في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَستخدم سرعتَي الجسم الابتدائية والنهائية وإزاحة الجسم لتحديد العجلة باستخدام المعادلة: .
يمكننا أن نتذكَّر تعريف العجلة كالآتي.
تعريف: العجلة
تُعرَّف عجلة الجسم بأنها معدَّل تغيُّر السرعة المتجهة للجسم.
تُعطى العجلة المتوسطة، ، لجسم يُغيِّر سرعته المتجهة بمقدار خلال فترة زمنية بالعلاقة:
يمكننا أيضًا أن نتذكَّر أن السرعة المتجهة كمية متجهة، ما يعني أن لها اتجاهًا، وكذلك مقدار. وبما أن العجلة تقيس معدَّل تغيُّر السرعة المتجهة، فهذا يعني أن العجلة أيضًا كمية متجهة. بالنسبة إلى الحركة في خط مستقيم (بعبارة أخرى، الجسم الذي لا يتحرَّك إلا إلى الخلف والأمام على طول محور واحد)، يعني هذا تحديدًا أن السرعة المتجهة والعجلة يمكن أن تكونا موجبتين أو سالبتين.
يكون تعريف العجلة الذي لدينا مفيدًا عندما نهتم بكيفية تغيُّر سرعة الجسم بمرور الزمن. لكن في بعض الأحيان لا نهتم كثيرًا بمقدار الزمن الذي تحدث خلاله العجلة، بل نهتم بالمسافة التي يقطعها الجسم خلال العملية.
ومن الأمثلة على هذه الحالة حساب مسافة توقُّف سيارة.
نفترض أن لدينا سيارة تتحرَّك بسرعة متجهة ثابتة عندما لاحظ السائق عائقًا أمامه، كما في الشكل الآتي:
يجب أن يستخدم السائق المكابح ليُوقِف السيارة قبل أن تصل إلى موضع هذا العائق. عند استخدام المكابح تقل سرعة السيارة؛ وهذه عجلة سالبة أو تباطؤ. السؤال المهم إذن ليس عن مقدار الزمن الذي ستستغرقه السيارة لكي تتوقَّف، بل عن مقدار المسافة التي ستقطعها السيارة قبل أن تصل سرعتها المتجهة إلى صفر. وبهذه الطريقة، يَعرف السائق على أيِّ مسافة من العائق يجب أن يَستخدم المكابح.
سنُسمِّي هذه المسافة التي تتغيَّر خلالها السرعة المتجهة ، والعجلة ، والسرعة المتجهة الابتدائية ، والسرعة المتجهة النهائية . لاحِظ هنا، وطوال هذا الشارح، أننا عندما نُشير إلى «المسافة»، نعني «مقدار الإزاحة». في حالة الحركة في خط مستقيم من دون تغيُّر الاتجاه، يمكن تبديل هذين المصطلحين. في مثال السيارة المتوقِّفة، السرعة المتجهة النهائية، ، ستكون 0 m/s، ولكن بشكل عام يمكن ألا تساوي السرعتان الابتدائية والنهائية صفرًا.
يمكننا استنتاج معادلة تربط بين العجلة والمسافة كالآتي.
تُعطى المسافة التي يقطعها جسم يتحرَّك بسرعة متجهة متوسطة، ، خلال فترة زمنية، ، بالعلاقة:
يمكننا إعادة كتابة السرعة المتجهة المتوسطة، ، على الصورة: حيث السرعة المتجهة النهائية، السرعة المتجهة الابتدائية.
يمكننا استخدام تعريف العجلة على أنه ، وإعادة كتابة على الصورة:
بعد ذلك، بالتعويض بالتعبيرين ، في تعبير المسافة المقطوعة، ، نحصل على:
بضرب الحدود الموجودة في بسط ومقام الكسرين، نحصل على:
وبضرب كلا الطرفين في ، ثم جمع على كلا الطرفين، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:
تعريف: الحركة بعجلة لمسافة معيَّنة
ترتبط السرعة المتجهة النهائية، ، والسرعة المتجهة الابتدائية، ، والمسافة المقطوعة، ، لجسم يتحرَّك بعجلة منتظمة، ، بالمعادلة:
قد يبدو غريبًا أنه يمكننا التوصُّل إلى معادلة للعجلة، ، لا تتضمَّن مقدار الزمن في حين يعتمد تعريف العجلة على التغيُّر في السرعة المتجهة والفترة الزمنية التي يحدث خلالها هذا التغيُّر. والسبب في إمكانية التوصُّل إلى معادلة من دون استخدام الزمن هو أن الزمن يرتبط بالإزاحة والسرعة المتجهة من خلال المعادلة .
