شارح الدرس: تطبيقات على المتتابعات الحسابية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد قيمة حدٍّ معيَّن في متتابعة حسابية مُعطاة على صورة كلامية

يمارس سامح بعض تمارين اللياقة البدنية يوميًّا، فيتمرن لمدة ٦ دقائق في أول يوم، ويزيد فترة التمرين بمقدار ٤ دقائق كل يوم. كم دقيقةً سيستغرقها سامح في التمرين في اليوم الثامن عشر؟

الحل

نلاحظ ذلك؛ بما أن تمرين سامح يزيد بمقدار ثابت كل يوم، فإن ذلك يُكوِّن متتابعة حسابية. المتتابعة الحسابية هي متتابعة بها فرق مشترك بين الحدود المتتالية.

أيُّ متتابعة حسابية دليلها يكون حدها هو: حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة.

الحد الأول في المتتابعة هو كم دقيقة يمارس خلالها سامح تمارين اللياقة في أول يوم، إذن . وأساس المتتابعة هو كم دقيقة يزيد بها سامح فترة التمرين كل يوم، إذن .

يمكننا التعويض بهذه القيم في صيغة الحد ، وهي ، لإيجاد الحد العام لهذه المتتابعة:

يمكننا بعد ذلك استخدام الحد لإيجاد أي حدٍّ معيَّن في المتتابعة. لإيجاد كم دقيقة سيستغرقها سامح في التمرين في اليوم الثامن عشر، نحسب الحد ذا الرتبة ١٨، . بالتعويض بـ في المعادلة وبالتبسيط نحصل على:

إذن يمكننا كتابة الإجابة بأن طول الفترة الزمنية التي سيستغرقها سامح في التمرين في اليوم الثامن عشر هو ٧٤ دقيقة.

مثال ٢: إيجاد حد مجهول في متتابعة حسابية مُعطاة على صورة مسألة كلامية

وصف الطبيب لمريضه علاجًا يحتوي على ١٥ قرصًا في الأسبوع الأول. إذا كان يجب على المريض أن يقلِّل الجرعة بمقدار ٣ أقراص كل أسبوع، فحدِّد الأسبوع الذي سيتوقَّف فيه المريض عن تناول الدواء نهائيًّا.

الحل

في هذا السؤال، بدأ المريض بتناول علاج يحتوي على ١٥ قرصًا في أول أسبوع. وبما أن عدد الأقراص يقل كل أسبوع بالعدد نفسه، إذن يمكننا اعتبار هذه متتابعة حسابية تناقصية.

أيُّ متتابعة حسابية دليلها بها الحد العام يساوي: حيث هو الحد الأول، هو الفرق المشترك.

في هذه الحالة، الحد الأول هو ١٥، إذن . وبما أن الفرق المشترك يجعل عدد الأقراص يتناقص كل أسبوع، إذن الفرق سيكون قيمة سالبة؛ ومن ثَمَّ، . نعوِّض بهذه القيم في لإيجاد الحد لهذه المتتابعة. هذا يعطينا:

بالتبسيط، نحصل على:

لتحديد أيُّ أسبوع سيتوقَّف فيه المريض عن تناول الدواء، علينا إيجاد أيُّ أسبوع يكون فيه . ومن ثَمَّ، نَحُل ذلك لإيجاد قيمة في المعادلة:

بإضافة إلى الطرفين، ثم بالقسمة على ٣، نحصل على:

وبما أن هو عدد الأسابيع، إذن يمكننا الإجابة عن السؤال بأن المريض سيتوقَّف عن تناول الدواء في الأسبوع السادس.

وللتحقُّق من صحة الإجابة، يمكننا كتابة القيم في هذه المتتابعة حتى نحصل على الحد الذي قيمته تساوي ٠. ستكون المتتابعة هكذا:

وهذا يؤكِّد أن المريض سيتوقَّف عن تناول الدواء؛ أي يأخذ ٠ من الأقراص في الأسبوع السادس.

