شارح الدرس: حلُّ المعادلات الأُسِّية باستخدام خواص الأُسُس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد مجموعة حل المعادلات الأُسِّية

إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

لإيجاد قيمة ، يجب أن نبدأ بإعادة كتابة المعادلة حتى يتكوَّن كلا الطرفين من الأساس نفسه مرفوعًا إلى قوة. الطرف الأيمن من المعادلة هو بالفعل أساس مرفوع لقوة؛ وهو الأساس ٢ مرفوعًا للقوة . لذا، يجب أن نُحدِّد إذا ما كان يمكن أيضًا كتابة الطرف الأيسر من المعادلة على صورة الأساس ٢ مرفوعًا لقوة أو لا. إن أمكننا ذلك، فلن نحتاج إلى إعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة. بل علينا فقط إعادة كتابة الطرف الأيسر.

هيا ننظر إلى القوى الخمس الصحيحة الموجبة الأولى للعدد ٢:

نلاحظ أنه يمكن إعادة كتابة ٣٢ على صورة الأساس ٢ مرفوعًا للقوة ٥. هذا يعني أنه يمكننا ترك الطرف الأيمن من المعادلة كما هو، وإعادة كتابة المعادلة على صورة:

بالنظر إلى المعادلة، يمكننا الآن إيجاد قيمة ؛ لأن الأُسَّين في طرفَي المعادلة يجب أن يكونا متساويين. ومن ثَمَّ، فإن قيمة تساوي ٥.

التحقُّق من الإجابة:

يمكننا التحقُّق من صحة الإجابة بالتعويض بـ ٥ في المعادلة الأصلية عن . بالتعويض بهذه القيمة، نحصل على ، وهو ما يمكن كتابته على صورة ؛ ومن ثَمَّ، فإن إجابتنا صحيحة.

لاحظ أنه يمكننا أيضًا إيجاد قيمة عن طريق أخذ الجذر الخامس لكلا طرفَي المعادلة الأصلية، على الرغم من أن هذه الطريقة ليست مباشِرةً بالقدر نفسه، وتتطلَّب استخدام قاعدتين من قواعد الأسس. أولًا، نحصل على ، ويمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة:

تسمح لنا قاعدة الأس الكسري بإعادة كتابة على صورة ، وبذلك تصبح المعادلة: وتسمح لنا قاعدة القوى بإعادة كتابة على صورة ، وبذلك تصبح المعادلة:

بإعادة كتابة ٢ على صورة ، نحصل على . وبمساواة الأُسَّين، نجد أن ، وبضرب كلا طرفَي في ٥، نحصل على ، وهي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها من قبل.

مثال ٢: حساب قيم مقادير أُسِّية بعد حل معادلات أُسِّية

إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

لإيجاد قيمة ، يجب أن نبدأ بإعادة كتابة على صورة معادلتين منفصلتين:

هيا ننظر أولًا إلى المعادلة . يمكننا بدء حل هذه المعادلة بإعادة كتابتها، فيتكوَّن كلا الطرفين من الأساس نفسه مرفوعًا لقوة. يتكوَّن الطرف الأيمن بالفعل من أساسٍ مرفوعٍ لقوة، وهو الأساس ٨ مرفوعًا للقوة . لذا، علينا أن نُحدِّد إذا ما كان يمكن كتابة الطرف الأيسر أيضًا على صورة الأساس ٨ مرفوعًا لقوةٍ ما أو لا. إذا تَمكَّنا من ذلك، فعلينا إعادة كتابة هذا الطرف فقط، مع الاحتفاظ بالطرف الأيمن كما هو.

بما أن ، إذن يُمكِننا ترك الطرف الأيمن من المعادلة كما هو، وإعادة كتابة المعادلة على صورة:

بمساواة الأُسَّين، نستنتج أن .

هيا ننظر الآن إلى المعادلة . مرةً أخرى، علينا إعادة كتابة هذه المعادلة، حتى يتكوَّن كلا الطرفين من الأساس نفسه مرفوعًا لقوة ما. بما أن و، إذن يمكننا إعادة كتابة المعادلة على صورة: فيتكوَّن كل طرف في المعادلة من الأساس ٢. تسمح لنا قاعدة القوى للأسس بإعادة كتابة على صورة ، وكتابة على صورة ، وبذلك تصبح المعادلة:

وبما أن الأُسَّين في طرفَي المعادلة يجب أن يكونا متساويين، إذن نَعرِف أن .

