شارح الدرس: العدُّ باستخدام التوافيق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التوافيق لحل مسائل العد.

تُستخدم التوافيق لعدِّ الطرق المختلفة التي يمكننا أن نختار بها عددًا معيَّنًا من العناصر من مجموعة مُعطاة تحتوي على عناصر مختلفة. على سبيل المثال، نستخدم قاعدة التوافيق لعدِّ الطرق المختلفة التي يمكننا أن نختار بها ٣ أحرف مختلفة من الأبجدية العربية؛ حيث لا يهم ترتيب كتابة هذه الأحرف.

تختلف قاعدة التوافيق عن قاعدة التباديل؛ فلا يهم فيها ترتيب العناصر المختارة. في التباديل، يكون الاختياران هـ أ ص، أ ص هـ ناتجين مختلفين، أما في التوافيق فيُعد هذان الاختياران ناتجًا واحدًا {𞸤،󰏡،𞸑}.

دعونا نتذكَّر صيغة التوافيق، التي تمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار مجموعة جزئية بها عدد معيَّن من العناصر من مجموعة مُعطاة.

تعريف: التوافيق

إذا كان لدينا العددان الصحيحان غير السالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. ولا يهم ترتيب العناصر 𞸏. ونحسب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.

نبدأ بمثال سنستخدم فيه قاعدة التوافيق لعدِّ النواتج المختلفة.

مثال ١: استخدام التوافيق لعدِّ النواتج

افترض أن 𞹎={𞸎𞸎𞹑،٠١𞸎٦١}، 𞹏={{󰏡،𞸁}󰏡،𞸁𞹎،󰏡𞸁}. أوجد قيمة 𞸍(𞹏)؛ حيث 𞸍(𞹏) هو عدد العناصر في 𞹏.

الحل

في هذا المثال، نريد عدَّ العناصر المختلفة في المجموعة 𞹏؛ حيث تمثِّل عناصر المجموعة 𞹏 مجموعات جزئية من المجموعة 𞹎 تتكوَّن من عنصرين. بعبارةٍ أخرى، علينا تحديد عدد المجموعات الجزئية من 𞹎 التي تتكوَّن من عنصرين.

يمكننا تكوين مجموعة جزئية من 𞹎 مكوَّنة من عنصرين عن طريق اختيار عنصرين مختلفين من المجموعة 𞹎، ولا يهم ترتيب العناصر. يُحسَب عدد هذه النواتج باستخدام قاعدة التوافيق، التي نتذكَّرها الآن: إذا كان لدينا العددان الصحيحان غير السالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة، ولا يهم ترتيب العناصر 𞸏. ونحسب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.

بما أن 𞹎 يحتوي على جميع الأعداد الصحيحة من ١٠ إلى ١٦، فإن عدد العناصر في 𞹎 يُحسب من: ٦١٠١+١=٧.

إذن، لتكوين مجموعة جزئية من 𞹎 مكوَّنة من عنصرين، علينا اختيار عددين صحيحين مختلفين من إجمالي ٧ أعداد صحيحة مختلفة، ولا يهم الترتيب. هذا يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة التوافيق عند 𞸍=٧، 𞸏=٢، فنحصل على التوافيق ٧٢𞹟. يمكننا استخدام صيغة التوافيق لكتابة: 𞸍(𞹏)=𞹟=٧٧٢٢=٧٥٢=٧×٦×٥٥٢=٧×٦٢×١=٧×٣=١٢.٧٢

إذن 𞸍(𞹏)=١٢.

في المثال السابق، استخدمنا قاعدة التوافيق لعدِّ العناصر في مجموعة ما. يمكننا أيضًا استخدام هذه القاعدة لحل المسائل الحياتية عندما يكون علينا عدُّ الطرق المختلفة لاختيار عدد معيَّن من العناصر من مجموعة من العناصر المختلفة. لتطبيق قاعدة التوافيق، علينا التأكُّد من أن ترتيب العناصر لا يهم في سياق المسألة.

في المثال الآتي، سنستخدم قاعدة التوافيق لحل إحدى مسائل العد الحياتية.

مثال ٢: إيجاد عدد مباريات الشطرنج التي يمكن أن تُلعَب في بطولة يُشارك فيها عدد ن من المتنافسين

ستقام بطولة شطرنج؛ حيث يلعب كل لاعب ضد خصمه. إذا كان عدد اللاعبين ٧٨؛ فاحسب عدد المباريات التي ستُلعَب.

