شارح الدرس: مدوِّر المصفوفة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد مدور مصفوفة، وعناصر صف وعمود محددين بعد النقل، وأبعاد المصفوفة بعد النقل.

مدور المصفوفة مفهوم جديد نسبيًّا في الجبر الخطي. تطورت الأفكار الأساسية لهذا المجال على مدى آلاف السنين، ويُقال إنها بدأت بين عامي ٣٠٠–٢٠٠ قبل الميلاد بوصفها إحدى طرق حل أنظمة المعادلات الخطية. وقد وُضِع الأساس لفهم أفضل وأشمل للجبر الخطي في أواخر ١٦٠٠، وساهم في ذلك بالأساس ليبنتز ولاجرانج، وذلك بوضعهما مفاهيم جوهرية كمفهوم المحدِد. وقد عمل عالم الرياضيات البارز جاوس بشكل مكثف على الجبر الخطي في أوائل ١٨٠٠، ليشارك في النهاية في وضع خوارزمية حذف جاوس-جوردان المهمة لحل أنظمة المعادلات الخطية.

بالنظر إلى مجموعة المفاهيم المعقدة التي أسست الدراسة البدائية للجبر الخطي، قد نندهش لأن مفهومًا بسيطًا نسبيًّا، وهو مدور المصفوفة، لم يكن معروفًا حتى ١٨٥٨ على يد كيلي، وقد بُني على تلك النقطة العديد من الدعائم الرئيسية للجبر الخطي والتي أصبحت بالفعل مفهومة جيدًا. على الرغم من أن هذا التطور حدث متأخرًا نسبيًّا، فإن مدور المصفوفة كان مهمًّا للغاية بوصفه مفهومًا يشكل أساس العديد من النظريات والنتائج التي درسها جميع طلاب الجبر الخطي.

سنبدأ بتعريف مدور المصفوفة ثم سنوضح هذا التعريف بمثال، وذلك قبل إكمال المزيد من المسائل.

وكما هو الحال دائمًا في الجبر الخطي، لا يتضح تعريف هذا المفهوم إلا بعد شرحه بأمثلة. تأثير نقل المصفوفة هو عكس المصفوفة حول العناصر القطرية. ثمة طريقة بديلة للتفكير في هذه العملية وهي أن مدور المصفوفة يبدل الصفوف والأعمدة. ومن ثم، إذا كانت المصفوفة بها من الصفوف، من الأعمدة، فإن المدور سيكون به من الصفوف، من الأعمدة. مرة أخرى، هذه الطريقة أسهل في الشرح من الوصف، لذا سنقدم الآن مثالًا توضيحيًّا عليها.

انظر المصفوفة:

تحتوي هذه المصفوفة على ۳ صفوف وعمودين؛ ومن ثَمَّ سيتكون المدور من صفين و۳ أعمدة؛ ومن ثَمَّ سيصبح على الصورة: حيث تمثل الرموز القيم التي لم تُحسَب بعد.

هيا نكتب الآن المصفوفة بأخذ الصف الأول من : وكتابة العناصر بالترتيب نفسه لكن الآن في العمود الأول من :

ثم نكتب الصف الثاني من : باعتباره العمود الثاني من :

وأخيرًا، نكتب الصف الثالث من: ، باعتباره العمود الثالث من : ومن ثَمَّ يكتمل مدور المصفوفة.

لاحظ أننا كتبنا ، متجاورَيْن، وميزنا العناصر القُطرية فقط، كما يلي، ثم لاحظنا أن الحدود القُطرية لم تتغير. وهذا صحيح عندما نأخذ مدور المصفوفة، والسبب أنه عادة ما نشير إلى مدور المصفوفة بوصفه عكس حول العناصر القطرية.

لشرح ذلك، علينا الرجوع إلى التعريف أعلاه. بالنسبة إلى المصفوفة ، فإننا نحسب مدور المصفوفة باستخدام العناصر نفسها مع الإشارة إلى موضع الصف باعتباره موضع العمود والعكس، وهو ما يتضمنه . على سبيل المثال، يشير العنصر إلى العنصر في الصف الثاني والعمود الأول من . بالتبديل بين دليل ودليل نحصل على ، وهو ما يقابل العنصر في الصف الأول والعمود الثاني. ويمكن ملاحظة ذلك بالنسبة إلى المصفوفتين ، أعلاه.

