شارح الدرس: تطبيقات على المتجهات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم العمليات على المتجهات لحلِّ مسائل حياتية متنوِّعة.

في عالمنا، تُوجَد بعض الكميات القياسية، مثل: الكتلة أو الطول أو العُمر، تُمثَّل بواسطة عدد واحد نسمِّيه مقدارها، والبعض الآخَر كميات متجهة، مثل الإزاحة أو السرعة أو القوة، وتمثَّل بواسطة مقدار واتجاهٍ معيَّن. تُستخدَم المتجهات على نطاق واسع في الرياضيات والهندسة والفيزياء والحوسبة. على سبيل المثال في علم الميكانيكا الكلاسيكية، إذا نظرنا إلى القُوى أو كمية الحركة المؤثِّرة على جسم، فعلينا أن ننتبه إلى المقدار والاتجاه لمعرفة الموضع الذي سيتحرَّك إليه الجسم عند أيِّ زمن؛ فإذا سقط جسم سقوطًا حرًّا، فعلينا ألَّا ننتبه إلى اتجاه الجاذبية المؤثِّر على الجسم فحسب، بل يجب أن ننتبه إلى اتجاهات ومقادير القُوى الأخرى، مثل مقاومة الهواء أو الرياح.

تعريف: المتجه

المتجه كمية لها مقدار واتجاه. ويُمكن تمثيله هندسيًّا باستخدام قطعة مستقيمة موجَّهة، طولها هو مقدار المتجه، ويُشير سهمُها إلى اتجاهه.

يُمكن التعبير عن هذا الاتجاه بدلالة اتجاهات الشمال والشرق والغرب والجنوب، أو الدمج بين أكثر من اتجاه معًا، أو بصفة عامَّة في صورة زاوية أو اتجاه زاوي. على سبيل المثال، يُمكن أن يتحرَّك الجسم بسرعة ٢٥ ميلًا/س في اتجاه الشرق.

ومثال على ذلك، لنتناول حالة تتضمَّن سرعة، ونحدِّد المقدار والاتجاه من المعلومات المُعطاة.

مثال ١: مقدار السرعة واتجاه السرعة

السرعة كمية متجهة تجمع بين مقدار السرعة والاتجاه. على سبيل المثال: السرعة لقطاع من نهر المسيسيبي بالقرب من نيو أورلينز تساوي ٣ أميال لكل ساعة في اتجاه الشرق.

1. ما مقدار السرعة؟
2. ما اتجاه السرعة؟

الحل

الجزء الأول

هيَّا نحدِّد أولًا مقدار السرعة.

مقدار السرعة يساوي قيمة السرعة، وهي تساوي في هذه الحالة بالنسبة إلى قطاع من نهر المسيسيبي بالقرب من نيو أورلينز ٣ أميال لكل ساعة.

الجزء الثاني

الآن دعونا نحدِّد الاتجاه.

الاتجاه هو اتجاه الشرق؛ لأن سرعة النهر تتحرَّك في هذا الاتجاه.

تُوجَد طريقة أخرى لتمثيل المتجه، بدلًا من استخدام المقدار والاتجاه، وتكون باستخدام الصورة الكارتيزية. يُمكن بوجهٍ عامٍّ تمثيل المتجهات في أيِّ عددٍ من الأبعاد، تُعرَف أيضًا بدرجات الحرية، وهي عدد المركِّبات اللازمة لتحديد المتجه بالكامل. في هذا الشارح، سنتناول المتجهات في بُعدٍ واحد وبُعدين على الترتيب، لكن المبادئ نفسها تنطبق على ثلاثة أبعاد أو أكثر.

في بُعد واحد، تمثَّل المتجهات بعدد واحد، ، يُمكن أن يكون موجبًا ويُمكن أن يكون سالبًا بحسب اتجاه المتجه. أمَّا في بُعدين، فيُمثَّل المتجه، ، بعددين على الصورة الكارتيزية. والصورة الكارتيزية للمتجه تُعرِّف الموضع على أنه المسافة الخطية من نقطة الأصل في اتجاهين متعامدين أو أكثر.

ويكون متجها الوحدة القياسيان في المستوى الإحداثي هما: ، في بُعدين، كما هو موضَّح في الشكلين الآتيين.

