃁𞸓(𞸎+𞸤)𞸓(𞸎)𞸤󰃀=𞸖𞸓(𞸎).󰍱𞸤٠󰍱ـــــ

قاعدة: قاعدة الضرب في عدد ثابت

لأي ثابت 𞸖: 𞸃𞸃𞸎(𞸖󰎨(𞸎))=𞸖𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎).

سنفكِّر الآن في مشتقة دالة معرَّفة على صورة مجموع دالتين قابلتين للاشتقاق. لنفترض أن 𞹟(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)؛ إذن، باستخدام تعريف المشتقة، نحصل على: 𞹟(𞸎)=𞹟(𞸎+𞸤)𞹟(𞸎)𞸤=󰎨(𞸎+𞸤)+𞸓(𞸎+𞸤)(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎))𞸤=󰃁󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤+𞸓(𞸎+𞸤)𞸓(𞸎)𞸤󰃀.󰍱𞸤٠𞸤٠𞸤٠ـــــــــــــــ

بما أن كلًّا من 󰎨، 𞸓 قابلتان للاشتقاق، فإننا نحصل على: 𞹟(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤+𞸓(𞸎+𞸤)𞸓(𞸎)𞸤=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎).󰍱𞸤٠𞸤٠󰍱󰍱ــــــــــ

باستخدام هذه القاعدة مع قاعدة الضرب في عدد ثابت، نجد أن: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)+(١)𞸓(𞸎)).

وباستخدام قاعدة المجموع، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎)+𞸃𞸃𞸎(١)𞸓(𞸎).

يُمكننا الآن استخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت لنحصل على: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎)+(١)𞸃𞸃𞸎𞸓(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎)𞸃𞸃𞸎𞸓(𞸎).

سنلخِّص هذه النتائج فيما يأتي.

قاعدة: قاعدة المجموع والفرق

لأي دالتين قابلتين للاشتقاق 󰎨، 𞸓: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))=𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎)±𞸃𞸃𞸎𞸓(𞸎).

نعرف الآن الأدوات اللازمة التي تُمكِّننا من اشتقاق كثيرات الحدود.

مثال ٣: مشتقات كثيرات الحدود

علمًا بأن 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸌𞸎+١٢، أوجد 𞸌، إذا كانت 󰎨(٣)=١󰍱.

الحل

بما أننا نعلم قيمة المشتقة عند نقطة معيَّنة، فعلينا أن نبدأ بإيجاد تعبير للمشتقة. باستخدام قاعدة المجموع والفرق، نحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎(𞸌𞸎)+𞸃𞸃𞸎(١).󰍱٢

يُمكننا الآن استخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت لنحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒+𞸌𞸃𞸃𞸎(𞸎)+𞸃𞸃𞸎(١).󰍱٢

يُمكننا الآن تطبيق قاعدة القُوة: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎،𞸍𞸍١ على كلِّ حدٍّ كما يأتي: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+𞸌.󰍱

بما أن 󰎨(٣)=١󰍱، فإننا نحصل على: ١=٢(٣)+𞸌=٦+𞸌.

إذن 𞸌=٧.

يوضِّح المثال السابق كيفية تطبيق قواعد المجموع والفرق والضرب في عدد ثابت بعناية. بوجهٍ عام، لا يتعيَّن علينا توضيح التفاصيل الكاملة لتطبيق هذه القواعد عند اشتقاق الدوال. في الأمثلة الآتية، لن نستخدم المستوى نفسه من التفاصيل عند تطبيق هذه القواعد.

في المثال الآتي، سنتناول هل يُمكن تعميم قاعدة القُوة لتشمل القُوى السالبة.

مثال ٤: اشتقاق القُوى السالبة

أوجد مشتقة 󰎨(𞸎)=𞸎١.

الحل

باستخدام تعريف المشتقة: 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤󰍱𞸤٠ـــــ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎١، نحصل على: 󰎨(𞸎)=١𞸤󰃁١𞸎+𞸤١𞸎󰃀.󰍱𞸤٠ـــــ

يُمكننا التعبير عن ذلك على صورة كسر منفرد، كما يأتي: 󰎨(𞸎)=١𞸤󰃁𞸎(𞸎+𞸤)𞸎(𞸎+𞸤)󰃀=١𞸤󰃁𞸤𞸎+𞸎𞸤󰃀.󰍱𞸤٠𞸤٠٢ــــــــــ

وبما أن 𞸤٠، فإنه يُمكننا حذفه من البسط والمقام، كما يأتي: 󰎨(𞸎)=󰃁١𞸎+𞸎𞸤󰃀.󰍱𞸤٠٢ـــــ

باستخدام قوانين النهايات المحدَّدة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=١󰁓𞸎+𞸎𞸤󰁒=١𞸎+𞸎𞸤.󰍱𞸤٠٢٢𞸤٠ــــــــــ

بحساب النهاية عند 𞸤٠، نحصل على: 󰎨(𞸎)=١𞸎.󰍱٢

في المثال السابق رأينا أن: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=١𞸎.١٢

ويمكن أيضًا كتابة ذلك على الصورة: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=(١)𞸎١٢ وهذا يُماثِل صورة قاعدة القُوة، إذا جعلنا 𞸍=١. ليس هذا من قَبِيل المُصادفة؛ وفي الحقيقة، تُعمَّم قاعدة القُوة على جميع الأعداد الصحيحة.

قاعدة: قاعدة القوة للقوى الصحيحة

لأيِّ عدد صحيح 𞸍: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎.𞸍𞸍١

لن نُثبت الآن هذه الصورة من قاعدة القُوة. لكن يصبح من السهل إثباتها بمجرد التعرُّف على قواعد أكثر تقدمًا للاشتقاق. في المثال الآتي، سنتناول إذا ما كان يُمكن تعميم قاعدة القُوة لتشمل الأُسُس الكسرية.

مثال ٥: اشتقاق القُوى الكسرية

أوجد مشتقة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎.

الحل

باستخدام تعريف المشتقة: 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤󰍱𞸤٠ـــــ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎١٢، نحصل على: 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+𞸤󰋴𞸎𞸤.󰍱𞸤٠ـــــ

وبما أن هذه النهاية تئول إلى ٠٠، فإنه يُمكننا استخدام الطريقة الجبرية لضرب البسط والمقام في مرافق البسط من أجل تحويل هذا الكسر إلى صورة يُمكننا من خلالها إيجاد قيمة النهاية. إذن: 󰎨(𞸎)=󰃭󰋴𞸎+𞸤󰋴𞸎𞸤×󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰃬=𞸎+𞸤𞸎𞸤󰂔󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰂓=𞸤𞸤󰂔󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰂓.󰍱𞸤٠𞸤٠𞸤٠ـــــــــــــــ

وبما أن 𞸤٠، فإنه يُمكننا حذفه من البسط والمقام، كما يأتي: 󰎨(𞸎)=١󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎.󰍱𞸤٠ـــــ

يُمكننا الآن تطبيق قواعد النهايات المحدَّدة لنحصل على: 󰎨(𞸎)=١󰂔󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰂓=١󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎.󰍱𞸤٠𞸤٠ــــــــــ

وبما أن ـــــ𞸤٠󰋴𞸎+𞸤=󰋴𞸎، فإننا نحصل على: 󰎨(𞸎)=١٢󰋴𞸎.󰍱

لقد أوضح المثال السابق أن: 𞸃𞸃𞸎󰋴𞸎=١٢󰋴𞸎.

يُمكننا إعادة كتابة ذلك باستخدام الأُسس على الصورة: 𞸃𞸃𞸎󰂔𞸎󰂓=١٢𞸎،١٢١٢ وهي الصيغة التي سنحصل عليها بالضبط إذا جعلنا 𞸍=١٢ في قاعدة القُوى. وهذا مجددًا ليس من قَبِيل المُصادفة. في الواقع، لا تُعمَّم قاعدة القُوة على القُوى الكسرية فحسب، بل تُعمَّم أيضًا على أيِّ قوة حقيقية.

قاعدة: قاعدة القوة للقوى العامة

لأي عدد حقيقي 𞸍: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎.𞸍𞸍١

لن نُثبت هنا هذه الصورة الأكثر شيوعًا لقاعدة القُوة. سيكون من البسيط إثبات الصورة العامة لقاعدة القوة فَوْر تعرُّفنا على أسلوب اشتقاق الدالة اللوغاريتمية.

في المثالين الأخيرين، سنطبِّق قاعدة القُوة وقواعد المجموع والفرق والضرب في عدد ثابت لإيجاد مشتقات الدوال العامة.

مثال ٦: استخدام قاعدة القُوة للاشتقاق

إذا كانت 𞸑=٥١١𞸎+١٣𞸎٦٠٢، فأوجد 𞸑󰍱.

الحل

باستخدام خواص المشتقات، يُمكننا اشتقاق كلِّ حدٍّ بشكل مستقلٍّ، كما يأتي: 𞸑=𞸃𞸃𞸎(٥١)𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸎󰃀+١٣𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒.󰍱٦٠٢

يُمكننا الآن تطبيق قاعدة القُوة: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎،𞸍𞸍١ على كلِّ حدٍّ، كما يأتي: 𞸑=٠(٦)𞸎+١٣(٠٢)𞸎=٦𞸎+٠٢٣𞸎.󰍱٧٩١٧٩١

مثال ٧: استخدام قاعدة القُوة للاشتقاق

إذا كان 𞸑=٣𞸎+٤𞸎+𞸎٢󰋴𞸎٦٤٢، فأوجد 𞸑󰍱.

الحل

قبل أن نحاول اشتقاق هذه الدالة، علينا تبسيط التعبير. وبما أن المقام يتكوَّن من حدٍّ منفرد، فإنه يُمكننا استخدام قواعد القُوى لتبسيط التعبير، كما يأتي: 𞸑=٣𞸎𞸎+٤𞸎𞸎+𞸎𞸎٢𞸎=٣𞸎+٤𞸎+𞸎٢𞸎.٦٤٢١٢١٢١٢١٢١١٢٧٢٣٢١٢

يُمكننا الآن استخدام قاعدة القُوة: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎،𞸍𞸍١ لاشتقاق كلِّ حدٍّ، على النحو الآتي: 𞸑=٣󰂔١١٢󰂓𞸎+٤󰂔٧٢󰂓𞸎+󰂔٣٢󰂓𞸎٢󰂔١٢󰂓𞸎=٣٣٢𞸎+٤١𞸎+٣٢𞸎+𞸎.󰍱٩٢٥٢١٢٣٢٩٢٥٢١٢٣٢

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • تنصُّ قاعدة القُوة للاشتقاق على أنه لأيِّ عدد حقيقي 𞸍: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎.𞸍𞸍١
  • تنصُّ قاعدة المجموع والفرق على أنه لأيِّ دالتين قابلتين للاشتقاق 󰎨، 𞸓: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))=𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎)±𞸃𞸃𞸎𞸓(𞸎).
  • تنصُّ قاعدة الضرب في عدد ثابت على أنه لأيِّ ثابت 𞸖: 𞸃𞸃𞸎(𞸖󰎨(𞸎))=𞸖𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸎).
  • باستخدام قواعد الاشتقاق هذه، من المُمكن إيجاد مشتقات مجموعة كبيرة من الدوال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.