شارح الدرس: الميكانيكا المدارية الفيزياء

مثال ١: إيجاد المسافة المقطوعة على طول مدار دائري

يدور المريخ حول الشمس على مسافة 228‎ ‎000‎ ‎000 km تقريبًا. على فرض أن مدار المريخ دائري، ما المسافة التي يقطعها الكوكب ليدور دورة كاملة حول الشمس؟ اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، يدور كوكب المريخ في مدار دائري حول الشمس، كما في الشكل الآتي:

نعلم من معطيات السؤال المسافة بين المريخ والشمس؛ حيث . وعلينا حساب المسافة التي يقطعها الكوكب ليكمل دورة واحدة في مداره؛ أي محيط المدار.

تذكَّر أن محيط الدائرة يرتبط بنصف القطر من خلال العلاقة: .

ولاحظ أن مقيسة بوحدة كيلومتر (km)؛ لذا ستكون الإجابة بوحدة كيلومتر أيضًا. لدينا: مقرَّبًا لأقرب كيلومتر.

الآن، علينا كتابة الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية؛ لذا ستكون الإجابة النهائية للمسافة التي يقطعها المريخ ليكمل دورة واحدة في مداره حول الشمس تساوي:

مثال ٢: إيجاد نصف قطر مدار دائري

يقطع عطارد 364 مليون كيلومتر ليدور دورة كاملة حول الشمس. بافتراض أن عطارد له مدار دائري، ما المسافة بين عطارد والشمس؟ أوجد الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا المثال، لدينا المسافة الكلية التي يقطعها عطارد ليكمل دورة واحدة في مداره؛ وهي ما يكافئ محيط المدار. والكمية التي علينا إيجادها هي المسافة بين عطارد والشمس، أو نصف قطر المدار.

تذكَّر أن نصف قطر الدائرة ومحيطها يرتبطان من خلال العلاقة:

علينا إيجاد ؛ لذا سيكون علينا أولًا قسمة طرفَي المعادلة على لنحصل على:

نعلم من معطيات السؤال أن المحيط يساوي 364 مليون كيلومتر، وهو ما يكافئ 364‎ ‎000‎ ‎000 km. وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة أعلاه، نحصل على: لأقرب كيلومتر. لاحظ أن نصف القطر مقيس بوحدة كيلومتر؛ لأن المحيط الذي استخدمناه كان مقيسًا بوحدة كيلومتر.

ومن ثَمَّ، فإن المسافة بين الشمس وعطارد تساوي km؛ بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٣: فهم الفترات المدارية

يستغرق كوكب الزهرة 225 يومًا للدوران حول الشمس.

كم سنة تساوي هذه الفترة على كوكب الأرض؟ استخدم القيمة 365 يومًا لعدد أيام السنة على كوكب الأرض. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

كم سنة يستغرقها كوكب الأرض للدوران حول الشمس على كوكب الزهرة؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يطلب هذا المثال إيجاد العلاقة بين الفترات المدارية، أو السنوات، لكوكبين هما: الأرض والزهرة.

سنتعامل مع الجزء الأول من السؤال بالطريقة نفسها التي نستخدمها للتحويل بين الوحدات المختلفة لأيِّ كمية: في حالتنا هذه، لدينا الفترة المدارية لكوكب الزهرة باليوم، وعلينا التعبير عنها بالسنة. نفعل ذلك بضربها في كسر يساوي 1؛ حتى لا نغيِّر القيمة، وهذا يحوِّل الوحدات من يوم إلى سنة. نعلم من المعطيات أن طول السنة على كوكب الأرض يساوي 365 يومًا؛ ومن ثَمَّ يمكننا استخدام العلاقة: سنة واحدة = 365 يومًا. إذا أطلقنا على الفترة المدارية لكوكب الزهرة ، فسنحصل على: لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنسبة للجزء الثاني من السؤال، علينا تحديد المدة الزمنية التي يستغرقها كوكب الأرض ليدور حول الشمس بتقدير سنة كوكب الزهرة. علينا هنا أن نتذكَّر أن الزمن المستغرَق في الدوران حول الشمس هو الفترة المدارية، وهو ما يكافئ سنة واحدة لكلِّ كوكب.

نعلم من المعطيات أن طول السنة على كوكب الأرض يساوي 365 يومًا، وهو الزمن الذي يستغرقه كوكب الأرض للدوران حول الشمس بالـ يوم، وسنرمز له بالرمز . علينا الآن تحويل هذا إلى وحدة السنة على كوكب الزهرة، أو إلى الفترة المدارية لكوكب الزهرة؛ وهي التي تساوي 225 يومًا. لتحويل الوحدة من يوم إلى سنة بالنسبة لكوكب الزهرة، علينا ضرب عدد يوم في سنة الأرض في ؛ إذن: لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٤: إيجاد السرعة المدارية بمعلومية نصف القطر والفترة المدارية للمدارات الدائرية

يدور قمر صناعي حول الأرض في مدار نصف قطره 10‎ ‎000 km. فترته المدارية تساوي 2.8 ساعة. ما السرعة التي يتحرَّك بها القمر الصناعي؟ قرِّب إجابتك لأقرب كيلومتر لكل ثانية.

