شارح الدرس: قاعدة القسمة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقة دالة باستخدام قاعدة القسمة.

بمجرد أن نتعلَّم كيفية اشتقاق الدوال البسيطة، قد نتساءل كيف يمكننا اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا. بوجه عام، تتكوَّن الدوال الأكثر تعقيدًا من دوال بسيطة مدمجة معًا بطرق مختلفة. هناك بعض الطرق الأساسية لدمج دالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎):

  1. الجمع أو الطرح: 󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎)؛
  2. الضرب أو القسمة: 󰎨(𞸎)𞸓(𞸎) أو 󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)؛
  3. التركيب: 󰎨(𞸓(𞸎)) أو 𞸓(󰎨(𞸎)).

ولكي نتمكَّن من اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا، سيكون من المفيد أن تكون لدينا قواعد تخبرنا بكيفية اشتقاق الدوال المُدمَجة معًا بهذه الطرق المحدَّدة. في هذه المرحلة من منهج التفاضل والتكامل، نعلم بالفعل أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات؛ مثلًا: (󰎨±𞸓)=󰎨±𞸓.󰍱󰍱󰍱

وبالإضافة إلى ذلك، نعلم أن الاشتقاق هو في الواقع عملية خطية. وهذا يعني أنه بالإضافة إلى قاعدة الجمع، لدينا قاعدة الضرب في ثابت: (𞸢󰎨)=𞸢󰎨،󰍱󰍱 حيث 𞸢 عدد ثابت. ولدينا أيضًا قاعدة الضرب المذكورة بالأسفل.

قاعدة: قاعدة الضرب

إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق 𞸏، 𞸔، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي: 𞸃𞸃𞸎(𞸏(𞸎)𞸔(𞸎))=𞸏(𞸎)𞸃𞸃𞸎(𞸔(𞸎))+𞸔(𞸎)𞸃𞸃𞸎(𞸏(𞸎)).

ويمكننا كتابة ذلك بشكل مُبسَّط باستخدام ترميز الشرطة كالآتي: (𞸏𞸔)=𞸏𞸔+𞸏𞸔.󰍱󰍱󰍱

في هذا الشارح، سنركِّز على قاعدة اشتقاق خارج قسمة دالتين. من إحدى طرق التفكير في خارج القسمة 󰏡𞸁 هي التعامل معه على أنه حاصل ضرب 󰏡 في ١𞸁. وسنتناول هذه الطريقة أولًا.

مثال ١: إيجاد مشتقة خارج قسمة باستخدام قاعدة الضرب

عيِّن المشتقة الأولى للدالة 𞸑=٣𞸎٢𞸎+٧١󰋴𞸎٢ بالنسبة إلى 𞸎.

الحل

نفترض أن 𞸑 حاصل ضرب الدالتين: 𞸏=٣𞸎٢𞸎+٧١،𞸔=𞸎.٢١٢

وبفعل ذلك، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب: (𞸏𞸔)=𞸏𞸔+𞸏𞸔،󰍱󰍱󰍱 لإيجاد المشتقة. علينا أولًا إيجاد 𞸏󰍱، 𞸔󰍱 باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸍𞸎،𞸍𞸍١ لنحصل على: 𞸏=٦𞸎٢،𞸔=١٢𞸎=١٢󰋴𞸎.󰍱󰍱٣٣٢

بالتعويض بتعبيرات 𞸏، 𞸏󰍱، 𞸔، 𞸔󰍱 في قاعدة الضرب، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٣𞸎٢𞸎+٧١٢󰋴𞸎+٦𞸎٢󰋴𞸎=٣𞸎+٢𞸎٧١٢󰋴𞸎+٦𞸎٢󰋴𞸎.٢٣٢٣

وبضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ٢𞸎، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة كسر مفرد: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٣𞸎+٢𞸎٧١٢󰋴𞸎+٢١𞸎٤𞸎٢󰋴𞸎=٩𞸎٢𞸎٧١٢󰋴𞸎.٢٣٢٣٢٣

بالتأكيد هناك طريقة أبسط لاشتقاق هذه الدالة. يمكننا البدء بتبسيط تعبير الدالة لتصبح: 𞸑=٣𞸎٢𞸎+٧١𞸎.٣٢١٢١٢

ومن هنا، يمكننا ببساطة استخدام قاعدة القوة لاشتقاق كلِّ حدٍّ.

