شارح الدرس: استخدام المحدِّدات لحساب المساحة الرياضيات

مثال ١: إيجاد مساحة مثلث على الإحداثيات الديكارتية باستخدام المحددات

أوجد مساحة المثلث الموجود في الشكل الآتي باستخدام المحددات.

الحل

في هذا السؤال، يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام الهندسة. لكن مطلوب منا حساب مساحة المثلث باستخدام المحددات.

للقيام بذلك، علينا استخدام حقيقة أن مساحة المثلث الذي رءوسه ، ، تُعطى بالصيغة:

إذن علينا إيجاد رءوس المثلث؛ ويمكننا فعل ذلك بالاستعانة بالرسم.

تجدر الإشارة هنا إلى عدم أهمية الترتيب الذي نختار به الرءوس؛ لأن هذا سيؤدي إلى تبديل وضع صفوف المصفوفة فقط، وذلك لن يغيِّر سوى إشارة المحدد.

إذن مساحة هذا المثلث تساوي:

بفك المحدد باستخدام العمود الأول، نحصل على: وهو ما يعطينا أن مساحة المثلث تساوي ١٨ وحدة مربعة.

يمكننا التحقُّق من إجابتنا عن طريق حساب مساحة هذا المثلث باستخدام طريقة مختلفة. على سبيل المثال، مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع، ويمكننا إيجاد القيمتين من الرسم.

باعتبار الضلع الأفقي هو القاعدة، نجد أن طول القاعدة يساوي ٤، وارتفاع المثلث يساوي ٩. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدامهما لحساب مساحة المثلث:

وهذا يؤكِّد لنا إجابتنا بأن مساحة المثلث تساوي ١٨ وحدة مربعة.

مثال ٢: إيجاد رءوس مثلث بمعلومية مساحته

إذا كانت مساحة المثلث الذي رءوسه هي ، ، تساوي ٩ وحدات مربعة، فإن .

1. صفر أو
2. صفر أو ١٢
3. أو ٦
4. أو ١٢

الحل

في هذا السؤال، لدينا مساحة المثلث وإحداثيات اثنين من رءوسه، وعلينا استخدام ذلك لإيجاد إحداثيات الرأس الثالث. يمكننا إيجاد مقدار يدل على مساحة المثلث باستخدام نصف طول القاعدة في الارتفاع. هذا يعطينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة . لكن، دعونا نُوجِد حل هذا المثال باستخدام المحددات.

يمكننا إيجاد مساحة المثلث باستخدام إحداثيات رءوسه. المثلث الذي رءوسه ، ، تُعطى مساحته بالصيغة الآتية:

بالتعويض بإحداثيات رءوس هذا المثلث نحصل على:

هذه المساحة تساوي ٩، ويمكننا إيجاد قيمة المحدد عن طريق فكِّه باستخدام العمود الثاني:

ومن ثَمَّ، بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على:

هذا يعطينا خيارين؛ إما: وإما:

يمكننا حل هاتين المعادلتين لنحصل على أو ، وهو الخيار ب.

مثال ٣: حساب مساحة متوازي أضلاع باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحساب مساحة متوازي أضلاع رءوسه ، ، ، .

الحل

هيا نبدأ بتذكُّر كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. مساحة متوازي الأضلاع الذي يقع أيُّ ثلاثة رءوس به عند ، ، تُعطى بالصيغة:

يمكننا اختيار أيِّ ثلاثة من الرءوس المعطاة لحساب مساحة متوازي الأضلاع. على سبيل المثال، إذا اخترنا النقاط الثلاث الأولى، فإن:

بفك المحدد باستخدام الصف الأول نحصل على:

إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٢٣ وحدة مربعة.

يمكننا أيضًا الاستفادة من حقيقة أنه إذا كان متوازي الأضلاع له رأس واحد عند نقطة الأصل وأيُّ رأسين من رءوسه الأخرى عند ، ، فإن مساحته تُعطى بالصيغة:

لاستخدام هذه الصيغة، علينا نقل متوازي الأضلاع بحيث يقع أحد رءوسه عند نقطة الأصل. وبما أن أحد الرءوس هو النقطة ، إذن نفعل ذلك عن طريق نقل متوازي الأضلاع بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل. وهذا يعطينا الإحداثيات الآتية لرءوسه:

يمكننا استخدام أيِّ رأسين من هذه الرءوس ليسا عند نقطة الأصل لتحديد مساحة متوازي الأضلاع. ومن ثَم:

إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٢٣ وحدة مربعة.

مثال ٤: حساب مساحة مثلث باستخدام المحددات

استخدم المحددات لحساب مساحة مثلث رءوسه ، ، عن طريق عرض المثلث على صورة نصف متوازي أضلاع.