الحل

في هذا المثال، علينا عدُّ مباريات الشطرنج المختلفة التي ستُلعَب؛ حيث يواجه كل لاعب خصمه. يمكننا تحديد كل مباراة من مباريات الشطرنج عن طريق اختيار لاعبَيْن مختلفَيْن من إجمالي عدد المشاركين. وبما أن ترتيب اللاعبَيْن المختارَيْن لا يهم، فهذا يقودنا إلى قاعدة التوافيق، التي نتذكَّرها الآن: إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة، ولا يهم ترتيب العناصر 𞸏. ونحسب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.

وبما أننا نختار لاعبَيْن مختلفَيْن من إجمالي ٧٨ مشاركًا حيث لا يهم الترتيب، إذن يمكننا تطبيق قاعدة التوافيق؛ حيث 𞸍=٨٧، 𞸏=٢، لعدِّ مباريات الشطرنج. باستخدام الصيغة السابقة، يمكننا القول إن: ٨٧٢𞹟=٨٧٨٧٢٢=٨٧٦٧٢=٨٧×٧٧×٦٧٦٧٢=٨٧×٧٧٢×١=٩٣×٧٧=٣٠٠٣.

إذن عدد المباريات التي ستُلعَب في بطولة الشطرنج هذه هو ٣‎ ‎٠٠٣.

ثمة اختلاف مهم بين قاعدة التوافيق وقاعدة التباديل يكمن في أهمية ترتيب العناصر المختارة من عدمه. دعونا نتذكَّر قاعدة التباديل لعدِّ النواتج، وهذه المرة ترتيب العناصر المختارة مهم.

تعريف: التباديل

إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التباديل 𞸍𞸏𞸋 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. ونحسب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏.

في المثال التالي، سنحل مسائل عدٍّ حياتية باستخدام قاعدتَي التوافيق والتباديل.

مثال ٣: العدُّ عندما يكون الترتيب مهمًّا

تختار إدارة إحدى المدارس لون شعارها الجديد. يتكوَّن الشعار من ثلاثة حروف: م ك ث. ترغب الإدارة في الحصول على لون مُختلِف لكلِّ حرف. خيارات الألوان هي الأحمر، والأخضر، والأزرق، والأصفر، والبرتقالي، والبنفسجي.

  1. ما عدد الطرق التي يُمكِن بها للإدارة تلوين الشعار؟
  2. قرَّرت الإدارة أنه بدلًا من الحصول على لون مُختلِف لكلِّ حرف، تشتري ثلاثةً من الألوان الستة، وتمزجها معًا، ثم يُطلَى الشعار كله باللون الناتج.
    ما عدد خيارات ألوان الشعار التي لديهم الآن؟

الحل

الجزء الأول

في الجزء الأول، نعدُّ الطرق المختلفة لتلوين الأحرف م ك ث باستخدام ألوان مختلفة لكل حرف. لتلوين الأحرف الثلاثة بألوان مختلفة، علينا أولًا أن نختار ٣ ألوان، ثم نرتِّب الألوان المختارة لنلوِّن الأحرف المناظرة. بعبارةٍ أخرى، نختار ٣ ألوان، وترتيب الألوان المختارة مهم. وهذا يقودنا إلى قاعدة التباديل، التي نتذكَّرها الآن: إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التباديل 𞸍𞸏𞸋 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏.

في هذا المثال، نرتِّب ٣ ألوان مختلفة من إجمالي ٦ ألوان مختلفة؛ ولذا، يمكننا وضع 𞸍=٦، 𞸏=٣ في قاعدة التباديل. وهذا يقودنا إلى: ٦٣𞸋=٦٦٣=٦٣=٦×٥×٤×٣٣=٦×٥×٤=٠٢١.

إذن توجد ١٢٠ طريقة مختلفة لتلوين الشعار م ك ث من بين الألوان الستة المُعطاة؛ حيث يكون لكل حرف لون مختلف.

الجزء الثاني

بالنسبة إلى الجزء الثاني، تلوِّن المدرسة جميع الأحرف الثلاثة م ك ث باللون نفسه، الناتج عن خلط ثلاثة ألوان مختلفة. ما زلنا نختار ٣ ألوان مختلفة من بين ٦ ألوان، ولكن ترتيب الألوان الثلاثة المختارة لا يهم في هذا السياق. وهذا يقودنا إلى قاعد التوافيق؛ لأننا نَعُد النواتج المختلفة ولا يهم الترتيب.

تذكَّر أنه إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة، وترتيب العناصر 𞸏 لا يهم. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.

في هذا المثال، نختار ٣ ألوان مختلفة من إجمالي ٦ ألوان، والترتيب لا يهم. إذن يمكننا تطبيق قاعدة التوافيق؛ حيث 𞸍=٦، 𞸏=٣، لنحصل على: ٦٣𞹟=٦٦٣٣=٦٣٣=٦×٥×٤×٣٣٣=٦×٥×٤٣×٢×١=٢×٥×٢=٠٢.