مثال ٣: إيجاد الفرق المشترك لمتتابعة حسابية مُعطاة على صورة مسألة كلامية

بلغ التعداد السكاني في إحدى المدن مليون نسمة في عام ٢٠١٠، و٥ ملايين نسمة في عام ٢٠١٦. يمكن وصف النمو السكاني في صورة متتابعة حسابية. أوجد أساس هذه المتتابعة، الذي يمثِّل معدل النمو السكاني السنوي.

الحل

نحن نعلم أن النمو السكاني لهذه المدينة يُكوِّن متتابعة حسابية. ونتذكَّر أن المتتابعة الحسابية بها فرق مشترك بين الحدود. لكي نُوجِد الفرق المشترك هنا، يمكننا استخدام صيغة الحد للمتتابعة.

أيُّ متتابعة حسابية دليلها يكون حدها هو: حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة.

الحد الأول بهذه المتتابعة، بالمليون، هو . لا يخبرنا السؤال برقم الحد الذي قيمته تساوي ٥ ملايين، لكن يمكننا حساب هذا بمعلومية أن المتتابعة تبدأ في عام ٢٠١٠ وتصل إلى ٥ ملايين في عام ٢٠١٦. على الرغم من أن عملية حسابية بسيطة ستُحدِّد أن ، وبما أن علينا أيضًا تضمين كلٍّ من ٢٠١٠ و ٢٠١٦، فإن الحد الذي قيمته ٥ ملايين هو الحد السابع.

باستخدام المتتابعة التي تمثِّل فيها الحدود تعدادَ السكان بالمليون، يمكننا التعويض بـ ، في الصيغة لكتابة معادلة بدلالة للحد السابع، وهو ما يُعطينا:

نعلم أن (ملايين)؛ لذا، يمكننا كتابة المعادلة:

بالتبسيط عن طريق طرح ، ثم بقسمة الطرفين على ٦، نحصل على:

إذن أساس المتتابعة الحسابية هو ، وبما أن هذا الرقم بالمليون، إذن يمكننا الإجابة بأن معدل النمو السكاني السنوي يساوي مليون.

مثال ٤: إيجاد مجموع حدود متتابعة حسابية مُعطاة على صورة مسألة كلامية

يستعد متسابق لسباق العَدْو الطويل. قطع ٦ كم في أول يوم، ثم أصبح يزيد المسافة بمقدار ٠٫٥ كيلومتر كل يوم. أوجد مجموع المسافات التي قطعها في أول ١٤ يومًا.

الحل

في هذه السؤال، يزيد المتسابق المسافة التي يقطعها بمقدار ثابت كل يوم. هذا يعني أنه يمكننا تمثيل المسافات التي يقطعها كل يوم باستخدام متتابعة حسابية. علينا إيجاد إجمالي، أو مجموع المسافات المقطوعة في ١٤ يومًا. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام صيغة إيجاد مجموع عدد من الحدود الأولى في متتابعة حسابية. ويمكن كتابة هذا على الصورة: حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة.

هنا، الحد الأول في المتتابعة هو المسافة التي قطعها المتسابق في أول يوم، إذن . أساس المتتابعة الحسابية . علينا إيجاد مجموع أول ١٤ حدًّا، إذن . يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة ، وهو ما يُعطينا:

يمكننا تبسيط هذه المعادلة، لنحصل على:

إذن مجموع المسافات التي قطعها المتسابق في ١٤ يومًا هو ١٢٩٫٥ كم.

