شارح الدرس: خواص التباديل الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص التباديل لتبسيط المقادير وحلِّ المعادلات.

التباديل إعادة ترتيب لمجموعة من العناصر. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا الأحرف: 𞸀، 𞸁، 𞸢. يُمكننا أن نرتِّبها على الصورة: 𞸀𞸁𞸢، 𞸁𞸢𞸀، 𞸁𞸀𞸢، وهكذا. كل ترتيب مختلف مثال لعملية التباديل. لاحظ أنه بالنسبة إلى التباديل:

  • الترتيب مُهمٌّ، فمثلًا الترتيب 𞸁𞸢𞸀 يختلف عن الترتيب 𞸁𞸀𞸢.
  • غير مسموح بالتكرار، فمثلًا: 𞸀𞸀𞸁 لا تُعَدُّ عملية تباديل صالحة للأحرف 𞸀𞸁𞸢.

هذا يعني أن التباديل تمثِّل العدَّ دون استبدال؛ حيث الترتيب مُهمٌّ.

إذا كان لدينا مجموعة من 𞸍 من العناصر، فإن إجمالي عدد التباديل يُعطَى بواسطة: 𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١. وباستخدام رمز المضروب، يُمكننا كتابة ذلك على صورة: 𞸍.

نريد تعميم هذه الفكرة لحساب عدد التباديل المكوَّنة من العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر، وهو ما يماثل الإجابة عن سؤال حول عدد الطُّرق الممكنة لترتيب العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر دون تكرار. وسنرمز إلى هذا العدد باستخدام: 𞸍𞸓𞸋.

سنبدأ بالنظر إلى عدد الخيارات الممكنة لكلِّ موضع. بالنسبة إلى الموضع الأول، لدينا 𞸍 من الاختيارات الممكنة، وبالنسبة إلى الموضع الثاني، لدينا 𞸍١؛ لأن عدد العناصر الممكن الاختيار منها أقلُّ بواحد. وبالمثل، بالنسبة إلى الموضع الثالث، لدينا الاختيار 𞸍٢. يُمكننا متابعة هذا النمط حتى يكون لدينا تسلسل طوله 𞸓.

الموضع الأولالموضع الثانيالموضع الثالثالموضع (𞸓١)الموضع𞸓
𞸍 من الخيارات𞸍١ من الخيارات 𞸍٢ من الخيارات𞸍(𞸓٢) من الخيارات𞸍(𞸓١) من الخيارات

بتطبيق مبدأ العدِّ الأساسي، نحصل على إجمالي عدد الطُّرق المختلفة التي يُمكننا بها ترتيب العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر بواسطة حاصل الضرب: 𞸍𞸓𞸋=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××(𞸍(𞸓٢))×(𞸍(𞸓١)).

إذا ضربنا هذه المعادلة في 𞸍𞸓𞸍𞸓، يُمكننا إعادة صياغتها على الصورة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍(𞸍١)(𞸍٢)(𞸍(𞸓٢))(𞸍(𞸓١))𞸍𞸓𞸍𞸓.

بتكرار تطبيق خاصية المضروب التي توضِّح أن 𞸍=𞸍𞸍١، يُمكننا أن نبسِّط هذا المقدار إلى: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

يقودنا هذا الاستنتاج إلى التعريف العام.

التعريف: التباديل

عدد الطُّرق الممكنة التي يُمكننا بها ترتيب العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر دون تكرار يُعطَى من خلال الصيغة: 𞸍𞸓𞸋 (تُقرَأ: 𞸍 - 𞸋 - 𞸓) والمُعرَّفة أيضًا بـالصيغة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓. يُشار إلى صيغة التباديل 𞸍𞸓𞸋 أحيانًا بالتباديل 𞸓 المأخوذة من العناصر 𞸍، أو التغيُّرات، أو التباديل الجزئية، أو التسلسلات دون تكرار. تُستخدَم أشكال مختلفة من رموز 𞸍𞸓𞸋، وأكثرها شيوعًا: 𞸍𞸓𞸋، 𞸋𞸓𞸍، 𞸋𞸍،𞸓، 𞸋(𞸍،𞸓).

نلاحظ أنه عند 𞸍=𞸓، يصير لدينا: 𞸍𞸍𞸋=𞸍𞸍𞸍=𞸍٠.

