شارح الدرس: تفسير التمثيلات البيانية للحركة العلوم • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُناظر التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن بوصْف حركة جسم.

التمثيلات البيانية طريقة مُفيدة حقًّا لتمثيل الحركة. يُوجَد العديد من الأنواع المختلفة من التمثيلات البيانية التي يُمكننا استخدامها للقيام بذلك، لكن في هذا الشارح سنُلقِي نظرةً على نوع محدَّد من التمثيلات البيانية، وهو التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

يوضِّح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن المسافة على المحور الرأسي، والزمن على المحور الأفقي، هكذا:

في الواقع، يُوجَد معنيان مختلفان «للمسافة»:

• إجمالي المسافة التي يقطعها الجسم
• مسافة الجسم من نقطة ما.

إنهما متشابهان، لكن في بعض الأحيان يُعطيان قياسَيْن مختلفَيْن. في هذا الشارح، سنستخدم التعريف الأول للمسافة. هذا يعني أن جميع التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن ستوضِّح كيفية تغيُّر المسافة الكلية التي يقطعها الجسم بمرور الزمن. علاوة على ذلك، هذا يعني أننا لن نرى أبدًا تمثيلًا بيانيًّا للمسافة مقابل الزمن تقلُّ فيه المسافة بمرور الزمن؛ لأن المسافة الكلية التي يقطعها الجسم لا يُمكن أن تقلَّ أبدًا.

لنلقِ نظرةً على بعض الأمثلة للتمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن، ونرى كيف يُمكننا تفسيرها.

هذا هو المثال الأول:

يُمكننا هنا رؤية خطٍّ أحمر مرسوم على محورَيِ التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. يُمكننا أن نلاحِظ أن هذا الخط مستقيمٌ وأفقيٌّ تمامًا.

عند تفسير التمثيلات البيانية للحركة، من الجيد أن نبدأ من اليسار دائمًا. ويَرجِع ذلك إلى أن المحور الأفقي يمثِّل الزمن، وبذلك يمثِّل يسار التمثيل البياني أول زمن قِيستْ فيه المسافة. لنحدِّد هذا الزمن على التمثيل البياني باستخدام سهم برتقالي.

بما أن لدينا المسافة على المحور الرأسي، فإن «ارتفاع» الخط فوق المحور الأفقي يمثِّل المسافة الكلية التي قطعها جسم عند زمن معيَّن. لنفكِّر في ارتفاع الخط الأحمر عند اللحظة الزمنية المحدَّدة بالسهم البرتقالي. في هذه الحالة، الخط المرسوم يمسُّ المحور الأفقي؛ ومن ثَمَّ فإن ارتفاعه فوق هذا المحور يساوي صفرًا. بعبارة أخرى: المسافة التي قطعها الجسم تساوي صفرًا عند هذه النقطة من الزمن.

ومثلما استخدمنا سهمًا برتقاليًّا لتمثيل زمن معيَّن على محور الزمن، دعونا نستخدِم سهمًا أزرق لتمثيل المسافة التي قطعها الجسم عند ذلك الزمن، كما هي مَقِيسة على محور المسافة:

ولأن تعريف «المسافة» هو «المسافة التي قطعها الجسم»، فإننا نعلم أن المسافة الابتدائية للجسم في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن ستساوي دائمًا صفرًا.

الآن، لننظر إلى اليمين، ونرَ كيف تتغيَّر المسافة التي يقطعها الجسم مع مرور الزمن. في هذا الشكل، حدَّدنا لحظةً زمنية لاحِقة بسهم برتقالي، وتُحدَّد المسافة التي قطعها الجسم عند هذا الزمن (أي ارتفاع الخط) بسهم أزرق:

في هذه الحالة، يُمكننا أن نلاحِظ أنه بينما ننظر يمينًا، يظلُّ ارتفاع الخط دون تغيير. هذا يعني أن المسافة التي يقطعها الجسم تظلُّ دون تغيير. إذن تفسيرنا لهذا التمثيل البياني هو أنه يمثِّل جسمًا ساكنًا.

لنلقِ نظرةً على مثال آخَر.

