شارح الدرس: خواص التباديل الرياضيات

مثال ١: إيجاد قِيَم التباديل

أوجد قيمة .

الحل

حسب التعريف:

في هذه الحالة، لدينا ، . ومن ثَمَّ، فإن:

عند فكِّ المضروب باستخدام الخاصية التي توضِّح أن ، يُمكننا إعادة صياغة هذا الجزء على الصورة:

وإذا حذفنا من البسط والمقام، فسيكون لدينا:

مثال ٢: نِسَب التباديل

أوجد قيمة .

الحل

نتذكَّر تعريف التباديل:

باستخدام هذا التعريف، يُمكننا كتابة:

ومن هنا، يصبح لدينا خياران. نعوِّض بالمعادلتين في المقدار المُعطى ونبسِّطه، أو نستخدم خاصية المضروب التي توضِّح أن لإعادة صياغة:

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بذلك في المقدار لنحصل على:

مثال ٣: استخدام خواص التباديل لحلِّ المعادلات

إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

باستخدام خاصية التباديل التي توضِّح أن: يُمكننا إعادة صياغة:

وبالتعويض بذلك في المعادلة، يصبح لدينا: وبحذف بعد ذلك من الطرفين، يتبقى لدينا ، كما هو مطلوب.

مثال ٤: إيجاد قِيَم ر المجهولة

أوجد قيمة ؛ حيث .

الحل

تذكَّر أن عدد التباديل، ، المكوَّنة من العناصر المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من من العناصر يُعطى بواسطة الصيغة:

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة:

بفكِّ باستخدام الخاصية التي توضِّح أن ، بعد ذلك، يُمكننا إعادة صياغة هذا على الصورة:

نحذف العامل المشترك ، ونحصل على:

لاحظ أن هذا حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية تبدأ عند ١٧ وتتناقص تدريجيًّا. ومن ثَمَّ، نودُّ التعبير عن ٤‎ ‎٠٨٠ باعتباره حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين متناقصين يبدآن عند ١٧. يُمكننا فعل ذلك بقسمة ٤‎ ‎٠٨٠ على ١٧، ثم على ١٦، ثم على كل عدد صحيح يأتي بعد ذلك. بداية بالقسمة على العدد ١٧، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن:

نقسم الآن ٢٤٠ على ١٦، وهو ما يعطينا ١٥. ومن ثَمَّ، فإن: وهو حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية متناقصة. وعليه، نكون قد عبَّرنا عن باعتباره حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية على صورة:

بالمقارنة بين هذا والمعادلة (١)، يُمكننا مساواة الأعداد الصحيحة الأصغر، وهو ما يُعطينا . وبإعادة الترتيب، سنجد أن .

يُمكننا التحقُّق من أننا توصَّلنا إلى الإجابة الصحيحة باستخدام الآلة الحاسبة للتأكُّد من أن .

مثال ٥: حلُّ معادلات التباديل لإيجاد قِيَم ر المجهولة

حُلَّ المعادلة الآتية لإيجاد قيمة :

الحل

تذكَّر تعريف التباديل: وباستخدام هذا التعريف، يُمكننا كتابة:

وباستخدام الخاصية التي توضِّح أن يُمكننا فكُّ لنحصل على:

بحذف العامل المشترك ، نحصل على:

وهو حاصل ضرب أعداد صحيحة متتالية ومتناقصة تبدأ بخمسة. نريد التعبير بعد ذلك عن ١٢٠ بالصورة نفسها. يُمكننا فعل ذلك بقسمة ١٢٠ على ٥، ثم على ٤، ثم على كل عدد صحيح أصغر تالٍ، كما يأتي:

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

إذا قارنَّا ذلك بالمعادلة (٢)؛ وحاولنا مساواة الأعداد الصحيحة الأصغر، فسنجد أن أصغر عدد صحيح إمَّا أن يكون ٢، وإمَّا أن يكون واحدًا. ومن ثَمَّ، لدينا حالتان ممكنتان، هما ، أو . وبإعادة الترتيب، نحصل على ، أو .

يُمكننا التحقُّق من هاتين القيمتين باستخدام الآلة الحاسبة للتأكُّد من أن ، .