الحل

في هذا المثال، لدينا قمر صناعي يتحرَّك في مدار حول الأرض. نعلم من المعطيات نصف قطر المدار؛ أي المسافة بين القمر الصناعي ومركز كتلة الأرض، والفترة المدارية؛ وهي الزمن الذي يستغرقه القمر الصناعي لكي يكمل دورة كاملة حول مداره. وعلينا إيجاد سرعة القمر الصناعي.

تذكَّر أن السرعة المدارية تُعطَى من خلال: حيث نصف قطر المدار، و الفترة المدارية. وهاتان الكميتان مُعطاتان في السؤال: ، و.

ما علينا إيجاده هو بوحدة الكيلومتر في الثانية (km/s)؛ وهو ما يعني أنه علينا كتابة المسافة بوحدة كيلومتر، والزمن بوحدة ثانية. لدينا بالفعل بوحدة الكيلومتر، لكن لدينا بوحدة الساعة؛ لذا علينا أولًا تحويلها إلى ثانية. تذكَّر أن ساعة واحدة = 60 دقيقة، دقيقة واحدة = 60 ثانية ؛ وهو ما يعني أن . إذن:

والآن، يمكننا التعويض بـ ، في معادلة إيجاد ؛ وهو ما يعطينا: لأقرب كيلومتر لكل ثانية.

مثال ٥: إيجاد الفترة المدارية بمعلومية نصف القطر والسرعة في المدارات الدائرية

يوضِّح الجدول بعض البيانات عن تيتان (أحد أقمار كوكب زحل). باستخدام هذه البيانات، احسب الفترة المدارية لتيتان حول زحل. افترض أن لتيتان مدارًا دائريًّا. اكتب إجابتك باليوم لأقرب يوم.

الحل

مطلوب منَّا في هذا السؤال حساب الفترة المدارية للقمر تيتان الذي يتحرَّك في مدار دائري حول كوكب زحل. يمكننا فعل ذلك بمعلومية قطر تيتان، ونصف قطر مداره، وسرعته المدارية، وكتلته.

تذكَّر أن الفترة المدارية ترتبط بالسرعة المدارية ونصف قطر المدار من خلال المعادلة: ومن ثَمَّ، فهاتان هما الكميتان الوحيدتان اللتان علينا استخدامهما، ويمكننا تجاهل كتلة القمر تيتان وقطره لأنهما لا يؤثِّران على الفترة المدارية.

وبما أن الفترة المدارية هي الكمية التي علينا إيجادها؛ فسيكون علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة بدلالة . نفعل ذلك بضرب طرفَي المعادلة في ، لنحصل على:

قبل أن نعوِّض بالقيمتين: ، علينا التحقُّق من أنها معطاة بالوحدات الصحيحة. كلٌّ من وحدتَي المسافة (نصف القطر بوحدة الكيلومتر، وعنصر المسافة في معادلة السرعة بوحدة الكيلومتر في الثانية) معطًى بوحدة الكيلومتر؛ وهو ما يعني أن هاتين الوحدتين تلغي إحداهما الأخرى. أما الزمن، فمُعطًى بوحدة الثانية؛ لذا ستكون قيمة الفترة المدارية بوحدة الثانية. وبالتعويض بهذه القيم، نحصل على: لأقرب ثانية.

طُلب منَّا إيجاد هذا المقدار بوحدة اليوم لأقرب يوم؛ لذا علينا تحويل هذه القيمة إلى وحدة اليوم. تذكَّر أن يومًا واحدًا = 24 ساعة، ساعة واحدة = 60 دقيقة، دقيقة واحدة = 60 ثانية. إذن: لأقرب يوم.

مثال ٦: إيجاد الفترة المدارية بمعلومية نصف القطر والسرعة في المدارات الدائرية

يدور قمر صناعي حول الأرض في مدار نصف قطره 7‎ ‎720 km، ويتحرَّك بسرعة 7.2 km/s. القمر الصناعي له مدار دائري.

ما محيط مدار القمر الصناعي؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر، باستخدام الصيغة العلمية، لأقرب منزلة عشرية.

ما الفترة المدارية للقمر الصناعي؟ اكتب إجابتك بالدقيقة لأقرب دقيقة.

الحل

في هذا المثال، لدينا قمر صناعي يدور في مدار دائري حول الأرض. ونعلم من المعطيات نصف قطر المدار والسرعة، وأول ما علينا فعله هو إيجاد محيط مدار القمر الصناعي.

تذكَّر أن محيط الدائرة ونصف القطر يرتبطان من خلال المعادلة: .

