تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إثبات دائرية الأشكال الرباعية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُثبِت أن شكلًا رباعيًّا دائريٌّ باستخدام الزوايا التي يصنعها قُطراه.

يمكننا البدء بتلخيص المقصود بالزاوية المحيطية.

تعريف: الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي تنشأ عند تقاطع وترين على محيط الدائرة. وتقع هذه الزاوية على محيط الدائرة.

نستخدم فهمنا للزوايا المحيطية لتعريف الشكل الرباعي الدائري.

تعريف: الشكل الرباعي الدائري

الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع تقع رءوسه على الدائرة؛ ومن ثَمَّ، فإن جميع زواياه تكون زوايا محيطية داخل الدائرة.

قبل أن نتناول خواص الشكل الرباعي الدائري، نلخِّص نظريتين مهمتين عن الزوايا المحيطية والزوايا المركزية (زاوية تقع عند مركز دائرة ويقع طرفاها على محيطها).

تعريف: نظريات الزاوية المحيطية

قياس أي زاوية محيطية، 𝜃، في دائرة يساوي نصف قياس الزاوية المركزية، ٢𝜃، المقابلة لنفس القوس في الدائرة. بعبارة أخرى، قياس الزاوية عند المحيط يساوي نصف قياس الزاوية عند المركز.

تكون قياسات الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.

يمكننا استخدام هاتين الخاصيتين للتوصل إلى خواص الشكل الرباعي الدائري. نتناول الشكل الرباعي الدائري 󰏡𞸁𞸢𞸃 والقطعتين المستقيمتين اللتين تمثِّلان قطرَيْه.

بما أن لدينا القوس 𞸃𞸢، إذن باستخدام حقيقة أن قياسات الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس تكون متساوية، يمكننا القول إن 𞹟󰌑𞸃󰏡𞸢=𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢.

وباستخدام الخاصية نفسها مع القوس 󰏡𞸁، يمكننا ملاحظة أن 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁.

إذن، في أي شكل رباعي دائري، يكون قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

خاصية: قياسات الزوايا الواقعة بين قطرَي الشكل الرباعي الدائري وأضلاعه

في الشكل الرباعي الدائري، يكون قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل. كل زوج من الزوايا يتكوَّن من الزاويتين المحيطيتين المقابلتين لنفس القوس.

وعكس هذه النظرية صحيح أيضًا. بمعنى أنه في أي شكل رباعي مُعطى، إذا تمكَّنا من إثبات أن قياسات الزوايا الناتجة عن القطرين متساوية، فإن الشكل الرباعي سيكون دائريًّا.

على سبيل المثال، بناءً على الشكل الرباعي الآتي، 󰏡𞸁𞸢𞸃، إذا تمكَّنا من إثبات أن 𞹟󰌑𞸃󰏡𞸢=𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢 أو 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا. بمعنى أنه يمكن رسم دائرة تمر بكل رءوسه الأربعة.

لاحظ أنه ليس علينا إثبات أن كل زوج من الزوايا متساوٍ في القياس. إذا كان لدينا فقط 𞹟󰌑𞸃󰏡𞸢=𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢، فإننا نعلم أن 𞸃𞸢 يجب أن يكون قوسًا، وتكون 󰏡، 𞸁 نقطتين تقعان على محيط الدائرة نفسها. وبناءً عليه، تقع كل نقطة على محيط الدائرة نفسها، ويكون، حسب التعريف، شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

يمكننا أن نرى كيف أن هذه الخاصية لا تنطبق في الشكل الرباعي غير الدائري. في الشكل الرباعي الموضَّح، يمكننا أن نلاحظ بمجرد النظر أن 𞹟󰌑𞸆𞸤𞸇𞹟󰌑𞸇𞸅𞸆.

لم نتمكَّن من رسم دائرة تمر بكل هذه الرءوس الأربعة؛ ومن ثَمَّ، فإن هذا الشكل الرباعي ليس دائريًّا.

سنرى كيف يمكننا تطبيق هذه القاعدة لتحديد الأشكال الرباعية الدائرية في الأمثلة الآتية.

