شارح الدرس: المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية الرياضيات

مثال ١: إيجاد قيمة المشتقة الثانية للمعادلتين بارامتريتين

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

الخطوة الأولى في إيجاد المشتقة الثانية لهاتين المعادلتين البارامتريتين هي إيجاد المشتقة الأولى. ويُمكننا فعل ذلك باستخدام الصيغة:

بدايةً، يُمكننا اشتقاق بالنسبة إلى . وبما أن كثيرة حدود بدلالة ، إذن نستخدم اشتقاق كثيرة الحدود. نبدأ بضرب كلَّ حدٍّ في أس الخاص به، ثم نطرح واحدًا من أس . وهذا يُعطينا:

وبالمثل، علينا أيضًا اشتقاق بالنسبة إلى . وهذا يُعطينا:

بالتعويض بهذين الناتجين في صيغة المشتقة الأولى، نحصل على:

نحن الآن مستعدون لاستخدام صيغة المشتقة الثانية، وهي كالآتي:

لقد أوجدنا بالفعل ، إذن كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد مشتقة بالنسبة إلى . من خلال الاشتقاق، نحصل على:

وبهذا نكون قد أوجدنا جميع أجزاء معادلة المشتقة الثانية، ويُمكننا التعويض بهذه الأجزاء، وهو ما يُعطينا الحل:

مثال ٢: إيجاد قيمة المشتقة الثانية للمعادلات البارامترية عند نقطة مُعطاة

إذا كان ، ، فأوجد ، عندما يكون .

الحل

بما أننا نحاول إيجاد المشتقة الثانية لـ بالنسبة إلى ؛ حيث ، على الصورة البارامترية، إذن يُمكننا استخدام المعادلة الآتية:

يُمكننا أن نبدأ باشتقاق ، بالنسبة إلى . باستخدام اشتقاق كثيرة الحدود، نحصل على: وعلى:

وباستخدام هذين الناتجين، نجد أن:

بعد ذلك، علينا اشتقاق بالنسبة إلى . وعندما نفعل ذلك، نحصل على:

نحن الآن مستعدون لإيجاد . بالتعويض بما أوجدناه في الصيغة، نحصل على:

والآن كلُّ ما علينا فعله هو إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند النقطة المُعطاة . وعندما نفعل ذلك، نتوصل إلى الحل:

مثال ٣: إيجاد قيمة المشتقة الثانية لدالة معرَّفة بمعادلتين بارامتريتين باستخدام الاشتقاق الضمني

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

في هذا السؤال، يمكننا أن نرى أن المعادلة البارامترية الثانية المُعطاة هي . لكي نُوجِد مشتقة هذه المعادلة، يمكننا تربيع طرفَي المعادلة ثم الاشتقاق، أو استخدام الاشتقاق الضمني فقط. سنتناول هاتين الطريقتين لحل هذا السؤال.

لكي نُوجِد المشتقة الثانية لمعادلات بارامترية، علينا استخدام الصيغة الآتية:

تتطلَّب هذه الصيغة المشتقة الأولى، التي يمكن إيجادها باستخدام الصيغة:

يمكننا البدء باشتقاق بالنسبة إلى :

الخطوة التالية هي اشتقاق بالنسبة إلى . وكما ذكرنا من قبل، تُوجَد طريقتان لإجراء ذلك. نبدأ بالاشتقاق الضمني، ثم نعرض بعد ذلك الطريقة الأخرى.

الطريقة الأولى:

عندما ننظر إلى المعادلة ، قد نلاحظ أن الاشتقاق يكون أسهل إذا كتبناها هكذا: . ومن ثمّ، يمكننا تطبيق الاشتقاق الضمني بالنسبة إلى ، ونحصل من ذلك على:

يمكننا إعادة ترتيب المعادلة السابقة لجعل المتغيِّر التابع:

ما زال الحد الذي يتضمَّن موجودًا، ولكن ليست تلك بمشكلة؛ حيث يكافئ هذا الحد الطرف الأيمن للمعادلة الأصلية. من ثَمَّ، نحتاج ببساطة إلى استخدام التعويض في المعادلة للحصول على:

نتناول الآن الطريقة الأخرى التي تشرح كيفية اشتقاق هذه المعادلة البارامترية.

الطريقة الثانية:

نبدأ بتربيع طرفَي المعادلة البارامترية، ثم القسمة على ٣، وبذلك تصبح معادلة هي:

نُوجِد الآن المشتقة بالنسبة إلى ، لنحصل على:

يمكننا ملاحظة أننا حصلنا على نفس الحل باستخدام الطريقتين. بذلك نكون مستعدين لاستكمال الحل. الخطوة التالية هي قسمة على لنحصل على:

بعد ذلك، علينا اشتقاق بالنسبة إلى . وبذلك نحصل على:

لدينا الآن جميع مكوِّنات صيغة المشتقة الثانية. ويمكننا التعويض بها والتبسيط للحصول على الحل:

مثال ٤: إيجاد المشتقة الثانية لدالة مُعرَّفة بمعادلتين بارامتريتين

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

لحلِّ هذا السؤال، علينا أولًا إيجاد . يُمكننا استخدام الصيغة:

ولنتمكَّن من إيجاد ، علينا إيجاد ، . يُمكننا فكُّ الأقواس المحتوية على ذوات الحدَّيْن في ، لنحصل على:

ثم نشتقهما بالنسبة إلى لنحصل على:

باستخدام ما أوجدناه، يُمكننا القول إن:

ولإيجاد المشتقة الثانية، علينا اشتقاق بالنسبة إلى . لكي نفعل ذلك، علينا استخدام قاعدة القسمة للاشتقاق. تنصُّ قاعدة القسمة على أنه إذا كانت لدينا دالة على الصورة ، فإننا نُوجِد مشتقتها باستخدام:

في هذه الحالة، ، . إذن ، . بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة لدينا، نحصل على:

يُمكننا تبسيط البسط لنحصل على:

الآن، نحن على استعداد لإيجاد . بالتعويض في الصيغة، يصبح لدينا:

لكي نُوجِد حلَّ المسألة، كلُّ ما علينا فعله هو ضرب في . وعندما نفعل ذلك، نَتوصِل إلى الحلِّ: