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شارح الدرس: Règle du quotient الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d'une fonction en utilisant la règle du quotient.

Maintenant que nous savons dériver des fonctions simples, nous pouvons commencer à nous demander comment dériver des fonctions plus complexes. Les fonctions complexes sont généralement créées à partir de combinaisons de fonctions plus simples. Il existe plusieurs façons de combiner deux fonctions d’expressions 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥):

  1. Addition ou soustraction:𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥);
  2. Multiplication ou division:𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ou 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥);
  3. Composition:𝑓(𝑔(𝑥)).

Pour pouvoir dériver des fonctions plus complexes, il serait très utile de disposer de formules permettant de dériver des fonctions obtenues à l’aide des combinaisons ci-dessus. À ce stade du cours d’analyse, nous savons déjà que la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées:(𝑓±𝑔)=𝑓±𝑔.

En outre, nous savons que la dérivation est en fait une opération linéaire. Cela signifie qu’en plus de la formule de la dérivée d’une somme, nous connaissons la formule suivante pour la multiplication par une constante:(𝑐𝑓)=𝑐𝑓,𝑐 est une constante. Nous connaissons également la formule de la dérivée d’un produit énoncée ci-dessous.

Formule : Dérivée d’un produit

Pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit est définie par dddddd𝑥(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))=𝑢(𝑥)𝑥(𝑣(𝑥))+𝑣(𝑥)𝑥(𝑢(𝑥)).

Cela peut être écrit succinctement en utilisant la notation « prime »:(𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

Dans cette fiche explicative, nous allons nous intéresser à la formule permettant de dériver des quotients. Une façon d’envisager un quotient 𝑎𝑏 est de le considérer comme le produit de 𝑎 par 1𝑏. Nous allons présenter cette approche en premier.

Exemple 1: Déterminer la dérivée d’un quotient à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit

Déterminez la dérivée première de la fonction d’expression 𝑦=3𝑥2𝑥+17𝑥 par rapport à 𝑥.

Réponse

Considérons 𝑦 comme le produit de deux expressions:𝑢=3𝑥2𝑥+17,𝑣=𝑥.

On peut alors appliquer la formule de la dérivée d’un produit, (𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣, pour déterminer la dérivée. On doit d’abord trouver 𝑢 et 𝑣 en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance:dd𝑥𝑥=𝑛𝑥; on a 𝑢=6𝑥2,𝑣=12𝑥=12𝑥.

En substituant les expressions de 𝑢, 𝑢, 𝑣 et 𝑣 dans la formule de la dérivée d’un produit, on a dd𝑦𝑥=3𝑥2𝑥+172𝑥+6𝑥2𝑥=3𝑥+2𝑥172𝑥+6𝑥2𝑥.

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 2𝑥, on peut le réécrire comme un quotient:dd𝑦𝑥=3𝑥+2𝑥172𝑥+12𝑥4𝑥2𝑥=9𝑥2𝑥172𝑥.

Bien sûr, il existe un moyen plus simple de dériver cette fonction. On peut commencer par simplifier l’expression de la fonction 𝑦=3𝑥2𝑥+17𝑥.

À partir de là, on peut simplement utiliser la formule de la dérivée d’une puissance pour dériver chaque terme.

Nous pouvons maintenant généraliser la méthode d’expression d’un quotient en tant que produit pour en déduire une formule générale de la dérivée d’un quotient. On commence par considérer 𝑢𝑣 comme le produit de deux fonctions 𝑢 et 1𝑣. On peut alors appliquer la formule de la dérivée d’un produit:

dddddd𝑥𝑢𝑣=𝑢𝑥1𝑣+𝑢𝑥1𝑣.(1)

Par conséquent, il nous suffit de savoir évaluer dd𝑥1𝑣 et nous aurons une formule générale pour les dérivées de quotients. Considérons l’effet d’une petite variation de 𝑥 sur la valeur de 1𝑣. Si 𝑥 varie d’une petite quantité notée Δ𝑥, il y aura une variation correspondante de 𝑣 que l’on note Δ𝑣. Par conséquent, la variation de 1𝑣 peut être exprimée par Δ1𝑣=1𝑣+Δ𝑣1𝑣.

