تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: استخدام المحدِّدات لحساب المساحة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم المحددات لحساب مساحة المثلث ومتوازي الأضلاع بمعلومية إحداثيات رءوسهما.

هناك الكثير من الخواص المفيدة للمصفوفات التي يمكننا استخدامها لحل المسائل. يمكننا استخدام محددات المصفوفات لتساعدنا في حساب مساحة أيِّ مضلع بمعلومية رءوسه. للقيام بذلك، نبدأ بصيغة مساحة المثلث باستخدام المحددات.

نظرية: مساحة المثلث باستخدام المحددات

مساحة المثلث الذي رءوسه 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=١٢||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣

نأخذ القيمة المطلقة لهذا المحدد، للتأكُّد من أن المساحة لا تساوي قيمة سالبة.

هناك طرق أخرى لإيجاد مساحة المثلث. على سبيل المثال، نحن نعلم أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. لكن هذه الصيغة تتطلَّب منا معرفة هذه الأطوال بدلًا من إحداثيات الرءوس فقط.

هيا نرَ مثالًا على استخدام هذه الصيغة لحساب مساحة المثلث من إحداثيات رءوسه.

مثال ١: إيجاد مساحة مثلث على الإحداثيات الديكارتية باستخدام المحددات

أوجد مساحة المثلث الموجود في الشكل الآتي باستخدام المحددات.

الحل

في هذا السؤال، يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام الهندسة. لكن مطلوب منا حساب مساحة المثلث باستخدام المحددات.

للقيام بذلك، علينا استخدام حقيقة أن مساحة المثلث الذي رءوسه 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=١٢||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣

إذن علينا إيجاد رءوس المثلث؛ ويمكننا فعل ذلك بالاستعانة بالرسم.

تجدر الإشارة هنا إلى عدم أهمية الترتيب الذي نختار به الرءوس؛ لأن هذا سيؤدي إلى تبديل وضع صفوف المصفوفة فقط، وذلك لن يغيِّر سوى إشارة المحدد.

إذن مساحة هذا المثلث تساوي: اد=١٢󰎁󰃭٠٥١٤٥١٣٤١󰃬󰎁.

بفك المحدد باستخدام العمود الأول، نحصل على: اددد=١٢󰍻٠×󰂔٥١٤١󰂓٤×󰂔٥١٤١󰂓+٣×󰂔٥١٥١󰂓󰍻=١٢|٤(٥×١(٤)×١)+٣(٥×١٥×١)|=١٢|٦٣|=٨١، وهو ما يعطينا أن مساحة المثلث تساوي ١٨ وحدة مربعة.

يمكننا التحقُّق من إجابتنا عن طريق حساب مساحة هذا المثلث باستخدام طريقة مختلفة. على سبيل المثال، مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع، ويمكننا إيجاد القيمتين من الرسم.

باعتبار الضلع الأفقي هو القاعدة، نجد أن طول القاعدة يساوي ٤، وارتفاع المثلث يساوي ٩. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدامهما لحساب مساحة المثلث: ااةارع=١٢××=١٢×٤×٩=٨١.

وهذا يؤكِّد لنا إجابتنا بأن مساحة المثلث تساوي ١٨ وحدة مربعة.

يمكننا الاستفادة من صيغة مساحة المثلث باستخدام المحددات لإيجاد الإحداثيات الممكنة لرأس مثلث بمعلومية المساحة، كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٢: إيجاد رءوس مثلث بمعلومية مساحته

إذا كانت مساحة المثلث الذي رءوسه هي (𞸏،٠)، (٦،٠)، (٠،٣) تساوي ٩ وحدات مربعة، فإن 𞸏=.

  1. صفر أو ٢١
  2. صفر أو ١٢
  3. ٦ أو ٦
  4. ٢١ أو ١٢

الحل

في هذا السؤال، لدينا مساحة المثلث وإحداثيات اثنين من رءوسه، وعلينا استخدام ذلك لإيجاد إحداثيات الرأس الثالث. يمكننا إيجاد مقدار يدل على مساحة المثلث باستخدام نصف طول القاعدة في الارتفاع. هذا يعطينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة 𞸏. لكن، دعونا نُوجِد حل هذا المثال باستخدام المحددات.

