شارح الدرس: الدوال المتعدِّدة التعريف الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد الدالة المتعدِّدة التعريف، ونكتبها، ونُوجد قيمتها.

الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تُستخدم لها قواعد مختلفة لإيجاد قيم مخرَجات الدالة على فترات مختلفة من مجال الدالة. إحدى الدوالِّ المعروفة التي يمكننا كتابتها على صورة دالة متعدِّدة التعريف هي دالة القيمة المطلقة، 󰎨(𞸎)=|𞸎|. يُوضِّح ما يلي التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎) لهذه الدالة:

يمكننا ملاحظة أنه عندما تكون قيم 𞸎 أصغر من صفر، يكون التمثيل البياني للدالة عبارة عن خط مستقيم ميلُه ١، وعندما تكون قيم 𞸎 أكبر من صفر، يكون التمثيل البياني عبارة عن خط مستقيم ميلُه ١. عند إعادة كتابة 󰎨(𞸎) على صورة دالة متعدِّدة التعريف، يُطلق على معادلة كلِّ مستقيم من هذين المستقيمين دالة جزئية، ويُطلق على الفترة التي يُعرَّف كلُّ مستقيم خلالها المجال الجزئي. ويُكتب كلُّ مجال جزئي على صورة متباينة.

لاحظ أن المستقيمين يلتقيان عند نقطة الأصل. وعند نقطة الأصل، يمكن استخدام دالة جزئية واحدة لإيجاد قيم مخرَجات الدالة المتعدِّدة التعريف، ولذا يمكننا القول بأن:

  • 󰎨(𞸎)=𞸎 على المجال الجزئي 𞸎٠،
  • 󰎨(𞸎)=𞸎 على المجال الجزئي 𞸎>٠.

أو

  • 󰎨(𞸎)=𞸎 على المجال الجزئي 𞸎<٠،
  • 󰎨(𞸎)=𞸎 على المجال الجزئي𞸎٠.

تُكتب معادلة الدالة المتعدِّدة التعريف باستخدام قوس متعرِّج للإشارة إلى أنها تتكوَّن من أكثر من دالة جزئية، ومن ثَمَّ يمكننا إعادة كتابة 󰎨(𞸎)=|𞸎| إما على صورة: 󰎨(𞸎)=󰃇𞸎𞸎٠،𞸎𞸎>٠،إذانإذان أو على صورة: 󰎨(𞸎)=󰃇𞸎𞸎<٠،𞸎𞸎٠.إذانإذان

في كلتا الحالتين، يمكننا استخدام ما كتبناه لإيجاد قيمة الدالة باستخدام قيمة مدخَلة محدَّدة، ولكن عندما يكون التخصيص اختياريًّا، فمن المتعارف عليه أن يتمَّ تضمين النقطة الحدية اليمنى، وعدم تضمين النقطة الحدية اليسرى، للدوالِّ الجزئية. لنفترض أننا أعدنا كتابة 󰎨(𞸎)=|𞸎| بالطريقة المعتادة هكذا: 󰎨(𞸎)=󰃇𞸎𞸎<٠،𞸎𞸎٠،إذانإذان ونريد إيجاد قيمة 󰎨(٠١). لتحديد أيَّ الدالتين الجزئيتين نستخدم لتعطينا هذه القيمة، علينا تحديد المجال الجزئي الذي يقع فيه ٠١. نحن نعرف أن ٠١ يقع في المجال الجزئي 𞸎<٠ للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 عند 𞸎<٠.

بإيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند 𞸎=٠١، نحصل على: 󰎨(٠١)=(٠١)=٠١، وهي القيمة نفسها التي كنا سنحصل عليها لـ 󰎨(٠١) لو كنا حسبنا قيمة دالة القيمة المطلَقة كما كانت مكتوبة في الأصل.

تعريف: الدالة المتعدِّدة التعريف

الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا. واتحاد المجالات الجزئية يعطينا مجال الدالة المتعدِّدة التعريف.