يُمكننا أن نرى أن التمثيل البياني هنا مرَّة أخرى عبارة عن خط مستقيم، لكنه هذه المرَّة له ميل. مرَّة أخرى، سنفسِّر هذا التمثيل البياني بالنظر إلى كيفية تغيُّر ارتفاع الخط أثناء امتداده من اليسار إلى اليمين. هيَّا نحدِّد الزمن الأول على التمثيل البياني بسهم برتقالي والمسافة التي قطعها الجسم عند هذا الزمن بسهم أزرق:

مرَّة أخرى، يمسُّ الخط المحور الأفقي على اليسار. المسافة التي قطعها الجسم عند البدء في القياس تساوي دائمًا صفرًا؛ لذا من المفترض أن تبدأ التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن دائمًا من نقطة الأصل (عند نقطة الْتقاء المحورين).

لننظر الآن إلى زمنٍ لاحِق. في هذا الشكل، سنحدِّد نقطة أبعد نحو اليمين على محور الزمن باستخدام سهم برتقالي.

والمسافة التي قطعها الجسم عند هذا الزمن تساوي ارتفاع الخط عند هذه النقطة. هيَّا نرسم خطًّا رأسيًّا متقطِّعًا من الزمن الذي حدَّدناه على المحور الأفقي لأعلى حتى يلتقي مع الخط على التمثيل البياني. بعد ذلك، يُمكننا رسم خطٍّ متقطِّع أفقيٍّ من هذه النقطة يسارًا حتى يلتقي مع المحور الرأسي:

النقطة التي يلتقي عندها الخط المتقطِّع مع محور المسافة محدَّدة على الشكل بسهم أزرق. هذه النقطة على محور المسافة تمثِّل المسافة الكلية التي قطعها الجسم عند هذه النقطة من الزمن.

إذن في هذا التمثيل البياني، تغيَّرت المسافة التي قطعها الجسم بمرور الزمن. بعبارة أخرى: الجسم يتحرَّك. ولأن الخط مستقيم (له ميل ثابت)، فإننا نعرف أن المسافة التي يقطعها الجسم تتغيَّر بمعدَّل ثابت. بعبارة أخرى، يوضِّح لنا هذا التمثيل البياني أن الجسم يتحرَّك بسرعة ثابتة.

يُمكن لمثل هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن أن يُعطينا معلومات حول مدى سرعة حركة الجسم. هيَّا نقارن التمثيل البياني السابق بتمثيل بياني له ميل أكثر انحدارًا. يوضِّح الشكل الآتي التمثيل البياني السابق على اليسار، وتمثيلًا بيانيًّا آخَر على اليمين له ميل أكثر انحدارًا.

في كلٍّ من هذين التمثيلين البيانيين، حدَّدنا اللحظة نفسها على محور الزمن بسهم برتقالي. يُشير السهمان الأزرقان إلى المسافة التي قطعها كلُّ جسم بحلول تلك اللحظة من الزمن. في التمثيل البياني الأكثر انحدارًا، يُمكننا أن نلاحِظ أن الجسم قد قطع مسافة أكبر خلال هذا الزمن. هذا يعني أن الجسم الذي يمثِّله التمثيل البياني على اليمين يتحرَّك بسرعة أكبر من الجسم الذي يمثِّله التمثيل البياني على اليسار.

في الواقع، ميل الخط المستقيم في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يساوي سرعة الجسم. هذا يعني أن الخطوط الأكثر انحدارًا للمسافة مقابل الزمن تُشير إلى حركة أسرع.

كلُّ التمثيلات البيانية التي نظرنا إليها حتى الآن تحتوي على خطٍّ مستقيم واحد فقط. لكنَّ الأمر ليس كذلك دائمًا. في المثال الآتي: يتكوَّن المنحنى في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن من عدَّة «قِطَع مستقيمة» ذات ميل مختلف:

لتفسير الحركة الممثَّلة بهذا التمثيل البياني، يُمكننا النظر إلى كلِّ قطعة مستقيمة على حِدة. أولًا: علينا الانتباه إلى القطعة المستقيمة في الطرف الأيسر، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. هي تمثِّل الجزء الأول من حركة الجسم.

يُمكننا أن نلاحِظ أن هذه القطعة مستقيمة، وهو ما يُشير إلى أنها تمثِّل حركة بسرعة ثابتة. يتحرَّك الجسم بهذه السرعة الثابتة بين الزمنين المُشار إليهما على محور الزمن الآتي:

والآن: لنلقِ نظرةً على القطعة المستقيمة الأفقية الموضَّحة في الشكل الآتي. وهي تمثِّل الجزء الثاني من حركة الجسم.

