في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد السرعة اللحظية لجسم عن طريق استخدام المماسات لإيجاد الميل عند نقطة على التمثيل البياني الخاص بالإزاحة مقابل الزمن.
تذكَّر أن السرعة مقياس لمعدل حركة الجسم. يمكن الحصول على مقدار السرعة بإيجاد مقدار السرعة المتجهة أو بقسمة المسافة التي يقطعها الجسم على الزمن المستغرَق لقطع هذه المسافة. هذا يعني أن وحدة السرعة هي وحدة المسافة مقسومة على وحدة الزمن، وعادةً ما تكون مترًا لكل ثانية (m/s):
يوضِّح التمثيل البياني الآتي المسافة بالمتر (على المحور ) مقابل الزمن بالثانية (على المحور ) لجسم يتحرَّك بسرعة ثابتة. وبما أن السرعة ثابتة، إذن المنحنى خط مستقيم.
من هذا الخط المستقيم الموضَّح في التمثيل البياني، يمكننا تحديد سرعة هذا الجسم من خلال حساب ميل هذا الخط:
يمكن تحديد ميل الخط المستقيم بحساب الفرق الرأسي بين نقطتين على الخط، وقسمة ذلك على الفرق الأفقي بين هاتين النقطتين:
كلما كانت قيمة ميل الخط أكبر، كانت سرعة الجسم أكبر. هيا نحسب سرعة الجسم عند النقطة الموضَّحة على طرف المنحنى.
عند النقطة الموضَّحة على المنحنى، تحرَّك الجسم مسافة 20 مترًا لمدة 4 ثوانٍ. بحساب الفرق الأفقي والفرق الرأسي، نحصل على:
ومن ثَمَّ، نجد أن السرعة تساوي 5 m/s.
ليس ضروريًّا أن تتحرَّك جميع الأجسام بسرعة ثابتة دائمًا. فقد تبدو بعض منحنيات المسافة مقابل السرعة كالمنحنى الآتي.
في هذه الحالة، لا بد من حساب السرعة باستخدام طريقة مختلفة، إما باستخدام السرعة اللحظية، وإما باستخدام السرعة المتوسطة.
السرعة اللحظية هي سرعة جسم عند لحظة زمنية معيَّنة (عند مثلًا).
أما السرعة المتوسطة، فهي السرعة الإجمالية التي يتحرَّك بها جسم خلال فترة زمنية معيَّنة (من إلى مثلًا).
قبل المتابعة، علينا أن نوضِّح أنه في معرض الحديث عن الإزاحة والمسافة، يركِّز هذا الشارح على المسافة؛ لأنها كمية قياسية. ويرجع ذلك إلى أن السرعة اللحظية القياسية هي المستخدَمة غالبًا مقارنةً بالسرعة اللحظية المتجهة؛ فعند تناوُل السرعة عند نقطة محدَّدة، فإننا نركِّز على المقدار وليس الاتجاه.
وهذا يعني أنه إذا كان الميل سالبًا، فستظل السرعة مع ذلك ممثَّلة بالقيمة الموجبة للميل. التمثيل البياني الآتي تمثيل بياني للإزاحة مقابل الزمن (وليس للمسافة مقابل الزمن)، يوضِّح خطَّيْن لهما ميلان متساويان في المقدار، ولكن اتجاهَيْهما مختلفان.
ميل الخط الأحمر هو 1: وميل الخط الأزرق هو :
إذا كنا مهتمين فقط بالسرعة القياسية، وهي كمية قياسية وليست متجهة، فسنحسب القيمة المطلقة للميل:
هيا أولًا نُلقِ نظرة على كيفية إيجاد السرعة المتوسطة. يمكننا إيجاد السرعة المتوسطة بالطريقة نفسها التي نُوجِد بها السرعة المنتظمة؛ أي بقسمة المسافة على الزمن، مع الانتباه إلى أن السرعة قد تتغيَّر بمرور الزمن.
المنحنى الآتي مقسَّم إلى ثلاث مناطق يختلف الميل في كلٍّ منها.
