في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقة دالة باستخدام قاعدة القسمة.
بمجرد أن نتعلَّم كيفية اشتقاق الدوال البسيطة، قد نتساءل كيف يمكننا اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا. بوجه عام، تتكوَّن الدوال الأكثر تعقيدًا من دوال بسيطة مدمجة معًا بطرق مختلفة. هناك بعض الطرق الأساسية لدمج دالتين ، :
- الجمع أو الطرح: ؛
- الضرب أو القسمة: أو ؛
- التركيب: أو .
ولكي نتمكَّن من اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا، سيكون من المفيد أن تكون لدينا قواعد تخبرنا بكيفية اشتقاق الدوال المُدمَجة معًا بهذه الطرق المحدَّدة. في هذه المرحلة من منهج التفاضل والتكامل، نعلم بالفعل أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات؛ مثلًا:
وبالإضافة إلى ذلك، نعلم أن الاشتقاق هو في الواقع عملية خطية. وهذا يعني أنه بالإضافة إلى قاعدة الجمع، لدينا قاعدة الضرب في ثابت: حيث عدد ثابت. ولدينا أيضًا قاعدة الضرب المذكورة بالأسفل.
قاعدة: قاعدة الضرب
إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، ، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي:
ويمكننا كتابة ذلك بشكل مُبسَّط باستخدام ترميز الشرطة كالآتي:
في هذا الشارح، سنركِّز على قاعدة اشتقاق خارج قسمة دالتين. من إحدى طرق التفكير في خارج القسمة هي التعامل معه على أنه حاصل ضرب في . وسنتناول هذه الطريقة أولًا.
مثال ١: إيجاد مشتقة خارج قسمة باستخدام قاعدة الضرب
عيِّن المشتقة الأولى للدالة بالنسبة إلى .
الحل
نفترض أن حاصل ضرب الدالتين:
وبفعل ذلك، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب: لإيجاد المشتقة. علينا أولًا إيجاد ، باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لنحصل على:
بالتعويض بتعبيرات ، ، ، في قاعدة الضرب، نحصل على:
وبضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة كسر مفرد:
بالتأكيد هناك طريقة أبسط لاشتقاق هذه الدالة. يمكننا البدء بتبسيط تعبير الدالة لتصبح:
ومن هنا، يمكننا ببساطة استخدام قاعدة القوة لاشتقاق كلِّ حدٍّ.
يمكننا الآن تعميم طريقة التعبير عن خارج القسمة باعتباره حاصل ضرب لاستنتاج صيغة عامة لمشتقة خارج قسمة. سنبدأ بالتعامل مع باعتباره حاصل ضرب الدالتين ، . يمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب كالآتي:
ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة فقط، وبعد ذلك ستصبح لدينا صيغة عامة لمشتقات خوارج القسمة. نفكِّر في تأثير التغيُّر البسيط في على قيمة . إذا تغيَّرت بمقدار صغير مُعطى بواسطة ، فسيكون هناك تغيُّر مناظر في قيمة ، نرمز له بـ . ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن التغيُّر في بالصيغة:
وبالتعبير عن ذلك في صورة كسر مفرد، نحصل على:
وبالقسمة على ، نحصل على:
وبأخذ النهاية؛ حيث ، نحصل على مشتقة :
وباستخدام خواص النهايات المحدودة للدوال المتصلة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
وبما أن ، ، إذن نحصل على:
يمكننا الآن التعويض بهذا الجزء في قاعدة الضرب في المعادلة (١)، وهو ما يعطينا:
هندسيًّا، يمكننا تصوُّر أن يمثِّل مساحة مستطيل طولا ضلعيه ، ، كما هو موضَّح في الشكل.
وبتغيير بمقدار ضئيل ، تتغيُّر مساحة المستطيل. وإذا افترضنا أن كلًّا من ، يزيدان، فإن التغيُّر في يزيد مساحة المستطيل بمقدار ، أما التغيُّر في ، فسيُقلِّل من مساحة المستطيل بمقدار . سيكون علينا أيضًا طرح من الزيادة الناتجة عن لإيجاد مساحة المستطيل الجديدة.
عادةً ما يتم التعبير عن قاعدة القسمة (المعادلة (٢)) على صورة كسر مفرد كالآتي:
ولسوء الحظ، قد تسبِّب هذه الصيغة غموض في التفسير الهندسي إلى حدٍّ ما. لكن على الرغم من ذلك، فإنها تُعَدُّ الصورة الأكثر استخدامًا. وفيما يلي نص قاعدة القسمة بالكامل.
