تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تساوي وجمع وطرح الأعداد المركَّبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُساوي الأعداد المركَّبة، ونجمعها، ونطرحها.

نبدأ باسترجاع تعريف العدد المركَّب.

تعريف: الأعداد المركَّبة

العدد المركَّب عدد على الصورة: 󰏡+𞸁𞸕؛ حيث 󰏡، 𞸁 عددان حقيقيَّان، ويُعرَّف 𞸕 بأنه حلُّ المعادلة: 𞸎=١٢. يُشار إلى مجموعة الأعداد المركَّبة كلِّها بالحرف 𞸪.

بالنسبة إلى العدد المركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، نحدِّد الجزء الحقيقي من 𞸏 ليكون 󰏡، ونكتب: اءا(𞸏)=󰏡.

وبالمثل، نحدِّد الجزء التخيُّلي من 𞸏 ليكون 𞸁، ونكتب: اءا(𞸏)=𞸁.

قبل أن نبدأ في إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركَّبة، علينا أن نفهم ما يعنيه تَساوي عددين مركَّبين. نحن نُعرِّف تَساوي الأعداد المركَّبة بطريقة مماثِلة لكيفية تعريف تَساوي المقادير الجبرية التي تتضمَّن متغيِّرات. على سبيل المثال، إذا كان 𞸎 متغيِّرًا، وكلٌّ من 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 أعدادًا حقيقية، فإن القول بأن المقدارين الجبريين 󰏡+𞸁𞸎، 𞸢+𞸃𞸎 متساويان يُكافئ القول بأن 󰏡=𞸢، 𞸁=𞸃. ونُعرِّف تَساوي الأعداد المركَّبة بطريقة مماثِلة.

تعريف: تَساوي الأعداد المركَّبة

يكون العددان المركَّبان 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١، 𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢ متساويين إذا كان 󰏡=𞸢، 𞸁=𞸃. وعلى العكس، إذا كان 𞸏=𞸏١٢، فإن 󰏡=𞸢، 𞸁=𞸃. على نحو مكافئ، يُمكننا القول إن العددين المركَّبين 𞸏١، 𞸏٢ متساويان إذا كان اءااءا󰁓𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒١٢، واءااءا󰁓𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒١٢، كما يُمكننا أيضًا قول عبارة العكس المكافئة.

غالبًا ما يكون استخدام الصيغة الثانية أكثر سهولة، كما سنرى في بعض الأمثلة الآتية.

مثال ١: تَساوي الأعداد المركَّبة

إذا كان العددان المركَّبان ٧+󰏡𞸕، 𞸁٣𞸕 متساويين، فما قيمة كلٍّ من 󰏡، 𞸁؟

الحل

تذكَّر أن العددين المركَّبين يتساويان إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيُّلية متساوية. نبدأ بتَساوي الجزأين الحقيقيين؛ حيث لدينا ٧=𞸁. وبالمثل، عند تَساوي الجزأين التخيُّليين، نحصل على المعادلة 󰏡=٣ (علينا الانتباه هنا حتى لا ننسى الإشارة السالبة). ومن ثَمَّ، 󰏡=٣، 𞸁=٧.

وكما عرَّفنا تَساوي الأعداد المركَّبة، فإن المبادئ الأساسية لجمع الأعداد المركَّبة وطرحها تُشبِه مثيلاتها في جبر كثيرات الحدود. ولجمع كثيرات الحدود وطرحها، نجمع المعاملات المتناظِرة ونطرحها.

جمع الأعداد المركَّبة وطرحها

بالنسبة إلى العددين المركَّبين 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١، 𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢، فإننا نُعرِّف: 𞸏+𞸏=(󰏡+𞸢)+(𞸁+𞸃)𞸕.١٢

وبالمثل: 𞸏𞸏=(󰏡𞸢)+(𞸁𞸃)𞸕.١٢

وهذا يُكافئ القول بأننا نجمع الأعداد المركَّبة من خلال جمع الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية كلٍّ على حدة.

