شارح الدرس: اتزان جسم جاسئ تحت تأثير قوًى متوازية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ مسائل عن اتزان جسم تحت تأثير قوًى مستوية متوازية.

إذا كان الجسم جاسئًا، فلن تتمكَّن القوى المؤثِّرة عليه من تغيير شكله. للقوى تأثيران محتمَلان فقط على الجسم. هذان التأثيران هما: العجلة الخطية للجسم، ودوران الجسم حول نقطة.

وإذا لم تَنتُج عن القوى المؤثِّرة على جسم جاسئ عجلة خطية كلية للجسم، يكون الجسم في حالة اتزان انتقالي. ولكي يتحقَّق ذلك، يجب أن يكون مجموع القوى المؤثِّرة على الجسم يساوي صفرًا.

إذا لم يَنتُج عن القوى المؤثِّرة على الجسم الجاسئ دوران كامل للجسم، يكون الجسم في حالة اتزان دوراني. ولكي يتحقَّق ذلك، لا بد أن يساوي مجموع العزوم المؤثِّرة على الجسم صفرًا.

فإذا كان كلٌّ من مجموع القوى ومجموع العزوم المؤثِّرة على جسم جاسئ يساوي صفرًا، يكون الجسم في حالة اتزان.

دعونا نُعرِّف شروط اتزان جسم جاسئ.

تعريف: شروط اتزان جسم جاسئ

يكون الجسم الجاسئ في حالة اتزان إذا كان مجموع القوى ومجموع العزوم المؤثِّرة على الجسم يساويان صفرًا.

دعونا أيضًا نُعرِّف العزم الناتج عن قوةٍ ما.

تعريف: العزم الناتج عن قوةٍ ما

عزم القوة حول النقطة 𞸋 هو المسافة 𞸐 من 𞸋 إلى نقطة تأثير القوة، مضروبة في مركِّبة القوة العمودية على اتجاه الخطِّ الذي يقطع 𞸋 ونقطة تأثير القوة. يمكن كتابة ذلك على الصورة: 𞸂=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 هي القوة، و𝜃 هي الزاوية المحصورة بين اتجاه القوة واتجاه الخطِّ الذي يقطع 𞸋 ونقطة تأثير القوة.

يتناول هذا الشارح تحديدًا الأمثلة التي تكون فيها القوى المؤثِّرة على جسم جاسئ متوازية ومستوية.

لكي يكون الجسم الجاسئ في حالة اتزان عندما تؤثِّر عليه قوًى متوازية، يجب أن يتحقَّق أحد هذين الشرطين.

الشرط الأول هو الشرط البديهي الذي ينصُّ على أن تكون خطوط عمل جميع القوى موازية لطول الجسم، وتتقاطع مع مركز كتلته. يوضِّح الشكل التالي خطَّ عمل هذه القوى.

لا يَنتُج أيُّ عزم عن أيِّ قوة تؤثِّر على امتداد هذا الخطِّ عند أيِّ نقطة على طول الجسم.

والشرط الثاني أن تكون خطوط عمل جميع القوى عمودية على طول الجسم. يوضِّح الشكل التالي خطَّ عمل محتمَلًا لمثل هذه القوى.

لا بد أن يكون قياس الزاوية 𝜃 للقوى التي تقع على طول خطِّ العمل هذا أو أيِّ خطٍّ موازٍ لهذا الخطِّ، مساويًا لـ ٠٩.

بما أن: (٠٩)=١، فإن حساب العزوم في هذه الأمثلة يتطلَّب فقط استخدام الصيغة: 𞸂=𞹟𞸐.

هيا نتناول هذا المثال.

مثال ١: إيجاد قوى ردِّ الفعل لحاملات قضيب في حالة اتزان

قضيب منتظم وزنه ٣٥ نيوتن يرتكز أفقيًّا بطرفَيه على حاملَين 𞸀 ،𞸁؛ حيث المسافة بين الحاملَين ٤٨ سم. إذا عُلِّق وزن مقداره ٢٤ نيوتن عند نقطة تبعُد ٣٨ سم عن الطرف 𞸀 فأوجد ردَّ فعل كلٍّ من الحاملَين 𞸓𞸀 وَ 𞸓𞸁.