تُكتب معادلة الدالة المتعدِّدة التعريف باستخدام قوس متعرِّج للإشارة إلى أنها تتكوَّن من أكثر من دالة جزئية. ويوضِّح ما يلي مثالًا على الدالة المتعدِّدة التعريف: 󰎨(𞸎)=󰃇𞸎𞸎<٠،𞸎𞸎٠،إذانإذان حيث 󰎨(𞸎)=𞸎 معرَّفة على المجال الجزئي 𞸎<٠، 󰎨(𞸎)=𞸎 معرَّفة على المجال الجزئي𞸎٠.

أحيانًا لا تتقابل الأجزاء المختلفة من التمثيل البياني للدالة المتعدِّدة التعريف عند نقطة. على سبيل المثال، انظر إلى التمثيل البياني التالي: 𞸑=󰎨(𞸎) لدالة متعدِّدة التعريف. ومعادلة الدالة موضَّحة أيضًا:

󰎨(𞸎)=٣٤𞸎+١٤<𞸎<٤،٢𞸎+٨٤𞸎٧.إذانإذان

تشير الدائرة المصمتة إلى أن الدالة معرَّفة عند تلك النقطة، في حين تشير الدائرة المفرغة إلى أن الدالة غير معرَّفة. ويعني هذا أن الإحداثي 𞸎 للنقاط التي تظهر عندها الدوائر المصمتة سيكون ضمن المجال الجزئي للدالة الجزئية المناظرة لذلك، في حين لا يتمُّ تضمين إحداثي 𞸎 للنقاط التي تظهر عندها الدوائر المفرغة.

في هذا التمثيل البياني، القطعة المستقيمة التي تمثِّل الدالة الجزئية الأولى بها دائرتان مفرغتان عند كِلا النقطتين الحديتين؛ أي إن الإحداثي 𞸎 لهاتين النقطتين الحديتين لا يقع في المجال الجزئي للدالة الجزئية. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي للدالة الجزئية الأولى، في صورة متباينة؛ هو: ٤<𞸎<٤.

والقطعة المستقيمة التي تمثِّل الدالة الجزئية الثانية بها دائرتان مصمتتان عند كِلا النقطتين الحديتين لها، ومن ثَمَّ فإن الإحداثي 𞸎 لهاتين النقطتين الحديتين يقع في المجال الجزئي لهذه الدالة. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي للدالة الجزئية الثانية، في صورة متباينة؛ هو: ٤𞸎٧.

ويمكننا إيجاد اتحاد المجالين الجزئيين لتحديد مجال الدالة الرئيسية. وبما أنه لم يتمَّ تضمين ٤ ولا ٤ في المجال الجزئي للدالة الأولى، وتمَّ تضمين كلٍّ من ٤ و٧ في المجال الجزئي للدالة الجزئية الثانية؛ فإن الدالة الرئيسية معرَّفة عند كلٍّ من 𞸎=٤، 𞸎=٧، ولكن ليس عند 𞸎=٤. وعليه، فإن مجال الدالة الرئيسية، في صورة متباينة؛ هو: ٤<𞸎٧.

هيا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي يكون إيجاد قيم الدوالِّ المتعدِّدة التعريف عند قيم محدَّدة مطلوبًا فيها.

مثال ١: إيجاد قيمة دالة متعدِّدة التعريف عند نقطة معطاة

إذا كانت الدالة:󰎨(𞸎)=٦𞸎٢𞸎<٦،٩𞸎١٦𞸎٨،٥𞸎+٤𞸎>٨،إذانإذانإذان٢٣ فأوجد قيمة 󰎨(٤).

الحل

يمكننا ملاحظة أن الدالة المعطاة، 󰎨(𞸎)، هي دالة متعدِّدة التعريف. ولعلنا نتذكَّر أن الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.

نريد إيجاد قيمة هذه الدالة المتعدِّدة التعريف عند 𞸎=٤. ولذلك، علينا تحديد المجال الجزئي، إن وُجد، الذي تقع فيه القيمة ٤. تحتوي الدالة الرئيسية على ثلاثة مجالات جزئية معطاة في صورة متباينات هكذا:

  • 𞸎<٦،
  • ٦𞸎٨،
  • 𞸎>٨.