ونقطة الأصل هي النقطة التي يتقاطع عندها المحوران، وتُحدَّد المتجهات على المستوى الإحداثي من خلال التركيب الخطي لمتجهات الوحدة باستخدام الترميز الآتي: .

يُفسَّر اتجاه المتجه بهذا الشكل حيث: الاتجاه من الغرب إلى الشرق يعني أننا نتحرَّك في الاتجاه ، بينما الاتجاه من الشرق إلى الغرب يعني أننا نتحرَّك في الاتجاه . وبالمثل، فإن الاتجاه من الجنوب إلى الشمال يعني أننا نتحرَّك في الاتجاه ، والاتجاه من الشمال إلى الجنوب يعني أننا نتحرَّك في الاتجاه . أمَّا التحرُّك في أيِّ اتجاهٍ آخَر غير هذه الاتجاهات، لنقل اتجاه الجنوب الشرقي، سيجمع بين اتجاهين من هذه الاتجاهات.

على سبيل المثال، إذا أردنا أن نحدِّد متجه الإزاحة لشخص يتحرَّك ٢ م إلى الغرب، ثم يتحرَّك ٤ م في اتجاه الجنوب، يُمكننا فعل ذلك باستخدام هذين الاتجاهين المتعامِدين؛ التحرُّك ٢ م إلى الغرب يمثِّل إزاحة مقدارها ، والتحرُّك ٤ م إلى الجنوب يمثِّل إزاحة مقدارها ؛ حيث إننا نعتبر أن اتجاهي الشمال والشرق موجبان. بوضعهما معًا، نجد أن متجه الإزاحة هو:

إن جمع المتجهات أو طرحها في بُعد واحد أمرٌ بسيط؛ حيث إننا نجمع أو نطرح فقط المركِّبات أو الأعداد التي تمثِّل كلَّ متجه. تذكَّر أنه يُمكن تمثيل جمع أو طرح المتجهين ، ، في بُعدين في مخطط متجهي، كالآتي.

جمع متجهين أو طرحهما يكافئ جمع مركِّباتهما أو طرحها. على سبيل المثال، إذا كان ، ، فإن:

ويُمكن أيضًا أن يكون لدينا متجه بالنسبة إلى متجه آخَر، على سبيل المثال عند النظر في حالة حركة جسمين.

تعريف: السرعة النسبية

انظر إلى حركة الجسمين، الجسم ، الجسم .

إذا كان هذان الجسمان يتحرَّكان بالسرعتين ، ، على الترتيب، فإن السرعة النسبية لـ بالنسبة إلى ، والتي يُرمَز لها بالرمز ، تساوي الفرق بين هاتين السرعتين:

وبالمثل، يُمكن أن نُشير إلى السرعة النسبية لـ بالنسبة إلى بالرمز ، وتُعطَى بواسطة:

لاحِظ أن ، وهذه نتيجة بديهية؛ لأن سالب المتجه يمثِّل الاتجاه المضاد.

في الحالات البسيطة، يُمكننا أن نفترض أن الأجسام المختلفة تتحرَّك على طول خط مستقيم في اتجاهين، يسارًا أو يمينًا، وأنها تتحرَّك إمَّا في نفس الاتجاه وإمَّا في اتجاهات متضادَّة. فإذا تحرَّكت في الاتجاه نفسه، فستكون لمتجهات السرعة نفس الإشارة، بينما في الاتجاه المضادِّ فستكون لها إشارات مختلفة. السرعة تساوي مقدار متجه السرعة .

هيَّا نتناول مثالًا حيث علينا إيجاد السرعتين النسبيتين لدرَّاجتين بخاريتين تتحرَّكان في الاتجاه نفسه، على طول خط مستقيم. السرعة لكلِّ درَّاجة بخارية ، ، مُعطاة في صورة عدد واحد، يمثِّل متجهًا في بُعد واحد.

مثال ٢: إيجاد السرعة النسبية بين جسمين يتحرَّكان في الاتجاه نفسه

تحرَّكت الدرَّاجتان البخاريتان ، ، في نفس الاتجاه. إذا كانت سرعة الدَّراجة تساوي ٣٠ كم/س، وسرعة الدرَّاجة تساوي ١٥ كم/س، فأوجد السرعة النسبية للدرَّاجة بالنسبة إلى الدرَّاجة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد السرعة النسبية للدرَّاجة بالنسبة إلى الدرَّاجة اللتين تتحرَّكان في نفس الاتجاه.