تذكَّر أن مضروب صفر حسب تعريفه يساوي واحدًا. ومن ثَمَّ، فإن 𞸍𞸍𞸋=𞸍، وهو عدد التباديل المختلفة المتوقَّعة لـ 𞸍 من العناصر.

في هذا الشارح، سنطوِّر مهارة استخدام هذا التعريف، ونتعلَّم كيفية حلِّ المعادلات التي تشمل 𞸍𞸓𞸋. سنبدأ بمثال بسيط، سنستخدم فيه هذه الصيغة لإيجاد قيمة 𞸍𞸓𞸋.

مثال ١: إيجاد قِيَم التباديل

أوجد قيمة ٩٥𞸋.

الحل

حسب التعريف: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

في هذه الحالة، لدينا 𞸍=٩، 𞸓=٥. ومن ثَمَّ، فإن: ٩٥𞸋=٩٩٥=٩٤.

عند فكِّ المضروب باستخدام الخاصية التي توضِّح أن 𞸍=𞸍𞸍١، يُمكننا إعادة صياغة هذا الجزء على الصورة: ٩٥𞸋=٩×٨×٧×٦×٥×٤٤.

وإذا حذفنا ٤ من البسط والمقام، فسيكون لدينا: =٩×٨×٧×٦×٥=٠٢١٥١.

تُوجَد بمعظم الآلات الحاسبة العلمية وظيفة لإيجاد قيمة التباديل. لذا عندما يُطلَب منَّا إيجاد قيمة التباديل، يُمكننا في كثير من الأحيان استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيمة. لكن هذا ليس الحال دائمًا. يزداد عدد التباديل سريعًا؛ لذا قد لا تتمكَّن بعض الآلات الحاسبة من التعامل مع أعداد كبيرة بهذا الحجم. ولهذا السبب، فإن تعلُّم استخدام صيغة التباديل والتعديل فيها سيكون مفيدًا للغاية. يوضِّح المثال الآتي حالة تخفق فيها معظم الآلات الحاسبة في إيجاد قيمة الأعداد. مع ذلك، باستخدام الصيغة وخواص المضروبات، يُمكننا إيجاد قيمة المقدار دون الحاجة إلى استخدام الآلة الحاسبة.

مثال ٢: نِسَب التباديل

أوجد قيمة ٤٧٨٦٣٧٧٦𞸋𞸋.

الحل

نتذكَّر تعريف التباديل: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

باستخدام هذا التعريف، يُمكننا كتابة: ٤٧٨٦٣٧٧٦𞸋=٤٧٤٧٨٦=٤٧٦،𞸋=٣٧٣٧٧٦=٣٧٦.

ومن هنا، يصبح لدينا خياران. نعوِّض بالمعادلتين في المقدار المُعطى ونبسِّطه، أو نستخدم خاصية المضروب التي توضِّح أن 𞸍=𞸍𞸍١ لإعادة صياغة: ٤٧٨٦٣٧٧٦𞸋=٤٧×٣٧٦=٤٧󰁓𞸋󰁒.

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بذلك في المقدار لنحصل على: ٤٧٨٦٣٧٧٦٣٧٧٦٣٧٧٦𞸋𞸋=٤٧󰁓𞸋󰁒𞸋=٤٧.

في المثال السابق، أوجدنا أن ٤٧٨٦٣٧٧٦𞸋=٤٧󰁓𞸋󰁒. وهو في الواقع مثال على خاصية عامة للتباديل توضِّح أن: 𞸍𞸓𞸍١𞸓١𞸋=𞸍󰁓𞸋󰁒.

باستخدام خاصية التباديل هذه، يُمكننا تبسيط المقادير، كما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٣: استخدام خواص التباديل لحلِّ المعادلات

إذا كان 𞸍٥١𞸍١٤١𞸋=٣٢󰁓𞸋󰁒، فأوجد قيمة 𞸍.

الحل

باستخدام خاصية التباديل التي توضِّح أن: 𞸍𞸓𞸍١𞸓١𞸋=𞸍󰁓𞸋󰁒، يُمكننا إعادة صياغة: 𞸍٥١𞸍١٤١𞸋=𞸍󰁓𞸋󰁒.

