شارح الدرس: إيجاد الحد النوني في متتابعة هندسية الرياضيات

مثال ١: إيجاد قيمة حدٍّ معيَّن في متتابعة هندسية بمعلومية حدِّها العام

أوجد قيمة الحدِّ الثاني في المتتابعة الهندسية ؛ حيث .

الحل

بما أن لدينا الصيغة العامة للحدِّ ، وعلينا إيجاد الحدِّ الثاني، علينا ببساطة التعويض بـ في الصيغة (نفعل ذلك لأن المتتابعة مُعرَّفة لكلِّ ؛ ولذا نعلم أن الحدَّ الأوَّل يُناظِر ؛ ومن ثم لا بدَّ أن يُعطينا الحدَّ الثاني). هذا يُعطينا:

مثال ٢: إيجاد الصيغة الصريحة باستخدام الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية

الصيغة التكرارية لمتتابعة هندسية ، لكلِّ . وضِّح الصيغة الصريحة للمتتابعة.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد صيغة صريحة لمتتابعة هندسية مُعرَّفة بدلالة صيغة تكرارية.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين:

يُمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية لتصبح:

والآن لاحِظ أن العلاقة المُعطاة، ، مكتوبة في هذه الصورة، وبذلك تكون النسبة المُشترَكة هي:

نتذكَّر أيضًا أن الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

ومن ثم، فالمعادلة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

مثال ٣: إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة مُعطاة

أوجد صيغة الحدِّ العام للمتتابعة الهندسية .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتالين. الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة للمتتابعة الهندسية، وهذا يُمكننا إيجاده من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة لنحصل على:

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

مثال ٤: إيجاد الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة

أوجد بدلالة الحدَّ العام للمتتابعة الهندسية .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة للمتتابعة الهندسية، التي يُمكن إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة لنحصل على:

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

مثال ٥: إيجاد الحدِّ العام لمتتابعة مُعطاة

أوجد، بدلالة ، الحدَّ العام للمتتابعة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة، ، للمتتابعة الهندسية، ويُمكننا إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة لنحصل على:

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

مثال ٦: إيجاد حدود متتابعة هندسية بمعلومية النسبة المُشترَكة لها وقيمة حدٍّ معيَّن

أوجد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة هندسية، إذا كان ، وأساس المتتابعة .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة هندسية بمعلومية قيمة حدٍّ معيَّن والنسبة المُشترَكة لها.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين:

يُمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية لتصبح:

بتطبيق هذه الصيغة مرَّات عديدة، يُمكننا إثبات أن:

وهذا يُتيح لنا تحديد قيمة الحدِّ في المتتابعة، ، بمعلومية قيمة حدٍّ ، .

باستخدام هذه الصيغة؛ حيث ، ، وبالتعويض بالقيمة المُعطاة والنسبة المُشترَكة، نحصل على ما يأتي:

يُمكن إيجاد الحدَّيْن الآخَرين بضرب هذا الحدِّ في النسبة المُشترَكة :

نلاحِظ أنه يُمكننا أيضًا الحصول على هذا الناتج بقسمة الحدِّ السادس على النسبة المُشترَكة مرَّات عديدة لإيجاد الحدود السابقة من إلى ، على الرغم من أننا نهتمُّ فقط بالحدود الثلاثة الأولى ، ، .

وبذلك، تكون الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الهندسية بمعلومية قيمة مُعطاة، ، والنسبة المُشترَكة للمتتابعة هي:

مثال ٧: إيجاد حدود متتابعة هندسية بمعلومية مجموعها وحاصل ضربها

أوجد الأعداد الثلاثة المتتالية في متتابعة هندسية، علمًا بأن مجموع الحدود ، وحاصل ضربها ٢١٦.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد ثلاثة أعداد متتالية في متتابعة هندسية تحقِّق علاقة محدَّدة لمجموع الحدود وحاصل ضربها.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين:

يُمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية لتصبح:

نريد تحديد الحدود ، ، ، في متتابعة هندسية تحقِّق الشرطين:

باستخدام الصيغة التكرارية، يُمكننا إعادة كتابة هذين الشرطين، علمًا بأن ، ؛ بعبارة أخرى: إذا كان العدد الأول هو ، فإن العددين الآخَرين هما ، .