مثال ١: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المُعطى رباعيًّا دائريًّا أو لا

هل يمكن أن تمر دائرة برءوس الرباعي 󰏡𞸁𞸢𞸃؟

الحل

يُعرَّف الشكل الرباعي الذي تقع رءوسه الأربعة على محيط دائرة بأنه رباعي دائري. يمكننا استخدام خواص الزوايا المحيطية لتحديد إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا، وبما أن القطرين مرسومان، إذن يمكننا التحقُّق ممَّا إذا كان قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

نرى إذا ما كان بإمكاننا حساب 𞹟󰌑𞸢𞸃𞸁 باستخدام 𞸢𞸃𞸁. نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ٠٨١. وإذا كان 𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢=٤٥، 𞹟󰌑𞸁𞸢𞸃=٩٧، فإن: 𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸃+𞹟󰌑𞸢𞸃𞸁=٠٨١٤٥+٩٧+𞹟󰌑𞸢𞸃𞸁=٠٨١٣٣١+𞹟󰌑𞸢𞸃𞸁=٠٨١𞹟󰌑𞸢𞸃𞸁=٧٤.

لدينا الآن زاويتان متطابقتان، 𞹟󰌑𞸢𞸃𞸁=𞹟󰌑𞸢󰏡𞸁. وبذلك نكون قد أوضحنا أن قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع يساوي قياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل؛ ومن ثَمَّ، فإن 󰏡𞸁𞸢𞸃 شكل رباعي دائري. وبدلًا من ذلك، يمكننا اعتبار أن هذه الخاصية تنشأ عن حقيقة أن 𞸁، 𞸢 يكوِّنان قوسًا، وبما أن الزاويتين عند 𞸃، 󰏡 متساويتان في القياس، إذن فهما تقعان على محيط الدائرة نفسها.

ويمكننا أيضًا رسم الدائرة التي تمر بالرءوس الأربعة كلها إذا أردنا.

وبذلك تكون الإجابة هي نعم، بما أن 󰏡𞸁𞸢𞸃 شكل رباعي دائري، إذن يمكننا رسم دائرة تمر بكل رءوس 󰏡𞸁𞸢𞸃.

في المثال الآتي، نتناول مثالًا يوضِّح كيف أنه إذا تمكَّنا من إثبات أن الزاويتين عند القطرين غير متساويتين في القياس، فإن الشكل الرباعي لا يكون دائريًّا.

مثال ٢: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المُعطى رباعيًّا دائريًّا

هل 󰏡𞸁𞸢𞸃 رباعي دائري؟

الحل

يمكننا من الشكل ملاحظة أن لدينا قطرين، وقياس زاويتين. إذا تمكَّنا من إثبات أن قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع في الشكل الرباعي مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا. وإذا لم يتساوَ قياساهما، فهو إذن ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

بما أن 𞹟󰌑𞸁𞸃󰏡=٨٣، إذن يمكننا أن نحاول حساب 𞹟󰌑𞸁𞸢󰏡. أو، يمكننا المقارنة بين الزوج الآخر المحتمل من الزوايا الذي هو 󰌑𞸃󰏡𞸢، 󰌑𞸃𞸁𞸢. ومن ثَمَّ، فإن معرفة قيمة زوج واحد من هذه الزوايا سيكون كافيًا لإثبات إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا.

نتناول الزوج الأول من الزوايا، ونحاول حساب قياس 󰌑𞸁𞸢󰏡. يمكننا أن نُعرِّف نقطة تقاطع القطرين بالنقطة 𞸤. لاحظ أنه مُعطى لنا 𞹟󰌑𞸁𞸤󰏡=٠٩، ونسترجع أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ٠٨١. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑𞸁𞸤𞸢=٠٨١𞹟󰌑𞸁𞸤󰏡=٠٨١٠٩=٠٩.

لدينا الآن 𞸁𞸢𞸤 معلومٌ فيه قياسا زاويتين، وبما أنه مُعطى لنا أن 𞹟󰌑𞸢𞸁𞸤=٣٦، إذن يمكننا حساب قياس الزاوية الثالثة، 𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤، باستخدام خاصية أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي ٠٨١. ومن ثَمَّ، نستنتج الآتي: 𞹟󰌑𞸢𞸁𞸤+𞹟󰌑𞸁𞸤𞸢+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٠٨١٣٦+٠٩+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٠٨١٣٥١+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٠٨١𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٧٢.