نلاحظ من ذلك أن العدد ٤ يقع في المجال الجزئي: ٦𞸎٨، ونعرف أن 󰎨(𞸎)=٩𝑥١٢ إذا كان ٦𞸎٨.

والآن بعد أن عرفنا الدالة الجزئية التي تُعطينا القيمة المخرَجة للدالة، يمكننا إيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند 𞸎=٤. نحصل إذن على: 󰎨(٤)=٩(٤)١=٩(٦١)١=٤٤١١=٥٤١.٢

ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن قيمة󰎨(٤) للدالة المتعدِّدة التعريف تساوي ٥٤١.

في المثال التالي، سنوجد قيمة دالة متعدِّدة التعريف باستخدام مفهوم الدوالِّ المركَّبة.

مثال ٢: إيجاد قيمة لدالة متعدِّدة التعريف عند نقطة ما

لدينا الدالة:󰎨(𞸎)=𞸎+٤𞸎>٤،٢𞸎١𞸎٤،٣𞸎<١.إذانإذانإذان

أوجد قيمة󰎨(󰎨(٢)).

الحل

في هذه المسألة، لدينا دالة متعدِّدة التعريف 󰎨(𞸎). ولعلنا نتذكَّر أن الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ حيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.

مطلوب منا هنا إيجاد قيمة󰎨(󰎨(٢)). الدالة󰎨(󰎨(𞸎)) هي دالة مركَّبة، ويمكن كتابتها بدلًا من ذلك على الصورة: (󰎨󰎨)(𞸎). لإيجاد قيمة 󰎨(󰎨(𞸎)) عند قيمة محدَّدة لـ 𞸎، نوجد أولًا قيمة 󰎨(𞸎) عند القيمة 𞸎 هذه. ثم نحسب قيمة󰎨(𞸎) مرة أخرى، ولكن هذه المرة باستخدام القيمة المخرَجة التي حصلنا عليها.

وبناءً على ذلك، لإيجاد قيمة󰎨(󰎨(٢)) يجب أن نبدأ بإيجاد قيمة󰎨(٢). نلاحظ أن العدد ٢ يقع في المجال الجزئي: ١𞸎٤، ونعرف أن 󰎨(𞸎)=٢𞸎 إذا كان ١𞸎٤.

بإيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند 𞸎=٢، نحصل على: 󰎨(٢)=٢(٢)=٤.

الدالة 󰎨(󰎨(𞸎)) التي أوجدنا قيمتها عند 𞸎=٢؛ هي: 󰎨(󰎨(٢)). وبما أننا نعرف أن 󰎨(٢)=٤ فنستنتج إذن أن 󰎨(󰎨(٢))=󰎨(٤).

لتحديد الدالة الجزئية التي تعطينا القيمة المخرَجة المناظرة للقيمة المدخَلة ٤، علينا أن نحدِّد المجال الجزئي الذي يقع فيه العدد ٤، إن وُجد. نلاحظ أنه يقع في المجال الجزئي: ١𞸎٤، ونحن نعرف أن لقيم 𞸎 داخل المجال الجزئي، يكون 󰎨(𞸎)=٢𞸎.

بإيجاد قيمة هذه الدالة الجزئية عند 𞸎=٤، نحصل على: 󰎨(٤)=٢(٤)=٨.

وبذلك، نعلم أن قيمة 󰎨(󰎨(٢)) للدالة المتعدِّدة التعريف تساوي ٨.

سنوجد فيما يلي قيمة الدالة المتعدِّدة التعريف لثلاث قيم مدخَلة مختلفة لنتمكَّن من إكمال جدول القيم.

مثال ٣: إكمال جدول القيم لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد القيم الناقصة في الجدول للدالة المتعدِّدة التعريف: 𞸓(𞸎)=٢𞸎<٢،٣٢𞸎<٣،٢𞸎٣.𞸎𞸎𞸎إذانإذانإذان

𞸎٣٠٣
𞸓(𞸎)

الحل

لدينا الدالة المتعدِّدة التعريف 𞸓(𞸎). ولعلنا نتذكَّر أن الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا. لإكمال القيم الناقصة في الجدول، علينا أن نحدِّد أيُّ دالة جزئية علينا استخدامها لثلاث قيم مدخَلة مختلفة، أو للقيم الثلاث المختلفة لـ 𞸎 : ٣، ٠، ٣.