يمكننا إيجاد مساحة المثلث باستخدام إحداثيات رءوسه. المثلث الذي رءوسه 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى مساحته بالصيغة الآتية: اد=١٢||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣

بالتعويض بإحداثيات رءوس هذا المثلث نحصل على: اد=١٢󰎁󰃭𞸏٠١٦٠١٠٣١󰃬󰎁.

هذه المساحة تساوي ٩، ويمكننا إيجاد قيمة المحدد عن طريق فكِّه باستخدام العمود الثاني: ٩=١٢󰎁󰃭𞸏٠١٦٠١٠٣١󰃬󰎁=١٢󰍻٠×󰂔٦١٠١󰂓٠×󰂔𞸏١٠١󰂓+٣×󰂔𞸏١٦١󰂓󰍻=١٢|٣(𞸏٦)|=٣٢|𞸏٦|.دددد

ومن ثَمَّ، بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على: ٦=|𞸏٦|.

هذا يعطينا خيارين؛ إما: ٦=𞸏٦ وإما: ٦=𞸏٦.

يمكننا حل هاتين المعادلتين لنحصل على 𞸏=٠ أو 𞸏=٢١، وهو الخيار ب.

حتى الآن، ناقشنا إيجاد مساحة المثلثات باستخدام المحددات. يمكننا توسيع نطاق هذه الفكرة لتشمل المضلعات التي تحتوي على أيِّ عددٍ من الأضلاع. نبدأ بإيجاد صيغة لمساحة متوازي الأضلاع. هناك طريقتان مختلفتان لفعل ذلك.

الطريقة الأولى لفعل ذلك هي عرض متوازي الأضلاع على صورة مثلثين متطابقين. إذا اخترنا أيَّ ثلاثة رءوس من متوازي الأضلاع، فإننا نحصل على مثلث.

لا يهم الرءوس الثلاثة التي سنختارها؛ حيث نقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين. أطوال أضلاع كل مثلث من المثلثين متساوية؛ لذا فهما متطابقان ومساحتهما متساوية. يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام المحددات: اازياﺿعاادد󰂔󰂓=٢()=٢×١٢||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||=||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣١١٢٢٣٣

نلخِّص ذلك كالآتي.

مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات

مساحة متوازي الأضلاع الذي يقع أيُّ ثلاثة رءوس به عند 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣

هناك طريقة ثانية يمكننا من خلالها إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. بما أن انتقال متوازي الأضلاع لا يغيِّر مساحته، إذن يمكننا نقل أيِّ متوازي أضلاع ليصبح رأسه عند نقطة الأصل. ومن ثَمَّ، علينا فقط تحديد مساحة متوازي الأضلاع. انظر إلى متوازي الأضلاع الذي رءوسه (٠،٠)، (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، (𞸤،𞸅)، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكننا إيجاد مساحة متوازي الأضلاع هذا بتقسيمه إلى مثلثين بطريقتين مختلفتين، وستُعطي كلتا الطريقتين المساحة نفسها لمتوازي الأضلاع. على سبيل المثال، يمكننا تقسيم متوازي الأضلاع إلى نصفين على طول القطعة المستقيمة بين (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃).

يمكننا ملاحظة أن القُطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين. هذان المثلثان متطابقان؛ لأنهما يشتركان في أطوال أضلاع مماثلة. وبناءً على ذلك، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث الموضَّح في الأسفل.

يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام المحددات: ااد()=١٢󰎁󰃭٠٠١󰏡𞸁١𞸢𞸃١󰃬󰎁.

بفك المحدد باستخدام الصف الأول، نجد أن: اادددد()=١٢󰍾٠×󰂔𞸁١𞸃١󰂓٠×󰂔󰏡١𞸢١󰂓+١×󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾=١٢󰍾󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾.

وبما أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف هذه القيمة، إذن يصبح لدينا: اازياﺿعد󰂔󰂓=󰍾󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾.

كان بإمكاننا أيضًا تقسيم متوازي الأضلاع على طول القطعة المستقيمة بين نقطة الأصل والنقطة (𞸤،𞸅) كما هو موضَّح في الآتي.

مرة أخرى يقسم هذا متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين، ويمكننا حساب مساحة أحد هذين المثلثين على النحو الآتي: ١٢󰎁󰃭٠٠١𞸤𞸅١𞸢𞸃١󰃬󰎁=١٢󰍻󰂔𞸤𞸅𞸢𞸃󰂓󰍻.دد

مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف هذه القيمة: اازياﺿعد󰂔󰂓=󰍻󰂔𞸤𞸅𞸢𞸃󰂓󰍻.