يُمكننا أن نرى أن هذه القطعة مستقيمة أيضًا؛ لكنها أفقية هذه المرَّة (أيْ ميلها يساوي صفرًا). وهذا يُشير إلى أن الجسم ساكن (أيْ مسافته لا تتغيَّر) بين الزمنين المُشار إليهما على محور الزمن الآتي.

والآن: لنلقِ نظرةً على الجزء الأخير من التمثيل البياني، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

هذه القطعة مستقيمة أيضًا، ونلاحِظ أنها مائلة. يُمكننا المقارنة بينها وبين الجزء المائل الآخَر من التمثيل البياني على اليسار. القطعة المائلة على اليمين لها ميل أكثر انحدارًا، وهو ما يُشير إلى أن الجسم يتحرَّك أسرع بين الزمنين المُشار إليهما في هذا الشكل، مقارنة بما كان عليه في بداية حركته.

يُمكننا جمع هذه المعلومات معًا لوصْف الرحلة بأكملها الممثَّلة بالتمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. أولًا: يتحرَّك الجسم بسرعة ثابتة. بعد ذلك، يظلُّ الجسم ساكنًا على مسافة ما من نقطة البداية. وأخيرًا: يتحرَّك الجسم بسرعة ثابتة مرَّة أخرى، لكن أسرع ممَّا سبق.

هيَّا نلقِ نظرةً على مثال في صورة سؤال؛ حيث نفسِّر تمثيلًا بيانيًّا للمسافة مقابل الزمن يوضِّح عدَّة مراحل للحركة.

مثال ١: تفسير تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يوضِّح الحركة بسرعات مختلفة

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية للمسافة مُقابِل الزمن يُمثِّل جسمًا يتحرَّك في البداية بسرعة ثابتة، ثم يتوقَّف عن الحركة، ثم يبدأ الحركة مرَّة أخرى بسرعة ثابتة أكبر؟

الحل

لنبدأ بتذكُّر أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضِّح كيفية تغيُّر المسافة التي يقطعها الجسم مع الزمن. تُقاس المسافة على المحور الرأسي، ويُقاس الزمن على المحور الأفقي.

تذكَّر أن الخط المستقيم المائل في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثِّل الحركة بسرعة ثابتة. بالإضافة إلى ذلك، يُشير الخط الأفقي المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن إلى أن الجسم ساكن.

بالنظر إلى التمثيلين البيانيين الموضَّحين، يُمكننا ملاحَظة أنهما يشتركان في بعض الخواص. أولًا: يتكوَّن كلٌّ منهما من ثلاث قِطَع مستقيمة. بالإضافة إلى ذلك، تتبع القِطَع المستقيمة الثلاث نمطًا مُشابِهًا في كلا التمثيلين البيانيين. عند القراءة من اليسار إلى اليمين، نَجِد أن القطعة المستقيمة الأولى (على يسار كلِّ تمثيل بياني) مائلة، والقطعة المستقيمة الثانية (في منتصف كلِّ تمثيل بياني) أفقية، والقطعة الثالثة (على يمين كلِّ تمثيل بياني) مائلة أيضًا.

هذا يعني أن كلَّ تمثيل بياني يوضِّح جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة، ثم يظلُّ ساكنًا، ثم يتحرَّك مرَّة أخرى بسرعة ثابتة.

يتعلَّق الفرق بين التمثيلين البيانيين بميل القطعتين المستقيمتين الأولى والثالثة. علينا هنا أن نتذكَّر أن ميل الخط المستقيم في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يساوي سرعة الجسم. إذن الخط الأكثر انحدارًا يمثِّل حركة أسرع.

في التمثيل البياني (أ)، القطعة المستقيمة الأولى أقلُّ انحدارًا من القطعة المستقيمة الثالثة. هذا يعني أنه بالنسبة إلى الجسم الممثَّل في التمثيل البياني (أ)، الجزء الأول من حركة الجسم أبطأ من الجزء الأخير من حركة الجسم. بعبارة أخرى: يوضِّح التمثيل البياني (أ) جسمًا يتحرَّك ببطء، ثم يتوقَّف لفترة من الزمن، ثم يتحرَّك سريعًا.