وبالتعويض بذلك في المعادلة، يصبح لدينا: 𞸍󰁓𞸋󰁒=٣٢󰁓𞸋󰁒.𞸍١٤١𞸍١٤١ وبحذف 𞸍١٤١𞸋 بعد ذلك من الطرفين، يتبقى لدينا 𞸍=٣٢، كما هو مطلوب.

سنركِّز الآن على مجموعة من المسائل حيث تكون قيمة 𞸍 معلومة في 𞸍𞸓𞸋، وقيمة 𞸓 هي القيمة المجهولة. وبتناول بعض الأمثلة، سنسلِّط الضوء على الطُّرق اللازمة لحلِّ هذا النوع من المسائل.

مثال ٤: إيجاد قِيَم ر المجهولة

أوجد قيمة 𞸌؛ حيث ٧١𞸌𞸋=٠٨٠٤.

الحل

تذكَّر أن عدد التباديل، 𞸍𞸓𞸋، المكوَّنة من العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر يُعطى بواسطة الصيغة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة: ٧١𞸌𞸋=٧١٧١𞸌.

بفكِّ ٧١ باستخدام الخاصية التي توضِّح أن 𞸍=𞸍𞸍١، بعد ذلك، يُمكننا إعادة صياغة هذا على الصورة: ٧١𞸌𞸋=٧١×٦١××(٧١𞸌+١)×٧١𞸌٧١𞸌.

نحذف العامل المشترك ٧١𞸌، ونحصل على:

٧١𞸌𞸋=٧١×٦١××(٧١𞸌+١).()

لاحظ أن هذا حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية تبدأ عند ١٧ وتتناقص تدريجيًّا. ومن ثَمَّ، نودُّ التعبير عن ٤‎ ‎٠٨٠ باعتباره حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين متناقصين يبدآن عند ١٧. يُمكننا فعل ذلك بقسمة ٤‎ ‎٠٨٠ على ١٧، ثم على ١٦، ثم على كل عدد صحيح يأتي بعد ذلك. بداية بالقسمة على العدد ١٧، نحصل على: ٠٨٠٤٧١=٠٤٢.

ومن ثَمَّ، فإن: ٠٨٠٤=٧١×٠٤٢.

نقسم الآن ٢٤٠ على ١٦، وهو ما يعطينا ١٥. ومن ثَمَّ، فإن: ٠٨٠٤=٧١×٦١×٥١، وهو حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية متناقصة. وعليه، نكون قد عبَّرنا عن ٧١𞸌𞸋 باعتباره حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية على صورة: ٧١𞸌𞸋=٧١×٦١×٥١.

بالمقارنة بين هذا والمعادلة (١)، يُمكننا مساواة الأعداد الصحيحة الأصغر، وهو ما يُعطينا ٧١𞸌+١=٥١. وبإعادة الترتيب، سنجد أن 𞸌=٣.

يُمكننا التحقُّق من أننا توصَّلنا إلى الإجابة الصحيحة باستخدام الآلة الحاسبة للتأكُّد من أن ٧١٣𞸋=٠٨٠٤.

دعونا نتناول الآن مثالًا آخر نوجد فيه قيمة مجهول في معادلة تباديل.

مثال ٥: حلُّ معادلات التباديل لإيجاد قِيَم ر المجهولة

حُلَّ المعادلة الآتية لإيجاد قيمة 𞸓: ٥𞸓𞸋=٠٢١.

الحل

تذكَّر تعريف التباديل: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓. وباستخدام هذا التعريف، يُمكننا كتابة: ٥𞸓𞸋=٥٥𞸓.

وباستخدام الخاصية التي توضِّح أن 𞸍=𞸍𞸍١ يُمكننا فكُّ ٥ لنحصل على: ٥𞸓𞸋=٥×٤××(٥𞸓+١)×٥𞸓٥𞸓.

بحذف العامل المشترك ٥𞸓، نحصل على:

٥𞸓𞸋=٥×٤××(٥𞸓+١)،()

وهو حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية ومتناقصة تبدأ بخمسة. نريد التعبير بعد ذلك عن ١٢٠ بالصورة نفسها. يُمكننا فعل ذلك بقسمة ١٢٠ على ٥، ثم على ٤، ثم على كل عدد صحيح أصغر تالٍ، كما يأتي: ٠٢١=٥×٤٢=٥×٤×٦=٥×٤×٣×٢=٥×٤×٣×٢×١.

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: ٥𞸓𞸋=٥×٤×٣×٢×١.