باستخدام ذلك، تصبح المعادلة الأولى: وتصبح المعادلة الثانية:

ومن ثم، فإن الحدَّ الثاني في المتتابعة هو . لإيجاد الحدَّيْن الآخَرين، علينا تحديد النسبة المُشترَكة من المعادلة الأولى. يُمكن بعد ذلك إيجاد الحدَّيْن الأوَّل والثالث من:

إذا ضربنا المعادلة الأولى في ، وعوَّضنا بالمعادلة الثانية، نحصل على:

إذن النسبة المُشترَكة هي ، أو . إذا كانت ، يكون الحدَّان الأوَّل والثالث: وإذا كانت ، يكون الحدَّان الأوَّل والثالث:

ومن ثم، ففي كلتا الحالتين، الأعداد الثلاثة المتتالية للمتتابعة الهندسية هي:

مثال ٨: تعيين رُتبة حدٍّ في متتابعة هندسية بمعلومية قيمته والحدِّ العام

عيِّن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ٤‎ ‎٣٧٤ في المتتابعة الهندسية .

الحل

في هذا المثال، نريد تعيين رُتبة حدٍّ معيَّن في متتابعة هندسية مُعرَّفة بصيغة دقيقة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. رُتبة القيمة في المتتابعة الهندسية هي الموضع أو قيمة ؛ حيث تظهر القيمة المحدَّدة.

نريد تحديد قيمة ؛ بحيث ، أو:

يُمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة والحلُّ لإيجاد قيمة ، لنحصل على:

وبذلك نَجِد أن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ٤‎ ‎٣٧٤ هي (أيْ ).

مثال ٩: إيجاد عدد الحدود في متتابعة هندسية مُعطاة

أوجد عدد حدود المتتابعة الهندسية .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد عدد الحدود في متتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. رُتبة قيمة ما في متتابعة هندسية هو موضعها أو قيمة ؛ حيث تَظهَر القيمة المحدَّدة.

عدد الحدود يُكافئ رُتبة الحدِّ الأخير في المتتابعة، وهذا يُمكن تحديده باستخدام الصيغة الصريحة. الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي قيمتها الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة لها هي:

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة، ، لهذه المتتابعة الهندسية، ويُمكننا إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة للحصول على:

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي قيمتها الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة لها هي:

لإيجاد عدد الحدود، علينا إيجاد قيمة ؛ حيث ، أو:

والآن نأخذ لكلا الطرفين:

وهكذا يكون عدد الحدود في المتتابعة الهندسية المُعطاة هو .

مثال ١٠: إيجاد رُتبة حدٍّ في متتابعة هندسية مُعطاة بمعلومية قيمته

أوجد رُتبة الحدِّ في المتتابعة الهندسية .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد رُتبة حدٍّ في متتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. تمثِّل رُتبة القيمة في المتتابعة الهندسية موضعها أو قيمة ؛ حيث نحصل على القيمة المحدَّدة، ويُمكننا تحديدها باستخدام الصيغة الصريحة.

الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة، ، لهذه المتتابعة الهندسية، ويُمكننا إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة للحصول على:

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية مُعطاة لها القيمة الابتدائية ، والنسبة المُشترَكة هي:

نريد إيجاد قيمة ؛ حيث ، أو:

وبما أن الحدَّ الأوَّل والحدَّ المُعطى لهما إشارتان موجبتان، فإننا نتوقَّع أن تكون الرُّتبة، ، عددًا فرديًّا، ومن ثم، نحصل على ، وتصبح المعادلة:

يُمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة والحلُّ لإيجاد قيمة للحصول على الرُّتبة:

بأخْذ لوغاريتم الأساس ٢ لطرفي المعادلة، نحصل على:

إذن رُتبة الحدِّ المُعطى في المتتابعة الهندسية هي ، أو .