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد من نصف قطر المدار على النحو الآتي: لأقرب كيلومتر. طُلب منَّا كتابة ذلك بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية؛ إذن يصبح الناتج: .

بعد ذلك، علينا إيجاد الفترة المدارية للقمر الصناعي. تذكَّر أن الفترة المدارية ترتبط بنصف قطر المدار والسرعة من خلال المعادلة: وقد أوجدنا بالفعل؛ لذا يمكننا التعويض بهذه القيمة، لنحصل على:

علينا إيجاد ؛ لذا يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بدلالة عن طريق ضرب طرفيها في، وهو ما يعطينا:

يمكننا الآن التعويض بالقيمتين ، . لاحظ أننا نستخدم قيمة قبل التقريب حتى نتجنَّب تراكم أخطاء التقريب. كلتا المسافتين مقيسة بوحدة الكيلومتر، والزمن مقيس بوحدة الثانية؛ لذا فإن استخدام هاتين القيمتين ستَنتُج عنه فترة مدارية بوحدة الثانية. أصبح لدينا الآن: لأقرب ثانية.

المطلوب منَّا هو إيجاد بوحدة الدقيقة لأقرب دقيقة؛ لذا علينا بعد ذلك تحويل هذه القيمة لوحدة الدقيقة. تذكَّر أن دقيقة واحدة = 60 ثانية، إذن: لأقرب دقيقة.

مثال ٧: فهم السرعة والفترة المداريتين

يدور الكوكبان (أ)، (ب) حول نجم. كلٌّ من الكوكبين له مدار دائري. يدور الكوكب (أ) حول النجم على مسافة km منه بسرعة 30 km/s. يدور الكوكب (ب) حول النجم على مسافة km منه بسرعة 17 km/s.

كم مِثلًا يساوي طول مدار الكوكب (ب) من طول مدار الكوكب (أ)؟

كم مِثلًا يساوي الزمن الذي يستغرقه الكوكب (ب) في الدوران حول النجم من الزمن الذي يستغرقه الكوكب (أ)؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

لدينا هنا نظام مكوَّن من نجم يدور حوله كوكبان؛ (أ)، (ب). وهذا النظام موضَّح في الشكل أدناه:

يُشار لنصف قطر مدار الكوكب A بالرمز ، ولسرعته بالرمز . كما يُشار لنصف قطر مدار الكوكب B بالرمز ، ولسرعته المدارية بالرمز .

يبعُد الكوكب (ب) عن النجم مسافة أكبر من الكوكب (أ)؛ لذا فإن نصف قطر مداره يكون أكبر، وطول المدار سيكون أكبر أيضًا. علينا حساب كم مثلًا يساوي طول مدار الكوكب (ب) من طول مدار الكوكب (أ). يمكن التعبير عن ذلك بطريقة أخرى، إذا أطلقنا على طول مدار الكوكب (أ): ، وعلى طول مدار الكوكب (ب): ؛ فسيكون علينا إيجاد .

تذكَّر أن محيط الدائرة يرتبط بنصف القطر من خلال المعادلة: . ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن:

في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا المعامل في كلٍّ من بسط الكسر ومقامه؛ ومن ثَمَّ يلغي أحدهما الآخَر، ويتبقى لنا:

يمكننا الآن التعويض بالقيمتين المعطاتين في السؤال: ، ، فنحصل على: ومن ثَمَّ، فإن مدار الكوكب (ب) أطول بمقدار 3.2 مرة من مدار الكوكب (أ).

في الجزء الثاني من السؤال، علينا إيجاد كم مثلًا يساوي الزمن الذي يستغرقه الكوكب (ب) ليدور حول النجم من الزمن الذي يستغرقه الكوكب (أ). بعبارة أخرى، علينا إيجاد ؛ حيث هي الفترة المدارية للكوكب (ب)، و هي الفترة المدارية للكوكب (أ).

تذكَّر أن الفترة المدارية ترتبط بالسرعة المدارية ونصف القطر من خلال المعادلة:

يمكننا إعادة ترتيب ذلك بدلالة عن طريق ضرب طرفَي المعادلة في ؛ وهو ما يعطينا:

ويمكننا كتابة على الصورة: . بالتعويض في معادلة إيجاد ، نحصل على:

وإذا جمعنا الحدود المتشابهة معًا، نحصل على:

لدينا في كلٍّ من بسط الكسر ومقامه؛ وبذلك يُلغي أحدهما الآخَر، كما أننا قد أوجدنا بالفعل سابقًا. إذا عوَّضنا بهذه القيمة وبالسرعتين المداريتين: ، ؛ فسنجد أن: لأقرب منزلة عشرية. وبذلك، يكون الزمن الذي يستغرقه الكوكب (ب) أطول من الزمن الذي يستغرقه الكوكب (أ) في الدوران حول النجم بمقدار 5.6 ساعات.