مثال ٥: استخدام مجموع الحدود لإيجاد عدد الحدود في متتابعة حسابية مُعطاة على صورة مسألة كلامية

يدَّخِر فارس جنيهًا إسترلينيًّا واحدًا في اليوم الأول، وجنيهَيْن إسترلينيَّيْن في اليوم الثاني، و٣ جنيهات إسترلينية في اليوم الثالث، وهكذا يدَّخر جنيهًا إسترلينيًّا واحدًا إضافيًّا كل يوم. ما اليوم الذي يصل إجمالي مدخراته فيه إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني؟

الحل

نلاحظ أن قيم الحدود في هذه المتتابعة التي تمثِّل مدخرات فارس تزداد بمقدار ثابت، هو جنيه إسترليني واحد كل يوم. هذه المتتابعة تكون متتابعة حسابية. ومطلوب منا في السؤال إيجاد في أيِّ يوم يصل إجمالي مدخرات فارس إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني. لاحظ أنه ليس مطلوبًا منا تحديد الحد الذي تكون قيمته ١٠٠ جنيه إسترليني. بدلًا من ذلك، يكون ١٠٠ جنيه إسترليني هو إجمالي المدخرات اليومية كلها. يمكننا استخدام صيغة مجموع عدد من الحدود الأولى في المتتابعة الحسابية: حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة.

بما أن فارس يبدأ بادِّخار جنيه إسترليني واحد في أول يوم، إذن . أساس المتتابعة ؛ لأن ماله المدَّخَر يزيد كل يوم بمقدار جنيه إسترليني واحد. يمكننا حساب مجموع عدد من الحدود بالتعويض بهذه القيم في الصيغة ، وهو ما يُعطينا:

ثم نبسِّط، لنحصل على:

والآن، علينا إيجاد قيمة ؛ حيث . ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة:

بضرب طرفَي المتباينة في ٢، وطرح ٢٠٠ من الطرفين، نحصل على:

والآن أصبحت لدينا متباينة تربيعية بدلالة ، ويمكننا حلها لإيجاد قيم . نلاحظ أن لا يمكن تحليلها؛ لذا، نستخدم طريقة أخرى للحل. يتيح لنا القانون العام حل المعادلة التربيعية ؛ حيث ، باستخدام:

يمكننا حل لإيجاد قيمة عن طريق التعويض بالقيم ، ، . وهذا يُعطينا:

بالتبسيط، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك استخدام الآلة الحاسبة لحساب قيمتَي :

بالنظر إلى هذه النتائج، وبما أن هو رقم الحد في المتتابعة، إذن لا يمكن أن يكون قيمة سالبة؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استبعاد القيمة . وبما أن ليس عددًا صحيحًا، إذن هذا يخبرنا بأنه لا يوجد حدٌّ ذو الرتبة في المتتابعة يكون عنده يساوي ١٠٠ بالضبط. الحد الذي يكون عنده مجموع عدد من الحدود الأولى أكبر من ١٠٠ يجب أن يكون أول عدد صحيح بعد ؛ أي الحد رقم ١٤.

وللتأكُّد من صحة ذلك، يمكننا إيجاد مجموع كل الحدود حتى الحدَّيْن ١٣ و١٤. ومن ثَمَّ، لإيجاد مجموع الحدود حتى باستخدام القيم نفسها ، ، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة المبسَّطة، ، ثم نختصر، لنحصل على:

لإيجاد مجموع الحدود حتى ، نحصل على:

في اليوم رقم ١٣، سيصل إجمالي مدخرات فارس إلى ٩١ جنيهًا إسترلينيًّا، وفي اليوم رقم ١٤، سيكون قد ادخر ١٠٥ جنيهات إسترلينية. إذن يمكننا الإجابة عن سؤال في أيِّ يوم ستصل مدخراته إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني بأنه اليوم رقم ١٤.

مثال ٦: استخدام مجموع الحدود لإيجاد قيمة حدٍّ معيَّن في متتابعة حسابية مُعطاة على صورة مسألة كلامية

ترغب شركة في توزيع ١٤‎ ‎٥٠٠ جنيه مصري مكافآت لأفضل ٥ مندوبي مبيعات. مكافأة المركز الأخير ١‎ ‎٣٠٠ جنيه مصري. إذا كان الفارق في المكافآت بين جميع المندوبين ثابتًا، فأوجد قيمة مكافأة المندوب صاحب المركز الأول.