يمكننا الآن تعميم طريقة التعبير عن خارج القسمة باعتباره حاصل ضرب لاستنتاج صيغة عامة لمشتقة خارج قسمة. سنبدأ بالتعامل مع 𞸏𞸔 باعتباره حاصل ضرب الدالتين 𞸏، ١𞸔. يمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب كالآتي:

𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸃𞸏𞸃𞸎١𞸔+𞸏𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸔󰃀.()١

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة 𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸔󰃀 فقط، وبعد ذلك ستصبح لدينا صيغة عامة لمشتقات خوارج القسمة. نفكِّر في تأثير التغيُّر البسيط في 𞸎 على قيمة ١𞸔. إذا تغيَّرت 𞸎 بمقدار صغير مُعطى بواسطة Δ𞸎، فسيكون هناك تغيُّر مناظر في قيمة 𞸔، نرمز له بـ Δ𞸔. ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن التغيُّر في ١𞸔 بالصيغة: Δ󰃁١𞸔󰃀=١𞸔+Δ𞸔١𞸔.

وبالتعبير عن ذلك في صورة كسر مفرد، نحصل على: Δ󰃁١𞸔󰃀=𞸔(𞸔+Δ𞸔)𞸔(𞸔+Δ𞸔)=Δ𞸔𞸔(𞸔+Δ𞸔).

وبالقسمة على Δ𞸎، نحصل على: Δ󰂔󰂓Δ𞸎=𞸔(𞸔+Δ𞸔).١𞸔Δ𞸔Δ𞸎

وبأخذ النهاية؛ حيث Δ𞸎٠، نحصل على مشتقة ١𞸔: 𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸔󰃀=Δ󰂔󰂓Δ𞸎=𞸔(𞸔+Δ𞸔).ــــــــــΔ𞸎٠١𞸔Δ𞸎٠Δ𞸔Δ𞸎

وباستخدام خواص النهايات المحدودة للدوال المتصلة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸔󰃀=Δ𞸔Δ𞸎𞸔(𞸔+Δ𞸔)=Δ𞸔Δ𞸎𞸔+𞸔Δ𞸔.ــــــــــــــــــــΔ𞸎٠Δ𞸎٠Δ𞸎٠٢Δ𞸎٠

وبما أن ـــــΔ𞸎٠Δ𞸔Δ𞸎=𞸃𞸔𞸃𞸎، ـــــΔ𞸎٠Δ𞸔=٠، إذن نحصل على: 𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸔󰃀=١𞸔𞸃𞸔𞸃𞸎.٢

يمكننا الآن التعويض بهذا الجزء في قاعدة الضرب في المعادلة (١)، وهو ما يعطينا:

𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸃𞸏𞸃𞸎١𞸔𞸏𞸔𞸃𞸔𞸃𞸎.٢()٢

هندسيًّا، يمكننا تصوُّر أن 𞸏𞸔 يمثِّل مساحة مستطيل طولا ضلعيه 𞸏، ١𞸔، كما هو موضَّح في الشكل.

وبتغيير 𞸎 بمقدار ضئيل Δ𞸎، تتغيُّر مساحة المستطيل. وإذا افترضنا أن كلًّا من 𞸏، 𞸔 يزيدان، فإن التغيُّر في 𞸏 يزيد مساحة المستطيل بمقدار ١𞸔Δ𞸏، أما التغيُّر في ١𞸔، فسيُقلِّل من مساحة المستطيل بمقدار 𞸏Δ󰃁١𞸔󰃀. سيكون علينا أيضًا طرح Δ𞸏Δ󰃁١𞸔󰃀 من الزيادة الناتجة عن 𞸏 لإيجاد مساحة المستطيل الجديدة.

عادةً ما يتم التعبير عن قاعدة القسمة (المعادلة (٢)) على صورة كسر مفرد كالآتي: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸃𞸃𞸏𞸃𞸃𞸔.𞸏𞸎𞸔𞸎٢

ولسوء الحظ، قد تسبِّب هذه الصيغة غموض في التفسير الهندسي إلى حدٍّ ما. لكن على الرغم من ذلك، فإنها تُعَدُّ الصورة الأكثر استخدامًا. وفيما يلي نص قاعدة القسمة بالكامل.