En exprimant cela sous la forme d’un quotient, on obtient Δ1𝑣=𝑣(𝑣+Δ𝑣)𝑣(𝑣+Δ𝑣)=Δ𝑣𝑣(𝑣+Δ𝑣).

Diviser les deux membres par Δ𝑥 donne ΔΔ𝑥=𝑣(𝑣+Δ𝑣).

En prenant la limite quand Δ𝑥0, on obtient la dérivée de 1𝑣:ddlimlim𝑥1𝑣=ΔΔ𝑥=𝑣(𝑣+Δ𝑣).

En utilisant les propriétés des limites finies sur les fonctions continues, on peut le réécrire comme ddlimlimlimlim𝑥1𝑣=Δ𝑣Δ𝑥𝑣(𝑣+Δ𝑣)=Δ𝑣Δ𝑥𝑣+𝑣Δ𝑣.

Comme limddΔ𝑣Δ𝑥=𝑣𝑥 et limΔ𝑣=0, on a dddd𝑥1𝑣=1𝑣𝑣𝑥.

On peut maintenant le remplacer dans la formule de la dérivée d’un produit dans l’équation (1), ce qui donne

dddddd𝑥𝑢𝑣=𝑢𝑥1𝑣𝑢𝑣𝑣𝑥.(2)

Géométriquement, on peut considérer que 𝑢𝑣 représente l’aire d’un rectangle dont les côtés sont de longueurs 𝑢 et 1𝑣 comme indiqué sur la figure.

En faisant varier 𝑥 d’une petite quantité Δ𝑥, l’aire du rectangle varie également. En supposant que 𝑢 et 𝑣 sont toutes les deux croissantes, la variation de 𝑢 augmentera l’aire du rectangle de 1𝑣Δ𝑢, alors que la variation de 1𝑣 diminuera l’aire du rectangle de 𝑢Δ1𝑣. On doit également soustraire Δ𝑢Δ1𝑣 à l’augmentation due à 𝑢 afin de trouver l’aire du nouveau rectangle.

La formule de la dérivée d’un quotient (équation (2)) est souvent exprimée sous la forme d’un quotient:dd𝑥𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣.dddd

Malheureusement, cette forme peut masquer son interprétation géométrique. Elle reste cependant la forme la plus utilisée dans la pratique. Voici un énoncé général de la formule de la dérivée d’un quotient.

Formule : Dérivée d’un quotient

Pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur quotient est définie par dd𝑥=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)=𝑣(𝑥)(𝑢(𝑥))𝑢(𝑥)(𝑣(𝑥))(𝑣(𝑥)).dddd

Elle peut être écrite plus succinctement en utilisant la notation « prime »:𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣.

Il existe un autre moyen de démontrer la formule de la dérivée d’un quotient sans faire appel à la formule de la dérivée d’un produit. On peut considérer que les variations de 𝑢 et 𝑣 sont Δ𝑢 et Δ𝑣, suite à une légère variation de Δ𝑥. La variation correspondante de 𝑢𝑣 est ensuite donnée par Δ𝑢𝑣=𝑢+Δ𝑢𝑣+Δ𝑣𝑢𝑣.

En exprimant cela sous la forme d’une fraction unique, on a Δ𝑢𝑣=𝑣(𝑢+Δ𝑢)𝑢(𝑣+Δ𝑣)𝑣(𝑣+Δ𝑣)=𝑣Δ𝑢𝑢Δ𝑣𝑣(𝑣+Δ𝑣).

En divisant par Δ𝑥, on a ΔΔ𝑥=𝑣𝑢𝑣(𝑣+Δ𝑣).

