شارح الدرس: قاعدة القسمة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقة دالة باستخدام قاعدة القسمة.

بمجرد أن نتعلَّم كيفية اشتقاق الدوال البسيطة، قد نتساءل كيف يمكننا اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا. بوجه عام، تتكوَّن الدوال الأكثر تعقيدًا من دوال بسيطة مدمجة معًا بطرق مختلفة. هناك بعض الطرق الأساسية لدمج دالتين ، :

1. الجمع أو الطرح: ؛
2. الضرب أو القسمة: أو ؛
3. التركيب: أو .

ولكي نتمكَّن من اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا، سيكون من المفيد أن تكون لدينا قواعد تخبرنا بكيفية اشتقاق الدوال المُدمَجة معًا بهذه الطرق المحدَّدة. في هذه المرحلة من منهج التفاضل والتكامل، نعلم بالفعل أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات؛ مثلًا:

وبالإضافة إلى ذلك، نعلم أن الاشتقاق هو في الواقع عملية خطية. وهذا يعني أنه بالإضافة إلى قاعدة الجمع، لدينا قاعدة الضرب في ثابت: حيث عدد ثابت. ولدينا أيضًا قاعدة الضرب المذكورة بالأسفل.

في هذا الشارح، سنركِّز على قاعدة اشتقاق خارج قسمة دالتين. من إحدى طرق التفكير في خارج القسمة هي التعامل معه على أنه حاصل ضرب في . وسنتناول هذه الطريقة أولًا.

يمكننا الآن تعميم طريقة التعبير عن خارج القسمة باعتباره حاصل ضرب لاستنتاج صيغة عامة لمشتقة خارج قسمة. سنبدأ بالتعامل مع باعتباره حاصل ضرب الدالتين ، . يمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب كالآتي:

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة فقط، وبعد ذلك ستصبح لدينا صيغة عامة لمشتقات خوارج القسمة. نفكِّر في تأثير التغيُّر البسيط في على قيمة . إذا تغيَّرت بمقدار صغير مُعطى بواسطة ، فسيكون هناك تغيُّر مناظر في قيمة ، نرمز له بـ . ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن التغيُّر في بالصيغة:

وبالتعبير عن ذلك في صورة كسر مفرد، نحصل على:

وبالقسمة على ، نحصل على:

وبأخذ النهاية؛ حيث ، نحصل على مشتقة :

وباستخدام خواص النهايات المحدودة للدوال المتصلة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:

وبما أن ، ، إذن نحصل على:

يمكننا الآن التعويض بهذا الجزء في قاعدة الضرب في المعادلة (١)، وهو ما يعطينا:

هندسيًّا، يمكننا تصوُّر أن يمثِّل مساحة مستطيل طولا ضلعيه ، ، كما هو موضَّح في الشكل.

وبتغيير بمقدار ضئيل ، تتغيُّر مساحة المستطيل. وإذا افترضنا أن كلًّا من ، يزيدان، فإن التغيُّر في يزيد مساحة المستطيل بمقدار ، أما التغيُّر في ، فسيُقلِّل من مساحة المستطيل بمقدار . سيكون علينا أيضًا طرح من الزيادة الناتجة عن لإيجاد مساحة المستطيل الجديدة.

عادةً ما يتم التعبير عن قاعدة القسمة (المعادلة (٢)) على صورة كسر مفرد كالآتي:

ولسوء الحظ، قد تسبِّب هذه الصيغة غموض في التفسير الهندسي إلى حدٍّ ما. لكن على الرغم من ذلك، فإنها تُعَدُّ الصورة الأكثر استخدامًا. وفيما يلي نص قاعدة القسمة بالكامل.

هناك طريقة بديلة لاستنتاج قاعدة القسمة دون استخدام قاعدة الضرب. يمكننا الافتراض أن التغيُّرين في ، هما ، نتيجةً للتغيُّر الضئيل في . ومن ثَمَّ، التغيُّر المناظر في يساوي:

للتعبير عن هذا الجزء على صورة كسر مفرد، يصبح لدينا:

وبالقسمة على ، يصبح لدينا:

إذا أخذنا النهاية؛ حيث ، فسنحصل على مشتقة على الصورة الآتية:

وباستخدام قواعد النهايات المحدودة للدوال المتصلة، نحصل على:

وبما أن ، ، ، إذن يصبح لدينا:

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نطبِّق فيها قاعدة القسمة لإيجاد المشتقات.

هيا نرَ مثالًا آخر لقاعدة القسمة.

في المثال التالي، سنوجد قيمة ثابت مجهول في تعبير كسري بمعلومية قيمة مشتقة التعبير عند نقطة.

في المثال التالي، سنُطبِّق قاعدة القسمة عندما لا تكون لدينا تعبيرات الدوال.

قبل تطبيق قاعدة القسمة، يجب التحقُّق ممَّا إذا كان التعبير المُعطى مبسَّطًا. يكون هذا مهمًّا تحديدًا عندما يكون لدينا تعبير يتضمَّن مجموعًا أو فرقًا بين خارجَي قسمة. هيا نرَ مثالًا نقوم فيه بتبسيط تعبير كسري مُعطى قبل تطبيق قاعدة القسمة.

هيا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.