شارح الدرس: قانون جيوب التمام الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: استخدام قانون جيوب التمام لحساب طول ضلع مجهول في مثلث

مثلث، فيه ، ، . أوجد الطول لأقرب ثلاثة منازل عشرية.

الحل

عادةً ما يكون رسم المثلث مفيدًا في تصور هذا النوع من المسائل (ليس بالأبعاد الحقيقية).

بالنظر إلى المثلث، يمكننا ملاحظة أن لدينا طوليْ ضلعين، ، ، وقياس الزاوية المحصورة . يوضح لنا هذا أنه يمكننا استخدام قانون جيوب التمام:

يمكننا تعريف قيم المثلث بالنسبة إلى قانون جيوب التمام بدءًا من الزاوية المحصورة. وعليه، يحتوي الحد الأخير في المعادلة على العنصر التالي:

وكما هو مطلوب، طول الضلع المجهول، ، هو الضلع الذي يقابل الزاوية المحصورة. لذا، نعرِّف أطوال الأضلاع على النحو التالي:

بالتعويض بهذه القيم في قانون جيوب التمام، يصبح لدينا المعادلة التالية:

وأخيرًا، يمكننا التبسيط وأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. كما يمكننا أيضًا تجاهل الجذر التربيعي السالب؛ حيث إننا نريد إيجاد طولًا:

وبذلك، نكون قد قرَّبنا الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية كما هو مطلوب في السؤال.

مثال ٢: استخدام قانون جيوب التمام لحساب طول ضلع مجهول في مثلث

مثلث، فيه ، ، . أوجد قيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

عند التعامل مع هذا النوع من المسائل، قد يكون من المفيد أن نرسم المثلث كما هو موضح بالأسفل (ليس بالأبعاد الحقيقية).

بالنظر إلى المثلث، يمكننا ملاحظة أن لدينا طوليْ ضلعين، ، ، وقيمة دالة مثلثية للزاوية المحصورة . يوضح لنا هذا أنه يمكننا استخدام قانون جيوب التمام:

بالتعويض بهذه القيم في قانون جيوب التمام، نحصل على المعادلة التالية:

بتبسيط المعادلة وحلها لإيجاد قيمة ، نحصل على طول الضلع التالي، مع تقريبه لأقرب ثلاث منازل عشرية:

مثال ٣: استخدام قانون جيوب التمام لإيجاد قياس زاوية في المثلث

مثلث فيه ، ، . أوجد قياس أصغر زاوية في المثلث لأقرب ثانية.

الحل

كما هو الحال مع معظم المسائل من هذا النوع، قد يكون من المفيد أن نرسم المثلث (ليس بالأبعاد الحقيقية) لمساعدتنا على تصور المسألة.

نحن نعلم أنه في أي مثلث، يكون أصغر ضلع مقابلًا لأصغر زاوية.

بالنظر إلى أطوال الأضلاع، نجد أن . يمكننا إذن استنتاج أن الزاوية هي أصغر زاوية؛ لأنها تقابل الضلع .

لإيجاد قياس الزاوية ، يمكننا استخدام الصورة التالية من قانون جيوب التمام: تكون قيم أطوال الأضلاع كما يلي:

بالتعويض بهذه القيم في قانون جيوب التمام، نحصل على المعادلة التالية: يمكننا بعد ذلك ضرب الحدود معًا وتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة:

وأخيرًا، نحل المعادلة لإيجاد قياس الزاوية :

لقد أوجدنا قياس الزاوية بالدرجات، ولكن يطلب منا السؤال إيجاد الإجابة لأقرب ثانية. لفعل ذلك، نتذكر العلاقة التالية بين الدرجات ()، والدقائق ()، والثواني ().

بالنظر إلى الإجابة، نجد أن ويتبقى . يمكننا ضرب هذا الباقي في ٦٠ لإيجاد عدد الدقائق في الإجابة:

باستخدام الطريقة نفسها، نجد أن هذا الباقي يحتوي على ويتبقى . بضرب ذلك في ٦٠ مرة أخرى، يمكننا حساب عدد الثواني:

يمكننا الآن كتابة الإجابة لأقرب ثانية:

مثال ٤: استخدام قانون جيوب التمام لإيجاد قياسات زوايا المثلث وأطوال أضلاعه المجهولة

مثلث؛ حيث ، ، . أوجد الطول المجهول، لأقرب ثلاث منازل عشرية، والزاويتين المجهولتين، لأقرب درجة.

الحل

نرسم المثلث أولًا لتصوُّر المسألة.

عند النظر إلى المثلث، نلاحظ أنه يتضمن زاوية معلومة محصورة بين ضلعين معلوم طوليهما:

يوضح لنا هذا أنه يمكننا استخدام الصورة الأولى من قانون جيوب التمام. باستخدام هذه الصورة من المعادلة، يمكننا صياغة علاقة بين الزاوية وأضلاع المثلث الثلاثة:

يمكننا الآن التعويض بالمعلومات المُعطاة عن المثلث:

بعد ذلك، نوجد قيمة كل حد في الطرف الأيسر من المعادلة ونبسِّطه. وبإجراء ذلك، نعرف أن إحدى النسب المثلثية الدقيقة:

يمكننا الآن أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، متجاهلين الحل السالب؛ لأننا نريد إيجاد طول الضلع . ونقرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، كما هو موضَّح في السؤال:

هيا نرسم المثلث مرة أخرى باستخدام المعلومات التي توصلنا إليها للتو.