هناك شرطان يجب توافرهما حتى يمكننا استخدام المعادلة:
- يجب أن تكون عجلة الجسم ثابتة.
- يجب أن تكون حركة الجسم في خط مستقيم.
وعند استيفاء هذين الشرطين يمكننا استخدام المعادلة .
نلقي نظرة على مثال يمكننا فيه استخدام هذه المعادلة. في جميع الأمثلة الموجودة في هذا الشارح، سنستخدم نفس الرموز: يُرمَز للسرعة المتجهة الابتدائية بـ ، والسرعة المتجهة النهائية بـ ، والعجلة بـ ، والمسافة التي يحدث خلالها هذا التسارع بـ .
مثال ١: حساب السرعة المتجهة النهائية لجسم يتحرَّك بعجلة
بدأ جسم حركته من السكون بعجلة 2 m/s2 في خط مستقيم قاطعًا مسافة 9 m. ما السرعة المتجهة النهائية للجسم؟
الحل
نبدأ بتعيين الرموز للقيم المُعطاة لنا في السؤال.
علمنا أن الجسم يبدأ حركته من السكون، ما يعني أن سرعته المتجهة الابتدائية تساوي صفرًا. إذن، يكون لدينا .
علمنا من المُعطيات أن الجسم يتحرَّك بعجلة قاطعًا مسافة 9 m في خط مستقيم، ما يعني أن .
وأخيرًا، علمنا أن العجلة تساوي 2 m/s2؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن .
يمكننا رسم شكل يوضِّح حركة الجسم.
في الشكل، سمَّينا جميع الكميات المُعطاة في السؤال، وأعطينا رمزًا أيضًا للسرعة المتجهة النهائية، ، التي نحاول إيجادها. هذه السرعة المتجهة النهائية هي السرعة المتجهة للجسم بعد تحرُّكه بعجلة لمسافة .
بما أننا علمنا أن قيمة العجلة ، إذن نعلم أن هذه العجلة ثابتة.
علمنا أيضًا أن العجلة تحدث في خط مستقيم.
يمكننا أن نتذكَّر ذلك؛ بما أن هذين الشرطين الأساسيين قد استُوفِيا، إذن يمكننا استخدام المعادلة:
بالنظر إلى المعادلة، نلاحِظ أننا نَعرِف قيم جميع الكميات الموجودة في الطرف الأيمن: ، ، .
بالتعويض بهذه القيم، نحصل على تعبير لمربع السرعة المتجهة النهائية :
بإيجاد قيمة الطرف الأيمن، نحصل على:
الخطوة الأخيرة هي أخذ الجذر التربيعي، لنحصل على :
إذن لدينا الآن الإجابة. السرعة المتجهة النهائية، ، للجسم تساوي 6 m/s. واتجاه هذه السرعة المتجهة هو نفس اتجاه العجلة.
أحيانًا، تكون لدينا حالات فيها المعادلة مفيدة، لكن تكون الكمية التي نريد حسابها ليست السرعة المتجهة النهائية للجسم . بعبارة أخرى، قد نكون على دراية بقيمة هذه السرعة المتجهة النهائية بالفعل، لكننا نريد إيجاد قيمة أحد المتغيِّرات الأخرى في المعادلة.
في هذه الحالة، علينا إعادة ترتيب المعادلة لجعل الكمية التي نريد إيجاد قيمتها هي المتغيِّر التابع في المعادلة.
على سبيل المثال، إذا أردنا حساب قيمة ، فسيكون من المفيد الحصول على المعادلة بالشكل ، والأمر نفسه مع أيٍّ من الكميات الأخرى.
نلقي نظرة على مثال علينا فيه إعادة ترتيب المعادلة.
مثال ٢: حساب عجلة جسم خلال مسافة معيَّنة
يبدأ جسمٌ في الحركة من السكون، ويتسارع في خط مستقيم طوله 8 m. تصل سرعة الجسم إلى 12 m/s عندما يصل إلى نهاية الخط. ما عجلة الجسم على طول الخط؟
الحل
نبدأ بتسمية القيم المُعطاة في السؤال.
علمنا أن طول الخط المستقيم الذي يتحرَّك خلاله الجسم بعجلة يساوي 8 m، إذن يكون لدينا .