قاعدة: قاعدة القسمة
إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، ، فإن مشتقة خارج قسمتهما تساوي:
ويمكن التعبير عن ذلك بشكل مُبسَّط باستخدام ترميز الشرطة كالآتي:
هناك طريقة بديلة لاستنتاج قاعدة القسمة دون استخدام قاعدة الضرب. يمكننا الافتراض أن التغيُّرين في ، هما ، نتيجةً للتغيُّر الضئيل في . ومن ثَمَّ، التغيُّر المناظر في يساوي:
للتعبير عن هذا الجزء على صورة كسر مفرد، يصبح لدينا:
وبالقسمة على ، يصبح لدينا:
إذا أخذنا النهاية؛ حيث ، فسنحصل على مشتقة على الصورة الآتية:
وباستخدام قواعد النهايات المحدودة للدوال المتصلة، نحصل على:
وبما أن ، ، ، إذن يصبح لدينا:
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نطبِّق فيها قاعدة القسمة لإيجاد المشتقات.
مثال ٢: استخدام قاعدة القسمة لإيجاد المشتقات
أوجد المشتقة الأولى للدالة .
الحل
لإيجاد مشتقة الدالة ، نطبِّق قاعدة القسمة:
نفترض أن ، . وقبل أن نطبِّق قاعدة القسمة، علينا حساب مشتقتَي ، . باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، نجد أن:
وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على:
بفك الأقواس في البسط، يصبح لدينا:
هيا نرَ مثالًا آخر لقاعدة القسمة.
مثال ٣: اشتقاق دوال خارج القسمة
أوجد مشتقة الدالة .
الحل
سنطبِّق قاعدة القسمة: لإيجاد مشتقة . نبدأ بجعل ، . وعلينا الآن إيجاد مشتقتَي ، . يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة كالآتي:
وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على:
والآن، نفك أقواس البسط ونبسِّط التعبير الناتج إلى:
في المثال التالي، سنوجد قيمة ثابت مجهول في تعبير كسري بمعلومية قيمة مشتقة التعبير عند نقطة.
مثال ٤: استخدام قاعدة القسمة
افترض أن ، . أوجد قيمة .
الحل
بما أننا نعرف قيمة مشتقة عند نقطة محددة، إذن علينا أولًا إيجاد تعبير لمشتقة . ويمكننا إيجاد هذا التعبير باستخدام قاعدة القسمة:
بجعل ، ، نحصل على:
وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على:
لإيجاد قيمة ، نستخدم حقيقة أن . وبالتعويض بالقيمة في تعبير المشتقة لدينا، نحصل على:
ومن ثَمَّ:
نضرب طرفَي المعادلة في ، وبالقسمة على ، نحصل على:
يمكننا الآن فك القوس كالآتي:
ومن ثَمَّ، بطرح من طرفَي المعادلة، نحصل على:
يمكن تحليل هذا التعبير بمجرد النظر، وهو ما يعطينا: يمكننا أيضًا استخدام القانون العام أو أي طريقة أخرى. لكن أيًّا كانت الطريقة المتَّبعة، سنصل إلى أن الحل هو أو .
في المثال التالي، سنُطبِّق قاعدة القسمة عندما لا تكون لدينا تعبيرات الدوال.
مثال ٥: إيجاد قيمة مشتقة عند نقطة باستخدام قاعدة القسمة
افترض أن . إذا كان ، ، ، ، فأوجد .
الحل
نبدأ باستخدام قاعدة القسمة: لإيجاد تعبير لمشتقة . نفترض أن ، . نبدأ بإيجاد مشتقتَي ، على النحو الآتي:
وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على:
بوضع ، نجد أن:
إذا كان ، ، ، ، فإن:
قبل تطبيق قاعدة القسمة، يجب التحقُّق ممَّا إذا كان التعبير المُعطى مبسَّطًا. يكون هذا مهمًّا تحديدًا عندما يكون لدينا تعبير يتضمَّن مجموعًا أو فرقًا بين خارجَي قسمة. هيا نرَ مثالًا نقوم فيه بتبسيط تعبير كسري مُعطى قبل تطبيق قاعدة القسمة.
مثال ٦: اشتقاق الدوال الكسرية المركبة باستخدام قاعدة القسمة
إذا كانت ، فأوجد .
الحل
عندما يُطلَب منَّا اشتقاق دالة كهذه، يمكننا اشتقاق كلِّ حدٍّ باستخدام قاعدة القسمة. لكن عادةً ما يكون من الأسهل التعبير عن مجموع الكسور في صورة كسر مفرد، ثم تطبيق قاعدة القسمة مرة واحدة. وهذه هي الطريقة التي سنوضِّحها هنا. نبدأ بإعادة كتابة تعبير على صورة الكسر المفرد:
يمكننا الآن فك الأقواس في البسط والتبسيط على النحو الآتي: ويمكننا الآن إيجاد مشتقة باستخدام قاعدة القسمة: بجعل ، . نبدأ بإيجاد مشتقتَي ، على النحو الآتي:
والآن، نعوِّض بهذين التعبيرين في قاعدة القسمة، لنحصل على:
هيا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.
النقاط الرئيسية
- لإيجاد مشتقة خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يمكننا استخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن: وعادةً ما نعبِّر عنها بشكل مُبسِّط باستخدام ترميز الشرطة كالآتي:
- قبل تطبيق قاعدة القسمة، يجب التأكُّد ممَّا إذا كان من الممكن تبسيط تعبير الدالة أو لا.