En prenant la limite quand Δ𝑥0, on obtient la dérivée de 𝑢𝑣:ddlimlim𝑥𝑢𝑣=ΔΔ𝑥=𝑣𝑢𝑣(𝑣+Δ𝑣).

En utilisant les propriétés des limites finies pour les fonctions continues, on a ddlimlimlim𝑥𝑢𝑣=𝑣Δ𝑢Δ𝑥𝑢Δ𝑣Δ𝑥𝑣+𝑣Δ𝑣.

Comme limddΔ𝑢Δ𝑥=𝑢𝑥, limddΔ𝑣Δ𝑥=𝑣𝑥 et limΔ𝑣=0, on a dd𝑥𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣.dddd

Nous allons maintenant étudier plusieurs exemples où nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient pour trouver des dérivées.

Exemple 2: Utiliser la formule de la dérivée d’un quotient pour déterminer une dérivée

Déterminez la dérivée première de la fonction d’expression 𝑦=8𝑥+53𝑥+22.

Réponse

Pour déterminer la dérivée de 𝑦, nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient:𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣.

On définit 𝑢=8𝑥+5 et 𝑣=3𝑥+22. Avant de pouvoir appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, nous devons calculer les dérivées de 𝑢 et 𝑣. En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, on a 𝑢=8,𝑣=3.

En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient, on a dd𝑦𝑥=8(3𝑥+22)3(8𝑥+5)(3𝑥+22).

En développant les parenthèses au numérateur, on obtient alors dd𝑦𝑥=24𝑥+17624𝑥15(3𝑥+22)=161(3𝑥+22).

Étudions un autre exemple d’application de la formule de la dérivée d’un quotient.

Exemple 3: Dériver une fonction quotient

Dérivez la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=4𝑥5𝑥+83𝑥4.

Réponse

Nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, 𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣, pour trouver la dérivée de 𝑓. On commence par définir 𝑢=4𝑥5𝑥+8 et 𝑣=3𝑥4. On doit maintenant trouver les dérivées de 𝑢 et 𝑣. On peut le faire en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance:𝑢=8𝑥5,𝑣=3.

En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient, on a 𝑓(𝑥)=(8𝑥5)(3𝑥4)34𝑥5𝑥+8(3𝑥4).

On développe ensuite les parenthèses au numérateur et on simplifie:𝑓(𝑥)=24𝑥47𝑥+2012𝑥+15𝑥24(3𝑥4)=12𝑥32𝑥4(3𝑥4).

Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer une constante inconnue dans une fonction fractionnaire à partir de la valeur de la dérivée de la fonction en un point.

Exemple 4: Utiliser la formule de la dérivée d’un quotient

On suppose que 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥𝑎 et 𝑓(2)=2. Déterminez 𝑎.

Réponse

Comme la valeur de la dérivée de 𝑓 nous est fournie pour une certaine valeur de la variable, nous devons d’abord déterminer une expression de la dérivée de 𝑓. On peut trouver son expression en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient:𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣.

En définissant 𝑢=𝑥+𝑎 et 𝑣=𝑥𝑎, on a 𝑢=1,𝑣=1.

En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient, on obtient 𝑓(𝑥)=(𝑥𝑎)(𝑥+𝑎)(𝑥𝑎)=2𝑎(𝑥𝑎).

Pour déterminer la valeur de 𝑎, nous allons utiliser le fait que 𝑓(2)=2. En remplaçant 𝑥=2 dans l’expression de la dérivée, on a 𝑓(2)=2𝑎(2𝑎).

Par conséquent, 2=2𝑎(2𝑎).

Multiplier les deux membres de l’équation par (2𝑎) et diviser par 2 donne (2𝑎)=𝑎.

On peut maintenant développer les parenthèses:44𝑎+𝑎=𝑎.

Ainsi, en soustrayant 𝑎 aux deux membres de l’équation, on obtient 𝑎5𝑎+4=0.