مثال ٢: جمع الأعداد المركَّبة وطرحها

ما ناتج ٩+(٧+٤𞸕)+(٤٤𞸕)(١+٣𞸕)؟

الحل

يُمكننا الإجابة عن هذا السؤال إمَّا بالتفكير في الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية كلٍّ على حدة أو إمَّا بتجميع الحدود المتشابِهة. وسنوضِّح كلتا الطريقتين. نتناول الطريقة الأولى، وهي التفكير في الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيُّلية. نبدأ بالجزء الحقيقي؛ حيث لدينا: ٩+٧+(٤)١=٧.

إذن الجزء الحقيقي من الناتج هو ٧. وبالمثل، بالنسبة إلى الجزء التخيُّلي، لدينا: ٤+(٤)٣=٣.

بوضْع هذين الجزأين معًا، يصبح الناتج ٧٣𞸕.

وباستخدام طريقة تجميع الحدود المتشابِهة، يُمكننا كتابة: ٩+(٧+٤𞸕)+(٤٤𞸕)(١+٣𞸕)=(٩+٧+(٤)١)+(٤+(٤)٣)𞸕 وهو ما يُمكن تبسيطه إلى ٧٣𞸕.

من الناحية العملية، غالبًا ما نستخدم طريقة تجميع الحدود المتشابِهة. لكن، قد يكون من المُفيد أحيانًا تذكُّر أن هناك طريقة بديلة، كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٣: طرح الأعداد المركَّبة

إذا كان 𞸏=٥+٢𞸕١، 𞸏=٩𞸕٢، فأوجد اءا󰁓𞸏𞸏󰁒١٢.

الحل

نبدأ بحساب 𞸏𞸏١٢ عن طريق تجميع الحدود المتشابِهة. أولًا، بالتعويض بقيمتَيْ 𞸏١، 𞸏٢، نحصل على: 𞸏𞸏=٥+٢𞸕(٩𞸕).١٢

علينا هنا الانتباه إلى الإشارات السالبة. وبضرب كلِّ حدٍّ داخل القوس في ١، نحصل على: 𞸏𞸏=٥+٢𞸕٩+𞸕.١٢

بتجميع الحدود المتشابِهة، يُمكن تبسيط ذلك إلى: 𞸏𞸏=٤+٣𞸕.١٢

بأخْذ الجزء الحقيقي، يصبح لدينا: اءا󰁓𞸏𞸏󰁒=٤.١٢

هذه الطريقة مناسبة، لكن تعيَّن علينا إجراء عمليات حسابية أكثر من اللازم. وتحديدًا، أوجدنا الجزء التخيُّلي من 𞸏𞸏١٢ دون داعٍ لذلك. عند تذكُّر أن الجزء الحقيقي للفرق بين عددين مركَّبين يساوي الفرق بين جزأَيْهما الحقيقيين: اءااءااءا󰁓𞸏𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒،١٢١٢ يُمكننا تبسيط العملية الحسابية، كما يأتي: اءااءااءا󰁓𞸏𞸏󰁒=(٥+٢𞸕)(٩𞸕)=٥٩=٤.١٢

مثال ٤: حلُّ المعادلات البسيطة التي تتضمَّن أعدادًا مركَّبة

أوجد قيمتَيْ 𞸎، 𞸑 الحقيقيتين اللتين تحقِّقان المعادلة ٥𞸎+٢+(٣𞸑٥)𞸕=٣+٤𞸕.

الحل

بالتفكير في الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية، كلٍّ على حدة، نستنتج معادلتين يُمكننا حلُّهما لإيجاد قيمة كلٍّ من 𞸎، 𞸑. نبدأ بالجزء الحقيقي؛ حيث لدينا: ٥𞸎+٢=٣.

بطرح اثنين من الطرفين، نحصل على: ٥𞸎=٥.

وبالقسمة على خمسة، نحصل على: 𞸎=١.

عند أخْذ الجزأين التخيُّليين من كلا الطرفين، يصبح لدينا: ٣𞸑٥=٤.

بإضافة خمسة إلى الطرفين، نحصل على: ٣𞸑=٩ ثم بالقسمة على ثلاثة، يصبح لدينا: 𞸑=٣.