تذكَّر أننا قد حصلنا على ، باعتباره حل المعادلة . وبما أننا نعرف بالفعل قيمة ، إذن يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة ، لنحصل على أو . بقسمة كلا طرفَي على ٢، نحصل على .

لاحِظ أنه يمكننا أيضًا إيجاد قيمة عن طريق إعادة كتابة على صورة المعادلتين:

لحل المعادلة ، يمكننا الاحتفاظ بالطرف الأيمن كما هو، واستخدام حقيقة أن لإعادة كتابة المعادلة على صورة:

بمساواة الأُسَّين، نستنتج أن . وهذه هي قيمة التي توصَّلنا إليها من قبل.

بعد أن عرفنا قيمة كلٍّ من ، يمكننا التعويض بهما في المقدار والتبسيط: . إذن قيمة تساوي ٥.

مثال ٣: إيجاد مجموعة حل معادلة أُسِّية تتضمَّن أسسًا ذات حدَّيْن

أوجد قيمة التي تُحقِّق المعادلة .

الحل

المطلوب منا هو إيجاد قيمة التي تُحقِّق المعادلة . في الطرف الأيمن من المعادلة، الأساس ٨١ مرفوعًا للقوة . بما أن الأس به حدَّان، إذن فهو أُسٌّ ذو حدَّيْن.

وفي الطرف الأيسر، نجد أن الأساس مرفوع للقوة . بما أن ٨١ و قوتان من قوى العدد ٣، إذن أسهل طريقة هي إعادة كتابة المعادلة، فيكون العدد ٣ هو الأساس في كلا الطرفين.

وبذلك، نحصل على:

بعد ذلك، نستخدم قاعدة القوى للأسس لإعادة كتابة المعادلة على الصورة: ثم نوزِّع الأقواس الموجودة في الأس بالطرف الأيمن، لنحصل على:

بمساواة الأُسَّين، نحصل على المعادلة: ويمكِنُنا الحل لإيجاد قيمة . نطرح ٢٠ من كلا الطرفين للحصول على: ثم نُضيف إلى كلا الطرفين، للحصول على:

وأخيرًا، بقسمة كلا الطرفين على ٥، يمكننا إيجاد قيمة التي تُحقِّق المعادلة . قيمة هي .

مثال ٤: إيجاد مجموعة حل معادلة أُسِّية تتضمَّن أُسسًا ذات حدَّيْن

أوجد قيمة في . قرِّب الناتج لأقرب جزء من عشرة.

الحل

يمكننا إيجاد قيمة في عن طريق إعادة كتابة المعادلة أولًا، حتى يتكوَّن كلا طرفَيْها من الأساس نفسه مرفوعًا لقوةٍ ما. في هذا المثال، نجد أن الأس في كلا الطرفين عبارة عن أُسٍّ ذي حدَّيْن.

بما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة:

بذلك، يتضمَّن كلا طرفَي المعادلة الأساس ٢؛ لذا، ليس علينا إعادة كتابة الطرف الأيسر.

وبعد ذلك، يمكننا استخدام قاعدة القوى للأسس لإعادة كتابة على الصورة ، لنحصل على المعادلة: ثم نوزِّع العدد ٣ الموجود في الأس في الطرف الأيمن، لنحصل على:

بمساواة الأُسَّين ذَوَي الحدَّيْن، نحصل على المعادلة: ومن ثَمَّ، يمكننا الحل لإيجاد قيمة . أولًا، بطرح من كلا الطرفين، نحصل على المعادلة:

ثم بطرح ٦ من كلا الطرفين، نحصل على:

وأخيرًا، بقسمة كلا الطرفين على ٢، يمكننا إيجاد قيمة في . إذن قيمة هي .

التحقُّق من الإجابة:

هيا نتحقَّق الآن من صحة الإجابة. بالتعويض بـ في المعادلة عن ، نحصل على ، وبعد تبسيط الأُس ذي الحدَّيْن في كلا الطرفين، نجد أن . بما أن و، إذن يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة . ومن ثَمَّ، فإن قيمة التي حصلنا عليها لا بد أن تكون صحيحة.

