في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف ندرس حركة جسيم على المستويات الأفقية والمستويات المائلة الخشنة مقابل قوة الاحتكاك.
القوة المحصلة التي تؤثر على جسم في حالة اتزان على سطح أفقي تساوي صفرًا. تؤثر قوتان على الجسم: وزنُه، ، وقوةُ رد الفعل العمودي الناشئة عن السطح، ، كما هو موضح في الشكل الآتي.
يمكننا أن نحصل على مقدار القوة بالعلاقة: حيث هي كتلة الجسم، هي عجلة الجاذبية.
تؤثر القوة رأسيًّا لأسفل. وتؤثر القوة عموديًّا على السطح. بالنسبة إلى جسم يرتكز على سطح أفقي، تؤثر القوة رأسيًّا لأعلى. وبالنسبة إلى جسم غير معلق في حالة اتزان على سطح أفقي، نجد أن مقدارَيِ القوتين ، متساويان.
يمكن أن تؤثر قوة أفقية على جسم. إذا كان مقدار أقل من أو يساوي قيمة معينة، تُعرف بالاحتكاك النهائي، فسيظل الجسم في حالة سكون. ويرجع ذلك إلى قوة الاحتكاك السكوني، ، التي تؤثر في الاتجاه المضاد للقوة . لكن عندما يكون مقدار أكبر من مقدار الاحتكاك النهائي، سيتحرك الجسم في اتجاه القوة .
يمكننا أن نحصل على مقدار قوة الاحتكاك، ، بين جسم يتحرك على سطحٍ ما والسطح الذي يتحرك عليه هذا الجسم بالعلاقة: حيث يُسمى معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والسطح.
يشبه هذا معامل الاحتكاك السكوني، إلى حد كبير، لكنه ينطبق على الأجسام المتحركة.
بالنسبة إلى السطح الأفقي، نجد أن: ومن ثم، فإن:
دعونا نلقِ نظرة على مثال نوجد فيه معامل الاحتكاك الحركي بين جسم وسطح أفقي.
مثال ١: حساب معامل الاحتكاك لجسم يتحرك على مستوًى أفقي خشن
يتحرَّك جسم كتلته ٢٨ كجم على مستوًى أفقي بعجلة مقدارها ٢٫٢ م/ث٢. يخضع لقوة تؤثِّر عليه مقدارها ١٥٥ نيوتن، اتجاهها مُعطًى في الشكل. احسب معامل الاحتكاك الحركي، لأقرب منزلتين عشريتين. عجلة الجاذبية الأرضية .
الحل
يوضح الشكل الآتي القوى المؤثرة على الجسم.
تعتمد قوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم على قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم، وهي . وتعتمد قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم على القوة التي يؤثر بها الجسم على السطح. تنشأ القوة التي يؤثر بها الجسم على السطح بسبب وزنه. تؤثر أيضًا على الجسم مركبة لقوة مقدارها ١٥٥ نيوتن في الاتجاه المضاد لوزن الجسم، رأسيًّا لأعلى.
باعتبار أن القوة المؤثرة رأسيًّا لأسفل موجبة، فإن مقدار مجموع وزن الجسم والمركبة المؤثرة رأسيًّا لأعلى يُعطى بواسطة:
إذن، فإن مقدار القوة هو:
باستخدام الصيغة: نعلم أن مقدار قوة الاحتكاك هو:
ويمكن إيجاد مقدار قوة الاحتكاك من خلال مقدار المركبة الأفقية للقوة المؤثرة على الجسم والقوة المحصلة المؤثرة على الجسم.
مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الجسم يساوي حاصل ضرب كتلة الجسم ومقدار عجلة الجسم، وبذلك، فإن:
باعتبار أن اتجاه الحركة موجب، نجد أن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم هي:
فبالتالي:
بعد أن عرفنا قوة الاحتكاك، يمكننا إيجاد معامل الاحتكاك، ، على النحو التالي:
يمكننا إيجاد قيمة بجعله المتغير التابع للمعادلة:
وبتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، فإنه يساوي ٠٫٢٩.