بالنظر إلى الزاويتين الناشئتين عند القطرين، نلاحظ أن: ٧٢٨٣، ومن ثَمَّ، فإن: 𞹟󰌑𞸁𞸢󰏡𞹟󰌑𞸁𞸃󰏡.

وبناءً على ما سبق، فإن الإجابة هي لا، 󰏡𞸁𞸢𞸃 ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا حساب 𞹟󰌑𞸃󰏡𞸢=٢٥.

بما أن قياس هذه الزاوية لا يساوي 𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢(٣٦)، فإن ذلك يمكن أن يثبت أيضًا أن قياسات الزوايا الناتجة عن القطرين غير متساوية؛ ومن ثَمَّ، فإن الشكل الرباعي 󰏡𞸁𞸢𞸃 ليس دائريًّا.

نُلقي نظرة الآن على مثال يتضمَّن شبه منحرف.

مثال ٣: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المُعطى رباعيًّا دائريًّا أو لا

هل شبه المنحرف 󰏡𞸁𞸢𞸃 رباعي دائري؟

الحل

يمكننا ملاحظة أن لدينا ضلعين متوازيين في 󰏡𞸁𞸢𞸃؛ حيث 𞸁𞸢󰏡𞸃. إذا كان لدينا هذان المستقيمان المتوازيان والقاطع 𞸁𞸃، يمكننا أن نلاحظ أن 󰌑𞸃𞸁𞸢 متبادلة مع الزاوية المُعطاة 󰏡𞸃𞸁. وبذلك يتساوى قياس هاتين الزاويتين. إذن: 𞹟󰌑𞸃𞸁𞸢=𞹟󰌑󰏡𞸃𞸁=٤٨.

بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي ٠٨١. يمكننا أن نُعرِّف نقطة تقاطع القطرين بالنقطة 𞸤.

وهكذا في المثلث 𞸁𞸢𞸤، نحسب الآتي: 𞹟󰌑𞸤𞸁𞸢+𞹟󰌑𞸁𞸤𞸢+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٠٨١٤٨+٢٥+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٠٨١٦٣١+𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٠٨١𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤=٤٤.

لدينا الآن المعلومات الكافية لتحديد إذا ما كان 󰏡𞸁𞸢𞸃 شكلًا رباعيًّا دائريًّا. فلدينا قياسا الزاويتين الناتجتين عن قطر وضلع؛ 󰌑𞸁𞸢𞸤، 󰌑󰏡𞸃𞸤. إذا كان قياس هاتين الزاويتين متساويًا، يكون الشكل رباعيًّا دائريًّا.

لكن، بما أن: 𞹟󰌑𞸁𞸢𞸤(=٤٤)𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤(=٤٨)، فإن جميع الرءوس الأربعة لا يمكن أن تقع على الدائرة.

ومن ثَمَّ، فإن الإجابة هي: لا، 󰏡𞸁𞸢𞸃 ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

هيا نتناول مثالًا آخر.

مثال ٤: استخدام خواص الشكل الرباعي الدائري للتحقُّق ممَّا إذا كان الشكل الرباعي المُعطى دائريًّا أو لا

هل الشكل 󰏡𞸁𞸢𞸃 رباعي دائري؟

الحل

يمكننا البدء بتذكُّر أن الشكل الرباعي الدائري شكل رباعي تقع رءوسه الأربعة على دائرة. إحدى الطرق التي يمكن من خلالها إثبات أن الشكل الرباعي دائريًّا هي أن يكون قياس الزاوية الناتجة عن القطر والضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

باستخدام خاصية أن مجموع قياسات الزوايا التي تقع على خط مستقيم يساوي ٠٨١، يمكننا حساب 𞹟󰌑𞸃𞸤󰏡 على النحو الآتي: 𞹟󰌑𞸃𞸤󰏡+𞹟󰌑𞸃𞸤𞸢=٠٨١𞹟󰌑𞸃𞸤󰏡+٣٨=٠٨١𞹟󰌑𞸃𞸤󰏡=٠٨١٣٨=٧٩.

