شارح الدرس: الدوال المتعدِّدة التعريف الرياضيات

مثال ١: إيجاد قيمة دالة متعدِّدة التعريف عند نقطة معطاة

إذا كانت الدالة: فأوجد قيمة .

الحل

يمكننا ملاحظة أن الدالة المعطاة، ، هي دالة متعدِّدة التعريف. ولعلنا نتذكَّر أن الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.

نريد إيجاد قيمة هذه الدالة المتعدِّدة التعريف عند . ولذلك، علينا تحديد المجال الجزئي، إن وُجد، الذي تقع فيه القيمة ٤. تحتوي الدالة الرئيسية على ثلاثة مجالات جزئية معطاة في صورة متباينات هكذا:

• ،
• ،
• .

نلاحظ من ذلك أن العدد ٤ يقع في المجال الجزئي: ، ونعرف أن إذا كان .

والآن بعد أن عرفنا الدالة الجزئية التي تُعطينا القيمة المخرَجة للدالة، يمكننا إيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند . نحصل إذن على:

ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن قيمة للدالة المتعدِّدة التعريف تساوي .

مثال ٢: إيجاد قيمة لدالة متعدِّدة التعريف عند نقطة ما

لدينا الدالة:

أوجد قيمة.

الحل

في هذه المسألة، لدينا دالة متعدِّدة التعريف . ولعلنا نتذكَّر أن الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ حيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.

مطلوب منا هنا إيجاد قيمة. الدالة هي دالة مركَّبة، ويمكن كتابتها بدلًا من ذلك على الصورة: . لإيجاد قيمة عند قيمة محدَّدة لـ ، نوجد أولًا قيمة عند القيمة هذه. ثم نحسب قيمة مرة أخرى، ولكن هذه المرة باستخدام القيمة المخرَجة التي حصلنا عليها.

وبناءً على ذلك، لإيجاد قيمة يجب أن نبدأ بإيجاد قيمة. نلاحظ أن العدد ٢ يقع في المجال الجزئي: ، ونعرف أن إذا كان .

بإيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند ، نحصل على:

الدالة التي أوجدنا قيمتها عند ؛ هي: . وبما أننا نعرف أن فنستنتج إذن أن .

لتحديد الدالة الجزئية التي تعطينا القيمة المخرَجة المناظرة للقيمة المدخَلة ٤، علينا أن نحدِّد المجال الجزئي الذي يقع فيه العدد ٤، إن وُجد. نلاحظ أنه يقع في المجال الجزئي: ، ونحن نعرف أن لقيم داخل المجال الجزئي، يكون .

بإيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند ، نحصل على:

وبذلك، نعلم أن قيمة للدالة المتعدِّدة التعريف تساوي ٨.

مثال ٣: إكمال جدول القيم لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد القيم الناقصة في الجدول للدالة المتعدِّدة التعريف:

الحل

لدينا الدالة المتعدِّدة التعريف . ولعلنا نتذكَّر أن الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا. لإكمال القيم الناقصة في الجدول، علينا أن نحدِّد أيُّ دالة جزئية علينا استخدامها لثلاث قيم مدخَلة مختلفة، أو للقيم الثلاث المختلفة لـ : ، ٠، ٣.

للقيام بذلك، علينا تحديد المجالات الجزئية التي تقع فيها ، ٠، ٣ إن وُجدت. تحتوي الدالة الرئيسية على ثلاثة مجالات جزئية معطاة في صورة متباينات موضَّحة كما يلي:

• ،
• ،
• .

لنبدأ بتحديد الدالة الجزئية التي علينا استخدامها عندما تكون القيمة المدخَلة . وبما أن المجال الجزئي هو المجال الجزئي الذي يتضمَّن ، لذا نعرف الدالة الجزئية التي تعطينا القيم المخرَجة للدالة عند هذه القيمة المدخَلة. علينا إذن إيجاد قيمة الدالة الجزئية عندما يكون لنحصل على:

لعلنا نتذكَّر أن قاعدة الأس السالب تنصُّ على أن لأيِّ عدد حقيقي .

ويعني ذلك أنه يمكننا إعادة كتابة على الصورة: إذن، القيمة الناقصة الأولى في الجدول هي: .