الحل

توجد قوَّتا ردِّ فعل مجهولتان. هذا القضيب في حالة سكون، إذن لا بد أن مجموع هاتين القوتين يساوي مجموع وزن القضيب والوزن المعلَّق على القضيب؛ ومن ثَمَّ فإن: 𞸓+𞸓=٥٣+٤٢=٩٥.𞸀𞸁

يمكن تحديد العزوم المؤثِّرة حول كلٍّ من 𞸀 أو 𞸁. لنتناول العزوم حول 𞸁.

القضيب في حالة اتزان، أي إن العزوم التي تؤثِّر في اتجاه دوران عقارب الساعة والعزوم التي تؤثِّر عكس اتجاه دوران عقارب الساعة 𞸁 متساوية.

يوضِّح الشكل التالي القوى المؤثِّرة على القضيب. القضيب منتظم، ومن ثَمَّ تؤثِّر قوة وزنه عند نقطة المنتصف. المسافات بوحدة سنتيمتر تتحوَّل إلى مسافات بوحدة متر.

العزم الوحيد الذي يؤثِّر في اتجاه دوران عقارب الساعة حول 𞸁 يَنتُج عن 𞸓𞸀. العزوم التي تؤثِّر عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول 𞸁 تَنتُج عن وزن القضيب والوزن المعلَّق من القضيب.

مساواة العزوم حول 𞸁 تعطي: (٤٢٫٠×٥٣)+󰁓(٨٤٫٠٨٣٫٠)×٤٢󰁒=٨٤٫٠×𞸓.𞸀

يمكن تبسيط ذلك كما يلي: 𞸓=(٤٢٫٠×٥٣)+󰁓(٨٤٫٠٨٣٫٠)×٤٢󰁒٨٤٫٠𞸓=٤٫٨+٤٫٢٨٤٫٠=٥٫٢٢.𞸀𞸀

وكما ذكرنا من قبل: 𞸓+𞸓=٥٣+٤٢=٩٥،𞸀𞸁 وعليه فإننا نحصل على 𞸓𞸁 بواسطة: 𞸓=٩٥𞸓𞸓=٥٫٦٣.𞸁𞸀𞸁

هيا نتناول مثالًا آخَر يتضمَّن هذه المرة جسمًا غير منتظم.

مثال ٢: إيجاد النقطة التي يؤثِّر عندها ثقل على قضيب غير منتظم عن طريق إيجاد القوى المحصِّلة وأخذ العزوم

قضيب غير منتظم 𞸀𞸁 وزنه ٤٠ نيوتن وطوله ٨٠ سم عُلِّق رأسيًّا من نقطة منتصفه بواسطة خيط خفيف، وأصبح القضيب في حالة اتزان في وضع أفقي عندما عُلِّق ثقل مقداره ٢٩ نيوتن في طرفه 𞸀. أوجد المسافة 𞸎 بين النقطة التي يؤثِّر عليها وزن القضيب والطرف 𞸀. بعد إزالة الثقل من الطرف 𞸀، عيِّنْ مقدار القوة الرأسية اللازمة لحفظ القضيب أفقيًّا في حالة اتزان عندما تؤثِّر عند الطرف 𞸁.

الحل

في هذا المثال، القوة الرأسية المؤثِّرة لأعلى بفعل الخيط هي المجهولة فقط. الخيط خفيف، وهو ما يعني أن وزنه مُهمَل، وعليه يمكن إهمال القوة المؤثِّرة لأسفل بفعل وزن الخيط.

القوة المؤثِّرة لأعلى على القضيب تساوي مجموع القوى المتجهة لأسفل. ومن ثَمَّ، نحصل على الشدِّ في الخيط بواسطة: 𞸔=٠٤+٩٢=٩٦.

القضيب غير منتظم، ومن ثَمَّ فإن موضع مركز كتلة القضيب مجهول كما أنه لا يقع عند نقطة منتصف القضيب.

عندما عُلِّق ثقل من القضيب عند 𞸀، أصبح القضيب في حالة اتزان. في حالة أخذ العزوم التي تؤثِّر في اتجاه دوران عقارب الساعة، وتلك التي تؤثِّر عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة 𞸋؛ حيث يُعلَّق القضيب من الخيط، فإن القوة الناتجة عن الخيط تُنتِج عزومًا مساوية لصفر عند 𞸋. تَنتُج العزوم الوحيدة المؤثِّرة على القضيب حول 𞸋 عن الثقل المعلَّق عند 𞸀، ووزن القضيب الذي يؤثِّر عند مركز كتلة القضيب. وبما أن القضيب في حالة اتزان، فلا بد أن تكون هذه العزوم متساوية.