نفترض أن سرعة الدرَّاجة هي ، وسرعة الدرَّاجة هي ؛ لأن الدرَّاجتين تتحرَّكان في نفس الاتجاه.

السرعة النسبية للدرَّاجة بالنسبة إلى الدرَّاجة تساوي:

وعليه فإن السرعة النسبية تساوي ١٥ كم/س.

الآن لنتناول مثالًا مطلوبًا فيه إيجاد السرعة الفعلية لشاحنة، بحسب المعلومات المُعطاة عن سرعة سيارة شرطة والسرعات النسبية.

مثال ٣: إيجاد السرعة لجسم متحرِّك باستخدام سرعته النسبية

تتحرَّك سيارة شرطة على طريق سريع أفقي بسرعة ٤٧ كم/س. استَخدَمت السيارة رادارًا لقياس سرعة شاحنة تتحرَّك في نفس الاتجاه. إذا كانت قراءة الرادار ٥٠ كم/س، فاحسب السرعة الفعلية للشاحنة.

الحل

في هذا المثال، مطلوبٌ منَّا إيجاد السرعة الفعلية للشاحنة باستخدام المعلومات المُعطاة عن سرعة سيارة الشرطة والسرعة النسبية للشاحنة بالنسبة إلى سيارة الشرطة، حسب قراءة الرادار.

لنفترض أن هي سرعة سيارة الشرطة، هي سرعة الشاحنة مَقيسة بالرادار، وهي سرعة الشاحنة بالنسبة إلى سرعة سيارة الشرطة. كلتا السرعتين لهما الإشارة نفسها؛ لأن سيارة الشرطة والشاحنة تتحرَّكان في الاتجاه نفسه. يُمكننا إيجاد السرعة الفعلية للشاحنة بإعادة ترتيب على الصورة:

وبما أن هذه السرعة موجبة، إذن السرعة الفعلية للشاحنة تساوي ٩٧ كم/س.

يُمكننا أيضًا الحصول على متجه السرعة النسبية على الصورة الكارتيزية في بُعدين. على سبيل المثال، افترض الجسمين ، يتحرَّكان بالسرعتين: ، ، على الترتيب، المعبَّر عنهما في الصورة الكارتيزية أو بدلالة متجهَيْ وحدة متعامِدين. هذا يعني أننا نحسب الفرق بين كلِّ مركِّبة في المتجه والمركِّبة المناظِرة لها في المتجه .

لسنا مضطرين لكتابة متجهي الوحدة بدلالة ، ، وهما متجها الوحدة القياسيان. يُمكننا أن نعبِّر عنهما بدلالة أيِّ متجهات أخرى، ، مثلًا، طالما أن كلًّا منهما متعامد على الآخَر، ولهما أطوال تساوي وحدة طول واحدة.

على سبيل المثال، إذا تحرَّك الجسم بالسرعة ، وتحرَّك الجسم بالسرعة ، فإن سرعة الجسم بالنسبة إلى الجسم يُمكن أن نرمز لها بالرمز ، وتُعطَى بواسطة:

والآن لنلقِ نظرةً على مثال مطلوب منَّا فيه إيجاد السرعة النسبية بدلالة متجه وحدة مُعطًى لسيارتين تتحرَّكان في اتجاهين متضادَّيْن.

مثال ٤: إيجاد السرعة النسبية بين جسمين يتحرَّكان في اتجاهين متضادَّيْن على الصورة المتجهة

السيارتان ، تتحرَّكان في اتجاهين متضادَّيْن على نفس الطريق بسرعة ٦٢ كم/س، ٣١ كم/س، على الترتيب. إذا كان متجه وحدة في اتجاه حركة السيارة ، فأوجد سرعة السيارة بالنسبة إلى السيارة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد سرعة السيارة بالنسبة إلى السيارة بدلالة متجه الوحدة ، هذا هو اتجاه حركة السيارة ، وتتحرَّك السيارتان في اتجاهين متضادَّيْن.

