شارح الدرس: تساوي وجمع وطرح الأعداد المركَّبة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تَساوي الأعداد المركَّبة

إذا كان العددان المركَّبان ، متساويين، فما قيمة كلٍّ من ، ؟

الحل

تذكَّر أن العددين المركَّبين يتساويان إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيُّلية متساوية. نبدأ بتَساوي الجزأين الحقيقيين؛ حيث لدينا . وبالمثل، عند تَساوي الجزأين التخيُّليين، نحصل على المعادلة (علينا الانتباه هنا حتى لا ننسى الإشارة السالبة). ومن ثَمَّ، ، .

مثال ٢: جمع الأعداد المركَّبة وطرحها

ما ناتج ؟

الحل

يُمكننا الإجابة عن هذا السؤال إمَّا بالتفكير في الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية كلٍّ على حدة أو إمَّا بتجميع الحدود المتشابِهة. وسنوضِّح كلتا الطريقتين. نتناول الطريقة الأولى، وهي التفكير في الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية. نبدأ بالجزء الحقيقي؛ حيث لدينا:

إذن الجزء الحقيقي من الناتج هو . وبالمثل، بالنسبة إلى الجزء التخيُّلي، لدينا:

بوضْع هذين الجزأين معًا، يصبح الناتج .

وباستخدام طريقة تجميع الحدود المتشابِهة، يُمكننا كتابة: وهو ما يُمكن تبسيطه إلى .

مثال ٣: طرح الأعداد المركَّبة

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

نبدأ بحساب عن طريق تجميع الحدود المتشابِهة. أولًا، بالتعويض بقيمتَيْ ، ، نحصل على:

علينا هنا الانتباه إلى الإشارات السالبة. وبضرب كلِّ حدٍّ داخل القوس في ، نحصل على:

بتجميع الحدود المتشابِهة، يُمكن تبسيط ذلك إلى:

بأخْذ الجزء الحقيقي، يصبح لدينا:

هذه الطريقة مناسبة، لكن تعيَّن علينا إجراء عمليات حسابية أكثر من اللازم. وتحديدًا، أوجدنا الجزء التخيُّلي من دون داعٍ لذلك. عند تذكُّر أن الجزء الحقيقي للفرق بين عددين مركَّبين يساوي الفرق بين جزأَيْهما الحقيقيين: يُمكننا تبسيط العملية الحسابية، كما يأتي:

مثال ٤: حلُّ المعادلات البسيطة التي تتضمَّن أعدادًا مركَّبة

أوجد قيمتَيْ ، الحقيقيتين اللتين تحقِّقان المعادلة .

الحل

بالتفكير في الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية، كلٍّ على حدة، نستنتج معادلتين يُمكننا حلُّهما لإيجاد قيمة كلٍّ من ، . نبدأ بالجزء الحقيقي؛ حيث لدينا:

بطرح اثنين من الطرفين، نحصل على:

وبالقسمة على خمسة، نحصل على:

عند أخْذ الجزأين التخيُّليين من كلا الطرفين، يصبح لدينا:

بإضافة خمسة إلى الطرفين، نحصل على: ثم بالقسمة على ثلاثة، يصبح لدينا:

مثال ٥: حلُّ المعادلات التي تتضمَّن أعدادًا مركَّبة

افترض أن ، ؛ حيث ، . إذا كان ، فأوجد ، .

الحل

بالتفكير في الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية، كلٍّ على حدة، نستنتج معادلتين يُمكننا حلُّهما لإيجاد قيمة كلٍّ من ، . نبدأ بالجزء الحقيقي؛ حيث لدينا:

بالتعويض عن ، ، نحصل على المعادلة الأولى:

وبالمثل، نفكِّر في الجزء التخيُّلي، فيصبح لدينا:

بالتعويض بقيمتَيْ ، ، نستنتج المعادلة الثانية:

بإعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع، نحصل على:

وبالتعويض بذلك في المعادلة الأولى، نحصل على:

يُمكننا هنا الضرب فيما بداخل القوس. لكن من الأسهل أن نقسم طرفَيِ المعادلة على أربعة، كما يأتي:

بإضافة اثنين إلى الطرفين ثم التبسيط، نحصل على . وعند التعويض بهذا في معادلة ، نحصل على:

بعد أنْ أوجدنا قيمتَيْ ، ، قد يبدو أننا سنتوقَّف عن الحل. لكنْ يطلب منَّا السؤال إيجاد ، . ومن ثَمَّ، لا يزال علينا التعويض بهاتين القيمتين في معادلتَيْ ، لننتهي من حلِّ السؤال. نبدأ بـ ، فيصبح لدينا:

وبالمثل:

من الأفضل دائمًا أن تتحقَّق من إجابتك. لذا، نطرح من ، فنحصل على ، كما هو متوقَّع.