علمنا أيضًا أن الجسم يتحرَّك بعجلة من السكون، وهو ما يعني أن سرعته المتجهة الابتدائية هي ، وأنه يصل إلى سرعة متجهة قدرها 12 m/s في نهاية الخط؛ لذا، تكون لدينا السرعة المتجهة النهائية .
يمكننا رسم شكل يوضِّح هذه المعلومات.
لقد قمنا بوضع جميع الكميات المُعطاة لنا في السؤال على الشكل، ووضعنا العجلة أيضًا، ، المطلوب إيجادها.
يمكننا تذكُّر المعادلة:
في هذه الحالة، الكمية التي نحاول إيجادها هي العجلة، . وهذا يعني أن علينا إعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع.
نبدأ بطرح من كلا طرفَي المعادلة، ما يعطينا:
بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ، ما يعطينا:
وأخيرًا، بتبديل الطرفين الأيسر والأيمن، نحصل على:
والآن، بعد أن جعلنا العجلة، ، المتغيِّر التابع، فنحن مستعدون للتعويض بالقيم التي لدينا: ، ، .
عندما نفعل ذلك، نحصل على المقدار الآتي لـ :
بحساب قيمة المقادير الموجودة في البسط والمقام في الطرف الأيمن، نحصل على:
عندما نُجري هذه القسمة الموجودة في الطرف الأيمن، نحصل على:
من ثَمَّ، فالإجابة هي أن عجلة الجسم على طول الخط المستقيم تساوي 9 m/s2.
في كلا المثالين اللذين رأيناهما حتى الآن، كان يبدأ الجسم حركته من السكون، وتؤدِّي العجلة إلى زيادة سرعته المتجهة من سرعة متجهة ابتدائية تساوي 0 m/s إلى سرعة متجهة نهائية لا تساوي صفرًا.
بصفة عامة، قد تأخذ السرعة المتجهة الابتدائية للجسم أيَّ قيمة. بعبارة أخرى، قد يكون الجسم يتحرَّك، بوجه عام، بالفعل قبل فترة تسارُعه.
بتذكُّر أن السرعة المتجهة والعجلة كميتان متجهتان، يمكننا أن نلاحظ أن هناك احتمالين للحركة في خط مستقيم، وهما:
- أن تؤثِّر العجلة في اتجاه السرعة المتجهة، وتؤدِّي إلى زيادة السرعة المتجهة في هذا الاتجاه.
- أن تؤثِّر العجلة في الاتجاه المعاكس للسرعة المتجهة، وتؤدِّي إلى تقليل مقدار السرعة المتجهة.
ويوضِّح الشكل الآتي هاتين الحالتين.
نلقي نظرة على مثال لا تساوي فيه السرعة المتجهة الابتدائية صفرًا.
مثال ٣: حساب السرعة المتجهة الابتدائية لجسم يتحرَّك بعجلة
تزداد السرعة الابتدائية لجسم حتى تصل إلى 14 m/s عند تحرُّكه بعجلة 5 m/s2 في اتجاه سرعته. يتحرَّك الجسم بعجلة مسافة 17.1 m في خط مستقيم. ما السرعة الابتدائية للجسم؟
الحل
نبدأ بتسمية الكميات المُعطاة في السؤال.
علمنا أن السرعة المتجهة الابتدائية للجسم تزداد حتى تصل إلى 14 m/s في أثناء تحرُّك الجسم بعجلة في اتجاه سرعته المتجهة.
وهذا يعني أن لكلٍّ من السرعة والعجلة الإشارة نفسها.
لدينا السرعة المتجهة النهائية . بما أننا علمنا أن العجلة تساوي 5 m/s2، إذن يكون لدينا .
علمنا أن الجسم يتحرَّك بعجلة مسافة 17.1 m في خط مستقيم، إذن لدينا .
يطلب السؤال إيجاد السرعة المتجهة الابتدائية، التي سنُسمِّيها .
يمكننا رسم شكل يوضِّح هذه المُعطيات كالآتي:
لدينا قيمة ثابتة للعجلة، وعلمنا أن الحركة تحدث في خط مستقيم؛ ومن ثَمَّ، يمكن هنا استخدام المعادلة:
وبما أن المطلوب هو إيجاد قيمة السرعة المتجهة الابتدائية، إذن هيا نُعِد ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع.
بطرح من كلا الطرفين، نحصل على:
بعد ذلك، بتبديل طرفَي المعادلة الأيسر والأيمن، نحصل على:
والآن أصبحنا مستعدين للتعويض بالقيم المُعطاة في السؤال: ، ، .