مثال ٥: حل معادلات أُسِّية تتضمَّن قيمة مطلَقة باستخدام قوانين الأسس

أوجد مجموعة حل .

الحل

هيا نبدأ بإعادة كتابة المعادلة ، فيتكوَّن كلا الطرفين من الأساس نفسه مرفوعًا لقوة. يمكننا استخدام حقيقة أن لإعادة كتابة المعادلة على الصورة:

والآن، بعد أن أصبح لدينا الأساس ٢ في كلا الطرفين، يمكننا استخدام قاعدة القوى للأسس لتغيير إلى ، وهو ما يُعطينا المعادلة: وبعد توزيع العدد ٣ الموجود في الأس بالطرف الأيسر، نحصل على:

بما أن الأُسَّين يجب أن يكونا متساويين، فإننا نعلم أن المعادلة لا بد أن تكون صحيحة.

المعادلة هي معادلة قيمة مطلقة؛ لذا، علينا التفكير في حالتين مختلفتين: عندما تكون قيمة موجبة، وعندما تكون سالبة. عندما تكون موجبة، نحصل على المعادلة ، وعندما تكون سالبة، نحصل على المعادلة . يمكن حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة كالآتي:

بحل المعادلتين، يتضح أن يمكن أن يساوي صفرًا أو . ولكن، علينا التعويض بكل قيمة في المعادلة والتبسيط كالآتي؛ للتأكُّد من صحة الإجابة:

بما أن خطأ، و صحيح، إذن نعلم أن فقط هو الذي يقع في مجموعة حل المعادلة ، وليس الصفر. ومن ثَمَّ، فإن مجموعة الحل هي .

مثال ٦: إيجاد مجموعة حل معادلة أُسِّية تتضمَّن أُسسًا ذات حدَّيْن

أوجد مجموعة حل .

الحل

لاحظ أن الأس في كلا طرفَي المعادلة هو . بما أن الأس في أحد الطرفين هو نفس الأس في الطرف الآخر، إذن نعلم أن أحد عناصر مجموعة حل المعادلة يجب أن يساوي ٦. وهذا لأن القيمة ٦ إذا عوَّضنا بها عن تؤدِّي إلى أن يكون الأساس نفسه مرفوعًا للقوة نفسها في كل طرف. نعوِّض بـ ٦ في المعادلة عن ، لنحصل على: ثم نبسِّط ذلك جزئيًّا، لنحصل على:

نفترض أننا عوَّضنا بـ عن بدلًا من ٦. بعد التبسيط الجزئي، نحصل على:

بما أن عدد زوجي، إذن كلٌّ من و٦ مرفوعًا لهذه القوة يُعطينا الناتج نفسه. وهذا يعني أن عنصرًا آخر في مجموعة الحل يجب أن يكون .

يجب أن نتذكَّر أيضًا أن قاعدة الأس الصفري تنص على أن أي أساس مرفوع للقوة صفر يساوي ١. ومن ثَمَّ، فإن أي قيم لـ تجعل الأس مساويًا لصفر تكون أيضًا في مجموعة حل المعادلة . وفي هذه الحالة، لن تكون قيمة الأساس في الطرف الأيمن من المعادلة مهمة. يمكننا حل المعادلة لإيجاد عنصرَي مجموعة الحل الإضافيين كالآتي:

إذن العنصران الإضافيان في مجموعة الحل هما: ٨ و، وبذلك، نحن نعرف الآن مجموعة الحل الكاملة للمعادلة . مجموعة الحل هي .

التحقُّق من الإجابة

يمكننا التحقُّق من أن ٨ و هما بالفعل قيمتان من قيم التي تجعل المعادلة صحيحة من خلال التعويض بهما في المعادلة، ثم التبسيط. نعوِّض بـ ٨ عن ، لنحصل على: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

نعوِّض بـ عن ، لنحصل على: وهو ما يمكن تبسيطه إلى: باستخدام قاعدة الأس الصفري، يمكن تبسيط كلٍّ من و إلى ، وهذا صحيح. إذن كلا العددين ٨ و عنصران في مجموعة الحل.