قاعدة: قاعدة القسمة

إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق 𞸏، 𞸔، فإن مشتقة خارج قسمتهما تساوي: 𞸃𞸃𞸎=󰃁𞸏(𞸎)𞸔(𞸎)󰃀=𞸔(𞸎)𞸃𞸃(𞸏(𞸎))𞸏(𞸎)𞸃𞸃(𞸔(𞸎))(𞸔(𞸎)).𞸎𞸎٢

ويمكن التعبير عن ذلك بشكل مُبسَّط باستخدام ترميز الشرطة كالآتي: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔.󰍱󰍱󰍱٢

هناك طريقة بديلة لاستنتاج قاعدة القسمة دون استخدام قاعدة الضرب. يمكننا الافتراض أن التغيُّرين في 𞸏، 𞸔 هما Δ𞸏، Δ𞸔 نتيجةً للتغيُّر الضئيل في Δ𞸎. ومن ثَمَّ، التغيُّر المناظر في 𞸏𞸔 يساوي: Δ󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸏+Δ𞸏𞸔+Δ𞸔𞸏𞸔.

للتعبير عن هذا الجزء على صورة كسر مفرد، يصبح لدينا: Δ󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔(𞸏+Δ𞸏)𞸏(𞸔+Δ𞸔)𞸔(𞸔+Δ𞸔)=𞸔Δ𞸏𞸏Δ𞸔𞸔(𞸔+Δ𞸔).

وبالقسمة على Δ𞸎، يصبح لدينا: Δ󰂔󰂓Δ𞸎=𞸔𞸏𞸔(𞸔+Δ𞸔).𞸏𞸔Δ𞸏Δ𞸎Δ𞸔Δ𞸎

إذا أخذنا النهاية؛ حيث Δ𞸎٠، فسنحصل على مشتقة 𞸏𞸔 على الصورة الآتية: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞸔󰃀=Δ󰂔󰂓Δ𞸎=𞸔𞸏𞸔(𞸔+Δ𞸔).ــــــــــΔ𞸎٠𞸏𞸔Δ𞸎٠Δ𞸏Δ𞸎Δ𞸔Δ𞸎

وباستخدام قواعد النهايات المحدودة للدوال المتصلة، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔Δ𞸏Δ𞸎𞸏Δ𞸔Δ𞸎𞸔+𞸔Δ𞸔.ـــــــــــــــΔ𞸎٠Δ𞸎٠٢Δ𞸎٠

وبما أن ـــــΔ𞸎٠Δ𞸏Δ𞸎=𞸃𞸏𞸃𞸎، ـــــΔ𞸎٠Δ𞸔Δ𞸎=𞸃𞸔𞸃𞸎، ـــــΔ𞸎٠Δ𞸔=٠، إذن يصبح لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸃𞸃𞸏𞸃𞸃𞸔.𞸏𞸎𞸔𞸎٢

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نطبِّق فيها قاعدة القسمة لإيجاد المشتقات.

مثال ٢: استخدام قاعدة القسمة لإيجاد المشتقات

أوجد المشتقة الأولى للدالة 𞸑=٨𞸎+٥٣𞸎+٢٢.

الحل

لإيجاد مشتقة الدالة 𞸑، نطبِّق قاعدة القسمة: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔.󰍱󰍱󰍱٢

نفترض أن 𞸏=٨𞸎+٥، 𞸔=٣𞸎+٢٢. وقبل أن نطبِّق قاعدة القسمة، علينا حساب مشتقتَي 𞸏، 𞸔. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، نجد أن: 𞸏=٨،𞸔=٣.󰍱󰍱

وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٨(٣𞸎+٢٢)٣(٨𞸎+٥)(٣𞸎+٢٢).٢

بفك الأقواس في البسط، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٤٢𞸎+٦٧١٤٢𞸎٥١(٣𞸎+٢٢)=١٦١(٣𞸎+٢٢).٢٢

هيا نرَ مثالًا آخر لقاعدة القسمة.

