تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الميكانيكا المدارية الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم العلاقة: 𝑇=2𝜋𝑟𝑣 لحساب خواصِّ مدار كوكب أو قمر أو قمر صناعي يتحرَّك في مدار دائري.

تذكَّر أنه يوجد نوعان من المدارات. في المدارات الدائرية، يظلُّ الجسم الذي يتحرَّك في المدار على مسافة ثابتة من الجسم الآخَر الذي يدور حوله. كما أن بعض الأجسام تدور في مدارات إهليجية؛ حيث تتغيَّر المسافة بين الجسمين باستمرار. سنركِّز في هذا الشارح على المدارات الدائرية.

يوضِّح الشكل أعلاه جسمًا يدور في مدار دائري حول جسم آخَر أكبر. المسار المداري الممثَّل بدائرة هو المسار الذي يتبعه مركز كتلة الجسم الأصغر أثناء تحرُّكه على طول مداره. نصف قطر المدار 𝑟 هو المسافة بين مركز الجسم الأكبر والمدار.

إذا عرفنا قيمة 𝑟 فسنتمكَّن أيضًا من إيجاد طول المدار كله أو محيط المدار. إذا أطلقنا على المحيط 𝑐 فإن 𝑐=2𝜋𝑟، أو محيط دائرة نصف قطرها 𝑟.

لنتناول مثالًا يتضمَّن حساب المسافة المقطوعة على طول مدار دائري.

مثال ١: إيجاد المسافة المقطوعة على طول مدار دائري

يدور المريخ حول الشمس على مسافة 228‎ ‎000‎ ‎000 km تقريبًا. على فرض أن مدار المريخ دائري، ما المسافة التي يقطعها الكوكب ليدور دورة كاملة حول الشمس؟ اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، يدور كوكب المريخ في مدار دائري حول الشمس، كما في الشكل الآتي:

نعلم من معطيات السؤال المسافة 𝑟 بين المريخ والشمس؛ حيث 𝑟=228000000km. وعلينا حساب المسافة التي يقطعها الكوكب ليكمل دورة واحدة في مداره؛ أي محيط المدار.

تذكَّر أن محيط الدائرة 𝑐 يرتبط بنصف القطر 𝑟 من خلال العلاقة: 𝑐=2𝜋𝑟.

ولاحظ أن 𝑟 مقيسة بوحدة كيلومتر (km)؛ لذا ستكون الإجابة بوحدة كيلومتر أيضًا. لدينا: 𝑐=2𝜋𝑟=2×3.14×228000000=1432566250kmkm مقرَّبًا لأقرب كيلومتر.

الآن، علينا كتابة الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية؛ لذا ستكون الإجابة النهائية للمسافة 𝑐 التي يقطعها المريخ ليكمل دورة واحدة في مداره حول الشمس تساوي: 𝑐=1.4×10.km

في المثال التالي، سنعمل بطريقة عكسية؛ سنوجد نصف قطر المدار بمعلومية المحيط.

مثال ٢: إيجاد نصف قطر مدار دائري

يقطع عطارد 364 مليون كيلومتر ليدور دورة كاملة حول الشمس. بافتراض أن عطارد له مدار دائري، ما المسافة بين عطارد والشمس؟ أوجد الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا المثال، لدينا المسافة الكلية التي يقطعها عطارد ليكمل دورة واحدة في مداره؛ وهي ما يكافئ محيط المدار. والكمية التي علينا إيجادها هي المسافة بين عطارد والشمس، أو نصف قطر المدار.

تذكَّر أن نصف قطر الدائرة 𝑟 ومحيطها 𝑐 يرتبطان من خلال العلاقة: 𝑐=2𝜋𝑟.

علينا إيجاد 𝑟؛ لذا سيكون علينا أولًا قسمة طرفَي المعادلة على 2𝜋 لنحصل على: 𝑐2𝜋=𝑟.

نعلم من معطيات السؤال أن المحيط 𝑐 يساوي 364 مليون كيلومتر، وهو ما يكافئ 364‎ ‎000‎ ‎000 km. وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة أعلاه، نحصل على: 𝑟=𝑐2𝜋=3640000002×3.14=57932399kmkm لأقرب كيلومتر. لاحظ أن نصف القطر مقيس بوحدة كيلومتر؛ لأن المحيط الذي استخدمناه كان مقيسًا بوحدة كيلومتر.

ومن ثَمَّ، فإن المسافة بين الشمس وعطارد تساوي 5.79×10 km؛ بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

لنتناول الآن سرعة جسم يتحرَّك في مدار دائري.

