تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: قانون الجيب الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق قانون الجيب لإيجاد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في المثلثات غير القائمة.

يجب أن نكون على دراية بالفعل بكيفية تطبيق نسب الجيب، وجيب التمام، والظل، في المثلثات القائمة الزاوية. ويُعَدُّ قانون الجيب امتدادًا لهذه الوسائل المثلثية، ويشمل أنواعًا أكثر من المثلثات.

تعريف: قانون الجيب

افترض أن لدينا المثلث 𞸀𞸁𞸢 وأضلاعه المتناظرة 𞸀، 𞸁، 𞸢. المتعارف عليه عند تسمية مثل هذه المثلثات هو أن كلَّ ضلع يُشار إليه بإضافة شرطة للحرف الذي يمثِّل الزاوية المقابلة للضلع.

ينص قانون الجيب على: 𞸀𞸀=𞸁𞸁=𞸢𞸢.

وتوجد صورة أخرى من هذا القانون، وهي المقلوب: 𞸀𞸀=𞸁𞸁=𞸢𞸢.

بعبارة أخرى، ينص قانون الجيب على أن النسبة بين طول أيِّ ضلع وجيب الزاوية المقابلة له متساوية لجميع الأضلاع الثلاثة والزوايا المقابلة لها في أيِّ مثلث. عمليًّا، نستخدم عادةً جزأين من النسبة في العمليات الحسابية، بدلًا من الثلاثة. والصورة الأولى من قانون الجيب؛ حيث تظهر الأضلاع في البسط، مفيدة للغاية عند حساب طول ضلع مجهول، في حين أن صورة المقلوب؛ حيث تظهر جيوب الزوايا في البسط، تكون مفيدة أكثر عند حساب زاوية مجهولة ببساطة؛ لأنها تضمن خطوات إعادة ترتيب أقل في المعادلة للوصول إلى الإجابة.

بما أن قانون الجيب يصف النسبة بين أطوال الأضلاع وجيوب الزوايا المقابلة لها، إذن يمكننا إدراك الحاجة إلى استخدام قانون الجيب بتحديد إذا ما كانت المعطيات في السؤال تتضمَّن طول ضلعين وقياس الزاويتين المقابلتين لهما في مثلث غير قائم الزاوية.

هيا نوضِّح الآن كيفية تطبيق قانون الجيب لحساب طول مجهول في مثلث.

مثال ١: استخدام قانون الجيب لحساب طول مجهول

في الشكل المُعطى، 𞸀𞸁=٣، 𞸁𞸢=𞸀. استخدم قانون الجيب لإيجاد 𞸀. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

من المفيد أن نكتب أطوال الأضلاع المُعطاة على الشكل.

نلاحِظ الآن أن طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ١٣ يساوي ٣ وحدات، وطول الضلع 𞸀 الذي نريد إيجاده يقابل الزاوية التي قياسها ٤٦. يمكننا إذن تطبيق قانون الجيب: 𞸀𞸀=𞸢𞸢.

نعوِّض بالقيم الموجودة على الشكل، ونُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد 𞸀، فنحصل على: 𞸀٤٦=٣١٣𞸀=٣٤٦١٣.

بحساب الناتج ثم تقريبه لأقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب في السؤال، نحصل على: 𞸀=٥٣٢٫٥٤٢٫٥.

طول الضلع 𞸀 لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي ٥٫٢٤ وحدات.

في المثال السابق، أوضحنا كيف نحسب طول ضلع مجهول باستخدام قانون الجيب. والآن، نرى كيفية تطبيق عملية مشابهة لحساب قياس زاوية مجهولة.

مثال ٢: استخدام قانون الجيب لحساب زاوية مجهولة في مثلث

𞸀𞸁𞸢 مثلث؛ حيث 𞸀=٩، 𞸁=٦، 𞹟󰌑𞸀=١٫٨٥. أوجد 𞹟󰌑𞸁 لأقرب جزء من عشرة من الدرجة درجة.

الحل

عند التعامل مع هذا النوع من المسائل، يجب أن نبدأ برسم مثلث باستخدام المعطيات، كما هو موضَّح (غير مرسوم بمقياس رسم).

نلاحِظ أن الضلع الذي طوله ٩ وحدات هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ١٫٨٥، والضلع الذي طوله ٦ وحدات هو الضلع المقابل للزاوية التي نريد إيجاد قياسها. وبما أننا نتعامل مع زوج من الأضلاع والزاويتين المقابلتين، إذن يمكننا تطبيق قانون الجيب. وبما أننا نحسب زاوية، إذن نستخدم الصورة التي يكون فيها جيب الزوايا في البسط:𞸁𞸁=𞸀𞸀.

