شارح الدرس: نظرية ديموافر الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: استخدام نظرية ديموافر على حاصل ضرب قوى عددين مركبين

بسِّط: .

الحل

بتطبيق نظرية ديموافر على كلِّ عدد مركَّب، يصبح لدينا:

باستخدام قاعدة ضرب الأعداد المركَّبة على الصورة القطبية: يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي:

وبالتبسيط، باستخدام ، ، نحصل على:

مثال ٢: قسمة الأعداد المركَّبة ذات القوى الكبيرة

بسِّط .

الحل

نبدأ بتحويل الأعداد المركَّبة في البسط والمقام إلى الصورة القطبية. نبدأ بالبسط، ومقياسه يساوي . وبما أن الجزء الحقيقي به موجب، والجزء التخيُّلي سالب، فإنه يقع في الربع الرابع؛ أيْ إن بإمكاننا إيجاد سعته من خلال إيجاد قيمة الدالة العكسية للظل على النحو الآتي:

وبناءً على ذلك، يمكننا التعبير عن ذلك بالصورة القطبية على النحو الآتي:

وبالمثل، بالنسبة إلى المقام، فمقياسه هو . ونظرًا لأن جزأَيْه الحقيقي والتخيلي موجبان، فإنه يقع في الربع الأول، ويمكننا إيجاد سعته كالآتي:

إذن، يمكن التعبير عن المقام على النحو الآتي: على الصورة القطبية. والآن، يمكننا إعادة كتابة الكسر كله على النحو الآتي:

بتطبيق نظرية ديموافر على الأعداد المركَّبة في البسط والمقام، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي:

وباستخدام قاعدة القسمة للعدد المركَّب على الصورة القطبية التي تنص على أنه إذا كان ، ، فإن: يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي:

مثال ٣: حل مسائل تتضمن قوى للأعداد المركَّبة

إذا كان ، فاحسب سعة الأساسية.

الحل

بالتعويض بقيمة في ، يصبح لدينا:

وباستخدام خواص المقياس، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:

والآن يصبح لدينا ؛ ومِن ثَمَّ:

وبناءً على ذلك: . إذن:

بأخذ سعتَي كلا الطرفين، يصبح لدينا:

وباستخدام خواص السعة، يصبح لدينا:

والآن، يمكننا إيجاد سعة . بما أن الجزء الحقيقي منه موجب، والجزء التخيلي سالب، فإنه يقع في الربع الرابع؛ ومِن ثَمَّ، يمكننا إيجاد سعته كالآتي:

إذن:

يمكننا التأكُّد من أن هذا هو بالفعل الجزء الأساسي من السعة بما أن . ولذا، فإن السعة الأساسية لـ هي .

مثال ٤: طرح قوى الأعداد المركبة

ما ناتج ؟

الحل

في هذا المثال، يمكننا تحويل كل عدد إلى الصورة القطبية وتطبيق نظرية ديموافر. لكن في البداية، نوَد الإشارة إلى أن هذا المقدار على الصورة . بمعلومية ذلك، يجب أن نفكر إذا ما كنا نستطيع تطبيق بعض خواص مرافقات الأعداد المركَّبة لتبسيط العملية الحسابية. نفترض أولًا أن لدينا عددًا مركَّبًا عامًّا على الصورة القطبية ، ومرافقه . إذن، بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا إعادة كتابة:

باستخدام خاصية مرافق العدد المركَّب، نحصل على: وبجعل نجد أن:

بدمج المعادلتين (١) و(٢)، نحصل على:

إذن:

يمكننا الآن إيجاد مقياس وسعته. أولًا، مقياسه . بما أن الجزء الحقيقي منه سالب، والجزء التخيُّلي موجب، فإنه يقع في الربع الثاني، ويمكننا إيجاد سعته كالآتي:

وباستخدام نظرية ديموافر، يمكننا كتابة:

إذن:

مثال ٥: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد جذور عدد مركب

انظر المعادلة .

1. اكتب في الصورة القطبية باستخدام الصورة العامة للسعة.
2. بتطبيق نظرية ديموافر على الطرف الأيسر، أعِد كتابة المعادلة في الصورة القطبية.
3. بمساواة المقاييس والسعات، وأخذ قِيَم مختلفة للسعة العامة، أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للمقدار ، واكتبها في الصورة الأُسِّية.

الحل

الجزء الأول

أولًا، نحسب مقياس على النحو الآتي:

ثانيًا، نحسب السعة. بما أن الجزء الحقيقي والتخيُّلي موجبان، إذن العدد المركب يقع في الربع الأول، ويمكننا حساب سعته الأساسية كالآتي:

نحصل على الصورة العامة للسعة من السعة الأساسية بجمع مضاعفات صحيحة من . مِن ثَمَّ، يمكننا كتابة السعة العامة على الصورة ؛ حيث . إذن، يمكننا التعبير عن بالصورة القطبية باستخدام الصورة العامة للسعة على النحو الآتي: لكل .

الجزء الثاني

يمكننا التعبير عن بالصورة القطبية على النحو الآتي:

مِن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو الآتي:

وبتطبيق نظرية ديموافر، نحصل على:

الجزء الثالث

بمساواة المقياسين، نحصل على ؛ ومِن ثَمَّ: . وبمساواة السعتين، نحصل على:

إذن:

والآن، نأخذ ثلاث قيم متتالية لـ لإيجاد الجذور الثلاثة المختلفة. بدايةً من ، يصبح لدينا . بعد ذلك، نأخذ وهو ما يعطينا . وأخيرًا، بالنسبة إلى ، نحصل على . بما أن هذا لا يقع ضمن نطاق ؛ إذن يمكننا طرح للحصول على السعة الأساسية: . ومِن ثَمَّ، الجذور الثلاثة المختلفة للمقدار هي:

مثال ٦: استخدام نظرية ديموافر للجذور لإيجاد الجذور المركَّبة لعدد

أوجد الجذور الرباعية للعدد واكتب الإجابة في الصورة المثلثية.

الحل

نبدأ بالتعبير عن بالصورة القطبية. من الواضح أن مقياسه واحد وسعته . مِن ثَمَّ، بتطبيق نظرية ديموافر لإيجاد الجذور، تُعطى الجذور الرباعية الأربعة كالآتي: لكل ، ٣. سنتناول كل قيمة لـ بالترتيب. بداية من ، لدينا:

وبالنسبة إلى ، لدينا:

وبالنسبة إلى ، لدينا:

لكن بما أن هذه السعة لا تقع ضمن نطاق السعة الأساسية، نطرح للحصول على:

وأخيرًا، بالنسبة إلى ، لدينا:

مرةً أخرى، لا تقع هذه السعة ضمن نطاق السعة الأساسية؛ لذا نطرح للحصول على:

بوضع كل هذه القيم معًا، نجد أن الجذور الرباعية للعدد هي ، ، ، .