نختم بمثالٍ آخَر أكثر صعوبة نوعًا ما.

مثال ٥: حلُّ المعادلات التي تتضمَّن أعدادًا مركَّبة

افترض أن 𞸏=٤𞸎+٢𞸑𞸕١، 𞸏=٤𞸑+𞸎𞸕٢؛ حيث 𞸎، 𞸑𞹇. إذا كان 𞸏𞸏=٥+٢𞸕١٢، فأوجد 𞸏١، 𞸏٢.

الحل

بالتفكير في الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية، كلٍّ على حدة، نستنتج معادلتين يُمكننا حلُّهما لإيجاد قيمة كلٍّ من 𞸎، 𞸑. نبدأ بالجزء الحقيقي؛ حيث لدينا: اءااءااءا󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒=(٥+٢𞸕).١٢

بالتعويض عن 𞸏١، 𞸏٢، نحصل على المعادلة الأولى: ٤𞸎٤𞸑=٥.

وبالمثل، نفكِّر في الجزء التخيُّلي، فيصبح لدينا: اءااءااءا󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒=(٥+٢𞸕).١٢

بالتعويض بقيمتَيْ 𞸏١، 𞸏٢، نستنتج المعادلة الثانية: ٢𞸑𞸎=٢.

بإعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸎 المتغيِّر التابع، نحصل على: 𞸎=٢𞸑٢.

وبالتعويض بذلك في المعادلة الأولى، نحصل على: ٤(٢𞸑٢)٤𞸑=٥.

يُمكننا هنا الضرب فيما بداخل القوس. لكن من الأسهل أن نقسم طرفَيِ المعادلة على أربعة، كما يأتي: ٢𞸑٢𞸑=٥٤.

بإضافة اثنين إلى الطرفين ثم التبسيط، نحصل على 𞸑=٣١٤. وعند التعويض بهذا في معادلة 𞸎، نحصل على: 𞸎=٢󰂔٣١٤󰂓٢.=٩٢.

بعد أنْ أوجدنا قيمتَيْ 𞸎، 𞸑، قد يبدو أننا سنتوقَّف عن الحل. لكنْ يطلب منَّا السؤال إيجاد 𞸏١، 𞸏٢. ومن ثَمَّ، لا يزال علينا التعويض بهاتين القيمتين في معادلتَيْ 𞸏١، 𞸏٢ لننتهي من حلِّ السؤال. نبدأ بـ 𞸏١، فيصبح لدينا: 𞸏=٤󰂔٩٢󰂓+٢󰂔٣١٤󰂓𞸕=٨١+󰂔٣١٢󰂓𞸕.١

وبالمثل: 𞸏=٤󰂔٣١٤󰂓+٢󰂔٩٢󰂓𞸕=٣١+󰂔٩٢󰂓𞸕.٢

من الأفضل دائمًا أن تتحقَّق من إجابتك. لذا، نطرح 𞸏٢ من 𞸏١، فنحصل على ٥+٢𞸕، كما هو متوقَّع.

النقاط الرئيسية

  • يُمكن تعريف جمع وطرح وتَساوي الأعداد المركَّبة بطريقة مماثِلة لتعريف جمع وطرح وتَساوي كثيرات الحدود.
  • بتطبيق قواعد الجبر المُتعارَف عليها، يُمكننا البدء في التعامل مع الأعداد المركَّبة بشكل أكثر كفاءة.
  • لأيِّ عددين مركَّبين 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١، 𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢:
    • 𞸏١ = 𞸏٢ يكافئ القول بأن أجزاءهما الحقيقية والتخيُّلية متساوية، أو 󰏡=𞸢، 𞸁=𞸃.
    • 𞸏±𞸏=(󰏡±𞸢)+(𞸁±𞸃)𞸕١٢.
    • اءااءااءا󰁓𞸏±𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒±󰁓𞸏󰁒١٢١٢.
    • اءااءااءا󰁓𞸏±𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒±󰁓𞸏󰁒١٢١٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.