بفعل ذلك، نحصل على المقدار الآتي لمربع السرعة المتجهة الابتدائية:
بإيجاد قيمة الطرف الأيمن، نحصل على:
وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على:
وبذلك نكون قد توصَّلنا إلى أن السرعة المتجهة الابتدائية للجسم تساوي 5 m/s. وبما أن هذه القيمة موجبة، إذن فهي في نفس اتجاه العجلة والسرعة المتجهة النهائية.
في هذا المثال الأخير الذي تناولناه، كانت العجلة في نفس اتجاه السرعة المتجهة الابتدائية للجسم؛ ومن ثَمَّ، كان تأثير هذه العجلة زيادة السرعة المتجهة للجسم في الاتجاه الذي كان يتحرَّك فيه بالفعل.
والآن، نتناول مثالًا تؤثِّر فيه العجلة في الاتجاه المعاكس لاتجاه السرعة المتجهة الابتدائية.
مثال ٤: حساب السرعة المتجهة الابتدائية لجسم يتباطأ
تتناقص السرعة الابتدائية لجسم لتصل إلى 10 m/s عند تحرُّك الجسم بعجلة في عكس اتجاه سرعته المتجهة. يتحرَّك الجسم مسافة 60 m في خط مستقيم بعجلة مقدارها 6.5 m/s2. ما السرعة الابتدائية للجسم لأقرب متر لكل ثانية؟
الحل
نبدأ بتعيين الرموز للقيم المُعطاة في السؤال.
علمنا أن السرعة المتجهة تتناقص لتصل إلى قيمة نهائية قدرها 10 m/s؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا .
علمنا أيضًا من المعطيات أن الجسم يتحرَّك مسافة 60 m في خط مستقيم؛ ومن ثَمَّ، .
وأخيرًا، علمنا أن الجسم يتحرَّك بعجلة في الاتجاه المعاكس لسرعته المتجهة مقدارها 6.5 m/s2. بما أننا اخترنا أن تكون السرعة المتجهة موجبة، وبما أن العجلة في الاتجاه المعاكس لتلك السرعة، إذن يجب أن تكون هذه العجلة سالبة. ومن ثَمَّ، يكون لدينا .
لتوضيح هذه الاتجاهات، يمكننا رسم شكل توضيحي كالآتي:
في هذا الشكل، سمَّينا الكميات التي نعرف قيمتها، بالإضافة إلى تحديد اتجاهاتها. وسمَّينا أيضًا السرعة المتجهة الابتدائية، ، وحدَّدنا اتجاهها أيضًا؛ وقيمة هي المطلوب منا إيجادها. لاحظ أنه في هذا الشكل، لم نضع الإشارة السالبة للعجلة؛ لأنها مشمولة ضمنيًّا باتجاه السهم الذي يمثِّل العجلة؛ قيمة العجلة تساوي m/s2 في الاتجاه الذي يُشير إليه هذا السهم.
لدينا قيمة ثابتة للعجلة، ، وعلمنا أن الحركة في خط مستقيم. وهذا يعني أننا في حالة تسمح لنا باستخدام المعادلة:
بما أن المطلوب إيجاد ، إذن نُعيد ترتيب هذه المعادلة لجعل المتغيِّر التابع.
بطرح من كلا الطرفين، نحصل على:
وبتبديل الطرفين الأيسر والأيمن، نحصل على:
نحن الآن جاهزون للتعويض بالقيم التي لدينا في هذه المعادلة. عندما نفعل ذلك، علينا الانتباه إلى إشارات جميع الكميات.
بالتعويض بـ ، ، ، نحصل على المقدار الآتي لمربع السرعة المتجهة الابتدائية:
بإيجاد قيمة الطرف الأيمن (والانتباه إلى الإشارات السالبة)، نحصل على:
وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على:
هنا، تشير النقاط الثلاث إلى وجود منازل عشرية أخرى.
وأخيرًا، نلاحظ أن السؤال طلب أن تكون الإجابة لأقرب متر لكل ثانية. بتقريب الناتج لأقرب متر لكل ثانية، نحصل على:
وبذلك نكون قد توصَّلنا إلى أن السرعة المتجهة الابتدائية للجسم، لأقرب متر لكل ثانية تساوي 30 m/s.
ولعل إعادة الترتيب الأكثر فائدةً للمعادلة: هو الترتيب الذي لم نتعامل معه حتى الآن: إعادة الترتيب لجعل في طرف بمفرده.