في كلتا الحالتين، مساحة متوازي الأضلاع تساوي القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة من الرتبة ٢×٢ صفوفها تمثِّل إحداثيات أيِّ رأسين من رءوسه ليسا عند نقطة الأصل. نلخِّص هذه النتيجة كالآتي.

نظرية: مساحة متوازي الأضلاع

إذا كان متوازي الأضلاع له رأس واحد عند نقطة الأصل، ورأسان آخران عند (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، فإن مساحته تُعطى بالصيغة: اد=󰍾󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾.

هيا نرَ مثالًا يوضِّح كيفية تطبيق هذه الصيغة لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع من إحداثيات رءوسه.

مثال ٣: حساب مساحة متوازي أضلاع باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحساب مساحة متوازي أضلاع رءوسه (١،١)، (٤،٥)، (٢،٨)، (٣،٤).

الحل

هيا نبدأ بتذكُّر كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. مساحة متوازي الأضلاع الذي يقع أيُّ ثلاثة رءوس به عند 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣

يمكننا اختيار أيِّ ثلاثة من الرءوس المعطاة لحساب مساحة متوازي الأضلاع. على سبيل المثال، إذا اخترنا النقاط الثلاث الأولى، فإن: اد=󰎁󰃭١١١٤٥١٢٨١󰃬󰎁.

بفك المحدد باستخدام الصف الأول نحصل على: ادددوة=󰍻١×󰂔٥١٨١󰂓١×󰂔٤١٢١󰂓+١×󰂔٤٥٢٨󰂓󰍻=|(٥٨)(٤+٢)+(٢٣+٠١)|=٣٢.

إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٢٣ وحدة مربعة.

يمكننا أيضًا الاستفادة من حقيقة أنه إذا كان متوازي الأضلاع له رأس واحد عند نقطة الأصل وأيُّ رأسين من رءوسه الأخرى عند (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، فإن مساحته تُعطى بالصيغة: اد=󰍾󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾.

لاستخدام هذه الصيغة، علينا نقل متوازي الأضلاع بحيث يقع أحد رءوسه عند نقطة الأصل. وبما أن أحد الرءوس هو النقطة (١،١)، إذن نفعل ذلك عن طريق نقل متوازي الأضلاع بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل. وهذا يعطينا الإحداثيات الآتية لرءوسه: (١١،١١)=(٠،٠)،(٤١،٥١)=(٥،٤)،(٢١،٨١)=(٣،٧)،(٣١،٤١)=(٢،٣).

يمكننا استخدام أيِّ رأسين من هذه الرءوس ليسا عند نقطة الأصل لتحديد مساحة متوازي الأضلاع. ومن ثَم: اد=󰍻󰂔٥٤٣٧󰂓󰍻=|٥٣(٢١)|=|٣٢|=٣٢.

إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٢٣ وحدة مربعة.

كان بإمكاننا إيجاد مساحة متوازي الأضلاع بتقسيمها إلى مثلثين متطابقين. بالمثل، يمكننا إيجاد مساحة المثلث باعتباره نصف متوازي الأضلاع، كما سنرى في المثال الآتي.

مثال ٤: حساب مساحة مثلث باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحساب مساحة مثلث رءوسه (٢،٢)، (٤،٢)، (٠،٢) عن طريق عرض المثلث على صورة نصف متوازي أضلاع.

الحل

بدايةً، نريد تكوين متوازي الأضلاع باستخدام مثلثين متساويين من المثلث المُعطى في السؤال. هذا يعني أنه سيكون هناك ثلاث طرق مختلفة لتكوين متوازي الأضلاع؛ حيث يمكننا دمج المثلثين على أيِّ ضلع. يمكننا ملاحظة ذلك في الأشكال الثلاثة الآتية.

لجميع متوازيات الأضلاع الثلاثة المساحة نفسها؛ لأنها تتكوَّن من نفس المثلثين المتطابقين. لكننا لا نحتاج إلى إحداثيات النقطة الرابعة لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. تذكَّر أنه إذا كان متوازي الأضلاع له رأس واحد عند نقطة الأصل، ورأسان آخران عند (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، فإن مساحته تُعطى بالصيغة: اد=󰍾󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾.