هذا يعني أنه توجد ٢٠ طريقة مختلفة لتلوين الشعار م ك ث باللون الناتج عن خلط ٣ ألوان مختلفة من الألوان الستة المُعطاة.

يمكننا أيضًا تطبيق مبدأ العد الأساسي (يُعرَف أيضًا بقاعدة الضرب)، إضافةً إلى قاعدة التوافيق لإيجاد عدد النواتج المختلفة في حالة معيَّنة. هيا نتذكَّر مبدأ العد.

نظرية: مبدأ العد الأساسي

إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لهذين الحدثين معًا يساوي حاصل ضرب 𞸎×𞸑.

يكون الحدثان مستقلَّيْن إذا كان ناتج أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر. إضافةً إلى ذلك، ينطبق مبدأ العد الأساسي عند وجود أكثر من حدثين. باختصار، يمكننا ضرب عدد النواتج الممكنة لكل حدث، بشرط أن تكون هذه الأحداث مستقلة.

في المثال التالي، سنطبِّق مبدأ العد الأساسي والتوافيق لإيجاد عدد النواتج المختلفة.

مثال ٤: تطبيقات مبدأ العد (قاعدة الضرب) والتوافيق

تضم قرية لجنتين، تحتوي كل لجنة منهما على شخصين. بكم طريقة يمكن تكوين اللجنتين إذا كان الاختيار من بين ١٢ شخصًا، بشرط أن يُختار الشخص مرةً واحدة؟

الحل

في هذا المثال، علينا اختيار لجنتين، تحتوي كلٌّ منهما على شخصين؛ بحيث يُختار كل شخص مرةً واحدة بحدٍّ أقصى. لتكوين لجنتين، يمكننا أولًا تكوين لجنة واحدة تحتوي على شخصين، ثم تكوين اللجنة الأخرى التي تحتوي على شخصين مختارَيْن من بين الأشخاص العشرة المتبقين في القرية.

لعدِّ النواتج المختلفة لتكوين لجنتين، هيا نتذكَّر مبدأ العد الأساسي الذي ينص على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ بحيث يكون عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة لهذين الحدثين معًا هو حاصل الضرب 𞸎×𞸑. نعلم أيضًا أن الحدثين يكونان مستقلَّيْن إذا كان ناتج أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

لتطبيق مبدأ العد الأساسي، افترض أن 󰏡 يمثِّل حدث تكوين اللجنة الأولى التي تحتوي على شخصين، وأن 𞸁 يمثِّل حدث تكوين اللجنة الثانية التي تحتوي على شخصين. نلاحظ أن أي اختيار محدَّد للَّجنة الأولى لا يؤثِّر على عدد النواتج المختلفة للَّجنة الثانية. ومن ثَمَّ، 󰏡، 𞸁 حدثان مستقلان. علينا الآن إيجاد عدد النواتج الممكنة لكل حدث على حدة، ثم نضربها لنحصل على إجمالي عدد الطرق لتكوين لجنتين.

هيا أولًا نحدِّد عدد الطرق المختلفة لتكوين اللجنة الأولى. لتكوين اللجنة الأولى، علينا اختيار شخصين مختلفين من بين ١٢ شخصًا، ولا يهم ترتيب الشخصين المختارين. وهذا يقودنا إلى قاعدة التوافيق، التي نتذكَّرها الآن: إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة، ولا يهم ترتيب العناصر 𞸏. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.

نختار هنا شخصين مختلفين من بين ١٢ شخصًا، ولا يهم الترتيب؛ ولذا، يمكننا تطبيق قاعدة التوافيق؛ حيث 𞸍=٢١، 𞸏=٢، فنحصل على: ٢١٢𞹟=٢١٢١٢٢=٢١٠١٢=٢١×١١×٠١٠١٢=٢١×١١٢×١=٦×١١=٦٦.

إذن توجد ٦٦ طريقة مختلفة لاختيار اللجنة الأولى.

بعد ذلك، هيا نَعُدُّ الطرق المختلفة لاختيار اللجنة الأولى. وَقَع الاختيار على اللجنة الثانية من بين الأشخاص العشرة المتبقِّين في القرية؛ ولذا، يمكننا تطبيق قاعدة التوافيق؛ حيث 𞸍=٠١، 𞸏=٢، فنحصل على: ٠١٢𞹟=٠١٠١٢٢=٠١٨٢=٠١×٩×٨٨٢=٠١×٩٢×١=٥×٩=٥٤.

نستنتج من ذلك أنه توجد ٤٥ طريقة مختلفة لاختيار اللجنة الثانية.