يوضِّح الشكل أدناه حركة الجسم نفسه في موضعين مختلفين على طول مداره. في الموضع الأول أعلى الشكل تكون سرعته المتجهة 𝑣، وفي الموضع الثاني إلى اليمين تكون سرعته المتجهة 𝑣.

يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن اتجاهَي 𝑣، 𝑣 مختلفان. لكنَّ المقدارين متساويان. وهذا ينطبق على أيِّ موضع على طول المدار.

بالنسبة لأيِّ جسم يتحرَّك في مدار دائري، فإن اتجاه سرعته المتجهة يتغيَّر بمرور الزمن، لكنَّ مقدار هذه السرعة المتجهة، الذي يُعرَف أيضًا بالسرعة القياسية، يظلُّ ثابتًا.

يمكن التعبير عن ذلك أيضًا بالقول إن السرعة المدارية ثابتة. وإذا أطلقنا على السرعة المدارية 𝑠، يمكننا القول إن 𝑠 ثابتة عند جميع النقاط في المدار.

الكمية الأخيرة التي علينا التعامل معها فيما يتعلَّق بالمدارات الدائرية هي الزمن الذي يستغرقه الجسم ليكمل دورة واحدة، وتُسمَّى أيضًا الفترة المدارية. سنرمز إلى الفترة المدارية بالرمز 𝑇. وهي الزمن الذي يستغرقه الجسم، من أيِّ موضع بداية على مداره، ليدور حول المحيط بأكمله، ثم يعود إلى نقطة البداية.

إذا كان هناك كوكب يتحرَّك في مدار حول الشمس، فإن الفترة المدارية تبلغ سنة واحدة بالنسبة لهذا الكوكب. على سبيل المثال، سنة واحدة على الأرض تساوي حوالي 365 يومًا؛ لأن كوكب الأرض يستغرق تقريبًا 365 يومًا لكي يكمل دورة واحدة حول الشمس.

في المثال التالي، سنتناول التحويل بين فترة السنة لكواكب مختلفة.

مثال ٣: فهم الفترات المدارية

يستغرق كوكب الزهرة 225 يومًا للدوران حول الشمس.

كم سنة تساوي هذه الفترة على كوكب الأرض؟ استخدم القيمة 365 يومًا لعدد أيام السنة على كوكب الأرض. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

كم سنة يستغرقها كوكب الأرض للدوران حول الشمس على كوكب الزهرة؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يطلب هذا المثال إيجاد العلاقة بين الفترات المدارية، أو السنوات، لكوكبين هما: الأرض والزهرة.

سنتعامل مع الجزء الأول من السؤال بالطريقة نفسها التي نستخدمها للتحويل بين الوحدات المختلفة لأيِّ كمية: في حالتنا هذه، لدينا الفترة المدارية لكوكب الزهرة باليوم، وعلينا التعبير عنها بالسنة. نفعل ذلك بضربها في كسر يساوي 1؛ حتى لا نغيِّر القيمة، وهذا يحوِّل الوحدات من يوم إلى سنة. نعلم من المعطيات أن طول السنة على كوكب الأرض يساوي 365 يومًا؛ ومن ثَمَّ يمكننا استخدام العلاقة: سنة واحدة = 365 يومًا. إذا أطلقنا على الفترة المدارية لكوكب الزهرة 𝑇V، فسنحصل على: 𝑇=225×365=0.62Vًواةً لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنسبة للجزء الثاني من السؤال، علينا تحديد المدة الزمنية التي يستغرقها كوكب الأرض ليدور حول الشمس بتقدير سنة كوكب الزهرة. علينا هنا أن نتذكَّر أن الزمن المستغرَق في الدوران حول الشمس هو الفترة المدارية، وهو ما يكافئ سنة واحدة لكلِّ كوكب.

نعلم من المعطيات أن طول السنة على كوكب الأرض يساوي 365 يومًا، وهو الزمن الذي يستغرقه كوكب الأرض للدوران حول الشمس بالـ يوم، وسنرمز له بالرمز 𝑇E. علينا الآن تحويل هذا إلى وحدة السنة على كوكب الزهرة، أو إلى الفترة المدارية لكوكب الزهرة؛ وهي التي تساوي 225 يومًا. لتحويل الوحدة من يوم إلى سنة بالنسبة لكوكب الزهرة، علينا ضرب عدد يوم في سنة الأرض في 1225اةً؛ إذن: 𝑇=365×1225=1.62Eًاةًاة لأقرب منزلتين عشريتين.

نحن نعرف الآن المسافة التي يقطعها الجسم ليكمل دورة واحدة حول مداره 𝑐، كما نعرف أنه يتحرَّك بسرعة ثابتة 𝑠. تذكَّر أن ثمة علاقة بين السرعة والمسافة، وهي: ااا=.

