في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مجال دالة متعددة التعريف ومداها.
نبدأ بتذكُّر المقصود بمجال الدالة ومداها.
تعريف: مجال الدالة ومداها
مجال الدالة هو مجموعة كل قيم مدخلات الدالة.
مدى الدالة هو مجموعة كل قيم المخرجات الممكنة للدالة، بمعلومية مجالها.
يخبرنا المجال بجميع مدخلات الدالة «المسموح بها». على سبيل المثال، بما أنه لا يمكننا التعويض بـ في الدالة ؛ لأنها ستكون غير معرَّفة، إذن فلن يتضمَّن مجال هذه الدالة قيمة هذه. لكن، يمكننا إدخال أيِّ قيمة أخرى لـ ، وبهذا فإن مجال هذه الدالة يكون .
يخبرنا مدى الدالة بجميع المخرجات الممكنة لهذه الدالة، بمعلومية مجالها. على سبيل المثال، افترض أن لدينا الدالة ، ومجالها هو . وبما أن مربع أيِّ عدد حقيقي يعطينا قيمة غير سالبة، ، إذن مخرجات هذه الدالة تكون أعدادًا حقيقية غير سالبة، لكن علينا أن نتحقَّق أيٌّ من هذه الأعداد الحقيقية غير السالبة هي مخرجات الدالة. للقيام بذلك، نُثبِت أن أيَّ عدد غير سالب هو من مخرجات هذه الدالة. إذا كان ، فإن:
وبذلك، فإن مدى هذه الدالة على هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة، الذي هو .
يمكننا استخدام الطرق الجبرية وخواص الدالة المختلفة لتحديد مجالها ومداها. لكن من الأسهل عادةً استخدام الرسم لمعرفة ذلك. انظر إلى الرسم الآتي للدالة .
في التمثيل البياني لأيِّ دالة، تكون النقطة الموجودة على التمثيل البياني على الصورة ؛ حيث القيمة المدخلة للدالة، القيمة المخرجة لها. بعبارة أخرى، يخبرنا الإحداثي لكل نقطة على التمثيل البياني بالقيمة المدخلة للدالة، ويخبرنا الإحداثي بالقيمة المخرجة للدالة.
وبناءً على ما سبق، يمكننا استخدام التمثيل البياني للدالة لتحديد مجالها ومداها. لتحديد مجال هذه الدالة، علينا إيجاد الإحداثي لكل نقطة على التمثيل البياني. يمكننا فعل ذلك بالنظر إلى المستقيمات الرأسية التي تتقاطع مع التمثيل البياني.
على سبيل المثال، إذا رسمنا المستقيم الرأسي ، فسنجد أن هذا يتقاطع مع التمثيل البياني عند النقطة . ومن ثَمَّ، فإن ٢ هو مجال الدالة، و٣ هو مداها. لتحديد المجال الكامل للدالة، علينا فعل ذلك مع كل مستقيم رأسي ممكن. نلاحظ أن أيَّ مستقيم رأسي، ، سيتقاطع مع هذا التمثيل البياني. وعلى وجه التحديد، عند ، يكون لدينا الآتي:
بما أن التمثيل البياني لـ يتضمَّن نقطة مصمتة عند ، إذن نعرف أن الدالة مُعرَّفة عند هذه النقطة. إذن المستقيم الرأسي يقطع التمثيل البياني، . وبما أن جميع المستقيمات الرأسية تتقاطع مع التمثيل البياني، إذن مجالها هو .
يمكننا إيجاد مدى هذه الدالة بالنظر إلى المستقيمات الأفقية.
على سبيل المثال، المستقيم يتقاطع مع التمثيل البياني عند النقطة ؛ لذا، فإن ١ يقع في مدى هذه الدالة. يمكننا أن نرى أيضًا أن المستقيم لا يتقاطع مع التمثيل البياني.
وبما أن التمثيل البياني يتضمَّن نقطة مفرغة عند نقطة الأصل، إذن فهو لا يتقاطع مع هذا المستقيم الأفقي؛ وفي الواقع، لأي ، لا يتقاطع المستقيم مع التمثيل البياني، ولكن تتقاطع جميع المستقيمات الأفقية الأخرى مع التمثيل البياني. ومن ثَمَّ، فإن مدى هذه الدالة هو .
قبل أن نتناول إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها، هيا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بهذا النوع من الدوال.
تعريف: الدالة المتعددة التعريف
الدالة المتعددة التعريف هي دالة تتكوَّن من العديد من الدوال الجزئية؛ حيث تكون كل دالة جزئية معرَّفة على مجموعة جزئية من مجال الدالة الأساسية تُسمَّى مجالًا جزئيًّا.
تُكتَب معادلة الدالة المتعددة التعريف باستخدام القوس المتعرِّج للإشارة إلى أنها تتكوَّن من أكثر من دالة جزئية. وفيما يلي مثال على الدالة المتعددة التعريف: حيث عندما تكون ، عندما تكون .