وأخيرًا، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للحصول على إجمالي عدد الطرق لتكوين اللجنتين؛ بحيث تحتوي كلٌّ منهما على شخصين. بضرب هذين العددين، نحصل على: ٦٦×٥٤=٠٧٩٢.

إذن توجد ٢‎ ‎٩٧٠ طريقة مختلفة لاختيار لجنتين، كلٍّ منهما تحتوي على شخصين؛ بحيث لا يُختار أي شخص أكثر من مرة.

نتناول مثالًا آخر نُطبِّق فيه قاعدة الضرب وقاعدة التوافيق معًا.

مثال ٥: العدُّ باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة التوافيق

توجد ٧ كرات حمراء و٦ كرات بيضاء في حقيبة. أوجد عدد الطرق التي يُمكِن من خلالها اختيار ٤ كرات حمراء و٣ كرات بيضاء.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد عدد الطرق المختلفة لاختيار ٤ كرات حمراء و٣ كرات بيضاء؛ حيث كل كرة مختلفة عن الأخرى. لإجراء هذا الاختيار، يمكننا أن نبدأ باختيار ٤ كرات حمراء، ثم اختيار ٣ كرات بيضاء.

نتذكَّر مبدأ العد الأساسي: إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ بحيث يكون عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لهذين الحدثين معًا هو حاصل الضرب 𞸎×𞸑. لعلنا نتذكَّر أيضًا أن حدثين يكونان مستقلَّيْن إذا لم يُغيِّر ناتج أحد الحدثين عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

لتطبيق مبدأ العد الأساسي، افترض أن 󰏡 هو حدث اختيار ٤ كرات حمراء، وأن 𞸁 هو حدث اختيار ٣ كرات بيضاء. نلاحظ أن أي اختيار محدَّد لـ ٤ كرات لا يؤثِّر على عدد الطرق المختلفة لاختيار ٣ كرات بيضاء. ومن ثَمَّ، 󰏡، 𞸁 حدثان مستقلان. علينا الآن إيجاد عدد نواتج كل حدث على حدة، ثم ضربها للحصول على إجمالي عدد طرق اختيار أربع كرات حمراء و٣ كرات بيضاء.

هيا أولًا نحدِّد عدد الطرق المختلفة لاختيار الكرات الحمراء. نلاحظ أن ترتيب الكرات الأربع المختارة لا يهم. وبما أننا نحسب عدد النواتج المختلفة عندما لا يهم الترتيب، إذن هيا نتذكر قاعدة التوافيق: إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة، وترتيب العناصر 𞸏 لا يهم. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.

بما أننا نختار ٤ كرات مختلفة من بين ٧ كرات حمراء مختلفة، والترتيب لا يهم، يمكننا تطبيق قاعد التوافيق عند 𞸍=٧، 𞸏=٤. وهذا يقودنا إلى: ٧٤𞹟=٧٧٤٤=٧٣٤=٧×٦×٥×٤٣٤=٧×٦×٥٣×٢×١=٧×١×٥=٥٣.

إذن توجد ٣٥ طريقة مختلفة لاختيار أربع كرات حمراء.

بعد ذلك، هيا نَعُدُّ الطرق المختلفة لاختيار الكرات البيضاء. بما أننا بصدد اختيار ٣ كرات بيضاء من بين ٦ كرات بيضاء والترتيب لا يهم، يمكننا تطبيق قاعدة التوافيق؛ حيث 𞸍=٦𞸏=٣، لنحصل على: ٦٣𞹟=٦٦٣٣=٦٣٣=٦×٥×٤×٣٣٣=٦×٥×٤٣×٢×١=٢×٥×٢=٠٢.

إذن توجد ٢٠ طريقة مختلفة لاختيار ثلاث كرات بيضاء.

وأخيرًا، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد إجمالي عدد الاختيارات المختلفة. بضرب العددين نحصل على: ٥٣×٠٢=٠٠٧.

إذن توجد ٧٠٠ طريقة مختلفة لاختيار ٤ كرات حمراء و٣ كرات بيضاء من الحقيبة.

هيا نختتم باسترجاع بعض المفاهيم المهمة التي ذكرها هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كان لدينا عددان صحيحان غير سالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، فإن عدد التوافيق 𞸍𞸏𞹟 يمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. ترتيب العناصر 𞸏 لا يهم. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: 𞸍𞸏𞹟=𞸍𞸍𞸏𞸏.
  • تُستخدم قاعدة التوافيق في مسائل العد، ولا يهم ترتيب العناصر المختارة. إذا كان ترتيب العناصر المختارة مهمًّا، فعلينا استخدام التباديل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.