باستخدام العلاقة أعلاه، يمكننا ربط الفترة المدارية 𝑇 بالسرعة المدارية 𝑠 والمسافة الكلية المقطوعة التي تساوي 2𝜋𝑟؛ حيث 𝑟 نصف قطر المدار، وذلك على النحو الآتي: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇.

والآن، لنتدرَّب على استخدام هذه المعادلة في بعض الأمثلة.

مثال ٤: إيجاد السرعة المدارية بمعلومية نصف القطر والفترة المدارية للمدارات الدائرية

يدور قمر صناعي حول الأرض في مدار نصف قطره 10‎ ‎000 km. فترته المدارية تساوي 2.8 ساعة. ما السرعة التي يتحرَّك بها القمر الصناعي؟ قرِّب إجابتك لأقرب كيلومتر لكل ثانية.

الحل

في هذا المثال، لدينا قمر صناعي يتحرَّك في مدار حول الأرض. نعلم من المعطيات نصف قطر المدار؛ أي المسافة بين القمر الصناعي ومركز كتلة الأرض، والفترة المدارية؛ وهي الزمن الذي يستغرقه القمر الصناعي لكي يكمل دورة كاملة حول مداره. وعلينا إيجاد سرعة القمر الصناعي.

تذكَّر أن السرعة المدارية 𝑠 تُعطَى من خلال: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇, حيث 𝑟 نصف قطر المدار، و𝑇 الفترة المدارية. وهاتان الكميتان مُعطاتان في السؤال: 𝑟=10000km، و𝑇=2.8.

ما علينا إيجاده هو 𝑠 بوحدة الكيلومتر في الثانية (km/s)؛ وهو ما يعني أنه علينا كتابة المسافة بوحدة كيلومتر، والزمن بوحدة ثانية. لدينا بالفعل 𝑟 بوحدة الكيلومتر، لكن 𝑇 لدينا بوحدة الساعة؛ لذا علينا أولًا تحويلها إلى ثانية. تذكَّر أن ساعة واحدة = 60 دقيقة، دقيقة واحدة = 60 ثانية ؛ وهو ما يعني أن واة=60×60=3600s. إذن: 𝑇=2.8×3600=10080.واةss

والآن، يمكننا التعويض بـ 𝑟=10000km، 𝑇=10080s في معادلة إيجاد 𝑠؛ وهو ما يعطينا: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇=2×3.14×1000010080=6/kmskms لأقرب كيلومتر لكل ثانية.

مثال ٥: إيجاد الفترة المدارية بمعلومية نصف القطر والسرعة في المدارات الدائرية

يوضِّح الجدول بعض البيانات عن تيتان (أحد أقمار كوكب زحل). باستخدام هذه البيانات، احسب الفترة المدارية لتيتان حول زحل. افترض أن لتيتان مدارًا دائريًّا. اكتب إجابتك باليوم لأقرب يوم.

تيتان (أحد أقمار كوكب زحل)
القطر5‎ ‎150 km
نصف القطر المداري1‎ ‎220‎ ‎000 km
السرعة المدارية5.57 km/s
الكتلة1.35×10 kg

الحل

مطلوب منَّا في هذا السؤال حساب الفترة المدارية للقمر تيتان الذي يتحرَّك في مدار دائري حول كوكب زحل. يمكننا فعل ذلك بمعلومية قطر تيتان، ونصف قطر مداره، وسرعته المدارية، وكتلته.

تذكَّر أن الفترة المدارية 𝑇 ترتبط بالسرعة المدارية 𝑠 ونصف قطر المدار 𝑟 من خلال المعادلة: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇, ومن ثَمَّ، فهاتان هما الكميتان الوحيدتان اللتان علينا استخدامهما، ويمكننا تجاهل كتلة القمر تيتان وقطره لأنهما لا يؤثِّران على الفترة المدارية.

وبما أن الفترة المدارية 𝑇 هي الكمية التي علينا إيجادها؛ فسيكون علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة بدلالة 𝑇. نفعل ذلك بضرب طرفَي المعادلة في 𝑇𝑠، لنحصل على: 𝑇=2𝜋𝑟𝑠.