يمكننا الاستفادة من ذلك لتحديد مساحة متوازي الأضلاع عن طريق نقل الشكل بحيث يقع أحد رءوسه عند نقطة الأصل. ننقل النقطة (٠،٢) إلى نقطة الأصل عن طريق نقل كل رأس من الرءوس إلى الأسفل بمقدار وحدتين؛ وهذا يُعطينا: (٠،٢٢)=(٠،٠)،(٢،٢٢)=(٢،٤)،(٤،٢٢)=(٤،٤).

نستخدم إحداثيات النقطتين الأخيرتين لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع: اازياﺿعد󰂔󰂓=󰍻󰂔٢٤٤٤󰂓󰍻=|٨+٦١|=٨.

وأخيرًا، نتذكَّر أن مساحة المثلث تساوي نصف هذه القيمة، وهو ما يُعطينا أن مساحة المثلث الذي تقع رءوسه عند (٢،٢)، (٤،٢)، (٠،٢) تساوي ٤ وحدات مربعة.

إذا تمكننا من حساب مساحة مثلث باستخدام المحددات، فإنه يمكننا حساب مساحة أيِّ مضلع بتقسيمه إلى مثلثات (يُطلَق على ذلك التثليث). هيا نرَ مثالًا مطلوبًا فيه حساب مساحة شكل رباعي باستخدام المحددات.

مثال ٥: حساب مساحة شكل رباعي باستخدام محدد المصفوفة

انظر إلى الشكل الرباعي الذي رءوسه 󰏡(١،٣)، 𞸁(٤،٢)، 𞸢(٥٫٤،٥)، 𞸃(٢،٦).

بتقسيمه إلى مثلثين، كما هو موضَّح، احسب مساحة هذا الشكل الرباعي باستخدام المحددات.

الحل

نريد إيجاد مساحة هذا الشكل الرباعي بتقسيمه إلى مثلثين، كما هو موضَّح. هذا يعني أن علينا حساب مساحة هذين المثلثين باستخدام المحددات، ثم نجمع النتائج معًا. لدينا خياران لإيجاد مساحة مثلث باستخدام المحددات: يمكننا التعامل مع المثلثات باعتبارها نصف متوازي أضلاع واستخدام محدد مصفوفة من الرتبة ٢×٢ لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع، أو يمكننا استخدام صيغة مساحة المثلث باستخدام محدد مصفوفة من الرتبة ٣×٣. وبما أن لدينا شكلًا رءوسه مُعطاة؛ إذن نستخدم صيغة إيجاد مساحات المثلثات مباشرةً.

هيا نبدأ بالمثلث 󰏡.

نلاحِظ من الشكل أن 󰏡(١،٣)، 𞸁(٤،٢)، 𞸢(٥٫٤،٥). نتذكَّر أن مساحة المثلث الذي رءوسه 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=١٢||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣

إذن يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام صيغة المحدد: اد(󰏡𞸁𞸢)=١٢󰎁󰃭١٣١٤٢١٥٫٤٥١󰃬󰎁.

نفك هذا المحدد باستخدام العمود الأول لنحصل على: ادددوات(󰏡𞸁𞸢)=١٢󰍻١×󰂔٢١٥١󰂓٤×󰂔٣١٥١󰂓+٥٫٤×󰂔٣١٢١󰂓󰍻=١٢|١(٢٥)٤(٣٥)+٥٫٤(٣٢)|=١٢|٣+٨+٥٫٤|=٥٧٫٤.

وبالمثل، مساحة المثلث 󰏡𞸢𞸃 تُعطى بالصيغة: اددددوات(󰏡𞸢𞸃)=١٢󰎁󰃭١٣١٥٫٤٥١٢٦١󰃬󰎁=١٢󰍻١×󰂔٥١٦١󰂓٥٫٤×󰂔٣١٦١󰂓+٢×󰂔٣١٥١󰂓󰍻=١٢|١(٥٦)٥٫٤(٣٦)+٢(٣٥)|=١٢|١+٥٫٣١٤|=٥٢٫٤.

وبجمع مساحتَي هذين المثلثين معًا، نجد أن مساحة الشكل الرباعي تساوي ٩ وحدات مربعة.