بما أن متجه وحدة مُعطًى في اتجاه حركة السيارة ، وعلِمنا من السؤال أن هذه السيارة تتحرَّك بسرعة ٦٢ كم/س، إذن متجه السرعة للسيارة هو:

وبالمثل، بما أن السيارة تتحرَّك في الاتجاه المضادِّ لحركة السيارة بسرعة ٣١ كم/س، فإن متجه سرعتها سيكون سالبًا:

سرعة السيارة بالنسبة إلى السيارة تساوي:

ومن ثَمَّ، فإن السرعة النسبية تساوي:

عند التفكير في قوتين أو أكثر تؤثِّران على جسم، فإن القوة المحصلة ، تساوى حاصل الجمع المتجهي للقُوى المختلفة.

تعريف: القوة المحصلة

إذا كان هناك عدد من القُوى المؤثِّرة على جسم واحد، فإن القوة المحصلة تُعطَى بواسطة:

يكون نظام هذه القُوى في حالة اتزان عندما تساوي القوة المحصلة صفرًا، .

على سبيل المثال، إذا أثَّرت القوتان ، على جسم، فإن القوة المحصلة تُعطَى بواسطة:

هيَّا نتناول مثالًا مطلوبًا منَّا فيه إيجاد القِيَم المجهولة التي تَظهَر في متجهَيْ قُوًى مُعطَيَيْن بدلالة متجهَيِ الوحدة القياسيين ، ويؤثِّران على جسيم في حالة اتزان.

مثال ٥: إيجاد المركِّبات المجهولة لقوتين بمعلومية اتزانهما

جُسيم في حالة اتزان تؤثِّر عليه القوتان ، . أوجد قيمة كلٍّ من ، .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة كلٍّ من ، للقوتين في الاتجاهين ، ، لكلٍّ من ، ، على الترتيب، لجسيم في حالة اتزان نتيجة تأثير قوتين.

لعلنا نتذكَّر أن القوة المحصلة المؤثِّرة على أيِّ جسم هي مجموع كلِّ القُوى. ومن ثَمَّ، فإن القوة المحصلة للقوتين المؤثِّرتين على الجسيم تساوي:

تكون القُوى في حالة الاتزان إذا كانت القوة المحصلة تساوي صفرًا. إذا كان المتجه يساوي صفرًا، فإن كلَّ مركِّبة من مركِّباته المنفردة يجب أن تساوي صفرًا، إذن: و:

وعليه فإن القيمتين هما:

في المثال الآتي، سنُوجِد مرة أخرى قِيَمًا مجهولة تَظهَر في متجهات القُوى، مُعطاة بدلالة متجهي الوحدة القياسيين ، ، لكن هذه المرة تُوجَد ثلاث قوًى مؤثِّرة على جسيم القوة المحصلة له مُعطاة.

مثال ٦: إيجاد المركِّبات المجهولة لثلاث قوًى بمعلومية مركِّبات القوة المحصلة

تؤثِّر القُوى ، ، على جسيم؛ حيث ، متجها وحدة متعامِدان. إذا كانت محصلة القُوى ، فأوجد قيمتَيْ ، .

الحل

في هذا المثال، مطلوبٌ منَّا إيجاد القيمتين المجهولتين ، ، الموجودتين في مركِّبات القوتين ، ، على الترتيب، واللتين تؤثِّران إلى جانب القوة ، على جسيم والقوة المحصلة مُعطاة.

لعلنا نتذكَّر أن القوة المحصلة المؤثِّرة على أيِّ جسيم تساوي مجموع كلِّ القُوى. ومن ثَمَّ، فإن القوة المحصلة للقُوى الثلاث المؤثِّرة على الجسيم تساوي:

بما أننا نعلم أن متجه القوة المحصلة هو ، إذن نساوي مركِّبتَيْ ، كلٍّ على حِدَة لنحصل على: وعلى:

إذن القيمتان هما:

بالنسبة إلى أيِّ متجه على الصورة الكارتيزية، ، يكون المقدار:

هذا هو طول المتجه أو المسافة من نقطة الأصل، وهو ما يُمكننا إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس في مثلث قائم الزاوية به ضلعان طولاهما ، .

