شارح الدرس: إيجاد مساحة المثلث باستخدام حساب المثلثات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

مثلث، فيه ، ، . أوجد مساحة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

من المفيد أن نرسم المثلث ، كما هو موضَّح (ليس بمقياس رسم).

يتضح من الرسم أن المعطيات لدينا هي طولا ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما. نتذكَّر إذن الصيغة المثلثية لمساحة المثلث:

بالتعويض بطولَي الضلعين اللذين يساويان ١٥ سم و٢٥ سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما الذي يساوي ، وإيجاد القيمة الناتجة، نحصل على:

إذن مساحة المثلث ، لأقرب ثلاث منازل عشرية، تساوي ١٢٣٫٠١١ سم^٢.

مثال ٢: استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث لإيجاد مساحة مثلث متساوي الساقين

مثلث متساوي الساقين طول ضلعه ٤٨ سم، وزاوية قاعدته . أوجد مساحة المثلث، مقرِّبًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

نبدأ برسم المثلث (ليس بمقياس رسم). نتذكَّر أن زاويتَي قاعدة المثلث المتساوي الساقين هما الزاويتان اللتان يكوِّنهما الضلعان المتساويان مع الضلع الثالث.

نتذكَّر الآن الصيغة المثلثية لمساحة المثلث:

نحن نعلم طولَي ضلعين في المثلث، ويمكننا حساب قياس الزاوية المحصورة بينهما؛ أي الزاوية في الشكل، باستخدام مجموع قياسات زوايا المثلث. بطرح قياسَي الزاويتين الأخريين من ، نحصل على:

بالتعويض بطولَي الضلعين اللذين يساويان ٤٨ سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما الذي يساوي في الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، وإيجاد القيمة الناتجة، يصبح لدينا:

بما أن هذا عدد صحيح، إذن لا داعي للتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

إذن مساحة المثلث تساوي ٥٧٦ سم^٢.

مثال ٣: إيجاد طول ضلع مثلث بمعلومية مساحته وطول أحد أضلاعه وقياس إحدى زواياه

مثلث، فيه ، ، ومساحته سم^٢. أوجد طول لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نبدأ برسم المثلث باستخدام معطيات السؤال.

نتذكَّر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث:

لعلنا نتذكَّر أن ، طولا أيِّ ضلعين، الزاوية المحصورة، إذن يمكننا التعبير عن مساحة المثلث لدينا باستخدام الضلعين ، والزاوية المحصورة بينهما التي قياسها على الصورة:

بالتعويض بكلٍّ من عن المساحة، و١٨ عن الضلع ، يمكننا تكوين معادلة تتضمَّن مجهولًا واحدًا فقط:

نتذكَّر أن ، ونَحُل المعادلة لإيجاد طول الضلع عن طريق حذف العامل المشترك من كلا الطرفين أولًا، ثم عزل :

إذن طول الضلع لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ١٦٫٤٤ سم.

مثال ٤: إيجاد مساحة شكل مركَّب باستخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

أوجد مساحة الشكل الآتي لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

يتكوَّن الشكل المركَّب الموضَّح من مثلثين؛ هما المثلث والمثلث . هيا نفكِّر في المثلث أولًا. هذا مثلث متساوي الأضلاع، طول أحد أضلاعه ٣٤ م، إذن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي . لعلنا نتذكَّر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث: حيث ، طولا ضلعين في المثلث، الزاوية المحصورة بينهما. في المثلث ، طول كل ضلع ٣٤ م، وقياس كل زاوية ، إذن، بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة المثلثية، نحصل على:

بتذكُّر أن ، يصبح لدينا:

نفكِّر بعد ذلك في المثلث ، وهو مثلث قائم الزاوية. لدينا قياس زاوية أخرى، ويمكننا استنتاج أن طول الوتر؛ أي ، يساوي ٣٤ م. ولتطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، علينا أولًا حساب طول الضلع الثاني الذي يحصر الزاوية ، وهو الضلع .

بالنسبة إلى الزاوية ، يكون الضلع هو الضلع المجاور. وبتطبيق حساب المثلثات القائمة الزاوية، يصبح لدينا:

بإعادة الترتيب، نحصل على:

يمكننا الآن تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث باستخدام الضلعين ، والزاوية المحصورة :

المساحة الكلية للشكل المركَّب تساوي مجموع مساحتَي المثلثين:

إذن مساحة الشكل، لأقرب ثلاث منازل عشرية، تساوي ٧٥٠٫٨٤٤ م^٢.

مثال ٥: إيجاد مساحة متوازي أضلاع باستخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث

متوازي أضلاع، فيه ، ، . أوجد مساحة لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

نبدأ برسم متوازي الأضلاع، كما هو موضَّح.

عند حساب مساحة متوازي الأضلاع، عادةً ما نُطبِّق الصيغة:

لكن ليس لدينا الارتفاع العمودي لمتوازي الأضلاع هذا. بدلًا من ذلك، نعلم أنه نظرًا لأن متوازي أضلاع، فإن أيَّ قطر من قطرَيْه يقسمه إلى مثلثين متطابقين. هيا نرسم القطر في الشكل.

بما أن المثلثين ، متطابقان، إذن فهما متساويان في المساحة. إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث الذي نعرف طولَي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ومن ثَمَّ، يمكننا تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث:

مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف ذلك:

بالتبسيط وإيجاد القيمة الناتجة، نحصل على:

وبناءً على ذلك، فإن مساحة متوازي الأضلاع لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٣٩٧ سم^٢.