دعونا بعد ذلك نحدِّد الدالة الجزئية التي نستخدمها عندما تكون القيمة المدخَلة صفرًا. نلاحظ أن المجال الجزئي هو المجال الجزئي الذي يتضمَّن ، فنعرف بذلك أيضًا الدالة الجزئية لهذه القيمة المدخَلة. علينا أيضًا إيجاد قيمة الدالة الجزئية عندما يكون لنحصل على:

تذكَّر أن قاعدة الأس الصفري تنصُّ على أن أيَّ أساس لا يساوي صفرًا مرفوع للقوة صفر يساوي ١. أي إن، عندما يكون . يعني ذلك أنه يمكننا إعادة كتابة على الصورة: إذن، القيمة الناقصة الثانية في الجدول هي ١.

وأخيرًا، دعونا نحدِّد الدالة الجزئية التي نستخدمها عندما تكون القيمة المدخَلة ٣. بما أن المجال الجزئي تنتمي إليه القيمة ، يمكننا أيضًا تحديد الدالة الجزئية لهذه القيمة المدخَلة. بالتعويض بـ ٣ في الدالة الجزئية عن ، نحصل على: إذن، القيمة الناقصة الثالثة في الجدول هي ٨. والآن بعد أن عرفنا القيم الثلاث الناقصة في الجدول، يمكننا إكمال الخانات الفارغة بحيث يصبح الجدول هكذا:

مثال ٤: إيجاد قيمة الدالة عند نقطة من التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد باستخدام التمثيل البياني الموضَّح.

الحل

يمكننا أن نلاحظ أن هذا التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف، أو دالة تتكوَّن من دوالَّ جزئية؛ حيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا. ونعرف ذلك لأن التمثيل البياني يتكوَّن من خمس قطع مستقيمة مختلفة إما بدوائر مصمتة أو بدوائر مفرغة عند الأطراف، بالإضافة إلى نقطتين إحداثياتهما ، .

نتذكَّر أن الدائرة المصمتة تشير إلى أن الدالة معرَّفة عند النقطة التي تظهر عندها، في حين تشير الدائرة المفرغة إلى أن الدالة غير معرَّفة.

نريد إيجاد قيمة الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني عند . للقيام بذلك، يمكننا أن نرى الموضع الذي يتقاطع فيه التمثيل البياني مع المستقيم .

يمكننا أن نرى أن المستقيم يمرُّ بالدائرة المفرغة عند، وعند . وبما أن الدالة غير معرَّفة عند ، نعلم أن قيمة يجب أن تكون الإحداثي للنقطة ، وهو الذي يساوي ٤.

مثال ٥: إيجاد قيمة الدالة عند نقطة من التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد .

الحل

بما أن التمثيل البياني يتكوَّن من منحنيين مختلفين، لذا نعرف أنه تمثيل بياني لدالة متعدِّدة التعريف، أو دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.

يمكننا أن نلاحظ أن المنحنيين متصلان بدائرة مفرغة عند النقطة . تذكَّر أن الدائرة المفرغة تشير إلى أن الدالة غير معرَّفة عند النقطة التي تظهر عندها.

نريد إيجاد قيمة الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني عند . للقيام بذلك، يمكننا أن نرى موضع تقاطع التمثيل البياني مع المستقيم .

نرى أن المستقيم يمرُّ فقط بالدائرة المفرغة عند . وبما أن الدالة غير معرَّفة عند ، لذا نعلم أن العدد ١ لا يقع في مجال الدالة، إذن قيمة غير معرَّفة.

ملاحظة:

على الرغم من أن الدالة غير معرَّفة عند ، فإنها معرَّفة عند نقاط أخرى مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن المنحنى الموجود على اليسار يمرُّ بالنقطة ، وأن المنحنى الموجود على اليمين يمرُّ بالنقطة . ويعني هذا أن الدالة معرَّفة عند القيمتين المدخَلتين ، ٥. وفي الواقع، إنها معرَّفة عند عدد لا نهائي من القيم المدخَلة؛ لأن هناك عددًا لا نهائيًّا من النقاط يقع على كلٍّ من المنحنيين.