شارح الدرس: مدوِّر المصفوفة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد مدور مصفوفة، وعناصر صف وعمود محددين بعد النقل، وأبعاد المصفوفة بعد النقل.

مدور المصفوفة 󰏡 مفهوم جديد نسبيًّا في الجبر الخطي. تطورت الأفكار الأساسية لهذا المجال على مدى آلاف السنين، ويُقال إنها بدأت بين عامي ٣٠٠–٢٠٠ قبل الميلاد بوصفها إحدى طرق حل أنظمة المعادلات الخطية. وقد وُضِع الأساس لفهم أفضل وأشمل للجبر الخطي في أواخر ١٦٠٠، وساهم في ذلك بالأساس ليبنتز ولاجرانج، وذلك بوضعهما مفاهيم جوهرية كمفهوم المحدِد. وقد عمل عالم الرياضيات البارز جاوس بشكل مكثف على الجبر الخطي في أوائل ١٨٠٠، ليشارك في النهاية في وضع خوارزمية حذف جاوس-جوردان المهمة لحل أنظمة المعادلات الخطية.

بالنظر إلى مجموعة المفاهيم المعقدة التي أسست الدراسة البدائية للجبر الخطي، قد نندهش لأن مفهومًا بسيطًا نسبيًّا، وهو مدور المصفوفة، لم يكن معروفًا حتى ١٨٥٨ على يد كيلي، وقد بُني على تلك النقطة العديد من الدعائم الرئيسية للجبر الخطي والتي أصبحت بالفعل مفهومة جيدًا. على الرغم من أن هذا التطور حدث متأخرًا نسبيًّا، فإن مدور المصفوفة كان مهمًّا للغاية بوصفه مفهومًا يشكل أساس العديد من النظريات والنتائج التي درسها جميع طلاب الجبر الخطي.

سنبدأ بتعريف مدور المصفوفة ثم سنوضح هذا التعريف بمثال، وذلك قبل إكمال المزيد من المسائل.

تعريف: مدور المصفوفة

انظر المصفوفة 󰏡 الموضحة بالصيغة: 󰏡=󰁓󰏡󰁒.𞹎𞹑

مدور المصفوفة 󰏡 هو مصفوفة تتكون من عناصر 󰏡 بالصيغة: 󰏡=󰁓󰏡󰁒.𞹑𞹎

وكما هو الحال دائمًا في الجبر الخطي، لا يتضح تعريف هذا المفهوم إلا بعد شرحه بأمثلة. تأثير نقل المصفوفة 󰏡 هو عكس المصفوفة حول العناصر القطرية. ثمة طريقة بديلة للتفكير في هذه العملية وهي أن مدور المصفوفة 󰏡 يبدل الصفوف والأعمدة. ومن ثم، إذا كانت المصفوفة 󰏡 بها 𞸌 من الصفوف، 𞸍 من الأعمدة، فإن المدور 󰏡 سيكون به 𞸍 من الصفوف، 𞸌 من الأعمدة. مرة أخرى، هذه الطريقة أسهل في الشرح من الوصف، لذا سنقدم الآن مثالًا توضيحيًّا عليها.

انظر المصفوفة: 󰏡=󰃭٣٠٢١٤٧󰃬.

تحتوي هذه المصفوفة على ۳ صفوف وعمودين؛ ومن ثَمَّ سيتكون المدور من صفين و۳ أعمدة؛ ومن ثَمَّ سيصبح على الصورة: 󰏡=󰂔󰂓، حيث تمثل الرموز القيم التي لم تُحسَب بعد.

هيا نكتب الآن المصفوفة 󰏡 بأخذ الصف الأول من 󰏡: 󰏡=󰃭٣٠٢١٤٧󰃬، وكتابة العناصر بالترتيب نفسه لكن الآن في العمود الأول من 󰏡: 󰏡=󰂔٣٠󰂓.

ثم نكتب الصف الثاني من 󰏡: 󰏡=󰃭٣٠٢١٤٧󰃬، باعتباره العمود الثاني من 󰏡: 󰏡=󰂔٣٢٠١󰂓.