أخبرنا السؤال أن القضيب طوله ٨٠ سم، إذن المسافة من 𞸋 إلى 𞸀 تساوي ٤٠ سم. إذن تُعطى العزوم حول 𞸋 بواسطة: ٩٢×٠٤=٠٤𞸐، حيث 𞸐 هي المسافة من 𞸋 إلى مركز كتلة القضيب. وبحلِّ المعادلة لإيجاد 𞸐 نحصل على: 𞸐=٩٢×٠٤٠٤=٩٢.

يقع مركز الكتلة على بُعد ٢٩ سم من نقطة منتصف القضيب. ويقع المنتصف على بُعد ٤٠ سم من 𞸀، إذن المسافة من 𞸀 إلى مركز كتلة القضيب هي: ٩٢+٠٤=٩٦.

عند إزالة الثقل المعلَّق عند 𞸀، لم يعُد القضيب في حالة اتزان، إلى أن تؤثِّر قوة رأسية 󰄮󰄮𞹟 عند 𞸁.

بأخذ العزوم حول 𞸋 مرةً أخرى، نلاحظ أن العزم الناتج عن وزن القضيب وهو الذي يكون على يسار 𞸋 يؤثِّر في اتجاه دوران عقارب الساعة. القوة المؤثِّرة عند 𞸁 تقع على يسار 𞸋، أي إن القوة التي تؤثِّر عند 𞸁 لا بد أن تؤثِّر في الاتجاه المعاكِس لوزن القضيب.

نحصل على العزوم حول 𞸋 بواسطة: ٠٤×٩٢=𞹟×٠٤.

وبحلِّ المعادلة لإيجاد 𞹟 نحصل على: 𞹟=٠٤×٩٢٠٤=٩٢.

من المهمِّ أن نلاحظ أنه في المثال السابق، لم يكن من الضروري التفكير في شروط الاتزان الانتقالي للقضيب لتحديد القيم المجهولة المطلوب إيجادها، بل كان من الضروري فقط التفكير في شروط الاتزان الدوراني للقضيب.

هيا نتناول مثالًا آخَر يتضمَّن شدَّ الخيوط التي تحمل جسمًا. في هذا المثال، عدد القوى المؤثِّرة على القضيب أكبر من عدد القوى المؤثِّرة في الأمثلة السابقة، لكن يمكن حلُّه بالطريقة نفسها.

مثال ٣: إيجاد الشدِّ في مسألة اتزان

𞸀𞸁 قضيب منتظم وزنه ٧٠ نيوتن وطوله ٩٥ سم. معلَّق من طرفَيه بخيطين رأسيين؛ حيث 𞸔١ الشدُّ في الخيط عند 𞸀، وَ𞸔٢ الشدُّ في الخيط عند 𞸁. عُلِّق في القضيب ثقل مقداره ١٠٠ نيوتن على مسافة ٣٠ سم من 𞸀، وثقل مقداره ٩٣ نيوتن على مسافة ٢٠ سم من 𞸁. أوجد قيمة كلٍّ من 𞸔١، وَ𞸔٢.

الحل

توجد قوَّتا شدٍّ مجهولتان. القضيب في حالة سكون، إذن مجموع هذه القوى يساوي حتمًا مجموع وزن القضيب والثقلين المعلَّقين منه، ومن ثَمَّ فإن: 𞸔+𞸔=٠٧+٠٠١+٣٩=٣٦٢.١٢

يمكن تحديد العزوم التي تؤثِّر حول إما النقطة 𞸀 أو 𞸁. لنتناول العزوم حول 𞸀.

القضيب في حالة اتزان، لذا فإن العزوم التي تؤثِّر في اتجاه دوران عقارب الساعة وتلك التي تؤثِّر عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول 𞸀 متساوية.

