شارح الدرس: إيجاد مساحة المثلث باستخدام حساب المثلثات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مساحة مثلث باستخدام طولَي ضلعين وجيب الزاوية المحصورة بينهما.

عرفنا سابقًا خلال دراستنا لعلم الرياضيات كيف نُوجِد مساحة مثلث باستخدام قاعدته وارتفاعه العمودي. ولكن هذه الطريقة محدودة نوعًا ما؛ لأن هذين القياسين قد لا يكونان مُعطيَيْن دائمًا. في هذا الشارح، نزيد معرفتنا من خلال التعرُّف على الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، والتي سنستنتجها الآن.

نفترض أن لدينا المثلث 󰏡𞸁𞸢؛ حيث نُعرِّف طولَي الضلعين 󰏡، 𞸁 والزاوية التي تقع بينهما؛ أي الزاوية 𞸢. نشير إلى هذه الزاوية بالزاوية المحصورة. لدينا المعطيات موضَّحة في الشكل الآتي.

لتطبيق الصيغة المعتادة لمساحة المثلث، علينا معرفة طول قاعدة المثلث وارتفاعه العمودي. نرسم خطًّا من الرأس 𞸁 عموديًّا على القاعدة 󰏡𞸢، ونُسمِّيه 𞸏.

مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢، باستخدام الصيغة المعتادة، هي ا=𞸁𞸏٢. علينا التفكير في كيفية التعبير عن الارتفاع العمودي 𞸏 بدلالة طولَي الضلعين المعلومين والزاوية المعلومة. انظر إلى المثلث 𞸁𞸢𞸃 في الشكل الموضَّح سابقًا. بما أن هذا المثلث قائم الزاوية، إذن يمكننا تطبيق نسبة الجيب للتعبير عن 𞸏 بدلالة 󰏡، 𞸢. بتذكُّر أن نسبة الجيب هي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر، يصبح لدينا: ااا𞸢=𞸢=𞸏󰏡.

بإعادة الترتيب من خلال الضرب في 󰏡، نحصل على: 𞸏=󰏡𞸢.

لقد عبَّرنا عن الارتفاع العمودي للمثلث بدلالة طول الضلع 󰏡 والزاوية 𞸢، بافتراض أن قيمة كلٍّ منهما معلومة. يمكننا الآن التعويض بهذا التعبير عن 𞸏 في الصيغة المعتادة لمساحة المثلث، لنحصل على الصيغة المثلثية: ا=𞸁𞸏٢=𞸁×󰏡𞸢٢=١٢󰏡𞸁𞸢.

تعريف: الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

الصيغة المثلثية لمساحة المثلث هي: ا=١٢󰏡𞸁𞸢، حيث 󰏡، 𞸁 طولا ضلعين في المثلث، 𞸢 قياس الزاوية المحصورة بينهما.

هذه الصيغة صحيحة بالدرجات أو بالراديان، ويمكن تطبيقها على أيِّ مثلث. يمكن إجراء عملية حسابية واضحة لإيجاد الارتفاع العمودي باستخدام حساب المثلثات لكل مثلث، ثم تطبيق الصيغة الأساسية، ولكن الصيغة المثلثية تجمع بين هذه الخطوات، وبذلك تكون أكثر فاعلية.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تطبيق هذه الصيغة عندما نعلم طولَي أيِّ ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما. بالنسبة إلى المثلث 󰏡𞸁𞸢 الموضَّح سابقًا، يمكننا كتابة الصيغة بشكل مكافئ على الصورة: ا=١٢𞸁𞸢󰏡 أو على الصورة: ا=١٢󰏡𞸢𞸁.

ومع ذلك، من الأفضل ألا تهتم كثيرًا بشأن الحروف المستخدَمة، بل اهتم بفهم ما تمثِّله هذه الحروف بدلالة الموضع ذي الصلة للأضلاع والزاوية.

هيا الآن نوضِّح كيفية تطبيق هذه الصيغة لحساب مساحة مثلث بمعلومية طولَي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

مثال ١: استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

󰏡𞸁𞸢 مثلث، فيه 𞸁𞸢=٥١، 󰏡𞸢=٥٢، 𞹟󰌑𞸢=١٤. أوجد مساحة 󰏡𞸁𞸢 لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

من المفيد أن نرسم المثلث 󰏡𞸁𞸢، كما هو موضَّح (ليس بمقياس رسم).