نعوِّض بالقيم الموجودة على الشكل في قانون الجيب، وبإعادة الترتيب نحصل على: 𞸁٦=١٫٨٥٩𞸁=٦١٫٨٥٩.

نَحُلُّ هذه المعادلة لإيجاد 𞸁 بتطبيق الدالة العكسية للجيب: 𞸁=󰃁٦١٫٨٥٩󰃀=(٥٦٥٫٠)=٠٧٤٫٤٣٥٫٤٣.١١

قياس الزاوية 𞸁، إلى أقرب جزء من عشرة درجة يساوي ٥٫٤٣.

رأينا أمثلة على كيفية حساب طول ضلع وإيجاد قياس زاوية باستخدام قانون الجيب. يمكننا تلخيص هذه العملية في الخطوات الآتية.

كيفية حساب طول ضلع مجهول أو قياس زاوية مجهولة باستخدام قانون الجيب

  1. احرص على رسم شكل يوضِّح جميع الأضلاع والزوايا المعروفة.
  2. حدِّد الأضلاع والزوايا المتقابلة في الشكل.
  3. عوِّض عن الأضلاع والزوايا المعروفة في قانون الجيب، باستخدام الصورة التي تظهر فيها القيمة المجهولة التي تحتاج إلى حسابها في البسط.
  4. أعِدْ ترتيب المعادلة لإيجاد القيمة المجهولة.

عند التعامل مع المثلثات، من المهم أن نعلم أن الضلع الأطول في المثلث يكون دائمًا مقابلًا لأكبر زاوية، والضلع الأقصر يكون دائمًا مقابلًا لأصغر زاوية. نتناول الآن مثالًا تساعدنا فيه هذه المعلومة.

مثال ٣: استخدام قانون الجيب لحساب أقصر ضلع في مثلث

𞸀𞸁𞸢 مثلث؛ حيث 𞹟󰌑𞸀=٧١١١٦٤، 𞹟󰌑𞸁=٦٤٤٧٢K وطول 𞸀=٤٫١٢. أوجد طول أقصر ضلع في المثلث 𞸀𞸁𞸢، مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

نبدأ برسم المثلث 𞸀𞸁𞸢، كما هو موضَّح (غير مرسوم بمقياس رسم).

يطلب منا السؤال إيجاد طول أقصر ضلع في هذا المثلث. لسنا بحاجة إلى حساب طولَي كلٍّ من الضلعين المجهولين ثم تحديد أيُّهما أقصر. فبدلًا من ذلك، علينا أن نتذكَّر أن أقصر ضلع في أيِّ مثلث يقابل الزاوية الصغرى.

نعرف قياسَي الزاويتين 𞸀، 𞸁 ويمكننا إيجاد قياس الزاوية 𞸢 باستخدام مجموع قياسات زوايا المثلث: 𞹟󰌑𞸢=٠٨١٧١١١٦٤٦٤٤٧٢=٧٥٣٤٦٠١.

ربما كان هذا واضحًا بالفعل، لكن أصبح أوضح الآن أن أصغر زاوية في المثلث هي الزاوية 𞸁؛ وبذلك يكون طول الضلع 𞸁 هو الذي نريد إيجاده. المعطيات في هذه المسألة هي طول الضلع 𞸀، والزاوية المقابلة له 𞸀، وقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي نريد حساب طوله. يمكننا إذن تطبيق قانون الجيب: 𞸀𞸀=𞸁𞸁.

وبالتعويض عن الزاويتين المعلومتين والضلع المعلوم، نحصل على: ٤٫١٢󰁓٧١١١٦٤󰁒=𞸁󰁓٧٢٤٦٤󰁒.

وبإعادة ترتب المعادلة لإيجاد 𞸁، نجد أن: 𞸁=٤٫١٢󰁓٧٢٤٦٤󰁒󰁓٧١١١٦٤󰁒=٠٠٥٫٣١٥٫٣١.

إذن طول أقصر ضلع في المثلث 𞸀𞸁𞸢، لأقرب منزلة عشرية، يساوي ١٣٫٥ سم.

في بعض المسائل، قد نحتاج إلى استخدام قانون الجيب مع خواص هندسية أخرى؛ مثل قواعد الزوايا أو حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. نتناول مثالًا نطبِّق فيه جميع هذه الطرق معًا.