في الدالة المتعددة التعريف، تكون المدخلات الممكنة للدالة مُعطاة بواسطة المجالات الجزئية، وهي في هذا المثال ، . ومن ثَمَّ، لإيجاد جميع المدخلات الممكنة لهذه الدالة، نحتاج إلى اتحاد جميع المجالات الجزئية. بالنسبة إلى هذه الدالة المتعددة التعريف، يمكننا أخذ المدخلات؛ حيث ، أيضًا؛ وبدمجهما معا، نجد أن ذلك هو أيُّ قيمة حقيقية لـ ؛ ومن ثَمَّ، فإن مجالها هو .
لإيجاد مدى الدالة المتعددة التعريف، يمكننا بدلًا من ذلك التفكير في مدى كل دالة جزئية على مجالها الجزئي. ومن ثَمَّ، لإيجاد مدى ، نفكِّر في مدى كل دالة جزئية على حدة.
أولًا، عندما تكون . ولذلك، إذا أدخلنا قيمة لـ في الدالة، فسنحصل على:
ومن ثَمَّ، فإن كل القيم؛ حيث ، تقع في مدى هذه الدالة الجزئية.
ثانيًا، عندما تكون . عند إضافة ١ إلى كلا طرفَي متباينة المجال الجزئي، نحصل على . لذلك، عندما تكون ، فإن . وهذا لا يكفي لتحديد مدى هذه الدالة الجزئية؛ إذ علينا تحديد القيم التي تأخذها هذه الدالة الجزئية. ولذلك، سنجعل ، إذن ؛ وهذا يعني الآتي:
إذن جميع قيم تقع في مدى هذه الدالة الجزئية. وبدمج مدى كل دالة جزئية، نحصل على مدى وهو ، ؛ يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز الفترة هكذا: .
يمكننا تلخيص النتائج الموضَّحة في المثال السابق كالآتي.
تعريف: مجال الدالة المتعددة التعريف ومداها
مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية.
مدى الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مدى كل دالة جزئية على مجالها الجزئي.
نتناول بعض الأمثلة على كيفية إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها من تمثيلها البياني.
مثال ١: تحديد مجال ومدى دالة متعددة التعريف بمعلومية تمثيلها البياني
عيِّن مجال ومدى الدالة:
الحل
نتذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة كل قيم مدخلات الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة، بمعلومية مجالها.
يمكننا تحديد كليهما من التمثيل البياني للدالة. تذكَّر أن أيَّ نقطة على التمثيل البياني تكون على الصورة ؛ حيث مجال ، مدى .
لإيجاد مجال ، علينا تحديد الإحداثي لجميع النقاط على التمثيل البياني.
انظر إلى المستقيمات الرأسية الآتية.
في الشكل (١)، نرى أن أيَّ مستقيم رأسي؛ حيث ، يقطع التمثيل البياني. وبالمثل، في الشكل (٢)، نرى أن أي مستقيم رأسي؛ حيث ، يقطع التمثيل البياني. إذن كل قيم هذه يجب أن تقع في مجال هذه الدالة. علينا التحقُّق ممَّا إذا كانت تقع في مجال هذه الدالة؛ يمكننا التحقُّق من ذلك برسم المستقيم .
بما أن التمثيل البياني يحتوي على دائرتين مفرغتين على المستقيم ، إذن فهو غير معرَّف عند قيمة هذه؛ ومن ثَمَّ، فإن الصفر لا يقع في مجال . إذن فإن مجال هذه الدالة هو جميع القيم الحقيقية لـ بخلاف الصفر، ويمكن كتابته على صورة ترميز المجموعة هكذا: .
تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا التحقُّق من أن الصفر لا يقع في مجال بالنظر إلى المجالين الجزئيين للدالة، ، ، اللذين لا يحتويان على الصفر. اتحاد هذين المجالين الجزئيين يُعطينا أيضًا مجال الدالة، .
لإيجاد مدى هذه الدالة، يمكننا النظر إلى المستقيمات الأفقية التي تتقاطع مع التمثيل البياني. لكن في هذه الحالة، يمكننا إيجاد المدى بالنظر إلى إحداثيات النقاط على التمثيل البياني.
يمكننا أن نرى أنه إذا كانت ، فإن . وبالمثل، إذا كانت ، فإن . هذا يعني أن المخرجات الممكنة الوحيدة للدالة هي ٦ و؛ إذن مدى هذه الدالة هو .
وبناءً على ذلك، فإن المجال هو ، والمدى هو .
مثال ٢: إيجاد مدى دالة متعددة التعريف بمعلومية تمثيلها البياني
أوجد مدى الدالة:
الحل
نتذكَّر أن مدى الدالة هو مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة، بمعلومية مجالها. لإيجاد مدى هذه الدالة، يمكننا النظر إلى المستقيمات الأفقية التي تتقاطع مع التمثيل البياني.