الحل

بدايةً، نريد تكوين متوازي الأضلاع باستخدام مثلثين متساويين من المثلث المُعطى في السؤال. هذا يعني أنه سيكون هناك ثلاث طرق مختلفة لتكوين متوازي الأضلاع؛ حيث يمكننا دمج المثلثين على أيِّ ضلع. يمكننا ملاحظة ذلك في الأشكال الثلاثة الآتية.

لجميع متوازيات الأضلاع الثلاثة المساحة نفسها؛ لأنها تتكوَّن من نفس المثلثين المتطابقين. لكننا لا نحتاج إلى إحداثيات النقطة الرابعة لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. تذكَّر أنه إذا كان متوازي الأضلاع له رأس واحد عند نقطة الأصل، ورأسان آخران عند ، ، فإن مساحته تُعطى بالصيغة:

يمكننا الاستفادة من ذلك لتحديد مساحة متوازي الأضلاع عن طريق نقل الشكل بحيث يقع أحد رءوسه عند نقطة الأصل. ننقل النقطة إلى نقطة الأصل عن طريق نقل كل رأس من الرءوس إلى الأسفل بمقدار وحدتين؛ وهذا يُعطينا:

نستخدم إحداثيات النقطتين الأخيرتين لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع:

وأخيرًا، نتذكَّر أن مساحة المثلث تساوي نصف هذه القيمة، وهو ما يُعطينا أن مساحة المثلث الذي تقع رءوسه عند ، ، تساوي ٤ وحدات مربعة.

مثال ٥: حساب مساحة شكل رباعي باستخدام محدد المصفوفة

انظر إلى الشكل الرباعي الذي رءوسه ، ، ، .

بتقسيمه إلى مثلثين، كما هو موضَّح، احسب مساحة هذا الشكل الرباعي باستخدام المحددات.

الحل

نريد إيجاد مساحة هذا الشكل الرباعي بتقسيمه إلى مثلثين، كما هو موضَّح. هذا يعني أن علينا حساب مساحة هذين المثلثين باستخدام المحددات، ثم نجمع النتائج معًا. لدينا خياران لإيجاد مساحة مثلث باستخدام المحددات: يمكننا التعامل مع المثلثات باعتبارها نصف متوازي أضلاع واستخدام محدد مصفوفة من الرتبة لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع، أو يمكننا استخدام صيغة مساحة المثلث باستخدام محدد مصفوفة من الرتبة . وبما أن لدينا شكلًا رءوسه مُعطاة؛ إذن نستخدم صيغة إيجاد مساحات المثلثات مباشرةً.

هيا نبدأ بالمثلث .

نلاحِظ من الشكل أن ، ، . نتذكَّر أن مساحة المثلث الذي رءوسه ، ، تُعطى بالصيغة:

إذن يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام صيغة المحدد:

نفك هذا المحدد باستخدام العمود الأول لنحصل على:

وبالمثل، مساحة المثلث تُعطى بالصيغة:

وبجمع مساحتَي هذين المثلثين معًا، نجد أن مساحة الشكل الرباعي تساوي ٩ وحدات مربعة.

مثال ٦: تحديد إذا ما كانت مجموعة من النقاط تقع على استقامة واحدة أو لا باستخدام المحددات

باستخدام المحددات، حدِّد أيٌّ من النقاط الآتية تقع على استقامة واحدة:

1. ، ،
2. ، ،
3. ، ،
4. ، ،

الحل

نتذكَّر أولًا أن النقاط الثلاث المختلفة ، ، تكون على استقامة واحدة إذا كان:

ونلاحِظ أن النقاط الثلاث المُعطاة تمثِّل مجموعة مكوَّنة من ثلاث نقاط مختلفة. إذن يمكننا حساب قيمة محدد هذه المصفوفة لأيِّ ثلاث نقاط مُعطاة لاختبار وقوعها على استقامة واحدة. نحسب محددات المصفوفات الأربع جميعها عن طريق فكِّها باستخدام الصف الأول.

الخيار (أ) سيساوي:

وبما أنه لا يساوي صفرًا، إذن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه لا تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثَمَّ، ليست هذه النقاط على استقامة واحدة.

الخيار (ب) سيساوي:

وبما أنه يساوي صفرًا، إذن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لا بد أن تكون هذه النقاط على استقامة واحدة.

الخيار (ج) سيساوي:

وبما أنه لا يساوي صفرًا، إذن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه لا تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثَمَّ، ليست هذه النقاط على استقامة واحدة.

الخيار (د) سيساوي:

وبما أنه لا يساوي صفرًا، فإن مساحة المثلث الذي تمثِّل هذه النقاط رءوسه لا تساوي صفرًا أيضًا. ومن ثَمَّ، هذه النقاط ليست على استقامة واحدة.

إذن النقاط ، ، تقع على استقامة واحدة، وهي الخيار (ب).