بعد ذلك، يمكننا استخدام قياس الزاوية المُعطى، 𞹟󰌑𞸃󰏡𞸤=٢٤، وخاصية أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث يساوي ٠٨١، لحساب 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤+𞹟󰌑𞸃󰏡𞸤+𞹟󰌑𞸃𞸤󰏡=٠٨١𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤+٢٤+٧٩=٠٨١𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤+٩٣١=٠٨١𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤=٠٨١٩٣١=١٤.

يمكننا الآن ملاحظة أن: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁(١٤)=𞹟󰌑󰏡𞸃𞸁(١٤).

ومن ثَمَّ، يمكننا إعطاء الإجابة: نعم، الشكل 󰏡𞸁𞸢𞸃 رباعي دائري.

في الأمثلة السابقة، تناولنا أمثلة محدَّدة على الأشكال الرباعية المختلفة. في المثالين الآتيين، نتناول عبارات عامة عن مجموعة من الأشكال الرباعية، ونبدأ بتحديد إذا ما كانت جميع أشكال المعيَّن رباعية دائرية.

مثال ٥: تحديد إذا ما كان المعيَّن شكلًا رباعيًّا دائريًّا أو لا

صواب أم خطأ: جميع أشكال المعيَّن تكون أشكالًا رباعية دائرية؟

  1. صواب
  2. خطأ

الحل

يمكننا البدء بتذكُّر أن الشكل الرباعي الدائري شكل رباعي تقع كل رءوسه الأربعة داخل الدائرة وتمس أضلاعه. وإحدى الطرق التي يمكننا من خلالها إثبات أن الشكل الرباعي دائري هي أن يكون قياس الزاوية الناتجة عن القطر والضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل.

يُعرَّف المعيَّن بأنه شكل رباعي أطوال أضلاعه الأربعة متساوية. ومن خواص المعيَّن وجود ضلعين متوازيين، وأن يكون كل قطر من القطرين هو العمود المنصِّف للآخر. يمكننا رسم المعيَّن 󰏡𞸁𞸢𞸃 الآتي.

نتناول إحدى الزوايا الداخلية، لتكُن 󰌑𞸃󰏡𞸢. إذا كان المعيَّن دائريًّا، فإن الزاوية 𞸃𞸁𞸢 تكون مطابقة لهذه الزاوية. لكن الزاوية الوحيدة التي يمكننا إثبات أنها مطابقة لـ 󰌑𞸃󰏡𞸢 هي 󰌑󰏡𞸢𞸁؛ لأن 󰏡𞸃، 𞸁𞸢 مستقيمان متوازيان يقطعهما القاطع، 󰏡𞸢.

وبالمثل، باستخدام خواص المستقيمات المتوازية، فإن 󰌑󰏡𞸃𞸁 تطابق 󰌑𞸃𞸁𞸢.

يمكننا أن نلاحظ، بمجرد النظر في هذا المعيَّن، أن 󰌑𞸃󰏡𞸢 لا تطابق 󰌑𞸃𞸁𞸢. في الواقع، الطريقة الوحيدة التي تكون بها هاتان الزاويتان متطابقتين هي إذا كانت الزوايا الأربع المحدَّدة (󰌑𞸃󰏡𞸢، 󰌑󰏡𞸢𞸁، 󰌑󰏡𞸃𞸁، 󰌑𞸃𞸁𞸢) متطابقة، وحينئذٍ يكون قياس كل زاوية من الزوايا الأربع الداخلية في المعيَّن يساوي ٠٩، وسيكون مربعًا.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أنه على الرغم من أن المعيَّن قد يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا إذا كان مربعًا، وهي حالة خاصة للمعيَّن، فإنه لا يمكننا القول إن جميع أشكال المعيَّن تكون رباعية دائرية. ومن ثَمَّ، فإن العبارة التي تقول إن جميع أشكال المعيَّن تكون أشكالًا رباعية دائرية خطأ.