وأخيرًا، نكتب الصف الثالث من: 󰏡، 󰏡=󰃭٣٠٢١٤٧󰃬، باعتباره العمود الثالث من 󰏡:󰏡=󰂔٣٢٤٠١٧󰂓، ومن ثَمَّ يكتمل مدور المصفوفة.

لاحظ أننا كتبنا 󰏡، 󰏡 متجاورَيْن، وميزنا العناصر القُطرية فقط، كما يلي، 󰏡=󰃭٣٠٢١٤٧󰃬،󰏡=󰂔٣٢٤٠١٧󰂓، ثم لاحظنا أن الحدود القُطرية لم تتغير. وهذا صحيح عندما نأخذ مدور المصفوفة، والسبب أنه عادة ما نشير إلى مدور المصفوفة بوصفه عكس حول العناصر القطرية.

لشرح ذلك، علينا الرجوع إلى التعريف أعلاه. بالنسبة إلى المصفوفة 󰏡=󰁓󰏡󰁒𞹎𞹑، فإننا نحسب مدور المصفوفة باستخدام العناصر نفسها مع الإشارة إلى موضع الصف باعتباره موضع العمود والعكس، وهو ما يتضمنه 󰏡=󰁓󰏡󰁒𞹑𞹎. على سبيل المثال، يشير العنصر 󰏡٢١ إلى العنصر في الصف الثاني والعمود الأول من 󰏡. بالتبديل بين دليل 𞹎 ودليل 𞹑 نحصل على 󰏡١٢، وهو ما يقابل العنصر في الصف الأول والعمود الثاني. ويمكن ملاحظة ذلك بالنسبة إلى المصفوفتين 󰏡، 󰏡 أعلاه.

ومع ذلك، فالعناصر القُطرية توجد حيثما يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا؛ وهو ما يعني أن 𞹎=𞹑، لنحصل على عناصر 󰏡𞹎𞹎. حتى مع تبديل دليل الصف ودليل العمود، ستكون النتيجة هي العنصر نفسه 󰏡𞹎𞹎. وعليه، فإن جميع العناصر القُطرية تظل دون تغيير عند النقل، وهو ما يعد نتيجة استرشادية أساسية عند حساب مدور المصفوفة.

مثال ١: إيجاد مدور المصفوفة

أوجد مدور المصفوفة 󰂔٦٥٦١٦٨󰂓.

الحل

يمكننا تسمية هذه المصفوفة 󰏡. وتحتوي على صفين و۳ أعمدة؛ ما يعني أن 󰏡 ستحتوي ۳ صفوف وعمودين. إذن، 󰏡 ستأخذ الصورة 󰏡=󰃁󰃀، حيث يمثل العناصر التي لا بد من إيجادها.

بما أن العناصر القُطرية لا تتغير عند نقل مصفوفة، فسنميزها في المصفوفة الأصلية: 󰂔٦٥٦١٦٨󰂓، وننسخها في مدور المصفوفة، كما هو موضح: 󰏡=󰃭٦٦󰃬.

يمكننا بعد ذلك تمييز الصف الأول من المصفوفة الأصلية: 󰏡=󰂔٦٥٦١٦٨󰂓، وكتابته في العمود الأول من مدور المصفوفة: 󰏡=󰃭٦٥٦٦󰃬.

بعد ذلك، نميز الصف الثاني من: 󰏡=󰂔٦٥٦١٦٨󰂓 ونكتب هذه العناصر بالترتيب في العمود الثاني من مدور المصفوفة: 󰏡=󰃭٦١٥٦٦٨󰃬.

نظرًا لسهولة حساب مدور المصفوفة في العادة، لن تكون هذه العملية مشوِّقة ما لم يكن لها بعض الخواص الجبرية الخاصة أو بعض التطبيقات المفيدة. ومن حسن الحظ أن مدور المصفوفة يتضمن الأمرين. إضافة إلى الاستفادة من مدور المصفوفة في تعريف المصفوفات المتماثلة وشبه المتماثلة، وهما مفهومان مهمان للغاية، فإن مدور المصفوفة يتسم بمجموعة من الخواص الجبرية، أحدها كما يلي.