يمكن أن تؤثر قوة الاحتكاك على جسم يتحرك على سطح خشن. ويمكن أن تؤثر قوة الاحتكاك أيضًا على جسم في حالة سكون على سطح خشن. نستطيع الربط بين معامل الاحتكاك الحركي، ، ومعامل الاحتكاك السكوني، ، من خلال المتباينة التالية:
يمكننا الحصول على قوة الاحتكاك المؤثرة على جسم على سطح خشن من خلال:
إذا كان: إذن، بالنسبة إلى قوة أفقية مقدارها تؤثر على جسم، بحيث نجد أن تتجاوز قليلًا، وهو ما يجعل الجسم يبدأ في التحرك، فإن: وهو ما يعني أن الجسم سيبدأ الحركة من حالة السكون في الاتجاه المضاد لاتجاه القوة المؤثرة. لم نلاحظ حدوث ذلك على الإطلاق. وذلك لأن معامل الاحتكاك الحركي دائمًا ما يكون أقل من معامل الاحتكاك السكوني.
يمكننا تقدير العلاقة بين معامل الاحتكاك السكوني ومعامل الاحتكاك الحركي من خلال الصعوبة الملحوظة عند دفع جسم في حالة سكون إلى النقطة التي يبدأ عندها في التحرك مقارنةً بالصعوبة التي نلاحظها عند دفع الجسم للحفاظ على حركته.
دعونا نتناول الآن مثالًا يتضمن معاملَيْ الاحتكاك السكوني والحركي.
مثال ٢: العمليات الحسابية التي تتضمن الاحتكاك السكوني والحركي على مستوًى أفقي خشن
جسم كتلته كجم وُضِعَ على مستوًى أفقي خَشن. معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى ، ومعامل الاحتكاك الحركي . هناك قوة تؤثِّر على الجسم فتجعله على وشك الحركة، وخط عملها يصنع زاوية قياسها مع الأفقي. إذا زاد مقدار القوة من إلى ، يبدأ الجسم في الحركة بعجلة م/ث٢. أوجد ، ، علمًا بأن عجلة الجاذبية .
الحل
يوضح الشكل الآتي القوى المؤثرة على الجسم.
عندما يكون الجسم في حالة اتزان، وتؤثر عليه القوة ، فإن مقدار قوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم يساوي المركبة الأفقية للقوة . وبهذا، نجد أن:
أصبح الجسم على وشك الحركة، ومن ثم، فإن: حيث مقدار قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم.
يمكننا إيجاد تعبير لـ بإعادة ترتيب تعبير قوة الاحتكاك المُعبَّر عنها بدلالة على النحو التالي: في هذه الحالة، لا تساوي وزن الجسم، حيث إن لها مركبة رأسية لأعلى تقلل من القوة المؤثرة على السطح الذي يرتكز عليه الجسم، وهو ما يقلل من قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم.
القوى الرأسية التي تؤثر على الجسم هي وزن الجسم لأسفل، ورد الفعل على الجسم لأعلى، والمركبة الرأسية للقوة لأعلى. بمساواة القوى الرأسية لأسفل بالقوى الرأسية لأعلى، نحصل على:
بعد ذلك، نعوض بالتعبير الخاص بـ الذي هو بدلالة لنجد أن:
عندما يزداد مقدار إلى ، فإن قوة رد الفعل العمودي تؤدي إلى تغير المقدار؛ حيث تزداد القوة المؤثرة على الجسم لأعلى، كما هو موضح في الشكل الآتي.
بمساواة القوى الرأسية لأسفل بالقوى الرأسية لأعلى المؤثرة على الجسم، نجد أن: ويمكن التعبير عن بدلالة بإعادة الترتيب كما يلي:
عندما يزداد مقدار إلى ، يتحرك الجسم أفقيًّا بعجلة م/ث٢.
وفقًا للقانون الثاني لنيوتن للحركة، وهو ، فإن مقدار القوة (المحصلة) الأفقية التي تؤثر على الجسم هو:
وقوة الاحتكاك هي:
مقدار القوة المحصلة الأفقية يساوي مقدار المركبة الأفقية للقوة ناقص مقدار قوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم، وهذا يعطينا:
يمكننا إعادة ترتيب هذا التعبير لإيجاد المركبة الأفقية للقوة ، وهذا يعطينا:
بعد ذلك، نعوض بقيمة التي حصلنا عليها لنجد أن:
إذا كان الجسم يرتكز على مستوًى مائل، فإن الشكل الآتي يوضح قوة رد الفعل العمودي، ، المؤثرة على الجسم.
إذا لم تكن هناك حركة في الاتجاه العمودي على المستوى، فإن مقدار قوة رد الفعل يساوي مركبة الوزن العمودي على المستوى، : حيث هي زاوية ميل السطح على الأفقي.
يوضح الشكل الآتي محصلة ووزن الجسم على صورة القوة .