الحل

في هذا السؤال، لدينا مثال على متتابعة تناقصية. الموظف صاحب المركز الأول يحصل على أكبر مكافأة، والموظف صاحب المركز الأخير يحصل على أقل مكافأة. علمنا أن هناك ٥ موظفين، وبما أن الفارق في المكافآت ثابت، إذن يمكننا تمثيل ذلك على صورة متتابعة حسابية.

نتذكَّر أن الحد للمتتابعة الحسابية هو: حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة.

وبما أن هناك ٥ موظفين، إذن الموظف صاحب المركز الأخير يكون ترتيبه رقم ٥. إذن، بالنسبة إلى ، يمكننا كتابة بدلالة ، على الصورة:

نحن نعلم أن قيمة الحد للموظف الخامس هي ١‎ ‎٣٠٠ جنيه مصري؛ لذا، بالتعويض بـ في هذه المعادلة، نحصل على:

لا يمكننا حل هذه المعادلة الفردية التي تتضمَّن قيمتين مجهولتين؛ لذا، نستخدم المعلومات الإضافية المُعطاة عن إجمالي جميع المكافآت. يمكننا استخدام صيغة مجموع عدد من الحدود الأولى في المتتابعة الحسابية: حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة.

يمكننا كتابة مجموع أول ٥ حدود بدلالة ، عند كالآتي:

بتبسيط هذا، نحصل على:

مجموع الحدود التي عددها ٥ في هذه المتتابعة هو إجمالي مبلغ المكافآت الممنوحة؛ ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة . بالتعويض بذلك في المعادلة السابقة، نحصل على:

لدينا الآن معادلتان بهما مجهولان، ويمكننا حلهما آنيًّا باستخدام طريقة الحذف أو التعويض:

يمكننا إعادة ترتيب المعادلة (١) لجعل المتغيِّر التابع، وهو ما يُعطينا:

بالتعويض بهذه القيمة عن في المعادلة (٢)، يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة:

ثم نفك الأقواس ونبسِّط، لنحصل على:

بإضافة إلى الطرفين، ثم بطرح ١٤‎ ‎٥٠٠، نحصل على:

وبالقسمة على ١٠، يصبح لدينا:

الفرق يساوي قيمة سالبة، كما نتوقَّع من المتتابعة التناقصية، وهو ما يعني أن مكافآت الموظفين تتناقص بمقدار ٨٠٠ جنيه مصري.

يمكننا التعويض بـ في المعادلة (١) أو (٢) لإيجاد قيمة . بالتعويض في المعادلة (١)، وبالتبسيط نحصل على:

بإضافة ٣‎ ‎٢٠٠ إلى الطرفين، نحصل على:

والآن، حسبنا أن الحد الأول في المتتابعة، ، يساوي ٤‎ ‎٥٠٠. هذا يعني أنه يمكننا الإجابة عن السؤال الذي يتعلَّق بمكافأة المندوب صاحب المركز الأول؛ وهي ٤‎ ‎٥٠٠ جنيه مصري.

وللتحقُّق من صحة ذلك، يمكننا تكوين متتابعة من مكافآت الموظفين الذين عددهم ٥؛ حيث الحد الأول ٤‎ ‎٥٠٠، وأساس المتتابعة الحسابية هو . المتتابعة ستكون على النحو الآتي:

الموظف صاحب المركز الأخير حصل على مكافأة قيمتها ١‎ ‎٣٠٠ جنيه مصري، ومجموع كل الحدود يساوي ١٤‎ ‎٥٠٠. ومن ثَمَّ، نكون قد تأكَّدنا من صحة إجابتنا؛ ٤‎ ‎٥٠٠ جنيه مصري.