ومع ذلك، فالعناصر القُطرية توجد حيثما يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا؛ وهو ما يعني أن ، لنحصل على عناصر . حتى مع تبديل دليل الصف ودليل العمود، ستكون النتيجة هي العنصر نفسه . وعليه، فإن جميع العناصر القُطرية تظل دون تغيير عند النقل، وهو ما يعد نتيجة استرشادية أساسية عند حساب مدور المصفوفة.

نظرًا لسهولة حساب مدور المصفوفة في العادة، لن تكون هذه العملية مشوِّقة ما لم يكن لها بعض الخواص الجبرية الخاصة أو بعض التطبيقات المفيدة. ومن حسن الحظ أن مدور المصفوفة يتضمن الأمرين. إضافة إلى الاستفادة من مدور المصفوفة في تعريف المصفوفات المتماثلة وشبه المتماثلة، وهما مفهومان مهمان للغاية، فإن مدور المصفوفة يتسم بمجموعة من الخواص الجبرية، أحدها كما يلي.

قد يكون ذلك واضحًا، إذا كان مدور المصفوفة سيعكسها حول العناصر القطرية، فإن تطبيق المدور مرة أخرى سيعيد عكسها. باستخدام التفسير البديل، مدور المصفوفة سيبدل الصفوف والأعمدة، وبتطبيق هذا الأمر مرة أخرى، فإنه سيعيد تبديلها. لكن لتوضيح ذلك بصورة ملائمة لهذه الحالة، علينا التفكير في المثال الآتي.

كان بإمكاننا إثبات هذه النتيجة بالرجوع إلى التعريف:

إذا كان أخذ مدور المصفوفة يبدل دليل الصف بدليل العمود، فيمكننا إيجاد أن: ومن ثم توضيح أن .

وكما ناقشنا بالفعل، فإن تأثير تدوير مصفوفة مرة واحدة هو تبديل عدد الصفوف والأعمدة. بعبارة أخرى، إذا كانت المصفوفة بها من الصفوف، من الأعمدة، فإن: سيكون بها من الصفوف، من الأعمدة. يمكن تلخيص هذه النتيجة بطريقة بديلة من خلال النظرية والمثال التاليين.

يترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت مصفوفة مربعة فإن ستكون كذلك مصفوفة مربعة لها نفس الرتبة. ويمكن توضيح ذلك بسهولة عن طريق تحديد أن يجب أن تتكون من العدد نفسه من الصفوف والأعمدة، وهو ما يجعلها بالتالي مصفوفة مربعة من الرتبة . حتى إذا بدلنا الصفوف بالأعمدة في مدور المصفوفة، فسيظل هناك نفس عدد الصفوف والأعمدة، ما يعني أن ستكون أيضًا مصفوفة من الرتبة ، ومن ثم تصبح مصفوفة مربعة بنفس بُعد المصفوفة الأصلية .

الآن بعد أن أصبحنا أكثر دراية بحساب مدور المصفوفة، سنحل مسألتين تستعرضان هذه الفكرة. لاحظ أنه في المسائل التالية، يظهر مدور المصفوفة كجزء من سلسلة من العمليات الجبرية الأخرى التي تتضمن المصفوفات، وهو ما يحدث عادة عند التعامل مع الجبر الخطي.

يشير المثال أعلاه في الواقع إلى نتيجة عامة تربط عملية التدوير بعمليتي الجمع والطرح. لشرح هذه النتيجة، علينا تعريف المصفوفتين:

اخترنا أن نحسب أولًا:

وبعد ذلك، أجرينا العملية الحسابية:

والحالة في هذا المثال هي أن . وكان بإمكاننا أيضًا توضيح أن . وهاتان النتيجتان غير عرضيتين ويمكن تلخيصهما بالنظرية الآتية.

هناك العديد من الخواص الرئيسية الأخرى لتدوير المصفوفات المعرَّفة بالرجوع إلى مفاهيم أخرى في الجبر الخطي، مثل: المحددات، وضرب المصفوفات، ومعكوس المصفوفات. عند التعامل مع الجبري الخطي، تعتبر معرفة مدور المصفوفة جزءًا حيويًّا وواقعيًّا من أي مجموعة أدوات يستخدمها أي عالم رياضي.