يكون اتجاه لأسفل السطح. ويوضح الشكل الآتي كيف يمكننا إيجاد مقدار .
نرى أن:
إذا كان السطح المائل خشنًا، فإن قوة الاحتكاك تؤثر على الجسم في اتجاه موازٍ للسطح، في الاتجاه المضاد للقوة المحصلة المؤثرة على الجسم.
دعونا نلقِ نظرة الآن على مثال يتحرك فيه الجسم على سطح مائل خشن.
مثال ٣: العمليات الحسابية التي تتضمن جسمًا على مستوًى مائل خشن
جسم كتلته كجم وُضع على مستوًى يميل على الأفقي بزاوية قياسها . أثرت قوة مقدارها نيوتن على الجسم في اتجاه خط أكبر ميل لأعلى المستوى. نتيجةً لذلك، تحرك الجسم بعجلة منتظمة م/ث٢ في اتجاه أعلى المستوى. إذا قلَّ مقدار القوة المؤثِّرة على الجسم إلى النصف مع الحفاظ على اتجاهها الأصلي، فسيتحرك الجسم إلى أسفل المستوى بعجلة م/ث٢. إذا كانت مقاومة المستوى المضادة لحركة الجسم تساوي نيوتن في كلتا الحالتين، فأوجد قيمتَيْ ، لأقرب منزلتين عشريتين. .
الحل
يوضح الشكل الآتي القوى المؤثرة على الجسم قبل تغيُّر مقدار القوة المؤثرة على الجسم. وعجلة الجسم موضحة باللون الأحمر.
عندما يتحرك الجسم لأعلى في اتجاه موازٍ للمستوى، يمكننا إيجاد مقدار القوة المحصلة الموازية للمستوى كما يلي:
يوضح الشكل الآتي القوى المؤثرة على الجسم بعد تغيُّر مقدار القوة المؤثرة على الجسم. وعجلة الجسم موضحة باللون الأحمر.
عندما يتحرك الجسم لأسفل في اتجاه موازٍ للمستوى، فإن قوة الاحتكاك تؤثر لأعلى في اتجاه موازٍ للمستوى، حيث إن قوة الاحتكاك تؤثر في الاتجاه المضاد لاتجاه حركة الجسم. ونحصل على مقدار القوة المحصلة المؤثرة لأسفل في اتجاه موازٍ للمستوى كما يلي:
في كلتا الحالتين، نعلم أن العجلة هي نفسُها، وهي . بما أن ، فهذا يعني أن القوة المؤثرة لأعلى والقوة المؤثرة لأسفل لهما المقدار نفسه، لكنهما تؤثران في اتجاهين متضادين، ومن ثم، فإن:
بعد ذلك، نضيف ما يلي إلى كلا طرفي المعادلة: لنحصل على:
لقد عرفنا أن:
بالتعويض بقيمة التي حصلنا عليها، نجد أن:
يمكننا إيجاد قيمة كما يلي:
وبتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أنها تساوي ١٫٤١ م/ث٢.
دعونا نلخص الآن ما تعلمناه في هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- مقدار قوة الاحتكاك، ، بين جسم يتحرك على سطحٍ ما والسطح الذي يتحرك عليه هذا الجسم هو: حيث هو معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والسطح.
- القوة الناتجة عن الاحتكاك الحركي على جسم متحرك تؤثر في الاتجاه المضاد لحركة الجسم.
- القوة الناتجة عن الاحتكاك السكوني على جسم في حالة سكون تؤثر في الاتجاه المضاد للقوة المحصلة المؤثرة على الجسم.
- يمكن الربط بين معامل الاحتكاك الحركي، ، ومعامل الاحتكاك السكوني، ، بالمتباينة التالية:
- القوة المحصلة المؤثرة على جسم يرتكز على مستوًى مائل والناتجة عن وزنه وقوة رد الفعل هي: حيث هي كتلة الجسم، هي عجلة الجاذبية، هي الزاوية التي يصنعها المستوى مع الأفقي.
- إذا أثرت قوة على جسم يتحرك على مستوًى مائل في اتجاه لا يوازي المستوى، فإن مجموع مركبة القوة المؤثرة عموديًّا على المستوى ووزن الجسم وقوة رد الفعل العمودي يساوي صفرًا. وبذلك، فإن مقدار قوة رد الفعل يختلف عما يمكن أن يكون عليه إذا كانت القوة المؤثرة موازية للمستوى.