في التمثيل البياني (ب)، العكس صحيح: القطعة المستقيمة الأولى أكثر انحدارًا من القطعة المستقيمة الثالثة، وهو ما يعني أن الجزء الأول من حركة الجسم أسرع من الجزء الأخير من حركته. بعبارة أخرى: يوضِّح التمثيل البياني (ب) جسمًا يتحرَّك سريعًا، ثم يتوقَّف لفترة من الزمن، ثم يتحرَّك ببطء.

يُمكننا الآن الإجابة عن السؤال: التمثيل البياني الذي يُمثِّل جسمًا يتحرَّك في البداية بسرعة ثابتة، ثم يتوقَّف عن الحركة، ثم يبدأ الحركة مرَّة أخرى بسرعة ثابتة أكبر هو التمثيل البياني (أ).

حتى الآن، لم نتناول سوى التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن التي تتكوَّن من خطوط مستقيمة. لكنْ من الشائع أن يكون الخط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن منحنيًا. في المثال الآتي، دعونا نتناول هذا النوع من التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن:

إن مفتاح تفسير الخطوط المنحنية في التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن هو تذكُّر أن الميل في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يُناظِر السرعة. يتغيَّر ميل المنحنى دائمًا بمرور الزمن. هذا يعني أن المنحنى يمثِّل حركة تتغيَّر فيها السرعة دائمًا بمرور الزمن.

هيَّا نلقِ نظرةً على نقطة محدَّدة من الزمن على التمثيل البياني يُشار إليها بسهم برتقالي في هذا الشكل:

ما ميل المنحنى عند هذه النقطة؟ يُمكننا رسم خط وردي متقطِّع رأسي من الزمن الذي اخترناه على المحور الأفقي حتى النقطة التي يلتقي عندها بالمنحنى. بعد ذلك، دعونا نرسم خطًّا أخضر اللون لتوضيح ميل المنحنى عند هذه النقطة:

ويمثِّل ميل المنحنى عند هذه النقطة سرعة الجسم عند اللحظة الزمنية التي اخترنا النظر إليها. هيَّا نقارن ذلك بميل المنحنى عند لحظة زمنية لاحِقة.

في الشكل السابق، يُمكننا أن نلاحِظ بوضوح أن ميل الخط عند هذه اللحظة الزمنية أكبر بكثير منه عند اللحظة الزمنية السابقة التي اخترناها. وفي الواقع، يزيد ميل الخط أكثر فأكثر مع التقدُّم على محور الزمن. هذا يوضِّح لنا أن الجسم تزداد سرعته. بعبارة أخرى، فإنه يتسارع.

من المُهِمِّ أن نتذكَّر أن الجسم «يتحرَّك بعجلة» إذا كانت سرعته تتزايد أو تتناقص. لكن في الحياة اليومية، كثيرًا ما نقول فقط إن الجسم «يتسارع» عندما تتزايد سرعته. عندما تتناقص سرعة الجسم، غالبًا ما نقول إنه «يتباطأ».

مثال ٢: تحديد التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن الذي يوضِّح التباطؤ المنتظِم

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية للمسافة مقابل الزمن يوضِّح جسمًا ذا تباطؤ منتظِم؟

الحل

علينا تحديد التمثيل البياني الذي يوضِّح جسمًا ذا تباطؤ منتظِم. في هذا السياق، كلمة «منتظِم» تعني أن الجسم يتباطأ (أيْ يتحرَّك بسرعة أقلَّ) بمعدَّل ثابت.

للإجابة عن هذا السؤال، يُمكننا أن نبدأ بتذكُّر أن ميل منحنى المسافة مقابل الزمن عند أيِّ نقطة يمثِّل سرعة الجسم عند تلك اللحظة من الزمن. لنضع ذلك في اعتبارنا عندما ننظر إلى التغيُّر في ميل المنحنى في كلِّ تمثيل بياني.

في التمثيل البياني (أ)، يزيد ميل المنحنى بانسيابية مع مرور الزمن (بالانتقال من اليسار إلى اليمين). وهذا يوضِّح لنا أن الجسم ينتقل من سرعة منخفضة إلى سرعة عالية، أيْ تتزايد سرعته. وهذا يعني أن الخيار (أ) لا يُمكن أن يكون الإجابة الصحيحة.