مقدارا متجهَيِ الوحدة هما: ولهذا السبب يُطلَق عليهما متجها الوحدة؛ لأن طولَيْهما يساوي وحدة طول واحدة. ويُعطينا مقدار الإزاحة أو متجه السرعة المسافة أو السرعة على الترتيب. على سبيل المثال، إذا كان متجه السرعة لجسم: فإن مقدار سرعة الجسم تساوي:

يُمكننا أيضًا كتابة الاتجاه بدلالة زاوية مقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب . باستخدام نتائج حساب المثلثات القياسية، لدينا: حيث تُعرَف بأنها اتجاه المتجه. باستخدام المقدار والاتجاه، يُمكن تحويل المتجه المُعطى بدلالة متجهات الوحدة على الصورة الكارتيزية إلى متجه ممثَّل بواسطة مقداره واتجاهه. في الحقيقية، هذا يكافئ الصورة القطبية للمتجه، نصف القطر ، وقياس الزاوية ؛ حيث تكون الزاوية مقيسة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور .

قد نحتاج إلى رسم المتجه أولًا للتأكُّد من حصولنا على الزاوية الصحيحة؛ لأن أخْذ الدالة العكسية للظلِّ قد لا يكون كافيًا. ويكون مدى الدالة العكسية للظلِّ هو عندما يكون مجال دالة الظلِّ مُقيَّدًا بالفترة نفسها، ويُعرَف بالمجال الرئيسي.

ومن ثَمَّ، طالما أن ، يُمكننا أخْذ الدالة العكسية لكلا طرفي المعادلة لنحصل على:

الإحداثيات الزاويَّة تنتمي إلى الرُّبع الأول أو الرُّبع الرابع، أو الأرباع التي فيها . ولكن ذلك لا ينطبق إذا كان المتجه يقع في الرُّبع الثاني أو الرُّبع الثالث. بالنسبة إلى الرُّبعين الثاني والثالث، يجب جمع القيمة ، بوحدة الراديان، أو ، بالدرجات إلى الزاوية لتعديل الزاوية بحيث يقع المتجه في الرُّبع الصحيح. وهذا لا يؤثِّر على دالة الظلِّ نفسها بما أن لدينا المتطابقة:

على سبيل المثال، لنفترض متجهًا في الرُّبع الثاني.

من الرسم، نلاحِظ أن:

مجموع قياسات جميع الزوايا الواقِعة على خط مستقيم تساوي ؛ ولذلك . وعليه، في الرُّبع الثاني أو الثالث حيث ، قياس الزاوية يساوي:

وأخيرًا: لنتناول مثالًا نُوجِد فيه إزاحة جسم معيَّن، ومقدارها واتجاهها، بناءً على المعلومات المُعطاة. يُمكننا فعل ذلك بكتابة متجه الإزاحة بدلالة متجهي الوحدة أولًا، ثم باستخدام نظرية فيثاغورس ونتائج حساب المثلثات القياسية.

مثال ٧: حلُّ المسائل الكلامية بجمع متجهين وإيجاد الناتِج مقدارًا واتجاهًا

تحرَّك جسم مسافة ٢٨ م باتجاه الشرق، ثم تحرَّك مسافة ١٤ م باتجاه الشمال. أوجد إزاحة الجسم، وحدِّد اتجاه الإزاحة لأقرب دقيقة.

الحل

في هذا المثال، مطلوبٌ منَّا إيجاد إزاحة جسم، أيِ المسافة والاتجاه، التي تحرَّكها هذا الجسم في اتجاهين معيَّنين متعامدين كلٌّ منهما على الآخَر.

لنبدأ بإيجاد متجه الإزاحة من المعلومات المُعطاة. نتذكَّر أنه يُمكننا تمثيل المتجه على الصورة الكارتيزية بدلالة اتجاهين متعامدين كلٌّ منهما على الآخَر، ، .

نعتبر الاتجاه من الغرب إلى الشرق (باتجاه الشرق) موجبًا في الاتجاه ، والاتجاه من الجنوب إلى الشمال (باتجاه الشمال) موجبًا في الاتجاه .

بما أن الجسم يتحرَّك مسافة ٢٨ م، فإن إزاحته في هذا الاتجاه هي ، ثم يتحرَّك مسافة ١٤ م باتجاه الشمال، وبهذا تكون إزاحته . وبوضع هذين معًا، نجد أن متجه الإزاحة هو:

المسافة هي مقدار متجه الإزاحة، التي يُمكننا إيجادها باستخدام نظرية فيثاغورس، كما يأتي:

الاتجاه مُعطًى بدلالة الزاوية ، والتي يُمكن حساب قياسها باستخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية، كما يأتي:

ومن ثَمَّ، فإن الإزاحة تساوي م، في اتجاه شمال الشرق.