إذا قارنَّا ذلك بالمعادلة (٢)؛ وحاولنا مساواة الأعداد الصحيحة الأصغر، فسنجد أن أصغر عدد صحيح إمَّا أن يكون ٢، وإمَّا أن يكون واحدًا. ومن ثَمَّ، لدينا حالتان ممكنتان، هما ٥𞸓+١=٢، أو ٥𞸓+١=١. وبإعادة الترتيب، نحصل على 𞸓=٤، أو 𞸓=٥.

يُمكننا التحقُّق من هاتين القيمتين باستخدام الآلة الحاسبة للتأكُّد من أن ٥٤𞸋=٠٢١، ٥٥𞸋=٠٢١.

في الأمثلة الآتية، سنستخدم تعريف الصيغة 𞸍𞸓𞸋، وخواص المضروب في حلِّ مسائل التباديل من خلال تبسيط المعادلات إلى صورة خطية أو تربيعية.

مثال ٦: حلُّ معادلات التباديل

إذا كان 𞸎٧٤×𞸋=٦٠٩٣𞸎٢𞸎٧٤، فأوجد قيمة 𞸎.

الحل

تذكَّر أن 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓. باستخدام هذا، يُمكننا كتابة: 𞸎٧٤𞸋=𞸎𞸎٧٤.

بعد ذلك، سنعوِّض بهذا المقدار في المعادلة المُعطاة، لنحصل على: 𞸎٧٤𞸎𞸎٧٤=٦٠٩٣𞸎٢.

بحذف العامل المشترك نحصل على: 𞸎=٦٠٩٣𞸎٢.

وباستخدام خاصية المضروب التي تُفيد بأن 𞸍=𞸍𞸍١، يُمكننا إعادة الصياغة على النحو الآتي: 𞸎=𞸎𞸎١=𞸎(𞸎١)𞸎٢.

وبالتعويض بهذا المقدار مرة أخرى في المعادلة، نحصل على: 𞸎(𞸎١)𞸎٢=٦٠٩٣𞸎٢.

بقسمة طرفي المعادلة على 𞸎٢ نحصل على: 𞸎(𞸎١)=٦٠٩٣.

وبإعادة الترتيب، نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: 𞸎𞸎٦٠٩٣=٠.٢

باستخدام القانون العام أو التحليل، يُمكننا حلُّ هذه المعادلة لنجد أن 𞸎=٣٦، أو 𞸎=٢٦. وبما أن المضروبات والتباديل مُعرَّفة فقط للأعداد الصحيحة الموجبة، فسنتجاهل الحلَّ 𞸎=٢٦. ومن ثَمَّ، فإن 𞸎=٣٦.

مثال ٧: حلُّ معادلات التباديل

أوجد قيمة 𞸎 في ٥٣٢𞸎٥٣٢𞸎١𞸋٣𞸎𞸋=٠.

الحل

باستخدام تعريف 𞸍𞸓𞸋، يُمكننا إعادة صياغة المعادلة المُعطاة على الصورة: ٥٣٢٥٣٢𞸎٣𞸎٥٣٢٥٣٢(𞸎١)=٠.

وبالقسمة على ٥٣٢، يُمكننا إعادة كتابة هذا المقدار على الصورة: ١٥٣٢𞸎٣𞸎١٥٣٢𞸎+١=٠.

بعد ذلك، سنضرب في ٥٣٢𞸎+١ لنحصل على: ٥٣٢𞸎+١٥٣٢𞸎٣𞸎=٠.

وباستخدام حقيقة أن ٥٣٢𞸎+١=(٥٣٢𞸎+١)٥٣٢𞸎، يُمكننا إعادة صياغة ذلك على الصورة: (٥٣٢𞸎+١)٥٣٢𞸎٥٣٢𞸎٣𞸎=٠.

بحذف العامل المشترك ٥٣٢𞸎 من البسط والمقام نحصل على: (٥٣٢𞸎+١)٣𞸎=٠.

بجمع الحدود المتشابهة وإعادة ترتيبها، نحصل على: ٤𞸎=٦٣٢.

وبالقسمة على أربعة، يصبح لدينا 𞸎=٩٥.