مثال ٣: اشتقاق دوال خارج القسمة

أوجد مشتقة الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎٥𞸎+٨٣𞸎٤٢.

الحل

سنطبِّق قاعدة القسمة: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔،󰍱󰍱󰍱٢ لإيجاد مشتقة 󰎨. نبدأ بجعل 𞸏=٤𞸎٥𞸎+٨٢، 𞸔=٣𞸎٤. وعلينا الآن إيجاد مشتقتَي 𞸏، 𞸔. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة كالآتي: 𞸏=٨𞸎٥،𞸔=٣.󰍱󰍱

وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=(٨𞸎٥)(٣𞸎٤)٣󰁓٤𞸎٥𞸎+٨󰁒(٣𞸎٤).󰍱٢٢

والآن، نفك أقواس البسط ونبسِّط التعبير الناتج إلى: 󰎨(𞸎)=٤٢𞸎٧٤𞸎+٠٢٢١𞸎+٥١𞸎٤٢(٣𞸎٤)=٢١𞸎٢٣𞸎٤(٣𞸎٤).󰍱٢٢٢٢٢

في المثال التالي، سنوجد قيمة ثابت مجهول في تعبير كسري بمعلومية قيمة مشتقة التعبير عند نقطة.

مثال ٤: استخدام قاعدة القسمة

افترض أن 󰎨(𞸎)=𞸎+󰏡𞸎󰏡، 󰎨(٢)=٢󰍱. أوجد قيمة 󰏡.

الحل

بما أننا نعرف قيمة مشتقة 󰎨 عند نقطة محددة، إذن علينا أولًا إيجاد تعبير لمشتقة 󰎨. ويمكننا إيجاد هذا التعبير باستخدام قاعدة القسمة: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔.󰍱󰍱󰍱٢

بجعل 𞸏=𞸎+󰏡، 𞸔=𞸎󰏡، نحصل على: 𞸏=١،𞸔=١.󰍱󰍱

وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=(𞸎󰏡)(𞸎+󰏡)(𞸎󰏡)=٢󰏡(𞸎󰏡).󰍱٢٢

لإيجاد قيمة 󰏡، نستخدم حقيقة أن 󰎨(٢)=٢󰍱. وبالتعويض بالقيمة 𞸎=٢ في تعبير المشتقة لدينا، نحصل على: 󰎨(٢)=٢󰏡(٢󰏡).󰍱٢

ومن ثَمَّ: ٢=٢󰏡(٢󰏡).٢

نضرب طرفَي المعادلة في (٢󰏡)٢، وبالقسمة على ٢، نحصل على: (٢󰏡)=󰏡.٢

يمكننا الآن فك القوس كالآتي: ٤٤󰏡+󰏡=󰏡.٢

ومن ثَمَّ، بطرح 󰏡 من طرفَي المعادلة، نحصل على: 󰏡٥󰏡+٤=٠.٢

يمكن تحليل هذا التعبير بمجرد النظر، وهو ما يعطينا: (󰏡٤)(󰏡١)=٠، يمكننا أيضًا استخدام القانون العام أو أي طريقة أخرى. لكن أيًّا كانت الطريقة المتَّبعة، سنصل إلى أن الحل هو 󰏡=٤ أو 󰏡=١.

في المثال التالي، سنُطبِّق قاعدة القسمة عندما لا تكون لدينا تعبيرات الدوال.

مثال ٥: إيجاد قيمة مشتقة عند نقطة باستخدام قاعدة القسمة

افترض أن 𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎)٤𞸒(𞸎)٥. إذا كان 󰎨(٢)=١، 󰎨(٢)=٨󰍱، 𞸒(٢)=٢، 𞸒(٢)=٥󰍱، فأوجد 𞸓(٢)󰍱.