لدينا الآن مثلث له ثلاثة أضلاع معلومة وزاوية واحدة معلومة. لإيجاد قياس أي من الزاويتين المتبقيتين، يمكننا استخدام الصورة الثانية من قانون جيوب التمام. هيا نوجد قياس الزاوية باستخدام المعادلة التالية:

سنعوِّض الآن بأطوال الأضلاع في المعادلة. ولقد اخترنا هنا استخدام القيمة الدقيقة لطول الضلع بدلًا من الإجابة المُقرَّبة للحفاظ على الدقة:

يمكننا بعد ذلك ضرب الحدود معًا وتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة:

والآن سنوجد قيمة ونقربها لأقرب درجة، كما هو موضَّح في السؤال:

وأخيرًا، نحن نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . وبما أنه قد أصبح لدينا الآن زاويتان معلومتان في المثلث، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة بالتعويض في المعادلة التالية:

بحل المعادلة لإيجاد قيمة ، نُكمل معلومات المثلث بتقريب هذه الإجابة لأقرب درجة:

مثال ٥: حل المثلث باستخدام حساب المثلثات وقانون جيوب التمام

مثلث فيه ، ، ومساحته سم^٢. أوجد طول كلٍّ من الضلعين الآخَرين لأقرب سنتيمتر، وقياس كلٍّ من الزاويتين الأخريين لأقرب دقيقة.

الحل

نرسم المثلث باستخدام المعلومات المُعطاة.

بالنظر إلى المثلث، نجد أن لدينا زاوية واحدة معلومة وطول أحد الضلعين المجاورين لها. لكن لسوء الحظ، هاتان المعلومتان غير كافيتين لاستخدام قانون جيوب التمام بأي من صورتيه. لمتابعة الحل، علينا استخدام مجموعة من الأساليب:

1. استخدام المساحة المُعطاة لإيجاد ارتفاع المثلث.
2. استخدام حساب المثلثات بالإضافة إلى ارتفاع المثلث لإيجاد طول الضلع .
3. استخدام قانون جيوب التمام لإيجاد باقي القيم المجهولة.

١. استخدام المساحة المُعطاة لإيجاد ارتفاع المثلث

بالإضافة إلى الزاوية المعطاة وطول الضلع، يعطينا السؤال أيضًا مساحة المثلث. هيا نتذكر صيغة مساحة المثلث: باعتبار هو قاعدة المثلث، دعونا نعيد رسم الشكل الآن. لقد وضعنا النقطة الجديدة على قاعدة المثلث أسفل النقطة مباشرةً. إذن، القطعة المستقيمة هي الارتفاع العمودي للمثلث.

باستخدام صيغة مساحة المثلث، يمكننا التعويض بالمعلومات المعطاة: يمكننا الآن الحل لإيجاد قيمة بضرب طرفي المعادلة في ٢ والقسمة على ٣٨:

٢. استخدام حساب المثلثات بالإضافة إلى ارتفاع المثلث لإيجاد طول الضلع

بعد أن أوجدنا ارتفاع المثلث، دعونا الآن نتناول المثلث . عند النظر إلى هذا المثلث، نلاحظ أنه مثلث قائم الزاوية فيه ضلع واحد مجهول وزاوية واحدة معلومة .

إذن، يمكننا استخدام قواعد حساب المثلثات لإيجاد طول الضلع : بالنظر إلى الزاوية ، نجد أن هو الضلع المقابل، هو الوتر (في المثلث ): يمكننا التعويض بالمعلومتين المعطاتين وإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة : بمعرفة أن إحدى النسب المثلثية الدقيقة، يمكننا إذن الحل لإيجاد:

لدينا هنا المثلث بالمعلومات الجديدة.

٣. استخدام قانون جيوب التمام لإيجاد باقي القيم المجهولة

بعد أن أوجدنا قيمة ، أصبح لدينا حالة مألوفة في المثلث ، حيث توجد زاوية معلومة محصورة بين طولي ضلعين معلومين: باستخدام الصورة الأولى من قانون جيوب التمام، يمكننا تكوين علاقة بين الزاوية وأضلاع المثلث الثلاثة: سنعوِّض الآن بالمعلومات المعطاة عن المثلث: بعد ذلك، نبسِّط الطرف الأيسر من المعادلة، مع العلم أن إحدى النسب المثلثية الدقيقة:

يمكننا الآن أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، متجاهلين الحل السالب؛ لأننا نريد إيجاد طول الضلع . إذن، الإجابة لأقرب سنتيمتر، كما هو موضَّح في السؤال، هي:

بما أنه مطلوبٌ منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر، إذن نكتب .

يمكن استخدام الصورة الثانية من قانون جيوب التمام لإيجاد قياس أي من الزاويتين المتبقيتين، لكن دعونا نختار الزاوية ونكوِّن علاقة باستخدام المعادلة التالية: نعوِّض أولًا بأطوال الأضلاع في المعادلة: يمكننا الآن الحل لإيجاد قياس الزاوية ، وذلك بتبسيط الحدود وأخذ الدالة العكسية لجيب التمام للطرفين. إذن، الإجابة لأقرب درجة، كما هو موضَّح في السؤال، هي:

بما أنه مطلوبٌ منا تقريب الإجابة لأقرب دقيقة، إذن نكتب .

بعد أن أوجدنا قياس زاويتين، يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي لإيجاد قياس الزاوية لأقرب درجة:

بما أنه مطلوبٌ منا تقريب الإجابة لأقرب دقيقة، إذن نكتب .