نظرية: التطبيق المزدوج لمدور المصفوفة

بالنسبة إلى المصفوفة 󰏡، وبتطبيق مدور المصفوفة مرتين نحصل على المصفوفة الأصلية. بعبارة أخرى: (󰏡)=󰏡.

قد يكون ذلك واضحًا، إذا كان مدور المصفوفة سيعكسها حول العناصر القطرية، فإن تطبيق المدور مرة أخرى سيعيد عكسها. باستخدام التفسير البديل، مدور المصفوفة سيبدل الصفوف والأعمدة، وبتطبيق هذا الأمر مرة أخرى، فإنه سيعيد تبديلها. لكن لتوضيح ذلك بصورة ملائمة لهذه الحالة، علينا التفكير في المثال الآتي.

مثال ٢: مدور المدور

بمعلومية المصفوفة الآتية: 󰏡=󰂔٨٤٣٤١١󰂓، أوجد (󰏡).

الحل

المصفوفة 󰏡 بها صفان و۳ أعمدة، إذن المصفوفة 󰏡 سيصبح بها ۳ صفوف وعمودان: 󰏡=󰃁󰃀.

بمعلومية أن العناصر القُطرية لا تتغير، نملأ هذه العناصر مباشرة في 󰏡:󰏡=󰂔٨٤٣٤١١󰂓،󰏡=󰃭٨١󰃬.

الصف الأول من 󰏡 سيصبح حينئذٍ العمود الأول من 󰏡:󰏡=󰂔٨٤٣٤١١󰂓،󰏡=󰃭٨٤١٣󰃬.

بعد ذلك، الصف الثاني من 󰏡 سيصبح العمود الثاني من 󰏡:󰏡=󰂔٨٤٣٤١١󰂓،󰏡=󰃭٨٤٤١٣١󰃬.

الآن نريد إيجاد مدور 󰏡 الذي سنرمز إليه بالرمز (󰏡). بما أن 󰏡 بها ۳ صفوف وعمودان، فإن المدور (󰏡) سيكون به صفين و۳ أعمدة: (󰏡)=󰂔󰂓.

نلاحظ أن 󰏡، (󰏡) بهما العدد نفسه من الصفوف والأعمدة، وهو أمر مشجع لأنه في أي حالة أخرى لن توجد إمكانية أن تتساوى المصفوفتان وكما فعلنا من قبل، نملأ أولًا العناصر القُطرية للمصفوفة المجهولة: 󰏡=󰃭٨٤٤١٣١󰃬،(󰏡)=󰂔٨١󰂓.

والآن نعيد كتابة الصف الأول من المصفوفة على اليمين ليصبح العمود الأول من المصفوفة على اليسار:󰏡=󰃭٨٤٤١٣١󰃬،(󰏡)=󰂔٨٤١󰂓.

ثم تُطبق العملية نفسها بالنسبة إلى الصف الثاني والعمود الثاني: 󰏡=󰃭٨٤٤١٣١󰃬،(󰏡)=󰂔٨٤٤١󰂓.

وأخيرًا، نكتب عناصر الصف الثالث لتصبح عناصر العمود الثالث: 󰏡=󰃭٨٤٤١٣١󰃬،(󰏡)=󰂔٨٤٣٤١١󰂓.

وبهذا نكون قد أوضحنا في المثال أن (󰏡)=󰏡.

كان بإمكاننا إثبات هذه النتيجة بالرجوع إلى التعريف: 󰏡=󰁓󰏡󰁒،󰏡=󰁓󰏡󰁒.𞹎𞹑𞹑𞹎

إذا كان أخذ مدور المصفوفة يبدل دليل الصف بدليل العمود، فيمكننا إيجاد أن: 󰏡=󰁓󰏡󰁒،(󰏡)=󰁓󰏡󰁒،𞹑𞹎𞹎𞹑 ومن ثم توضيح أن 󰏡=(󰏡).