الحل

نبدأ باستخدام قاعدة القسمة: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔،󰍱󰍱󰍱٢ لإيجاد تعبير لمشتقة 𞸓. نفترض أن 𞸏=󰎨(𞸎)، 𞸔=٤𞸒(𞸎)٥. نبدأ بإيجاد مشتقتَي 𞸏، 𞸔 على النحو الآتي: 𞸏=󰎨(𞸎)،𞸔=٤𞸒(𞸎).󰍱󰍱󰍱󰍱

وبالتعويض بهذه التعبيرات في قاعدة القسمة، نحصل على: 𞸓(𞸎)=(٤𞸒(𞸎)٥)󰎨(𞸎)󰁓٤𞸒(𞸎)󰁒󰎨(𞸎)(٤𞸒(𞸎)٥)=٤󰎨(𞸎)𞸒(𞸎)(٤𞸒(𞸎)+٥)󰎨(𞸎)(٤𞸒(𞸎)+٥).󰍱󰍱󰍱٢󰍱󰍱٢

بوضع 𞸎=٢، نجد أن: 𞸓(٢)=٤󰎨(٢)𞸒(٢)(٤𞸒(٢)+٥)󰎨(٢)(٤𞸒(٢)+٥).󰍱󰍱󰍱٢

إذا كان 󰎨(٢)=١، 󰎨(٢)=٨󰍱، 𞸒(٢)=٢، 𞸒(٢)=٥󰍱، فإن: 𞸓(٢)=٤(١)(٥)(٤(٢)+٥)(٨)(٤(٢)+٥)=٤٤٩.󰍱٢

قبل تطبيق قاعدة القسمة، يجب التحقُّق ممَّا إذا كان التعبير المُعطى مبسَّطًا. يكون هذا مهمًّا تحديدًا عندما يكون لدينا تعبير يتضمَّن مجموعًا أو فرقًا بين خارجَي قسمة. هيا نرَ مثالًا نقوم فيه بتبسيط تعبير كسري مُعطى قبل تطبيق قاعدة القسمة.

مثال ٦: اشتقاق الدوال الكسرية المركبة باستخدام قاعدة القسمة

إذا كانت 𞸑=𞸎+٥𞸎٥𞸎٥𞸎+٥، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

عندما يُطلَب منَّا اشتقاق دالة كهذه، يمكننا اشتقاق كلِّ حدٍّ باستخدام قاعدة القسمة. لكن عادةً ما يكون من الأسهل التعبير عن مجموع الكسور في صورة كسر مفرد، ثم تطبيق قاعدة القسمة مرة واحدة. وهذه هي الطريقة التي سنوضِّحها هنا. نبدأ بإعادة كتابة تعبير 𞸑 على صورة الكسر المفرد: 𞸑=(𞸎+٥)(𞸎٥)(𞸎٥)(𞸎+٥).٢٢

يمكننا الآن فك الأقواس في البسط والتبسيط على النحو الآتي: 𞸑=𞸎+٠١𞸎+٥٢󰁓𞸎٠١𞸎+٥٢󰁒𞸎٥٢=٠٢𞸎𞸎٥٢.٢٢٢٢ ويمكننا الآن إيجاد مشتقة 𞸑 باستخدام قاعدة القسمة: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔،󰍱󰍱󰍱٢ بجعل 𞸏=٠٢𞸎، 𞸔=𞸎٥٢٢. نبدأ بإيجاد مشتقتَي 𞸏، 𞸔 على النحو الآتي: 𞸏=٠٢،𞸔=٢𞸎.󰍱󰍱

والآن، نعوِّض بهذين التعبيرين في قاعدة القسمة، لنحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٠٢󰁓𞸎٥٢󰁒٢𞸎(٠٢𞸎)(𞸎٥٢)=٠٢𞸎٠٠٥(𞸎٥٢).٢٢٢٢٢٢

هيا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.

النقاط الرئيسية

  • لإيجاد مشتقة خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏(𞸎)، 𞸔(𞸎)، يمكننا استخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏(𞸎)𞸔(𞸎)󰃀=𞸔(𞸎)𞸃𞸃(𞸏(𞸎))𞸏(𞸎)𞸃𞸃(𞸔(𞸎))(𞸔(𞸎)).𞸎𞸎٢ وعادةً ما نعبِّر عنها بشكل مُبسِّط باستخدام ترميز الشرطة كالآتي: 󰃁𞸏𞸔󰃀=𞸔𞸏𞸔𞸏𞸔.󰍱󰍱󰍱٢
  • قبل تطبيق قاعدة القسمة، يجب التأكُّد ممَّا إذا كان من الممكن تبسيط تعبير الدالة أو لا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.