ونظرًا لأن القوة 𞸔١ تؤثِّر عند 𞸀، فهي تُنتِج عزومًا حول 𞸀. القوة 𞸔٢ تؤثِّر لأعلى، وجميع القوى الأخرى المؤثِّرة على القضيب تؤثِّر لأسفل، إذن العزم الناتج عن 𞸔٢ يساوي مجموع العزوم المتبقية: ٥٩×𞸔=(٠٣×٠٠١)+󰂔٥٩٢×٠٧󰂓+((٥٩٠٢)×٣٩)٥٩×𞸔=٠٠٠٣+٥٢٣٣+٥٧٩٦=٠٠٣٣١𞸔=٠٠٣٣١٥٩=٠٤١.٢٢٢

وكما ذكرنا من قبل: 𞸔+𞸔=٣٦٢،١٢ إذن: 𞸔=٣٦٢٠٤١=٣٢١.١

بعض القوى التي تؤثِّر على الأجسام لا تُعتبَر متغيِّرة عادةً. على سبيل المثال، لا يختلف وزن الجسم عادةً. من الناحية العملية، إذا تحرَّك الجسم مسافة كبيرة بعيدًا عن الأرض، فسيختلف وزنه. أيضًا، إذا تمَّت تجزئة جسم، فسيُطرح وزن الأجزاء التي أُزيلت من الجسم من وزن الجسم. ولا نتناول أيًّا من هاتين الحالتين في هذا الشارح.

عندما تؤثِّر قوى ردِّ فعلٍ أو قوى شدٍّ متعددة على جسم جاسئ ممتدٍّ، فإن مقدار هذه القوى يمكن أن يتغيَّر فقط بتغيُّر موضع النقطة التي تؤثِّر عندها القوة على الجسم.

انظر إلى القوى المؤثِّرة على الجسم المنتظم في الشكل التالي:

تؤثِّر قوَّتا ردِّ فعلٍ على الجسم. لكي يكون الجسم في حالة اتزان انتقالي، يجب أن يكون مجموع قوى ردِّ الفعل هو نفسه مجموع وزن الجسم 󰄮𞸅 والقوة المؤثِّرة لأسفل 󰄮󰄮𞹟. ولا بد أن يكون هذا صحيحًا عند أيِّ نقطة يؤثِّر منها 󰄮󰄮𞹟.

لكي يكون الجسم في حالة اتزان دوراني، ما لم يكن 󰄮󰄮𞹟 يؤثِّر عند مركز كتلة الجسم، لا بد أن يكون 󰄮𞸓𞸀 غير مساوٍ لـ 󰄮𞸓𞸁. إذا كانت النقطة التي يؤثِّر عندها 󰄮󰄮𞹟 مختلفة، فسيختلف كلٌّ من 󰄮𞸓𞸀 وَ󰄮𞸓𞸁. كلما زادت المسافة 󰄮󰄮𞹟 من 𞸀 لا بد أن يقلَّ مقدار 󰄮𞸓𞸀، ولا بد أن يزيد مقدار 󰄮𞸓𞸁 ليكون الجسم في حالة اتزان دوراني.

بتغيُّر موضع النقطة التي تؤثِّر عندها قوةٌ ما على جسم، ومقارنة العزوم حول نقطة على الجسم عندما تؤثِّر القوة عليه عند نقاط مختلفة، يمكن تحديد موضع النقطة التي يؤثِّر عندها وزن الجسم، وكذلك مقدار الوزن.

فلننظر الآن إلى مثال تؤثِّر فيه قوة على الجسم عند نقاط مختلفة.

مثال ٤: العزوم المتوازنة

𞸀𞸁 قضيب غير منتظم طوله ٧٧ سم يرتكز في وضع أفقي على حامل يبعُد ٢٦ سم عن الطرف 𞸀. ظلَّ القضيب في حالة اتزان بعد تعليق وزن قدره ١٦ نيوتن عند الطرف 𞸀، ووزن آخَر قدره ٢ نيوتن عند الطرف 𞸁. إذا تغيَّرت المسافة بين الحامل والطرف 𞸀 لتصبح ٢٣ سم، فإن القضيب يظلُّ في حالة اتزان من خلال تعليق وزن قدره ١٨ نيوتن عند الطرف 𞸀 فقط. أوجد الوزن 𞸅 للقضيب، والمسافة 𞸎 بين خطِّ عمل وزن القضيب والنقطة 𞸀. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يمكن تمثيل ما ذُكِر في السؤال باختصار في الشكل التالي، الذي يوضِّح نظامَين للقضيب. هذا القضيب في حالة اتزان في كلا النظامَين:

عند النقطة التي تؤثِّر عليها قوة ردِّ الفعل، نحصل على ردِّ الفعل من العلاقة: 𞸓=٨١+𞸅، لكن 𞸅 غير معلوم، وكذلك 𞸎. لا يمكن تحديد هذين المجهولين بشكل منفرد من خلال تناول كلِّ نظام على حدة، ولكن فقط من خلال مقارنة كلا النظامَين.

