شارح الدرس: إثبات دائرية الأشكال الرباعية الرياضيات

مثال ١: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المُعطى رباعيًّا دائريًّا أو لا

هل يمكن أن تمر دائرة برءوس الرباعي ؟

الحل

يُعرَّف الشكل الرباعي الذي تقع رءوسه الأربعة على محيط دائرة بأنه رباعي دائري. يمكننا استخدام خواص الزوايا المحيطية لتحديد إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا، وبما أن القطرين مرسومان، إذن يمكننا التحقُّق ممَّا إذا كان قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

نرى إذا ما كان بإمكاننا حساب باستخدام . نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي . وإذا كان ، ، فإن:

لدينا الآن زاويتان متطابقتان، . وبذلك نكون قد أوضحنا أن قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع يساوي قياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل؛ ومن ثَمَّ، فإن شكل رباعي دائري. وبدلًا من ذلك، يمكننا اعتبار أن هذه الخاصية تنشأ عن حقيقة أن ، يكوِّنان قوسًا، وبما أن الزاويتين عند ، متساويتان في القياس، إذن فهما تقعان على محيط الدائرة نفسها.

ويمكننا أيضًا رسم الدائرة التي تمر بالرءوس الأربعة كلها إذا أردنا.

وبذلك تكون الإجابة هي نعم، بما أن شكل رباعي دائري، إذن يمكننا رسم دائرة تمر بكل رءوس .

مثال ٢: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المُعطى رباعيًّا دائريًّا

هل رباعي دائري؟

الحل

يمكننا من الشكل ملاحظة أن لدينا قطرين، وقياس زاويتين. إذا تمكَّنا من إثبات أن قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع في الشكل الرباعي مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا. وإذا لم يتساوَ قياساهما، فهو إذن ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

بما أن ، إذن يمكننا أن نحاول حساب . أو، يمكننا المقارنة بين الزوج الآخر المحتمل من الزوايا الذي هو ، . ومن ثَمَّ، فإن معرفة قيمة زوج واحد من هذه الزوايا سيكون كافيًا لإثبات إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا.

نتناول الزوج الأول من الزوايا، ونحاول حساب قياس . يمكننا أن نُعرِّف نقطة تقاطع القطرين بالنقطة . لاحظ أنه مُعطى لنا ، ونسترجع أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي . ومن ثَمَّ، نحصل على:

لدينا الآن معلومٌ فيه قياسا زاويتين، وبما أنه مُعطى لنا أن ، إذن يمكننا حساب قياس الزاوية الثالثة، ، باستخدام خاصية أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي . ومن ثَمَّ، نستنتج الآتي:

بالنظر إلى الزاويتين الناشئتين عند القطرين، نلاحظ أن: ومن ثَمَّ، فإن:

وبناءً على ما سبق، فإن الإجابة هي لا، ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا حساب .

بما أن قياس هذه الزاوية لا يساوي ، فإن ذلك يمكن أن يثبت أيضًا أن قياسات الزوايا الناتجة عن القطرين غير متساوية؛ ومن ثَمَّ، فإن الشكل الرباعي ليس دائريًّا.

مثال ٣: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المُعطى رباعيًّا دائريًّا أو لا

هل شبه المنحرف رباعي دائري؟

الحل

يمكننا ملاحظة أن لدينا ضلعين متوازيين في ؛ حيث . إذا كان لدينا هذان المستقيمان المتوازيان والقاطع ، يمكننا أن نلاحظ أن متبادلة مع الزاوية المُعطاة . وبذلك يتساوى قياس هاتين الزاويتين. إذن:

بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي . يمكننا أن نُعرِّف نقطة تقاطع القطرين بالنقطة .

وهكذا في المثلث ، نحسب الآتي:

لدينا الآن المعلومات الكافية لتحديد إذا ما كان شكلًا رباعيًّا دائريًّا. فلدينا قياسا الزاويتين الناتجتين عن قطر وضلع؛ ، . إذا كان قياس هاتين الزاويتين متساويًا، يكون الشكل رباعيًّا دائريًّا.

لكن، بما أن: فإن جميع الرءوس الأربعة لا يمكن أن تقع على الدائرة.