يتضح من الرسم أن المعطيات لدينا هي طولا ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما. نتذكَّر إذن الصيغة المثلثية لمساحة المثلث: ا=١٢󰏡𞸁𞸢.

بالتعويض بطولَي الضلعين اللذين يساويان ١٥ سم و٢٥ سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما الذي يساوي ١٤، وإيجاد القيمة الناتجة، نحصل على: ا=١٢×٥١×٥٢×١٤=٥٧٣١٤٢=٦٠١١٠٫٣٢١١١٠٫٣٢١.

إذن مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢، لأقرب ثلاث منازل عشرية، تساوي ١٢٣٫٠١١ سم٢.

في المثال السابق، كان لدينا طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ولكن في مسائل أخرى، قد يكون لدينا معطيات مختلفة نوعًا ما. قد يكون من الضروري عندئذٍ حساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا المطلوبة باستخدام خواص هندسية أخرى؛ مثل مجموع قياسات زوايا المثلث. نتناول الآن مثالًا على ذلك.

مثال ٢: استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث لإيجاد مساحة مثلث متساوي الساقين

مثلث متساوي الساقين طول ضلعه ٤٨ سم، وزاوية قاعدته ٥٧. أوجد مساحة المثلث، مقرِّبًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

نبدأ برسم المثلث (ليس بمقياس رسم). نتذكَّر أن زاويتَي قاعدة المثلث المتساوي الساقين هما الزاويتان اللتان يكوِّنهما الضلعان المتساويان مع الضلع الثالث.

نتذكَّر الآن الصيغة المثلثية لمساحة المثلث: ا=١٢󰏡𞸁𞸢.

نحن نعلم طولَي ضلعين في المثلث، ويمكننا حساب قياس الزاوية المحصورة بينهما؛ أي الزاوية 𞸢 في الشكل، باستخدام مجموع قياسات زوايا المثلث. بطرح قياسَي الزاويتين الأخريين من ٠٨١، نحصل على: 𞹟󰌑𞸢=٠٨١٥٧٥٧=٠٣.

بالتعويض بطولَي الضلعين اللذين يساويان ٤٨ سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما الذي يساوي ٠٣ في الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، وإيجاد القيمة الناتجة، يصبح لدينا: ا=١٢×٨٤×٨٤×٠٣=١٢×٨٤×٨٤×١٢=٦٧٥.

بما أن هذا عدد صحيح، إذن لا داعي للتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

إذن مساحة المثلث تساوي ٥٧٦ سم٢.

في المسألة السابقة، كانت الزاوية المحصورة هي إحدى الزوايا الخاصة التي يمكن التعبير عن قيم النسب المثلثية الثلاث لها بدلالة خارج القسمة والجذور. واستخدام مثل هذه الزوايا يُمكِّننا من حل مسائل كهذه عندما لا يكون لدينا آلة حاسبة.

نلخِّص الآن الخطوات الأساسية التي علينا اتباعها عند تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث.

كيفية حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة المثلثية

  1. تحديد طولَي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
  2. قد يكون من الضروري حساب أيٍّ من هذه القيم باستخدام المعطيات الأخرى في السؤال؛ مثل استخدام مجموع قياسات زوايا المثلث أو الزوايا التي تقع على خط مستقيم.
  3. التعويض بالقيم في الصيغة: ا=١٢󰏡𞸁𞸢، حيث 󰏡، 𞸁 طولا ضلعين في المثلث، 𞸢 قياس الزاوية المحصورة بينهما.

يمكننا أيضًا العمل بطريقة عكسية عندما يكون لدينا مساحة المثلث وطول أحد أضلاعه وقياس زاوية واحدة فيه لإيجاد طول الضلع الثاني الذي يحصر هذه الزاوية. وهذا يتطلَّب منا تكوين معادلة وحلها، كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٣: إيجاد طول ضلع مثلث بمعلومية مساحته وطول أحد أضلاعه وقياس إحدى زواياه

󰏡𞸁𞸢 مثلث، فيه 󰏡𞸁=٨١، 𞹟󰌑𞸁=٠٦، ومساحته ٤٧󰋴٣ سم٢. أوجد طول 𞸁𞸢 لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نبدأ برسم المثلث 󰏡𞸁𞸢 باستخدام معطيات السؤال.

نتذكَّر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث: ا=١٢󰏡𞸁𞸢.

