شارح الدرس: قانون الجيب الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: استخدام قانون الجيب لحساب طول مجهول

في الشكل المُعطى، ، . استخدم قانون الجيب لإيجاد . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

من المفيد أن نكتب أطوال الأضلاع المُعطاة على الشكل.

نلاحِظ الآن أن طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها يساوي ٣ وحدات، وطول الضلع الذي نريد إيجاده يقابل الزاوية التي قياسها . يمكننا إذن تطبيق قانون الجيب:

نعوِّض بالقيم الموجودة على الشكل، ونُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد ، فنحصل على:

بحساب الناتج ثم تقريبه لأقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب في السؤال، نحصل على:

طول الضلع لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي ٥٫٢٤ وحدات.

مثال ٢: استخدام قانون الجيب لحساب زاوية مجهولة في مثلث

مثلث؛ حيث ، ، . أوجد لأقرب جزء من عشرة من الدرجة درجة.

الحل

عند التعامل مع هذا النوع من المسائل، يجب أن نبدأ برسم مثلث باستخدام المعطيات، كما هو موضَّح (غير مرسوم بمقياس رسم).

نلاحِظ أن الضلع الذي طوله ٩ وحدات هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ، والضلع الذي طوله ٦ وحدات هو الضلع المقابل للزاوية التي نريد إيجاد قياسها. وبما أننا نتعامل مع زوج من الأضلاع والزاويتين المقابلتين، إذن يمكننا تطبيق قانون الجيب. وبما أننا نحسب زاوية، إذن نستخدم الصورة التي يكون فيها جيب الزوايا في البسط:

نعوِّض بالقيم الموجودة على الشكل في قانون الجيب، وبإعادة الترتيب نحصل على:

نَحُلُّ هذه المعادلة لإيجاد بتطبيق الدالة العكسية للجيب:

قياس الزاوية ، إلى أقرب جزء من عشرة درجة يساوي .

مثال ٣: استخدام قانون الجيب لحساب أقصر ضلع في مثلث

مثلث؛ حيث ، K وطول . أوجد طول أقصر ضلع في المثلث ، مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

نبدأ برسم المثلث ، كما هو موضَّح (غير مرسوم بمقياس رسم).

يطلب منا السؤال إيجاد طول أقصر ضلع في هذا المثلث. لسنا بحاجة إلى حساب طولَي كلٍّ من الضلعين المجهولين ثم تحديد أيُّهما أقصر. فبدلًا من ذلك، علينا أن نتذكَّر أن أقصر ضلع في أيِّ مثلث يقابل الزاوية الصغرى.

نعرف قياسَي الزاويتين ، ويمكننا إيجاد قياس الزاوية باستخدام مجموع قياسات زوايا المثلث:

ربما كان هذا واضحًا بالفعل، لكن أصبح أوضح الآن أن أصغر زاوية في المثلث هي الزاوية ؛ وبذلك يكون طول الضلع هو الذي نريد إيجاده. المعطيات في هذه المسألة هي طول الضلع ، والزاوية المقابلة له ، وقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي نريد حساب طوله. يمكننا إذن تطبيق قانون الجيب:

وبالتعويض عن الزاويتين المعلومتين والضلع المعلوم، نحصل على:

وبإعادة ترتب المعادلة لإيجاد ، نجد أن:

إذن طول أقصر ضلع في المثلث ، لأقرب منزلة عشرية، يساوي ١٣٫٥ سم.

مثال ٤: استخدام قانون الجيب لحساب طول ضلع في شكل مركب

في الشكل المُعطى، مستطيل، نقطة تقع على الخط المستقيم . ، ، . أوجد طول ، مقرِّبًا الإجابة لأقرب متر.

الحل

هيا نبدأ بكتابة المعطيات الواردة في السؤال على الشكل. يمكننا تقسيم الزاوية إلى وهو قياس الزاوية ، والمتبقي هو .

بما أن مستطيل، إذن جميع زواياه الداخلية تساوي . وطول الضلع الذي نريد حسابه هو جزء من المثلث القائم الزاوية ، الذي لا نعرف أيًّا من أطوال أضلاعه. علينا حساب طول واحد على الأقل لكي نتمكَّن من حساب ؛ لذا، هيا ننظر إلى المثلث الآخر في الشكل، وهو المثلث . يتشارك هذا المثلث في الضلع مع المثلث القائم الزاوية الذي نتعامل معه؛ لذا، يمكننا استخدامه لإيجاد طول الضلع المشترك.

نحن نعرف بالفعل معلومات أكثر عن المثلث ، أو يمكننا إيجادها عن طريق إجراء بعض العمليات الحسابية. أولًا، باستخدام الزاويتين المتبادلتين بين مستقيمين متوازيين، نجد أن قياس الزاوية هو نفس قياس الزاوية وهو ما يساوي . ويمكننا بعد ذلك حساب قياس الزاوية باستخدام مجموع قياسات زوايا المثلث

ونظرًا لأن مستطيل، فأضلاعه المتقابلة متساوية. إذن .

يمكننا الآن استخدام قانون الجيب لحساب طول الضلع . هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ولدينا الضلع الذي طوله ٤٠٥ م مقابل للزاوية التي قياسها . بتطبيق قانون الجيب، نحصل على:

يمكننا الحل لإيجاد طول عن طريق الضرب في وإيجاد قيمة:

حسنًا، لقد حسبنا طول الضلع المشترك ، وهو وتر المثلث القائم الزاوية . الضلع المقابل للزاوية التي قياسها هو ، ويمكننا إذن تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية باستخدام نسبة الجيب:

بإعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد ، وبالتقريب لأقرب متر نحصل على:

إذن طول الضلع لأقرب متر يساوي ٢٠٢ م.

مثال ٥: استخدام قانون الجيب لإيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع في مثلث

مثلث، فيه . أوجد نسبة .

الحل

تذكَّر أن قانون الجيب يخبرنا بأن النسبة بين أطوال الأضلاع وجيب الزوايا المقابلة لها متساوية في المثلث:

وهذا يشبه إلى حدٍّ ما المعادلة المُعطاة للمثلث ، لكن المعادلة لها معاملات لكلٍّ من حدود الجيب، ولا يوجد فيها مقام. علينا إذن إعادة كتابة المعادلة المُعطاة لتكون على صورة تُحاكي قانون الجيب. للقيام بذلك، يمكننا قسمة المعادلة على المضاعف المشترك الأصغر لـ ٨ و١١ و١٦. وبما أن العدد ٨ عامل من عوامل ١٦، و١١ و١٦ ليس لهما عامل مشترك سوى العدد واحد، إذن المضاعف المشترك الأصغر هو (وهو ما يساوي ١٧٦). بالقسمة على نحصل على:

يمكننا بعد ذلك تبسيط كل جزء من النسبة بحذف العوامل المشتركة، لنحصل على:

وعند مقارنة هذه الصورة بالصورة العامة لقانون الجيب، التي تمثِّل فيها المقامات أطوال الأضلاع، نجد أن نسبة هي .

لاحِظ أن هذه هي النسبة بين أطوال الأضلاع وليست أطوال الأضلاع نفسها. فإذا كانت أطوال الأضلاع هي ٤٤ و٣٢ و٢٢ وحدة على الترتيب، فستكون النسبة: وهو ما يمكن تبسيطه بضرب كل جزء من النسبة في ٢ للحصول على نفس المعادلة التي رأيناها من قبل.