قبل أن نعوِّض بالقيمتين: 𝑟=1220000km، 𝑠=5.57/kms علينا التحقُّق من أنها معطاة بالوحدات الصحيحة. كلٌّ من وحدتَي المسافة (نصف القطر بوحدة الكيلومتر، وعنصر المسافة في معادلة السرعة بوحدة الكيلومتر في الثانية) معطًى بوحدة الكيلومتر؛ وهو ما يعني أن هاتين الوحدتين تلغي إحداهما الأخرى. أما الزمن، فمُعطًى بوحدة الثانية؛ لذا ستكون قيمة الفترة المدارية بوحدة الثانية. وبالتعويض بهذه القيم، نحصل على: 𝑇=2𝜋𝑟𝑠=2×3.14×12200005.57/=1376209kmkmss لأقرب ثانية.

طُلب منَّا إيجاد هذا المقدار بوحدة اليوم لأقرب يوم؛ لذا علينا تحويل هذه القيمة إلى وحدة اليوم. تذكَّر أن يومًا واحدًا = 24 ساعة، ساعة واحدة = 60 دقيقة، دقيقة واحدة = 60 ثانية. إذن: 𝑇=1376209×24×60×60=16ssًواًاً لأقرب يوم.

مثال ٦: إيجاد الفترة المدارية بمعلومية نصف القطر والسرعة في المدارات الدائرية

يدور قمر صناعي حول الأرض في مدار نصف قطره 7‎ ‎720 km، ويتحرَّك بسرعة 7.2 km/s. القمر الصناعي له مدار دائري.

ما محيط مدار القمر الصناعي؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر، باستخدام الصيغة العلمية، لأقرب منزلة عشرية.

ما الفترة المدارية للقمر الصناعي؟ اكتب إجابتك بالدقيقة لأقرب دقيقة.

الحل

في هذا المثال، لدينا قمر صناعي يدور في مدار دائري حول الأرض. ونعلم من المعطيات نصف قطر المدار والسرعة، وأول ما علينا فعله هو إيجاد محيط مدار القمر الصناعي.

تذكَّر أن محيط الدائرة 𝑐 ونصف القطر 𝑟 يرتبطان من خلال المعادلة: 𝑐=2𝜋𝑟.

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد 𝑐 من نصف قطر المدار 𝑟=7720km على النحو الآتي: 𝑐=2𝜋𝑟=2×3.14×7720=48506kmkm لأقرب كيلومتر. طُلب منَّا كتابة ذلك بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية؛ إذن يصبح الناتج: 𝑐=4.9×10km.

بعد ذلك، علينا إيجاد الفترة المدارية للقمر الصناعي. تذكَّر أن الفترة المدارية 𝑇 ترتبط بنصف قطر المدار 𝑟 والسرعة 𝑠 من خلال المعادلة: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇, وقد أوجدنا 𝑐=2𝜋𝑟 بالفعل؛ لذا يمكننا التعويض بهذه القيمة، لنحصل على: 𝑠=𝑐𝑇.

علينا إيجاد 𝑇؛ لذا يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بدلالة 𝑇 عن طريق ضرب طرفيها في𝑇𝑠، وهو ما يعطينا: 𝑇=𝑐𝑠.

يمكننا الآن التعويض بالقيمتين 𝑐=48506km، 𝑠=7.2/kms. لاحظ أننا نستخدم قيمة 𝑐 قبل التقريب حتى نتجنَّب تراكم أخطاء التقريب. كلتا المسافتين مقيسة بوحدة الكيلومتر، والزمن مقيس بوحدة الثانية؛ لذا فإن استخدام هاتين القيمتين ستَنتُج عنه فترة مدارية بوحدة الثانية. أصبح لدينا الآن: 𝑇=485067.2/=6736kmkmss لأقرب ثانية.

المطلوب منَّا هو إيجاد 𝑇 بوحدة الدقيقة لأقرب دقيقة؛ لذا علينا بعد ذلك تحويل هذه القيمة لوحدة الدقيقة. تذكَّر أن دقيقة واحدة = 60 ثانية، إذن: 𝑇=6736×60=112ssدواةد لأقرب دقيقة.

مثال ٧: فهم السرعة والفترة المداريتين

يدور الكوكبان (أ)، (ب) حول نجم. كلٌّ من الكوكبين له مدار دائري. يدور الكوكب (أ) حول النجم على مسافة 1.5×10 km منه بسرعة 30 km/s. يدور الكوكب (ب) حول النجم على مسافة 4.8×10 km منه بسرعة 17 km/s.

كم مِثلًا يساوي طول مدار الكوكب (ب) من طول مدار الكوكب (أ)؟

كم مِثلًا يساوي الزمن الذي يستغرقه الكوكب (ب) في الدوران حول النجم من الزمن الذي يستغرقه الكوكب (أ)؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

لدينا هنا نظام مكوَّن من نجم يدور حوله كوكبان؛ (أ)، (ب). وهذا النظام موضَّح في الشكل أدناه:

يُشار لنصف قطر مدار الكوكب A بالرمز 𝑟أ، ولسرعته بالرمز 𝑠أ. كما يُشار لنصف قطر مدار الكوكب B بالرمز 𝑟ب، ولسرعته المدارية بالرمز 𝑠ب.