مثال ٦: حلُّ معادلات التباديل

إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

تذكَّر أن . باستخدام هذا، يُمكننا كتابة:

بعد ذلك، سنعوِّض بهذا المقدار في المعادلة المُعطاة، لنحصل على:

بحذف العامل المشترك نحصل على:

وباستخدام خاصية المضروب التي تُفيد بأن ، يُمكننا إعادة الصياغة على النحو الآتي:

وبالتعويض بهذا المقدار مرة أخرى في المعادلة، نحصل على:

بقسمة طرفي المعادلة على نحصل على:

وبإعادة الترتيب، نحصل على المعادلة التربيعية الآتية:

باستخدام القانون العام أو التحليل، يُمكننا حلُّ هذه المعادلة لنجد أن ، أو . وبما أن المضروبات والتباديل مُعرَّفة فقط للأعداد الصحيحة الموجبة، فسنتجاهل الحلَّ . ومن ثَمَّ، فإن .

مثال ٧: حلُّ معادلات التباديل

أوجد قيمة في .

الحل

باستخدام تعريف ، يُمكننا إعادة صياغة المعادلة المُعطاة على الصورة:

وبالقسمة على ، يُمكننا إعادة كتابة هذا المقدار على الصورة:

بعد ذلك، سنضرب في لنحصل على:

وباستخدام حقيقة أن ، يُمكننا إعادة صياغة ذلك على الصورة:

بحذف العامل المشترك من البسط والمقام نحصل على:

بجمع الحدود المتشابهة وإعادة ترتيبها، نحصل على:

وبالقسمة على أربعة، يصبح لدينا .

مثال ٨: حلُّ معادلات التباديل لإيجاد قيمة ن المجهولة

أوجد قيمة ؛ حيث .

الحل

تذكَّر أن عدد التباديل، ، المكوَّنة من العناصر المأخوذة من مجموعة مكوَّنة من من العناصر يُعطى بواسطة الصيغة:

ومن ثَمَّ، باستخدام خاصية المضروب التي تُفيد بأن ، يُمكننا كتابة:

هذا يعني أننا نبحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يساوي حاصل ضربها ٣٢‎ ‎٧٣٦. تُوجَد طريقتان لفعل ذلك: بالنسبة إلى الأعداد الصغيرة، يُمكننا التفكير في العوامل الأوَّلية للعدد، ومن ثَمَّ إعادة ترتيبها لتكوين ثلاثة أعداد متتالية. ومن الممكن أن يصلح هذا للأعداد الكبيرة أيضًا، كما سنوضِّح. لكنْ بوجه عام، تُوجَد صعوبة كبيرة في تطبيق هذه العملية مع الأعداد الأكبر. مع ذلك، هناك حيلة مُفيدة يُمكننا استخدامها، وهي إيجاد الجذر التكعيبي لـ ٣٢‎ ‎٧٣٦ لنحصل على عدد عندما يُضرب في نفسه مرتين يُعطينا ٣٢‎ ‎٧٣٦. ومن ثَمَّ، ستكون قيمة هذا العدد قريبة من قيمة الأعداد الثلاثة المتتالية التي نبحث عنها.

بالنسبة إلى ٣٢‎ ‎٧٣٦، سيصير لدينا:

ومن ثَمَّ، سنقسم ٣٢‎ ‎٧٣٦ على العددين الصحيحين الموجودين على جانبي هذه القيمة، وهما ٣١ و٣٢. عندما نفعل ذلك، سنجد أن: وهو حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية كما هو مطلوب. ومن ثَمَّ سنجد أن .

كما ذكرنا سابقًا، يُمكننا التفكير في العوامل الأولية للعدد ٣٢‎ ‎٧٣٦ ومحاولة إعادة ترتيبها إلى ثلاثة أعداد صحيحة متتالية. وبالنسبة إلى ٣٢‎ ‎٧٣٦، سنجد أن أحد العوامل الأوَّلية هو ٣١. وعليه، سيصبح من السهل علينا ترتيب العوامل الأخرى بسهولة إلى عددين صحيحين آخَرين متتاليين، كما توضِّح العملية الحسابية الآتية: والتي يُمكننا الاستنتاج منها أن .