وكما ناقشنا بالفعل، فإن تأثير تدوير مصفوفة مرة واحدة هو تبديل عدد الصفوف والأعمدة. بعبارة أخرى، إذا كانت المصفوفة 󰏡 بها 𞸌 من الصفوف، 𞸍 من الأعمدة، فإن: 󰏡 سيكون بها 𞸍 من الصفوف، 𞸌 من الأعمدة. يمكن تلخيص هذه النتيجة بطريقة بديلة من خلال النظرية والمثال التاليين.

نظرية: رتبة المصفوفة ومدورها

إذا كانت المصفوفة 󰏡 من الرتبة 𞸌×𞸍، فإن 󰏡 ستصبح من الرتبة 𞸍×𞸌.

يترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربعة فإن 󰏡 ستكون كذلك مصفوفة مربعة لها نفس الرتبة. ويمكن توضيح ذلك بسهولة عن طريق تحديد أن 󰏡 يجب أن تتكون من العدد نفسه من الصفوف والأعمدة، وهو ما يجعلها بالتالي مصفوفة مربعة من الرتبة 𞸍×𞸍. حتى إذا بدلنا الصفوف بالأعمدة في مدور المصفوفة، فسيظل هناك نفس عدد الصفوف والأعمدة، ما يعني أن 󰏡 ستكون أيضًا مصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸍، ومن ثم تصبح مصفوفة مربعة بنفس بُعد المصفوفة الأصلية 󰏡.

مثال ٣: رتبة مدور المصفوفة

إذا كانت 𞸎 مصفوفة من الرتبة ٤×١، فما رتبة المصفوفة 𞸎؟

الحل

بالنسبة للمصفوفة من الرتبة 𞸌×𞸍، فإن مدور المصفوفة سيكون من الرتبة 𞸍×𞸌. وبناء على هذه النتيجة، إذا كانت 𞸎 من الرتبة ٤×١ فإن المدور 𞸎 سيكون مصفوفة من الرتبة ١×٤.

الآن بعد أن أصبحنا أكثر دراية بحساب مدور المصفوفة، سنحل مسألتين تستعرضان هذه الفكرة. لاحظ أنه في المسائل التالية، يظهر مدور المصفوفة كجزء من سلسلة من العمليات الجبرية الأخرى التي تتضمن المصفوفات، وهو ما يحدث عادة عند التعامل مع الجبر الخطي.

مثال ٤: معادلات تتضمن تدوير المصفوفة

إذا كان: 𞸁=󰂔١٣٧٣󰂓،(𞸁𞸁)=󰏡، فأوجد قيمة 󰏡+󰏡١٢٢١.

الحل

رتبة المصفوفة 𞸁 هي ٢×٢، بمعنى أنها مصفوفة مربعة. إذن، 𞸁 ستكون أيضًا مصفوفة مربعة من الرتبة ٢×٢. إذا كان: 𞸁=󰂔١٣٧٣󰂓، فإن 𞸁=󰂔١٧٣٣󰂓.

نحصل من هذا على: 𞸁𞸁=󰂔١٣٧٣󰂓󰂔١٧٣٣󰂓=󰂔٠٠١٠١٠󰂓.

المطلوب منا هو حساب 󰏡=(𞸁𞸁)، وهو ما يعطينا: 󰏡=(𞸁𞸁)=󰂔٠٠١٠١٠󰂓=󰂔٠٠١٠١٠󰂓.

يمكن ملاحظة أن المصفوفة 󰏡 تساوي سالب مدورها، وهو ما يمكن تمثيله جبريًّا على الصورة 󰏡=󰏡. هذا يعني أن 󰏡 هي في الواقع مصفوفة شبه متماثلة، ونوع مهم من المصفوفات يُعرَّف بالرجوع إلى مدور المصفوفة. وفي جميع المصفوفات شبه المتماثلة، يكون 󰏡+󰏡=٠𞹎𞹑𞹑𞹎، وهو ما يمكن التحقق من صحته في المصفوفة 󰏡 أعلاه، حيث نجد أن 󰏡+󰏡=٠١٢٢١.