هناك خاصية أخرى مفيدة نحصل عليها من هذه الصيغ. بما أن د𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١١١٢٢٣٣ يخبرنا بمساحة المثلث الذي رءوسه 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣، وإذا كان هذا المحدد يساوي صفرًا، إذن فلا بد أن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه تساوي صفرًا. لا يمكن أن تكون مساحة هذا المثلث تساوي صفرًا إلا إذا كانت النقاط غير مختلفة أو إذا كانت جميع النقاط تقع على المستقيم نفسه (أي تكون على استقامة واحدة).

نظرية: اختبار وقوع النقاط على استقامة واحدة

إذا كان لدينا ثلاث نقاط مختلفة هي 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣؛ حيث د𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١=٠١١٢٢٣٣، فإن النقاط تكون على استقامة واحدة.

هيا نرَ مثالًا على كيفية تطبيق ذلك.

مثال ٦: تحديد إذا ما كانت مجموعة من النقاط تقع على استقامة واحدة أو لا باستخدام المحددات

باستخدام المحددات، حدِّد أيٌّ من النقاط الآتية تقع على استقامة واحدة:

  1. 󰏡(٦،٤)، 𞸁(٨،٤)، 𞸢(٣،٠١)
  2. 󰏡(٠١،٤)، 𞸁(٨،٢)، 𞸢(٥،١)
  3. 󰏡(٣،٦)، 𞸁(٨،٧)، 𞸢(٣،٨)
  4. 󰏡(٠١،٦)، 𞸁(٢،١)، 𞸢(٠،٩)

الحل

نتذكَّر أولًا أن النقاط الثلاث المختلفة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تكون على استقامة واحدة إذا كان: د𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١=٠.١١٢٢٣٣

ونلاحِظ أن النقاط الثلاث المُعطاة تمثِّل مجموعة مكوَّنة من ثلاث نقاط مختلفة. إذن يمكننا حساب قيمة محدد هذه المصفوفة لأيِّ ثلاث نقاط مُعطاة لاختبار وقوعها على استقامة واحدة. نحسب محددات المصفوفات الأربع جميعها عن طريق فكِّها باستخدام الصف الأول.

الخيار (أ) سيساوي: د󰃭٦٤١٨٤١٣٠١١󰃬=٦(٤٠١)٤(٨٣)+(٠٨٢١)=٢١.

وبما أنه لا يساوي صفرًا، إذن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه لا تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثَمَّ، ليست هذه النقاط على استقامة واحدة.

الخيار (ب) سيساوي: د󰃭٠١٤١٨٢١٥١١󰃬=٠١(٢١)+٤(٨+٥)+(٨٠١)=٠.

وبما أنه يساوي صفرًا، إذن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لا بد أن تكون هذه النقاط على استقامة واحدة.

الخيار (ج) سيساوي: د󰃭٣٦١٨٧١٣٨١󰃬=٣(٧+٨)٦(٨+٣)+(٤٦١٢)=٤٥١.

وبما أنه لا يساوي صفرًا، إذن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه لا تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثَمَّ، ليست هذه النقاط على استقامة واحدة.

الخيار (د) سيساوي: د󰃭٠١٦١٢١١٠٩١󰃬=٠١(١+٩)+٦(٢+٠)+(٨١+٠)=٤٩.

وبما أنه لا يساوي صفرًا، فإن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه لا تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثَمَّ، هذه النقاط ليست على استقامة واحدة.

إذن النقاط 󰏡(٠١،٤)، 𞸁(٨،٢)، 𞸢(٥،١) تقع على استقامة واحدة، وهي الخيار (ب).

دعونا نختم بتلخيص بعض المفاهيم الهامة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • مساحة مثلث رءوسه 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=١٢||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣
  • مساحة متوازي الأضلاع الذي يقع أيُّ ثلاثة من رءوسه عند 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣ تُعطى بالصيغة: اد=||||𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١||||.١١٢٢٣٣
  • إذا كان متوازي الأضلاع له رأس واحد عند نقطة الأصل، ورأسان آخران عند (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، فإن مساحته تُعطى بالصيغة: اد=󰍾󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰍾.
  • إذا كان لدينا ثلاث نقاط مختلفة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣؛ حيث د𞸎𞸑١𞸎𞸑١𞸎𞸑١=٠١١٢٢٣٣، فإن النقاط تقع على استقامة واحدة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.