لعلنا نتذكَّر أن 󰏡، 𞸁 طولا أيِّ ضلعين، 𞸢 الزاوية المحصورة، إذن يمكننا التعبير عن مساحة المثلث لدينا باستخدام الضلعين 󰏡𞸁، 𞸁𞸢 والزاوية المحصورة بينهما التي قياسها ٠٦ على الصورة: ا=١٢×󰏡𞸁×𞸁𞸢×٠٦.

بالتعويض بكلٍّ من ٤٧󰋴٣ عن المساحة، و١٨ عن الضلع 󰏡𞸁، يمكننا تكوين معادلة تتضمَّن مجهولًا واحدًا فقط: ٤٧󰋴٣=١٢×٨١×𞸁𞸢×٠٦.

نتذكَّر أن ٠٦=󰋴٣٢، ونَحُل المعادلة لإيجاد طول الضلع 𞸁𞸢 عن طريق حذف العامل المشترك 󰋴٣ من كلا الطرفين أولًا، ثم عزل 𞸁𞸢: ٩×𞸁𞸢×󰋴٣٢=٤٧󰋴٣٩𞸁𞸢٢=٤٧𞸁𞸢=٤٧×٢٩=٤٤٤٫٦١٤٤٫٦١.

إذن طول الضلع 𞸁𞸢 لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ١٦٫٤٤ سم.

جميع المسائل التي تناولناها حتى الآن تتعلَّق بمثلث واحد. ومن الممكن أيضًا تطبيق الصيغة المثلثية لحساب مساحات أشكال مركَّبة تتضمَّن مثلثات. قد نحتاج إلى استخدام مهارات أخرى؛ مثل حساب المثلثات القائمة الزاوية، لإيجاد الأطوال المجهولة التي نريدها، كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٤: إيجاد مساحة شكل مركَّب باستخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

أوجد مساحة الشكل الآتي لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

يتكوَّن الشكل المركَّب الموضَّح من مثلثين؛ هما المثلث 󰏡𞸁𞸢 والمثلث 󰏡𞸢𞸃. هيا نفكِّر في المثلث 󰏡𞸢𞸃 أولًا. هذا مثلث متساوي الأضلاع، طول أحد أضلاعه ٣٤ م، إذن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي ٠٦. لعلنا نتذكَّر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث: ا=١٢󰏡𞸁𞸢، حيث 󰏡، 𞸁 طولا ضلعين في المثلث، 𞸢 الزاوية المحصورة بينهما. في المثلث 󰏡𞸢𞸃، طول كل ضلع ٣٤ م، وقياس كل زاوية ٠٦، إذن، بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة المثلثية، نحصل على: ا󰏡𞸢𞸃=١٢×٤٣×٤٣×٠٦=٨٧٥٠٦.

بتذكُّر أن ٠٦=󰋴٣٢، يصبح لدينا: ا󰏡𞸢𞸃=٨٧٥×󰋴٣٢=٩٨٢󰋴٣.

نفكِّر بعد ذلك في المثلث 󰏡𞸁𞸢، وهو مثلث قائم الزاوية. لدينا قياس زاوية أخرى، ويمكننا استنتاج أن طول الوتر؛ أي 󰏡𞸢، يساوي ٣٤ م. ولتطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، علينا أولًا حساب طول الضلع الثاني الذي يحصر الزاوية 𞸢، وهو الضلع 𞸁𞸢.

بالنسبة إلى الزاوية 𞸢، يكون الضلع 𞸁𞸢 هو الضلع المجاور. وبتطبيق حساب المثلثات القائمة الزاوية، يصبح لدينا: ااورا٠٦==𞸁𞸢٤٣.

بإعادة الترتيب، نحصل على: 𞸁𞸢=٤٣٠٦=٤٣×١٢=٧١.

يمكننا الآن تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث باستخدام الضلعين 𞸁𞸢، 󰏡𞸢 والزاوية المحصورة 𞸢: ا󰏡𞸁𞸢=١٢×٧١×٤٣×٠٦=٩٨٢󰋴٣٢.

المساحة الكلية للشكل المركَّب تساوي مجموع مساحتَي المثلثين: اااا=󰏡𞸢𞸃+󰏡𞸁𞸢=٩٨٢󰋴٣+٩٨٢󰋴٣٢=٧٦٨󰋴٣٢=٠٤٤٨٫٠٥٧٤٤٨٫٠٥٧.