مثال ٥: تدوير المصفوفات وطرحها

بالنظر إلى المصفوفتين: 𞸑=󰂔٤٢٢٧󰂓،𞸎=󰂔٤٤١٧󰂓، هل (𞸑𞸎)=𞸑𞸎؟

الحل

أولًا، سنحسب: (𞸑𞸎)=󰂔󰂔٤٢٢٧󰂓󰂔٤٤١٧󰂓󰂓=󰂔٨٢٣٠󰂓=󰂔٨٣٢٠󰂓.

بالنسبة إلى الطرف الأيسر من المعادلة المعطاة، نلاحظ أولًا أن 𞸑 يساوي مدورها، وهو ما يعني أنها مصفوفة متماثلة. يمكننا إذن كتابة 𞸑=𞸑 وبالتالي يمكننا تبسيط العملية الحسابية الآتية: 𞸑𞸎=𞸑𞸎=󰂔٤٢٢٧󰂓󰂔٤٤١٧󰂓=󰂔٤٢٢٧󰂓󰂔٤١٤٧󰂓=󰂔٨٣٢٠󰂓.

وقد أوضحنا في هذا المثال أن (𞸑𞸎)=𞸑𞸎.

يشير المثال أعلاه في الواقع إلى نتيجة عامة تربط عملية التدوير بعمليتي الجمع والطرح. لشرح هذه النتيجة، علينا تعريف المصفوفتين: 󰏡=󰂔٣٧١٩٨٣󰂓،𞸁=󰂔٤٨٤٧٧٠󰂓.

اخترنا أن نحسب أولًا: (󰏡+𞸁)=󰂔󰂔٣٧١٩٨٣󰂓+󰂔٤٨٤٧٧٠󰂓󰂓=󰂔١٥١٣٦١٥١٣󰂓=󰃭١٦١٥١٥١٣٣󰃬.

وبعد ذلك، أجرينا العملية الحسابية: 󰏡+𞸁=󰂔٣٧١٩٨٣󰂓+󰂔٤٨٤٧٧٠󰂓=󰃭٣٩٧٨١٣󰃬+󰃭٤٧٨٧٤٠󰃬=󰃭١٦١٥١٥١٣٣󰃬.

والحالة في هذا المثال هي أن (󰏡+𞸁)=󰏡+𞸁. وكان بإمكاننا أيضًا توضيح أن (󰏡𞸁)=󰏡𞸁. وهاتان النتيجتان غير عرضيتين ويمكن تلخيصهما بالنظرية الآتية.

نظرية: مدور المصفوفة والجمع/الطرح

إذا كانت 󰏡، 𞸁 مصفوفتان من الرتبة نفسها، فإن: (󰏡±𞸁)=󰏡±𞸁.

يمكننا القول إن تدوير المصفوفة ما هو إلا خاصية توزيعية بالنسبة إلى الجمع والطرح.

هناك العديد من الخواص الرئيسية الأخرى لتدوير المصفوفات المعرَّفة بالرجوع إلى مفاهيم أخرى في الجبر الخطي، مثل: المحددات، وضرب المصفوفات، ومعكوس المصفوفات. عند التعامل مع الجبري الخطي، تعتبر معرفة مدور المصفوفة جزءًا حيويًّا وواقعيًّا من أي مجموعة أدوات يستخدمها أي عالم رياضي.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة للمصفوفة المعرفة على الصورة 󰏡=󰁓󰏡󰁒𞹎𞹑، تُعرف مدور مصفوفة على الصورة 󰏡=󰁓󰏡󰁒𞹑𞹎.
  • من الناحية العملية، يعتبر مدور المصفوفة عادة إما (أ) عكسها حول العناصر القُطرية أو (ب) تبديل الصفوف بالأعمدة.
  • لا ينتج عن التطبيق المزدوج لمدور المصفوفة أي تغير. بعبارة أخرى، (󰏡)=󰏡.
  • إذا كانت رتبة 󰏡 هي 𞸌×𞸍، فإن رتبة 󰏡 هي 𞸍×𞸌.
  • مدور المصفوفة ما هو إلا خاصية توزيعية بالنسبة إلى جمع المصفوفات وطرحها، ويمكن تلخيصه بالصيغة (󰏡±𞸁)=󰏡±𞸁.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.