في المثال السابق، أثبتنا أن المعيَّن يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا فقط في الحالة الخاصة التي يكون فيها المعيَّن مربعًا. فجميع المربعات أشكال رباعية دائرية. وجميع المستطيلات أشكال رباعية دائرية أيضًا.

في المثال الأخير، سنتناول إذا ما كانت جميع أشكال شبه المنحرف المتساوية الساقين أشكالًا رباعية دائرية أو لا.

مثال ٦: تحديد إذا ما كان شبه المنحرف المتساوي الساقين شكلًا رباعيًّا دائريًّا

صواب أم خطأ: جميع أشكال شبه المنحرف المتساوي الساقين تكون أشكالًا رباعية دائرية؟

  1. صواب
  2. خطأ

الحل

نتذكَّر أن شبه المنحرف شكل رباعي له زوج واحد من الأضلاع المتوازية. ويُعَد شبه المنحرف المتساوي الساقين نوعًا خاصًّا من شبه المنحرف؛ حيث يتميَّز عنه بخاصية أن طولا الضلعين غير المتوازيين (الساقين) يكونان متساويين في الطول.

يمكننا رسم قطرَي شبه المنحرف المتساوي الساقين، ونتذكَّر أنه في أي شبه منحرف متساوي الساقين، يكون قياسا الزاويتين اللتين تقعان عند أي قاعدة من القاعدتين المتوازيتين متساويين؛ ومن ثَمَّ، عند القاعدة 𞸢𞸃، يكون: 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸢=𞹟󰌑𞸁𞸢𞸃.

يمكننا أيضًا ملاحظة أنه في المثلثين 𞸁𞸢𞸃، 󰏡𞸃𞸢، لدينا زوجان من الأضلاع المتطابقة. إن ساقَي شبه المنحرف متطابقان؛ أي إن: 𞸁𞸢=󰏡𞸃 ولهما ضلع مشترك. 𞸢𞸃 هو ضلع مشترك في كلا المثلثين.

ومن ثَمَّ، فإن 𞸁𞸢𞸃󰏡𞸃𞸢، طبقًا لمسلَّمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما. من ذلك، يمكننا استنتاج أن: 𞹟󰌑𞸢𞸁𞸃=𞹟󰌑𞸃󰏡𞸢.

ومن ثَمَّ، نجد أن قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع، 󰌑𞸢𞸁𞸃، يساوي قياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل، 󰌑𞸃󰏡𞸢. وهذا يعني أن شبه المنحرف المتساوي الساقين 󰏡𞸁𞸢𞸃، وأي شبه منحرف متساوي الساقين بصفة عامة، يكون دائريًّا.

على الرغم من أن كل أشكال شبه المنحرف ليست دائرية، فإن جميع أشكال شبه المنحرف المتساوية الساقين تكون دائرية؛ ومن ثَمَّ، فإن العبارة الواردة في هذا السؤال صواب.

لقد أوضحنا أن جميع أشكال شبه المنحرف المتساوي الساقين تكون دائرية، ولكن ليس جميع أشكال شبه المنحرف. ولقد رأينا مثالًا على ذلك في المثال الثالث في هذا الشارح. فقد أثبتنا أن شبه المنحرف المُعطى في هذه المسألة غير دائري.

وعلى الرغم من أنه يمكن إثبات أن أي نوع من الأشكال الرباعية قد يكون دائريًّا، فإنه يوجد ٣ أنواع من الأشكال تكون دائرية دائمًا؛ وهي: المربعات، والمستطيلات، وأشباه المنحرف المتساوية الساقين.

نلخِّص الآن النقاط الرئيسية الواردة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الشكل الرباعي الدائري مضلع رباعي الأضلاع تقع رءوسه على محيط دائرة؛ ومن ثَمَّ، فإن جميع زواياه تقع على محيط الدائرة.
  • في الشكل الرباعي الدائري، يكون قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل؛ لأنهما مقابلتان للقوس نفسه في الدائرة.
  • وعكس ما سبق صواب أيضًا. ومن ثَمَّ، فإن إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها لإثبات أن الشكل الرباعي دائري، هي إثبات أن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل.
  • جميع المربعات والمستطيلات وأشباه المنحرف المتساوية الساقين أشكال رباعية دائرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.