Cette expression peut être factorisée, ce qui donne (𝑎4)(𝑎1)=0; mais nous aurions également pu utiliser la formule qui permet de calculer les racines d’une équation du second degré ou une autre méthode. Quelle que soit l’approche retenue, nous obtenons les solutions 𝑎=4 et 𝑎=1.

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la formule de la dérivée d’un quotient à des fonctions dont nous ne connaissons pas l’expression.

Exemple 5: Évaluer la dérivée en un point à l’aide de la formule de la dérivée d’un quotient

Soit 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)4(𝑥)5. Sachant que 𝑓(2)=1, 𝑓(2)=8, (2)=2 et (2)=5, calculez 𝑔(2).

Réponse

On commence par utiliser la formule de la dérivée d’un quotient, 𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣, pour trouver une expression de la dérivée de 𝑔. Soient 𝑢=𝑓(𝑥) et 𝑣=4(𝑥)5. On détermine alors les dérivées de 𝑢 et 𝑣:𝑢=𝑓(𝑥),𝑣=4(𝑥).

En les substituant dans la formule de la dérivée d’un quotient, on a 𝑔(𝑥)=(4(𝑥)5)𝑓(𝑥)(4(𝑥))𝑓(𝑥)(4(𝑥)5)=4𝑓(𝑥)(𝑥)(4(𝑥)+5)𝑓(𝑥)(4(𝑥)+5).

En définissant 𝑥=2, on a 𝑔(2)=4𝑓(2)(2)(4(2)+5)𝑓(2)(4(2)+5).

Comme 𝑓(2)=1, 𝑓(2)=8, (2)=2 et (2)=5, on obtient 𝑔(2)=4(1)(5)(4(2)+5)(8)(4(2)+5)=449.

Avant d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, il est toujours utile de vérifier si l’expression peut d’abord être simplifiée. Cela est particulièrement important lorsque l’expression implique une somme ou une différence de quotients. Étudions un exemple où nous devons simplifier l’expression fractionnaire avant d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient.

Exemple 6: Dériver une différence de fonctions rationnelles à l’aide de la formule de la dérivée d’un quotient

Pour 𝑦=𝑥+5𝑥5𝑥5𝑥+5, déterminez dd𝑥𝑦.

Réponse

Pour dériver une fonction comme celle-ci, nous pourrions dériver chaque terme en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient. Cependant, il est souvent plus simple d’exprimer une somme de quotients sous la forme d’un seul quotient, puis d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient une seule fois. C’est l’approche que nous allons montrer ici. On commence par réécrire l’expression de 𝑦 sous forme de quotient:𝑦=(𝑥+5)(𝑥5)(𝑥5)(𝑥+5).

On peut maintenant développer les parenthèses du numérateur et du dénominateur et simplifier:𝑦=𝑥+10𝑥+25𝑥10𝑥+25𝑥25=20𝑥𝑥25. On peut ensuite dériver 𝑦 en utilisant la formule de la dérivée d’un quotient, 𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣, en définissant 𝑢=20𝑥 et 𝑣=𝑥25. On commence par trouver les dérivées de 𝑢 et 𝑣:𝑢=20,𝑣=2𝑥.

On substitue maintenant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient pour obtenir dd𝑥𝑦=20𝑥252𝑥(20𝑥)(𝑥25)=20𝑥500(𝑥25).

Récapitulons à présent quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables d’expressions 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥), on peut utiliser la formule de la dérivée d’un quotient qui stipule que dd𝑥𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)=𝑣(𝑥)(𝑢(𝑥))𝑢(𝑥)(𝑣(𝑥))(𝑣(𝑥)).dddd Elle est souvent écrite de manière plus succincte en utilisant la notation « prime »:𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣𝑢𝑣.
  • Avant d’appliquer la formule de la dérivée d’un quotient, il est utile de vérifier s’il est possible de simplifier l’expression de la fonction.

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