في المثال الأخير، سنتناول حالة بها قيمة 𞸓 معلومة في 𞸍𞸓𞸋، والقيمة المجهولة هي 𞸍. تُعتبَر طريقة الحلِّ في هذه الحالة أقلَّ وضوحًا. مع ذلك، سنستخدم مثالًا لتوضيح طريقة يُمكن استخدامها في مثل هذه الحالات.

مثال ٨: حلُّ معادلات التباديل لإيجاد قيمة ن المجهولة

أوجد قيمة 𞸍؛ حيث 𞸍٣𞸋=٦٣٧٢٣.

الحل

تذكَّر أن عدد التباديل، 𞸍𞸓𞸋، المكوَّنة من العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر يُعطى بواسطة الصيغة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.

ومن ثَمَّ، باستخدام خاصية المضروب التي تُفيد بأن 𞸍=𞸍𞸍١، يُمكننا كتابة: 𞸍٣𞸋=𞸍𞸍٣=𞸍(𞸍١)(𞸍٢)(𞸍٣)!𞸍٣=𞸍(𞸍١)(𞸍٢).

هذا يعني أننا نبحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يساوي حاصل ضربها ٣٢‎ ‎٧٣٦. تُوجَد طريقتان لفعل ذلك: بالنسبة إلى الأعداد الصغيرة، يُمكننا التفكير في العوامل الأوَّلية للعدد، ومن ثَمَّ إعادة ترتيبها لتكوين ثلاثة أعداد متتالية. ومن الممكن أن يصلح هذا للأعداد الكبيرة أيضًا، كما سنوضِّح. لكنْ بوجه عام، تُوجَد صعوبة كبيرة في تطبيق هذه العملية مع الأعداد الأكبر. مع ذلك، هناك حيلة مُفيدة يُمكننا استخدامها، وهي إيجاد الجذر التكعيبي لـ ٣٢‎ ‎٧٣٦ لنحصل على عدد عندما يُضرب في نفسه مرتين يُعطينا ٣٢‎ ‎٧٣٦. ومن ثَمَّ، ستكون قيمة هذا العدد قريبة من قيمة الأعداد الثلاثة المتتالية التي نبحث عنها.

بالنسبة إلى ٣٢‎ ‎٧٣٦، سيصير لدينا: ٣󰋴٦٣٧٢٣=٥٩٨٩٫١٣.

ومن ثَمَّ، سنقسم ٣٢‎ ‎٧٣٦ على العددين الصحيحين الموجودين على جانبي هذه القيمة، وهما ٣١ و٣٢. عندما نفعل ذلك، سنجد أن: ٦٣٧٢٣=١٣×٦٥٠١=١٣×٢٣×٣٣، وهو حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية كما هو مطلوب. ومن ثَمَّ سنجد أن 𞸍=٣٣.

كما ذكرنا سابقًا، يُمكننا التفكير في العوامل الأولية للعدد ٣٢‎ ‎٧٣٦ ومحاولة إعادة ترتيبها إلى ثلاثة أعداد صحيحة متتالية. وبالنسبة إلى ٣٢‎ ‎٧٣٦، سنجد أن أحد العوامل الأوَّلية هو ٣١. وعليه، سيصبح من السهل علينا ترتيب العوامل الأخرى بسهولة إلى عددين صحيحين آخَرين متتاليين، كما توضِّح العملية الحسابية الآتية: 𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٦٣٧٢٣=٢×٣×١١×١٣=(٣×١١)×٢×١٣=٣٣×٢٣×١٣،٥٥ والتي يُمكننا الاستنتاج منها أن 𞸍=٣٣.

سنلخص الآن بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • عدد التباديل المكوَّنة من العناصر 𞸓 المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر يُعطَى بواسطة الصيغة: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.
  • باستخدام خاصية المضروب التي توضِّح أن 𞸍=𞸍𞸍١، يمكننا تبسيط المقادير الكسرية التي تتضمن التباديل.
  • إذا كان معلومًا لدينا قيمة 𞸍 في 𞸍𞸓𞸋، يمكننا القسمة على أعداد صحيحة متناقصة متتالية تبدأ من 𞸍 لإيجاد 𞸓. وإذا كان معلومًا لدينا قيمة 𞸓 في 𞸍𞸓𞸋، يُمكننا التفكير في العوامل الأوَّلية، أو استخدام أحد العددين الصحيحين اللذين على جانبي الجذر 𞸍 باعتبار أحدهما تقريبًا لقيمة 𞸍.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.