عند حساب السرعة المتوسطة من إلى ، نجد أن السرعة المتوسطة هي نفس السرعة المتوسطة للتمثيل البياني ذي الخط المستقيم الواحد؛ وذلك لأن المنحنيين لهما نقطتا البداية والنهاية نفسهما:
عندما يكون الخط متصاعدًا أو هابطًا، كما في الفترة من إلى ، يكون مقدار السرعة موجبًا. أما عندما يكون الخط أفقيًّا، كما في الفترة من إلى ، فتكون السرعة صفرًا. إذا أوجدنا الميل في هذه المناطق، فسنتمكَّن من إيجاد السرعة الفعلية في هذه الفترات الزمنية. نبدأ بالخط من إلى :
من إلى ، يكون الخط مستقيمًا أيضًا. وهذا يعني أن سرعة الجسم ثابتة بين هاتين اللحظتين. يمكننا حساب السرعة بالطريقة نفسها التي استخدمناها من قبل:
بالمثل، من إلى ، يكون الخط مستقيمًا، وهو ما يعني أن السرعة ثابتة بين هاتين الفترتين؛ لذا، يمكننا حساب السرعة بالطريقة نفسها أيضًا:
إذن، على الرغم من أن السرعة المتوسطة لهذا الجسم تساوي 5 m/s، فإن السرعة الفعلية للجسم تغيَّرت كثيرًا خلال الفترة الزمنية التي مقدارها 4 ثوانٍ.
نُلقي نظرة على مثال آخر.
مثال ١: إيجاد السرعة اللحظية لشخص من تمثيل بياني للإزاحة مقابل الزمن لا يتضمَّن سوى خطوط مستقيمة
يمشي صبي في خط مستقيم. على التمثيل البياني، يوضِّح الخط الأزرق الإزاحة، ، للصبي من موضعه الابتدائي خلال الزمن، .
- ما مقدار سرعته بعد مرور ثانيتين من بداية المشي؟
- ما مقدار سرعته بعد مرور 6 ثوانٍ من بداية المشي؟
الحل
الجزء الأول
يوضِّح هذا المنحنى الإزاحة، وليس المسافة، على المحور . وهذا يعني أنه لإيجاد مقدار السرعة، يتعيَّن علينا إيجاد مقدار الميل.
نُوجِد ميل الخط بعد مرور ثانيتين من بداية مشي الصبي. ونظرًا لأن الخط مستقيم (وهو ما يعني أنه يحافظ على الميل نفسه)، يمكننا اختيار أي نقطة لتكون نقطة النهاية في الفترة من إلى . صيغة ميل الخط المستقيم هي: لذا، لإيجاد الميل بعد ثانيتين من بداية المشي، يكون الفرق الرأسي؛ أي الإزاحة، من 0 m إلى 4 m، ويكون الفرق الأفقي؛ أي الزمن، من إلى :
بأخذ القيمة المطلقة لإيجاد مقدار السرعة، نحصل على:
بعد ثانيتين من المشي، يتحرَّك الصبي بسرعة 1 m/s.
الجزء الثاني
يمكن حساب سرعة الصبي بعد 6 ثوانٍ من بداية المشي بالطريقة نفسها. مرةً أخرى، ما دام الخط مستقيمًا، فهذا يعني أن الميل ثابت. ولهذا السبب، يمكننا اختيار أي نقطتين على هذا الخط، بشرط أن تقع النقطتان على القطعة المستقيمة نفسها.
كما فعلنا في الجزء السابق، نختار نقطة بداية الخط عند ، ونقطة نهايته عند : ثم نأخذ القيمة المطلقة للحصول على مقدار السرعة:
إذن، بعد 6 ثوانٍ، من بداية المشي، يتحرَّك الصبي بسرعة 0.25 m/s.
لا يمكن حساب السرعة باستخدام نقطة البداية ونقطة النهاية إلا عندما تكون الخطوط في هذه التمثيلات البيانية خطوطًا مستقيمة. يوضِّح التمثيل البياني الآتي ارتفاع كرة عن الأرض أثناء قذفها في الهواء وسقوطها مرة أخرى.
يتغيَّر ميل هذا المنحنى بوتيرة سريعة تجعل من إيجاد السرعة المتوسطة أمرًا غير ذي أهمية، حان الوقت الآن لإيجاد السرعة اللحظية؛ أي السرعة عند نقطة معيَّنة، باستخدام المماسات.
المماس خط مستقيم يمس المنحنى عند نقطة معيَّنة؛ حيث يكون له ميل المنحنى نفسه عند نقطة تماسهما. يوضِّح الشكل الآتي مماسًّا أحمر متقطعًا لمنحنى أزرق.
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ٢: تحديد مماس المنحنى
يتحرَّك الجسم على طول خط مستقيم. يوضِّح الخط الأزرق في التمثيل البياني الإزاحة لجسم من موضع بدايته خلال الزمن .