يبعُد الكوكب (ب) عن النجم مسافة أكبر من الكوكب (أ)؛ لذا فإن نصف قطر مداره يكون أكبر، وطول المدار سيكون أكبر أيضًا. علينا حساب كم مثلًا يساوي طول مدار الكوكب (ب) من طول مدار الكوكب (أ). يمكن التعبير عن ذلك بطريقة أخرى، إذا أطلقنا على طول مدار الكوكب (أ): 𝑐أ، وعلى طول مدار الكوكب (ب): 𝑐ب؛ فسيكون علينا إيجاد 𝑐𝑐بأ.

تذكَّر أن محيط الدائرة 𝑐 يرتبط بنصف القطر 𝑟 من خلال المعادلة: 𝑐=2𝜋𝑟. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن: 𝑐𝑐=2𝜋𝑟2𝜋𝑟.بأبأ

في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا المعامل 2𝜋 في كلٍّ من بسط الكسر ومقامه؛ ومن ثَمَّ يلغي أحدهما الآخَر، ويتبقى لنا: 𝑐𝑐=𝑟𝑟.بأبأ

يمكننا الآن التعويض بالقيمتين المعطاتين في السؤال: 𝑟=1.5×10أkm، 𝑟=4.8×10بkm، فنحصل على: 𝑐𝑐=𝑟𝑟=4.8×101.5×10=3.2,بأبأ ومن ثَمَّ، فإن مدار الكوكب (ب) أطول بمقدار 3.2 مرة من مدار الكوكب (أ).

في الجزء الثاني من السؤال، علينا إيجاد كم مثلًا يساوي الزمن الذي يستغرقه الكوكب (ب) ليدور حول النجم من الزمن الذي يستغرقه الكوكب (أ). بعبارة أخرى، علينا إيجاد 𝑇𝑇بأ؛ حيث 𝑇ب هي الفترة المدارية للكوكب (ب)، و𝑇أ هي الفترة المدارية للكوكب (أ).

تذكَّر أن الفترة المدارية 𝑇 ترتبط بالسرعة المدارية 𝑠 ونصف القطر 𝑟 من خلال المعادلة: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇.

يمكننا إعادة ترتيب ذلك بدلالة 𝑇 عن طريق ضرب طرفَي المعادلة في 𝑇𝑠؛ وهو ما يعطينا: 𝑇=2𝜋𝑟𝑠.

ويمكننا كتابة 𝑇𝑇بأ على الصورة: 𝑇×1𝑇بأ. بالتعويض في معادلة إيجاد 𝑇، نحصل على: 𝑇𝑇=2𝜋𝑟𝑠𝑠2𝜋𝑟.بأببأأ

وإذا جمعنا الحدود المتشابهة معًا، نحصل على: 𝑇𝑇=2𝜋2𝜋𝑟𝑟𝑠𝑠.بأبأأب

لدينا 2𝜋 في كلٍّ من بسط الكسر ومقامه؛ وبذلك يُلغي أحدهما الآخَر، كما أننا قد أوجدنا 𝑟𝑟=3.2بأ بالفعل سابقًا. إذا عوَّضنا بهذه القيمة وبالسرعتين المداريتين: 𝑠أ، 𝑠ب؛ فسنجد أن: 𝑇𝑇=𝑟𝑟𝑠𝑠=3.2×30/17/=5.6بأبأأبkmskms لأقرب منزلة عشرية. وبذلك، يكون الزمن الذي يستغرقه الكوكب (ب) أطول من الزمن الذي يستغرقه الكوكب (أ) في الدوران حول النجم بمقدار 5.6 ساعات.

النقاط الرئيسية

  • تتحرَّك الأجسام في المدارات الدائرية بسرعة ثابتة تُعرَف بالسرعة المدارية.
  • في المدار الدائري، يرتبط محيط المدار 𝑐 بنصف قطره 𝑟 من خلال المعادلة: 𝑐=2𝜋𝑟.
  • يُعرَف الزمن المستغرَق لإكمال دورة واحدة حول المدار بالفترة المدارية، ويُشار إليه بالرمز 𝑇.
  • ترتبط السرعة المدارية 𝑠 بالفترة المدارية 𝑇 ونصف قطر المدار 𝑟 من خلال المعادلة: 𝑠=2𝜋𝑟𝑇.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.