للقيام بذلك، علينا تحديد المجالات الجزئية التي تقع فيها ٣، ٠، ٣ إن وُجدت. تحتوي الدالة الرئيسية على ثلاثة مجالات جزئية معطاة في صورة متباينات موضَّحة كما يلي:

  • 𞸎<٢،
  • ٢𞸎<٣،
  • 𞸎٣.

لنبدأ بتحديد الدالة الجزئية التي علينا استخدامها عندما تكون القيمة المدخَلة ٣. وبما أن المجال الجزئي 𞸎<٢ هو المجال الجزئي الذي يتضمَّن 𞸎=٣، لذا نعرف الدالة الجزئية التي تعطينا القيم المخرَجة للدالة عند هذه القيمة المدخَلة. علينا إذن إيجاد قيمة الدالة الجزئية 𞸓(𞸎)=٢𞸎 عندما يكون 𞸎=٣ لنحصل على: 𞸓(٣)=٢.٣

لعلنا نتذكَّر أن قاعدة الأس السالب تنصُّ على أن 󰏡=١󰏡𞸍𞸍 لأيِّ عدد حقيقي 𞸍.

ويعني ذلك أنه يمكننا إعادة كتابة ٢٣ على الصورة: ٢=١٢=١٨،٣٣ إذن، القيمة الناقصة الأولى في الجدول هي: ١٨.

دعونا بعد ذلك نحدِّد الدالة الجزئية التي نستخدمها عندما تكون القيمة المدخَلة صفرًا. نلاحظ أن المجال الجزئي ٢𞸎<٣ هو المجال الجزئي الذي يتضمَّن 𞸎=٠، فنعرف بذلك أيضًا الدالة الجزئية لهذه القيمة المدخَلة. علينا أيضًا إيجاد قيمة الدالة الجزئية 𞸓(𞸎)=٣𞸎 عندما يكون 𞸎=٠ لنحصل على: 𞸓(٠)=٣.٠

تذكَّر أن قاعدة الأس الصفري تنصُّ على أن أيَّ أساس لا يساوي صفرًا مرفوع للقوة صفر يساوي ١. أي إن، 󰏡=١٠ عندما يكون 󰏡٠. يعني ذلك أنه يمكننا إعادة كتابة 𞸓(٠)=٣٠ على الصورة: 𞸓(٠)=١، إذن، القيمة الناقصة الثانية في الجدول هي ١.

وأخيرًا، دعونا نحدِّد الدالة الجزئية التي نستخدمها عندما تكون القيمة المدخَلة ٣. بما أن المجال الجزئي 𞸎٣ تنتمي إليه القيمة 𞸎=٣، يمكننا أيضًا تحديد الدالة الجزئية لهذه القيمة المدخَلة. بالتعويض بـ ٣ في الدالة الجزئية 𞸓(𞸎)=٢𞸎 عن 𞸎، نحصل على: 𞸓(٣)=٢=٨،٣ إذن، القيمة الناقصة الثالثة في الجدول هي ٨. والآن بعد أن عرفنا القيم الثلاث الناقصة في الجدول، يمكننا إكمال الخانات الفارغة بحيث يصبح الجدول هكذا:

𞸎٣٠٣
𞸓(𞸎)١٨١٨

لننتقل الآن إلى التمثيلات البيانية. أولًا، سنوجد قيمة دالة متعدِّدة التعريف لقيمة مدخَلة معطاة باستخدام التمثيل البياني للدالة.

مثال ٤: إيجاد قيمة الدالة عند نقطة من التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد󰎨(٠) باستخدام التمثيل البياني الموضَّح.

الحل

يمكننا أن نلاحظ أن هذا التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف، أو دالة تتكوَّن من دوالَّ جزئية؛ حيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا. ونعرف ذلك لأن التمثيل البياني يتكوَّن من خمس قطع مستقيمة مختلفة إما بدوائر مصمتة أو بدوائر مفرغة عند الأطراف، بالإضافة إلى نقطتين إحداثياتهما (٠،٤)، (٨،٦).