في الشكل (١)، نرى أن أعلى قيمة مخرجة للدالة هي . في الشكل (٢)، نرى أن أقل قيمة مخرجة للدالة هي . تمثِّل جميع القيم الواقعة بين هاتين القيمتين المخرجات الممكنة؛ وهي ما تعطينا المدى .
ومن ثَمَّ، فإن المدى هو .
مثال ٣: إيجاد مدى دالة متعددة التعريف من تمثيلها البياني
أوجد مدى الدالة الممثَّلة بالتمثيل البياني الموضَّح.
الحل
نتذكَّر أن مدى الدالة هو مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة، بمعلومية مجالها. ولعلنا نتذكَّر كذلك أن أيَّ نقطة على التمثيل البياني تكون على الصورة ؛ حيث تقع في مدى الدالة. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد مدى هذه الدالة عن طريق تحديد الإحداثي للنقاط على التمثيل البياني.
في الشكل (١)، بما أن التمثيل البياني يحتوي على نقطة مصمتة عند ، إذن نرى أن أقل قيمة مخرجة للدالة هي . في الشكل الثاني، نرى أن أكبر قيمة مخرجة للدالة هي ٧.
يمكننا أن نلاحظ أن أيَّ مستقيم أفقي بين هاتين القيمتين يتقاطع أيضًا مع التمثيل البياني، إذن مدى هذه الدالة هو أيُّ قيمة بين و٧، ويشمل ذلك كلا العددين. وباستخدام ترميز المجموعة، نجد أن هذا هو .
ومن ثَمَّ، فإن المدى هو .
في المثال التالي، نرى كيف نُحدِّد مجال دالة متعددة التعريف دون أن يكون لدينا تمثيلها البياني.
مثال ٤: تحديد مجال دالة متعددة التعريف
أوجد مجال الدالة:
الحل
لعلنا نتذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع مدخلات الدالة، وأنه بالنسبة إلى الدالة المتعددة التعريف، فهو اتحاد مجالاتها الجزئية.
بالنسبة إلى هذه الدالة، تكون مجالاتها الجزئية و. نريد أن نحسب اتحاد هاتين المجموعتين لإيجاد مجال :
ومن ثَمَّ، يكون المجال هو .
في المثال الأخير، سنرى كيف نُحدِّد كلًّا من مجال دالة متعددة التعريف ومداها، دون أن يكون لدينا تمثيلها البياني.
مثال ٥: تحديد مجال دالة متعددة التعريف ومداها
أوجد مجال ومدى الدالة:
الحل
نتذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة كل قيم مدخلات الدالة، وأنه بالنسبة إلى الدالة المتعددة التعريف، فهو اتحاد مجالاتها الجزئية.
لإيجاد اتحاد المجالين الجزئيين، نبدأ بكتابتهما بدلالة ترميز المجموعة. أولًا، هو نفسه. ثانيًا، هو نفسه.
إذن المجال هو اتحاد هاتين المجموعتين:
مدى الدالة هو مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة، بمعلومية مجالها. في حالة الدالة المتعددة التعريف، يكون هذا هو مدى الدوال الجزئية على مجالاتها الجزئية. إذن يمكننا تحديد مدى هذه الدالة بتناول كل دالة جزئية على حدة.
أولًا، إذا كانت ، فإن: وبما أن ، إذن يمكننا حذف العامل المشترك :
يمكننا بعد ذلك رسم هذه الدالة الجزئية.
إنها المستقيم بعد حذف النقطة التي عندها . مدى هذه الدالة الجزئية هو جميع المخرجات الممكنة. إذن المستقيم الأفقي الوحيد الذي لا يتقاطع مع هذا المستقيم هو ، إذن مدى هذه الدالة الجزئية هو .
الدالة الجزئية الثانية هي الدالة الثابتة على المجال . بما أن القيمة المخرجة ثابتة، إذن فهذا يعني أن مداها هو .
بأخذ اتحاد مَدَّيَيِ الدالتين الجزئيتين، نحصل على:
تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا أيضًا رسم الدالة الجزئية الثانية على التمثيل البياني نفسه لتمثيل بالكامل. الدالة الجزئية الثانية معرَّفة فقط عند ؛ لذا، فهي تتكوَّن من نقطة واحدة. لدينا ، نُضيف إذن النقطة إلى الرسم.
نجد إذن أن هي الدالة .
ومن ثَمَّ، يكون المجال هو ، والمدى هو .
هيا نختتم الآن بإلقاء نظرة على بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية.
- مدى الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مدى كل دالة جزئية على مجالها الجزئي.
- يمكننا إيجاد مجال الدالة من تمثيلها البياني بالنظر إلى تقاطع التمثيل البياني مع المستقيمات الرأسية.
- يمكننا إيجاد مدى دالة من تمثيلها البياني بالنظر إلى تقاطع التمثيل البياني مع المستقيمات الأفقية.