في التمثيل البياني (ب)، يزيد ميل المنحنى بانسيابية أيضًا بمرور الزمن؛ ومن ثَمَّ فإن الخيار (ب) لا يُمكن أن يكون صحيحًا أيضًا. يجب أن نلاحِظ أيضًا أنه على عكس التمثيل البياني (أ)، التمثيل البياني (ب) يوضِّح أن المسافة تتناقص بمرور الزمن. تذكَّر أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضِّح المسافة الكلية التي يقطعها الجسم. هذا يعني أنه لا يُمكن أبدًا أن يكون لدينا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يوضِّح أن المسافة تقلُّ، كما هو الحال مع هذا التمثيل البياني. هذا التمثيل البياني ليس تمثيلًا بيانيًّا صحيحًا للمسافة مقابل الزمن.

في التمثيل البياني (ج)، نلاحِظ أن الخط يبدأ منحدرًا نسبيًّا ويصبح أقلَّ انحدارًا بانسيابية مع مرور الزمن. هذا يعني أن الجسم تتناقص سرعته بانسيابية. بعبارة أخرى: يوضِّح هذا التمثيل البياني جسمًا يتباطأ. في الحقيقة، من الصعب أن نعرف إذا ما كان هذا التباطؤ منتظِمًا حقًّا دون المزيد من المُعطيات، لكن الخيار (ج)، في الوقت الحالي، يبدو إجابة جيدة. هيَّا نلقِ نظرةً على الخيار الرابع للتأكُّد.

في التمثيل البياني (د)، المنحنى له ميل شديد الانحدار في البداية. مع مرور الزمن، يصبح ميل المنحنى أقلَّ انحدارًا بانسيابية. وهذا يعني أن التمثيل البياني يوضِّح جسمًا تتناقص سرعته بانسيابية. بعبارة أخرى: يبدو أن هذا التمثيل البياني يوضِّح جسمًا يتباطأ بصورة منتظِمة أيضًا. لكن علينا الانتباه هنا. هذا التمثيل البياني، مثل التمثيل البياني (ب)، يوضِّح أن المسافة تقلُّ. وهذا يعني أن التمثيل البياني (د) ليس في الواقع تمثيلًا بيانيًّا صحيحًا للمسافة مقابل الزمن.

وبما أن الخيارات (أ) و(ب) و(د) لا يُمكن أن تكون صحيحة، فلا بدَّ أن يكون الخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة.

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن لجسم يتسارع ويتباطأ

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية للمسافة مُقابِل الزمن يوضِّح جسمًا يتسارع في البداية، ثم يتباطأ؟

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكَّر أن ميل المنحنى في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يُناظِر سرعة الجسم.

بالانتباه إلى ذلك، لنلقِ نظرةً على التغيُّر في ميل المنحنى في كلِّ تمثيل بياني.

في الخيار (أ)، الخط في التمثيل البياني مستقيم في البداية. لذلك يوضِّح لنا هذا التمثيل البياني جسمًا يتحرَّك في البداية بسرعة ثابتة. وبعد فترة من الزمن، ينحني الخط بانسيابية ويقلُّ ميله. هذا يعني أن سرعة الجسم الموضَّحة في هذا التمثيل البياني تقلُّ باستمرار. بعبارة أخرى: يتباطأ الجسم. بعد ذلك يستقيم الخط مرَّة أخرى لكنه يكون أقلَّ انحدارًا من ذي قبل. نستنتج من ذلك أن الجسم الموضَّح في هذا التمثيل البياني يستمرُّ في التحرُّك بسرعة ثابتة، لكنه أبطأ من ذي قبل.

في الخيار (ب)، الخط في التمثيل البياني مستقيم في البداية؛ ومن ثَمَّ لا بدَّ أن الجسم الموضَّح في هذا التمثيل البياني يتحرَّك في البداية بسرعة ثابتة. ثم يصبح الخط أفقيًّا فجأة. هذا يعني أن الجسم يتوقَّف فجأة عن الحركة.

في الخيار (ج)، الخط في التمثيل البياني ينحني في البداية لأعلى؛ أيْ يزيد ميله. هذا يعني أن سرعة الجسم تتزايد، أو بعبارة أخرى: الجسم يتسارع. عند نقطة عند منتصف محور الزمن تقريبًا، يبدأ الخط في الانحناء في الاتجاه الآخَر؛ حيث يتناقص ميله. هذا يعني أن الجسم سرعته تتناقص، أو يتباطأ.

من بين الخيارات المُتاحة، فقط الخيار (ج) يوضِّح جسمًا يتسارع، ثم يتباطأ. هذا يعني أن الخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة للسؤال.