مثال ٤: استخدام قانون الجيب لحساب طول ضلع في شكل مركب

في الشكل المُعطى، 𞸁𞸢𞸃𞸑 مستطيل، 𞸁 نقطة تقع على الخط المستقيم 𞸀𞸢. 𞸁𞸢=٥٠٤م، 𞹟󰌑𞸃𞸀𞸢=١٢، 𞹟󰌑𞸑𞸀𞸢=٩٥. أوجد طول 𞸃𞸢، مقرِّبًا الإجابة لأقرب متر.

الحل

هيا نبدأ بكتابة المعطيات الواردة في السؤال على الشكل. يمكننا تقسيم الزاوية ٩٥ إلى ١٢ وهو قياس الزاوية 𞸃𞸀𞸢، والمتبقي هو ٨٣.

بما أن 𞸁𞸢𞸃𞸑 مستطيل، إذن جميع زواياه الداخلية تساوي ٠٩. وطول الضلع 𞸃𞸢 الذي نريد حسابه هو جزء من المثلث القائم الزاوية 𞸃𞸀𞸢، الذي لا نعرف أيًّا من أطوال أضلاعه. علينا حساب طول واحد على الأقل لكي نتمكَّن من حساب 𞸃𞸢؛ لذا، هيا ننظر إلى المثلث الآخر في الشكل، وهو المثلث 𞸀𞸑𞸃. يتشارك هذا المثلث في الضلع 𞸀𞸃 مع المثلث القائم الزاوية الذي نتعامل معه؛ لذا، يمكننا استخدامه لإيجاد طول الضلع المشترك.

نحن نعرف بالفعل معلومات أكثر عن المثلث 𞸀𞸑𞸃، أو يمكننا إيجادها عن طريق إجراء بعض العمليات الحسابية. أولًا، باستخدام الزاويتين المتبادلتين بين مستقيمين متوازيين، نجد أن قياس الزاوية 𞸑𞸃𞸀 هو نفس قياس الزاوية 𞸃𞸀𞸢 وهو ما يساوي ١٢. ويمكننا بعد ذلك حساب قياس الزاوية 𞸀𞸑𞸃 باستخدام مجموع قياسات زوايا المثلث 𞹟󰌑𞸀𞸑𞸃=٠٨١٨٣١٢=١٢١.

ونظرًا لأن 𞸁𞸢𞸃𞸑 مستطيل، فأضلاعه المتقابلة متساوية. إذن 𞸑𞸃=𞸁𞸢=٥٠٤م.

يمكننا الآن استخدام قانون الجيب لحساب طول الضلع 𞸀𞸃. 𞸀𞸃 هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ١٢١ ولدينا الضلع الذي طوله ٤٠٥ م مقابل للزاوية التي قياسها ٨٣. بتطبيق قانون الجيب، نحصل على: 𞸀𞸃١٢١=٥٠٤٨٣.

يمكننا الحل لإيجاد طول 𞸀𞸃 عن طريق الضرب في ١٢١ وإيجاد قيمة: 𞸀𞸃=٥٠٤١٢١٨٣=٩٦٨٫٣٦٥.

حسنًا، لقد حسبنا طول الضلع المشترك 𞸀𞸃، وهو وتر المثلث القائم الزاوية 𞸀𞸢𞸃. الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ١٢هو 𞸃𞸢، ويمكننا إذن تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية باستخدام نسبة الجيب: ١٢=𞸃𞸢𞸀𞸃=𞸃𞸢٩٦٨٫٣٦٥.

بإعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد 𞸃𞸢، وبالتقريب لأقرب متر نحصل على: 𞸃𞸢=٩٦٨٫٣٦٥١٢=٢٧٠٫٢٠٢٢٠٢.

إذن طول الضلع 𞸃𞸢 لأقرب متر يساوي ٢٠٢ م.

يجب إدراك أنه عند تطبيق قانون الجيب نتعامل مع نسبة. والقيم التي نستخدمها لأطوال الأضلاع لا يجب أن تكون بالضرورة أطوال الأضلاع نفسها، لكن يجب أن تكون النسبة بينها هي النسبة نفسها بين أطوال الأضلاع. هيا نتناول مثالًا لا يمكننا فيه حساب أطوال الأضلاع بشكل مباشر، ولكن يمكننا حساب النسبة بينها.

مثال ٥: استخدام قانون الجيب لإيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع في مثلث

𞸀𞸁𞸢 مثلث، فيه ٨𞸀=١١𞸁=٦١𞸢. أوجد نسبة 𞸀𞸁𞸢.