أيُّ الخطوط المتقطِّعة الثلاثة يمثِّل مماسًّا للخط الأزرق عند ؟
- الخط البرتقالي
- الخط الأحمر
- الخط البنفسجي
الحل
عند النظر إلى الخط الأزرق، نجد أنه عند كل لحظة زمنية ، تُوجَد إزاحة مختلفة . الحالة الوحيدة التي لا يحدث فيها هذا هي عندما يكون الخط أفقيًّا، ما يُشير إلى أن إزاحة الجسم لا تتغيَّر، لكن هذا لا يحدث على هذا المنحنى.
يمر خط المماس لهذا المنحنى بالضبط بنقطة لها قيمتان وحيدتان لـ و. وهو في هذه الحالة، عند .
يلتقي الخط البرتقالي بالخط الأزرق، لكن ميله لا يقارب ميل الخط الأزرق. فميل الخط البرتقالي أكبر؛ ومن ثَمَّ، فهو ليس مماسًّا للخط الأزرق.
ميل الخط الأحمر صغير جدًّا عند نقطة التقائه بالخط الأزرق. ولذا، فهو ليس مماسًّا.
أما الخط البنفسجي، فميله مقارب لميل الخط الأزرق عن الخطين الآخرين عند نقطة تماسه مع الخط الأزرق؛ ومن ثَمَّ، فالخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة.
لا يُعَد التقاء الخط بالمنحنى كافيًا كي نُسمِّيه مماسًّا. لا بد أن يتماس كلٌّ منهما. للقيام بذلك، يمكنك رسم خط صغير عند نقطة التماس، ثم مدُّه على جانبَي التمثيل البياني بشكل مستقيم. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
يتقاطع خط المماس مع المنحنى عند نقطة واحدة بالضبط؛ حيث يكون لها قيمتان وحيدتان لـ و.
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ٣: تحديد مماس المنحنى
يتحرَّك جسم في خط مستقيم. يوضِّح الخط الأزرق في التمثيل البياني الإزاحة للجسم من موضع البداية خلال الزمن .
- أيُّ الخطوط الثلاثة المتقطِّعة مماس للخط الأزرق عند ؟
- الخط الأحمر
- الخط البنفسجي
- الخط البرتقالي
- أيُّ الخطوط الثلاثة المتقطِّعة مماس للخط الأزرق عند ؟
- الخط الأحمر
- الخط البنفسجي
- الخط البرتقالي
- أيُّ الخطوط الثلاثة المتقطِّعة مماس للخط الأزرق عند ؟
- الخط البنفسجي
- الخط البرتقالي
- الخط الأحمر
الحل
الجزء الأول
عند ، نلاحظ أن الخط المستقيم الوحيد الذي يمس الخط الأزرق المنحني عند هذه النقطة هو الخط البنفسجي؛ فلا يُوجَد خط آخر بالقرب منه. إذن الإجابة هي (ب).
الجزء الثاني
عند ، الخط البرتقالي هو الخط الوحيد الذي يمس الخط الأزرق المنحني. من بين جميع الخطوط، الخط البرتقالي هو الخط ذو الميل الأكبر، ما يعني أن له أعلى سرعة عند هذه النقطة. الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).
الجزء الثالث
عند ، الخط الأحمر هو الخط الوحيد الذي يمس الخط الأزرق المنحني عند تلك النقطة. لاحظ أيضًا أن الخط الأحمر يستمر في كونه مماسًّا مع الزمن. ويرجع ذلك إلى أن ميل الخط الأزرق يطابق ميل الخط الأحمر تقريبًا. الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).
والآن، بعد أن عرَفنا كيفية رسم خطوط المماس، يمكننا البدء في إيجاد السرعة اللحظية. بما أن السرعة هي ميل الخط المستقيم، فيمكننا إيجاد السرعة اللحظية بإيجاد ميل المماس عند اللحظة المراد إيجاد السرعة عندها.
توضِّح الأمثلة الآتية كيفية عمل ذلك.
مثال ٤: إيجاد سرعة جسم بمعلومية مماس المنحنى في التمثيل البياني للإزاحة مقابل الزمن
قُذِفت كرة لأعلى في الهواء، وسقطت مرة أخرى إلى سطح الأرض. يوضِّح الخط الأزرق في التمثيل البياني الارتفاع، ، للكرة فوق سطح الأرض خلال الزمن . يمثِّل الخط الأحمر مماسًّا للخط الأزرق عند . ما سرعة الكرة عند ؟
الحل
يمكن إيجاد السرعة عند اللحظة عن طريق حساب الميل عند هذه اللحظة الزمنية. ولتحديد الميل، يجب أن يكون لدينا خط مستقيم.