في كلتا الحالتين، يكون القضيب في حالة اتزان، وبذلك تكون محصِّلة العزوم حول أيِّ نقطة على القضيب تساوي صفرًا في كلا النظامَين. لنفكِّر الآن في محصِّلة العزوم حول 𞸀 لكلا النظامَين.

في حالة النظام الذي يتضمَّن قوًى مؤثِّرة عند كلٍّ من 𞸀 وَ𞸁، تُعطى العزوم حول 𞸀 بواسطة: (٦٢(٨١+𞸅))𞸎𞸅٢(٧٧)=٠. ويمكن إعادة ترتيب ذلك على الصورة: ٨٦٤+٦٢𞸅=𞸎𞸅+٤٥١٤١٣=𞸎𞸅٦٢𞸅.

أما في حالة النظام الذي لا يتضمَّن سوى قوة مؤثِّرة فقط عند 𞸀، تُعطى العزوم حول 𞸀 بواسطة: (٣٢(٨١+𞸅))𞸎𞸅=٠.

ويمكن إعادة ترتيب ذلك على الصورة: ٤١٤=𞸎𞸅٣٢𞸅.

وبما أن محصِّلة العزوم حول 𞸀 لكلا النظامَين تساوي صفرًا، فلا بد أنها متساوية أيضًا، لذا: ٤١٣+٦٢𞸅𞸎𞸅=٤١٤+٣٢𞸅𞸎𞸅.

يمكن إعادة ترتيب ذلك لجعل 𞸅 في طرف مستقلٍّ من المعادلة كما يلي:

نطرح 𞸎𞸅 من كلا طرفَي المعادلة لنحصل على: ٤١٣+٦٢𞸅=٤١٤+٣٢𞸅.

نطرح ٣١٤ من طرفَي المعادلة لنحصل على: ٦٢𞸅=٠٠١+٣٢𞸅.

نطرح ٣٢𞸅 من كلا طرفَي المعادلة لنحصل على: ٣𞸅=٠٠١𞸅=٠٠١٣.

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين: 𞸅=٣٣٫٣٣.

ينصُّ السؤال على أنه في حالة النظام الذي لا يتضمَّن سوى قوة مؤثِّرة عند 𞸀. تكون المسافة بين الموضع الذي يؤثِّر عنده وزن القضيب والطرف 𞸀 هي 𞸎 في كلتا الحالتين. لتحديد 𞸎، يمكن أن تُؤخَذ العزوم حول النقطة التي تؤثِّر عليها قوة ردِّ الفعل. المسافة بين هذه النقطة والنقطة التي يؤثِّر عليها وزن القضيب هي 𞸐، نحصل عليها من العلاقة: (٣٢×٨١)=𞸐󰂔٠٠١٣󰂓٤١٤=𞸐󰂔٠٠١٣󰂓٤١٤󰂔٠٠١٣󰂓=𞸐=٢٤٫٢١.

المسافة من 𞸀 إلى النقطة التي يؤثِّر عندها وزن القضيب نحصل عليها من: 𞸎=٣٢+٢٤٫٢١=٢٤٫٥٣.

النقاط الرئيسية

  • القوى المتوازية التي تؤثِّر على جسم جاسئ في حالة اتزان يجب إما أن تؤثِّر بموازاة طول الجسم؛ بحيث تتقاطع مع مركز كتلته، أو أن تؤثِّر عموديًّا على هذا الاتجاه.
  • لا بد أن تساوي القوة المحصِّلة ومحصِّلة العزوم الناتجة عن القوى المتوازية صفرًا ليكون الجسم في حالة اتزان.
  • تعتمد قيم قوى الشدِّ أو ردِّ الفعل المتعدِّدة التي تؤثِّر على جسم جاسئ في حالة اتزان على مسافاتها من مركز كتلة الجسم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.