ومن ثَمَّ، فإن الإجابة هي: لا، ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

مثال ٤: استخدام خواص الشكل الرباعي الدائري للتحقُّق ممَّا إذا كان الشكل الرباعي المُعطى دائريًّا أو لا

هل الشكل رباعي دائري؟

الحل

يمكننا البدء بتذكُّر أن الشكل الرباعي الدائري شكل رباعي تقع رءوسه الأربعة على دائرة. إحدى الطرق التي يمكن من خلالها إثبات أن الشكل الرباعي دائريًّا هي أن يكون قياس الزاوية الناتجة عن القطر والضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

باستخدام خاصية أن مجموع قياسات الزوايا التي تقع على خط مستقيم يساوي ، يمكننا حساب على النحو الآتي:

بعد ذلك، يمكننا استخدام قياس الزاوية المُعطى، ، وخاصية أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث يساوي ، لحساب . ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

يمكننا الآن ملاحظة أن:

ومن ثَمَّ، يمكننا إعطاء الإجابة: نعم، الشكل رباعي دائري.

مثال ٥: تحديد إذا ما كان المعيَّن شكلًا رباعيًّا دائريًّا أو لا

صواب أم خطأ: جميع أشكال المعيَّن تكون أشكالًا رباعية دائرية؟

1. صواب
2. خطأ

الحل

يمكننا البدء بتذكُّر أن الشكل الرباعي الدائري شكل رباعي تقع كل رءوسه الأربعة داخل الدائرة وتمس أضلاعه. وإحدى الطرق التي يمكننا من خلالها إثبات أن الشكل الرباعي دائري هي أن يكون قياس الزاوية الناتجة عن القطر والضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

يُعرَّف المعيَّن بأنه شكل رباعي أطوال أضلاعه الأربعة متساوية. ومن خواص المعيَّن وجود ضلعين متوازيين، وأن يكون كل قطر من القطرين هو العمود المنصِّف للآخر. يمكننا رسم المعيَّن الآتي.

نتناول إحدى الزوايا الداخلية، لتكُن . إذا كان المعيَّن دائريًّا، فإن الزاوية تكون مطابقة لهذه الزاوية. لكن الزاوية الوحيدة التي يمكننا إثبات أنها مطابقة لـ هي ؛ لأن ، مستقيمان متوازيان يقطعهما القاطع، .

وبالمثل، باستخدام خواص المستقيمات المتوازية، فإن تطابق .

يمكننا أن نلاحظ، بمجرد النظر في هذا المعيَّن، أن لا تطابق . في الواقع، الطريقة الوحيدة التي تكون بها هاتان الزاويتان متطابقتين هي إذا كانت الزوايا الأربع المحدَّدة (، ، ، ) متطابقة، وحينئذٍ يكون قياس كل زاوية من الزوايا الأربع الداخلية في المعيَّن يساوي ، وسيكون مربعًا.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أنه على الرغم من أن المعيَّن قد يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا إذا كان مربعًا، وهي حالة خاصة للمعيَّن، فإنه لا يمكننا القول إن جميع أشكال المعيَّن تكون رباعية دائرية. ومن ثَمَّ، فإن العبارة التي تقول إن جميع أشكال المعيَّن تكون أشكالًا رباعية دائرية خطأ.

مثال ٦: تحديد إذا ما كان شبه المنحرف المتساوي الساقين شكلًا رباعيًّا دائريًّا

صواب أم خطأ: جميع أشكال شبه المنحرف المتساوي الساقين تكون أشكالًا رباعية دائرية؟

1. صواب
2. خطأ

الحل

نتذكَّر أن شبه المنحرف شكل رباعي له زوج واحد من الأضلاع المتوازية. ويُعَد شبه المنحرف المتساوي الساقين نوعًا خاصًّا من شبه المنحرف؛ حيث يتميَّز عنه بخاصية أن طولا الضلعين غير المتوازيين (الساقين) يكونان متساويين في الطول.

يمكننا رسم قطرَي شبه المنحرف المتساوي الساقين، ونتذكَّر أنه في أي شبه منحرف متساوي الساقين، يكون قياسا الزاويتين اللتين تقعان عند أي قاعدة من القاعدتين المتوازيتين متساويين؛ ومن ثَمَّ، عند القاعدة ، يكون:

يمكننا أيضًا ملاحظة أنه في المثلثين ، ، لدينا زوجان من الأضلاع المتطابقة. إن ساقَي شبه المنحرف متطابقان؛ أي إن: ولهما ضلع مشترك. هو ضلع مشترك في كلا المثلثين.

ومن ثَمَّ، فإن ، طبقًا لمسلَّمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما. من ذلك، يمكننا استنتاج أن:

ومن ثَمَّ، نجد أن قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع، ، يساوي قياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل، . وهذا يعني أن شبه المنحرف المتساوي الساقين ، وأي شبه منحرف متساوي الساقين بصفة عامة، يكون دائريًّا.

على الرغم من أن كل أشكال شبه المنحرف ليست دائرية، فإن جميع أشكال شبه المنحرف المتساوية الساقين تكون دائرية؛ ومن ثَمَّ، فإن العبارة الواردة في هذا السؤال صواب.