أُعطِينا المماس عند . ونظرًا لأنه خط مستقيم، يمكننا حساب ميله بإيجاد الفرق الرأسي لـ ، والفرق الأفقي لـ بين نقطتَي طرفَي الخط المستقيم. نلاحظ أنه في حالة المماس الموجود لدينا، يتراوح من 0 s إلى 3 s، ويتراوح من 5 m إلى 20 m. تذكَّر أن معادلة ميل الخط المستقيم هي: إذن، بالتعويض بالقيم، نحصل على:
الفرق الرأسي يُمثِّل إزاحة؛ لذا، علينا أخذ القيمة المطلقة لإيجاد مقدار السرعة:
إذن سرعة الكرة اللحظية عند تساوي 5 m/s.
مثال ٥: إيجاد السرعة اللحظية لجسم بمعلومية التمثيل البياني الإزاحة مقابل الزمن
قُذِفت كرة لأعلى في الهواء، ثم سقطت مرةً أخرى على سطح الأرض. يوضِّح الخط الأزرق في التمثيل البياني الارتفاع، ، للكرة فوق سطح الأرض خلال الزمن، . ما سرعة الكرة عند ؟
الحل
لم نُعطَ خطًّا مماسًّا في هذه المسألة، ومطلوبٌ منا فقط إيجاد سرعة الكرة عند . علينا أن نبدأ أولًا برسم مماس عند هذه اللحظة الزمنية. سنفعل ذلك برسم خط صغير عند هذه النقطة ومدِّه بطول التمثيل البياني بالكامل.
خط المماس هذا أفقي تمامًا. فقيم المحور لهذا الخط ثابتة:
عند تكون سرعة الكرة 0 m/s. تذكَّر أن مقدار الميل هو مقدار السرعة التي يتحرَّك بها الجسم؛ لذا، في حال عدم وجود ميل، تكون السرعة صفرًا.
نرى كيف تختلف السرعة باختلاف الميول بمزيد من التفصيل.
مثال ٦: تحديد السرعة اللحظية لجسم عند نقطة على منحنى في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني إزاحة دراجة بخارية في سباق في مسار مستقيم. أيُّ النقاط الموضَّحة بالتمثيل البياني تكون سرعة الدرَّاجة عندها أعلى سرعة؟
- النقطة (A)
- النقطة (B)
- النقطة (D)
- النقطة (E)
- النقطة (C)
الحل
هذا تمثيل بياني للإزاحة مقابل الزمن، وليس للمسافة مقابل الزمن، لكن بما أن الميل عند كل نقطة معلَّمة يبدو موجبًا، إذن ليست هناك حاجة إلى أخذ القيمة المطلقة للحصول على القيمة الموجبة.
نحن نبحث عن النقطة التي تكون السرعة عندها أعلى سرعة، وبما أننا نبحث عن نقطة معيَّنة، إذن السرعة هي السرعة اللحظية. ولإيجاد هذه السرعة اللحظية، يجب أن يكون الميل لدينا أولًا، وقبل أن نُوجِد الميل، علينا رسم مماس لكل نقطة. هذه المماسات موضَّحة في الشكل الآتي.
يمكننا تناوُل كلٍّ من هذه المماسات على حدة، وتحديد ميل كلٍّ منها؛ ومن ثَمَّ، السرعات اللحظية عند هذه النقاط، لكننا لا نحتاج إلى معرفة الأعداد بالضبط. فكل ما نريده هو إيجاد النقطة التي تكون السرعة عندها أعلى سرعة.
كلما كان الميل أكبر، كانت السرعة أكبر؛ لذا ليس علينا سوى البحث عن الميل الأكبر. الميل عند النقطة (A) هو بالتأكيد الميل الأصغر، أما الميل الأكبر فهو خط المماس للنقطة (E). إذن النقطة التي تكون السرعة عندها أعلى سرعة هي النقطة (E)، أو الإجابة (د).
نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يمكن إيجاد السرعة من التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن بإيجاد ميل الخط المستقيم. إذا كان لدينا تمثيل بياني للإزاحة مقابل الزمن، فيمكن إيجاد مقدار السرعة عن طريق إيجاد القيمة المطلقة لميل الخط المستقيم.
- يمكن رسم المماس عند نقطة عن طريق رسم خط صغير بالقرب من هذه النقطة ومدِّه بطول التمثيل البياني.
- يمكن إيجاد السرعة اللحظية عند نقطة معيَّنة عن طريق رسم مماس عند تلك النقطة وحساب ميله.
- كلما كان ميل الخط أكبر، كانت السرعة أكبر.
- إذا كان الخط أفقيًّا، فإن السرعة تساوي صفرًا.