الحل

تذكَّر أن قانون الجيب يخبرنا بأن النسبة بين أطوال الأضلاع وجيب الزوايا المقابلة لها متساوية في المثلث: 𞸀𞸀=𞸁𞸁=𞸢𞸢.

وهذا يشبه إلى حدٍّ ما المعادلة المُعطاة للمثلث 𞸀𞸁𞸢، لكن المعادلة لها معاملات لكلٍّ من حدود الجيب، ولا يوجد فيها مقام. علينا إذن إعادة كتابة المعادلة المُعطاة لتكون على صورة تُحاكي قانون الجيب. للقيام بذلك، يمكننا قسمة المعادلة على المضاعف المشترك الأصغر لـ ٨ و١١ و١٦. وبما أن العدد ٨ عامل من عوامل ١٦، و١١ و١٦ ليس لهما عامل مشترك سوى العدد واحد، إذن المضاعف المشترك الأصغر هو ١١×٦١ (وهو ما يساوي ١٧٦). بالقسمة على ١١×٦١ نحصل على: ٨𞸀١١×٦١=١١𞸁١١×٦١=٦١𞸢١١×٦١.

يمكننا بعد ذلك تبسيط كل جزء من النسبة بحذف العوامل المشتركة، لنحصل على: 𞸀٢٢=𞸁٦١=𞸢١١.

وعند مقارنة هذه الصورة بالصورة العامة لقانون الجيب، التي تمثِّل فيها المقامات أطوال الأضلاع، نجد أن نسبة 𞸀𞸁𞸢 هي ٢٢٦١١١.

لاحِظ أن هذه هي النسبة بين أطوال الأضلاع وليست أطوال الأضلاع نفسها. فإذا كانت أطوال الأضلاع هي ٤٤ و٣٢ و٢٢ وحدة على الترتيب، فستكون النسبة: 𞸀٤٤=𞸁٢٣=𞸢٢٢، وهو ما يمكن تبسيطه بضرب كل جزء من النسبة في ٢ للحصول على نفس المعادلة 𞸀٢٢=𞸁٦١=𞸢١١ التي رأيناها من قبل.

تناولنا عدة أمثلة على كيفية تطبيق قانون الجيب لحساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في المثلثات غير القائمة. في الواقع، ينطبق قانون الجيب أيضًا على المثلثات القائمة الزاوية. المثلث 𞸀𞸁𞸢، وهو قائم الزاوية عند 𞸀.

وبالنظر إلى زوجين فقط من الزوايا والأضلاع، يكون لدينا: 𞸀٠٩=𞸁𞸁.

نتذكَّر أن ٠٩=١، وبذلك تُبسَّط المعادلة إلى: 𞸀=𞸁𞸁.

بعد ذلك نُعيد الترتيب بالضرب أولًا في 𞸁، ثم القسمة على 𞸀، لنحصل على: 𞸀𞸁=𞸁𞸁=𞸁𞸀.

بالعودة إلى المثلث الأصلي، نجد أن الضلع 𞸀 هو وتر المثلث، وأن الضلع المقابل للزاوية 𞸁 هو 𞸁. إذن جيب الزاوية 𞸁 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. ومن ثَمَّ، يُختزل قانون الجيب إلى نسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية. يمكن تطبيق قانون الجيب في المثلثات القائمة الزاوية، لكنه معقَّد دون داعٍ؛ حيث إن المعادلات تُبسَّط إلى المعادلات التي كان بإمكاننا الحصول عليها باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم.

هيا نلخِّص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكن استخدام قانون الجيب لحساب الأطوال وقياسات الزوايا المجهولة في المثلثات غير القائمة عندما تتضمَّن المعطيات من زوج أو أكثر من الأضلاع والزوايا المتقابلة.
  • نرمز للأضلاع المقابلة لزوايا المثلث بإضافة شرطة للحرف الذي يمثِّل الزاوية المقابلة لكل ضلع، وينص قانون الجيب على ما يلي: 𞸀𞸀=𞸁𞸁=𞸢𞸢.
  • عند حساب طول ضلع، علينا استخدام هذه الصورة؛ لأن أطوال الأضلاع موجودة في البسط.
  • تؤدِّي صورة المقلوب من القانون إلى نفس النتيجة، وعلينا استخدام هذه الصورة عند حساب قياس زاوية مجهولة: 𞸀𞸀=𞸁𞸁=𞸢𞸢.
  • قد نحتاج إلى استخدام قانون الجيب مع مهارات أخرى؛ مثل قواعد الزوايا وحساب المثلثات القائمة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.