نتذكَّر أن الدائرة المصمتة تشير إلى أن الدالة معرَّفة عند النقطة التي تظهر عندها، في حين تشير الدائرة المفرغة إلى أن الدالة غير معرَّفة.

نريد إيجاد قيمة الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني عند 𞸎=٠. للقيام بذلك، يمكننا أن نرى الموضع الذي يتقاطع فيه التمثيل البياني مع المستقيم 𞸎=٠.

يمكننا أن نرى أن المستقيم 𞸎=٠ يمرُّ بالدائرة المفرغة عند(٠،٨)، وعند (٠،٤). وبما أن الدالة غير معرَّفة عند (٠،٨)، نعلم أن قيمة󰎨(٠) يجب أن تكون الإحداثي 𞸑 للنقطة (٠،٤)، وهو الذي يساوي ٤.

وأخيرًا، سنلقي نظرة على مثال حول كيفية إيجاد قيمة دالة متعدِّدة التعريف عندما تكون القيمة المدخَلة المعطاة غير متضمَّنة في أيٍّ من المجالات الجزئية للدالة الرئيسية.

مثال ٥: إيجاد قيمة الدالة عند نقطة من التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف

أوجد 󰎨(١).

الحل

بما أن التمثيل البياني يتكوَّن من منحنيين مختلفين، لذا نعرف أنه تمثيل بياني لدالة متعدِّدة التعريف، أو دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.

يمكننا أن نلاحظ أن المنحنيين متصلان بدائرة مفرغة عند النقطة (١،٥). تذكَّر أن الدائرة المفرغة تشير إلى أن الدالة غير معرَّفة عند النقطة التي تظهر عندها.

نريد إيجاد قيمة الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني عند 𞸎=١. للقيام بذلك، يمكننا أن نرى موضع تقاطع التمثيل البياني مع المستقيم 𞸎=١.

نرى أن المستقيم 𞸎=١ يمرُّ فقط بالدائرة المفرغة عند (١،٥). وبما أن الدالة غير معرَّفة عند (١،٥)، لذا نعلم أن العدد ١ لا يقع في مجال الدالة، إذن قيمة 󰎨(١) غير معرَّفة.

ملاحظة:

على الرغم من أن الدالة غير معرَّفة عند (١،٥)، فإنها معرَّفة عند نقاط أخرى مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن المنحنى الموجود على اليسار يمرُّ بالنقطة (١،١)، وأن المنحنى الموجود على اليمين يمرُّ بالنقطة (٥،١). ويعني هذا أن الدالة معرَّفة عند القيمتين المدخَلتين ١، ٥. وفي الواقع، إنها معرَّفة عند عدد لا نهائي من القيم المدخَلة؛ لأن هناك عددًا لا نهائيًّا من النقاط يقع على كلٍّ من المنحنيين.

والآن دعونا نختم باسترجاع بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • الدالة المتعدِّدة التعريف هي دالة تتكوَّن من عدة دوالَّ جزئية؛ بحيث تكون كلُّ دالة جزئية معرَّفة على فترة من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا. واتحاد هذه المجالات الجزئية هو مجال الدالة المتعدِّدة التعريف.
  • لتحديد القاعدة التي يجب استخدامها عند إيجاد قيمة الدالة المتعدِّدة التعريف لقيمة مدخَلة محدَّدة، علينا تحديد المجال الجزئي الذي تقع فيه القيمة المدخَلة.
  • يمكن استخدام التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف أحيانًا لإيجاد قيمة الدالة عند قيمة مدخَلة محدَّدة.
  • تُشير الدائرة المصمتة على التمثيل البياني إلى أن الإحداثي 𞸎 للنقطة التي تظهر عندها يقع في مجال الدالة التي يمثِّلها التمثيل البياني، في حين تشير الدائرة المفرغة إلى أن الإحداثي 𞸎 للنقطة غير متضمَّن فيه.
  • عندما تكون القيمة المدخَلة غير متضمَّنة في أيٍّ من المجالات الجزئية لدالة متعدِّدة التعريف، تكون الدالة غير معرَّفة عند هذه القيمة المدخَلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.