هذه هي الصورة التي نحتاج إلى أن تكون عليها هذه المعادلة لحساب مسافة توقُّف سيارة، والتي كانت الدافع الأول وراء إيجاد معادلة تربط بين العجلة والإزاحة.
لجعل المتغيِّر التابع، نطرح أولًا من كلا طرفَي المعادلة، فنحصل على:
ثم بقسمة كلا الطرفين على وتبديل مكانَي طرفَي المعادلة الأيسر والأيمن، نحصل على:
ننظر مرةً أخرى إلى حالة السيارة التي لاحَظ فيها السائق عائقًا أمامه؛ ولذا استخدم المكابح لإيقاف السيارة. للتذكير، يوضِّح الشكل الآتي الحالة.
نعرف أن السرعة المتجهة النهائية للسيارة تكون . إذا أردنا معرفة مقدار العجلة، ، التي توفِّرها المكابح والسرعة المتجهة الابتدائية، ، التي كانت تسير بها السيارة، يمكننا استخدام المعادلة لحساب المسافة، ، التي ستقطعها السيارة قبل أن تتوقَّف.
نختم الأمر بحل مثال يكون الهدف منه حساب المسافة المقطوعة.
مثال ٥: حساب المسافة المقطوعة أثناء التسارع
طائر كبير يجب أن يركض وهو يخفق بجناحَيْه ليرفع نفسه في الهواء. يحتاج الطائر إلى أن يصل إلى سرعة 5.745 m/s ليبدأ في الطيران. إذا تحرَّك الطائر بعجلة 1.65 m/s2، فما المسافة التي يجب أن يركضها قبل أن يبدأ في الطيران؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
الحل
نبدأ بتسمية الكميات المُعطاة.
يطلب السؤال إيجاد المسافة، ، التي يجب أن يركضها الطائر قبل أن يبدأ في الطيران.
علمنا أن الطائر يجب أن يركض بسرعة 5.745 m/s لكي يبدأ في الطيران؛ أي إن السرعة المتجهة النهائية هي . يمكننا أن نفترض أيضًا أن الطائر يبدأ من السكون، ما يعني أن السرعة الابتدائية تساوي . المعلومة الأخيرة لدينا هي أن الطائر يتحرَّك بعجلة .
يمكننا رسم شكل يوضِّح هذه المعلومات كالآتي:
معدَّل العجلة المُعطى قيمته ثابتة. يمكننا أن نفترض، كما هو موضَّح في الشكل، أن الطائر يركض في خط مستقيم أثناء استعداده للطيران.
في هذه الحالة، يمكننا استخدام المعادلة:
بما أننا نحاول إيجاد قيمة ، إذن علينا جعل المتغيِّر التابع.
لذا، نطرح أولًا من كلا الطرفين:
بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ، ونبدِّل الطرفين الأيسر والأيمن:
نحن الآن في حالة تمكِّننا من التعويض بالقيم التي لدينا ، ، . وبفعل ذلك، نحصل على المقدار الآتي لـ :
يعطينا إيجاد قيمة المقادير الموجودة في البسط والمقام في الطرف الأيمن:
بإجراء القسمة، نحصل على:
هنا، تُشير النقاط الثلاث إلى وجود منازل عشرية أخرى.
الخطوة الأخيرة هي ملاحظة أن السؤال يطلب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. يعطينا تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية:
وبذلك، نكون قد أوجدنا أن الطائر يجب أن يركض مسافة 10.0 m قبل أن يبدأ في الطيران.
النقاط الرئيسية
- ترتبط السرعة المتجهة النهائية، ، والسرعة المتجهة الابتدائية، ، والمسافة المقطوعة، ، لجسم يتحرَّك بعجلة منتظمة، ، بالمعادلة .
- لا تُستخدَم هذه المعادلة إلا عندما تكون العجلة، ، ثابتة، والحركة في خط مستقيم.
- العجلة كمية متجهة. بالنسبة إلى الحركة في خط مستقيم، يمكن أن تكون العجلة موجبة (إذا كانت في نفس اتجاه السرعة المتجهة الابتدائية)، أو سالبة (إذا كانت في الاتجاه المعاكس لاتجاه السرعة المتجهة الابتدائية).
- يمكننا استخدام المعادلة عندما تكون ثلاث كميات في هذه المعادلة معلومة، ونحاول إيجاد الكمية الرابعة. إذا كانت الكمية التي نحاول إيجادها ليست السرعة المتجهة النهائية، ، فإذن يجب أن نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لجعل الكمية التي نحاول إيجادها المتغيِّر التابع في المعادلة.