إذن مساحة الشكل، لأقرب ثلاث منازل عشرية، تساوي ٧٥٠٫٨٤٤ م٢.

في المثال السابق، طبَّقنا الصيغة المثلثية لحساب مساحة مثلث قائم الزاوية باستخدام طولَي ضلعين فيه، وقياس الزاوية المحصورة بينهما، والتي لم تكن الزاوية القائمة. من المثير للاهتمام ملاحظة ما يحدث إذا طبَّقنا الصيغة المثلثية باستخدام الزاوية القائمة والضلعين اللذين يحصُرانها. هذان الضلعان هما قاعدة المثلث وارتفاعه العمودي، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

بتطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، نحصل على: ا=١٢×𞸁×𞸏×٠٩.

بتذكُّر أن ٠٩=١، يُبسَّط ذلك إلى: ا=١٢𞸁𞸏، وهو ما يتفق مع الصيغة المعتادة لمساحة المثلث باستخدام طول قاعدة المثلث وارتفاعه العمودي. بذلك نكون قد أوضحنا أنه عند تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث بهذه الطريقة على مثلث قائم الزاوية، يقودنا ذلك إلى صيغة المساحة التي نعرفها بالفعل.

عَرَفنا كيف يمكننا تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث على الأشكال المركَّبة، ولكن يمكن تطبيقها أيضًا لحساب مساحات بعض الأشكال الهندسية الأخرى؛ مثل متوازيات الأضلاع. إذا كان من الممكن تقسيم هذه الأشكال إلى مثلثات، فيمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد مساحات الأشكال؛ حيث تساوي مجموع مساحات المثلثات التي تتكوَّن منها، وذلك شريطة الحصول على المعطيات اللازمة. نتناول الآن مثالًا نُطبِّق فيه هذه الصيغة لحساب مساحة متوازي أضلاع.

مثال ٥: إيجاد مساحة متوازي أضلاع باستخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

󰏡𞸁𞸢𞸃 متوازي أضلاع، فيه 󰏡𞸁=١٤، 𞸁𞸢=٧٢، 𞹟󰌑𞸁=٩٥١. أوجد مساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃 لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

نبدأ برسم متوازي الأضلاع، كما هو موضَّح.

عند حساب مساحة متوازي الأضلاع، عادةً ما نُطبِّق الصيغة: الاةارعادي=×.

لكن ليس لدينا الارتفاع العمودي لمتوازي الأضلاع هذا. بدلًا من ذلك، نعلم أنه نظرًا لأن 󰏡𞸁𞸢𞸃 متوازي أضلاع، فإن أيَّ قطر من قطرَيْه يقسمه إلى مثلثين متطابقين. هيا نرسم القطر 󰏡𞸢 في الشكل.

بما أن المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸃𞸢 متطابقان، إذن فهما متساويان في المساحة. إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢 الذي نعرف طولَي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ومن ثَمَّ، يمكننا تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث: ا󰏡𞸁𞸢=١٢×١٤×٧٢×٩٥١.

مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف ذلك: 󰏡𞸁𞸢𞸃=٢×󰂔١٢×١٤×٧٢×٩٥١󰂓.

بالتبسيط وإيجاد القيمة الناتجة، نحصل على: 󰏡𞸁𞸢𞸃=١٤×٧٢×٩٥١=٣١٧٫٦٩٣٧٩٣.

وبناءً على ذلك، فإن مساحة متوازي الأضلاع 󰏡𞸁𞸢𞸃 لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٣٩٧ سم٢.

هيا نختم باسترجاع بعض النقاط الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكن حساب مساحة أيِّ مثلث باستخدام طولَي ضلعين فيه وجيب الزاوية المحصورة بينهما.
  • الصيغة المثلثية لمساحة المثلث هي: ا=١٢󰏡𞸁𞸢، حيث 󰏡، 𞸁 طولا ضلعين في المثلث، 𞸢 قياس الزاوية المحصورة بينهما.
  • عندما يكون لدينا مساحة المثلث، وطولا الضلعين 󰏡، 𞸁، وقياس الزاوية 𞸢، يمكن استخدام الصيغة المثلثية لإيجاد طول الضلع الناقص أو قياس الزاوية المجهولة.
  • يمكن استخدام الصيغة المثلثية أيضًا لحساب مساحات الأشكال الهندسية الأخرى أو الأشكال المركَّبة التي يمكن تقسيمها إلى مثلثات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.