شارح الدرس: نظرية ديموافر الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قوى الأعداد المركَّبة وجذورها، وكيف نستخدم نظرية ديموافر لتبسيط العمليات الحسابية للقُوى والجذور.

إذا وضعنا في الاعتبار متطابقات ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية أو الأسية؛ حيث 𞸏=𞸏=𞸏١٢، (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(٢𝜃+𞸕٢𝜃)،󰁓𞸋𞸤󰁒=𞸋𞸤،٢٢𞸕𝜃٢٢٢𞸕𝜃 فسنفترض أنه يمكننا تعميم هذه القاعدة على أيِّ قوة موجبة. إضافةً إلى ذلك، إذا وضعنا في الاعتبار علاقات المقلوب أيضًا: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓(𝜃)+𞸕(𝜃)󰁒،󰁓𞸋𞸤󰁒=𞸋𞸤،١١𞸕𝜃١١𞸕𝜃 فقد نتوقَّع أنه يمكننا تعميم هذه العلاقات أيضًا إلى علاقة لكل القوى الصحيحة. يمكننا إجراء ذلك بالفعل، والنتيجة تُعرَف بنظرية ديموافر.

نظرية ديموافر

بالنسبة لِأيِّ عدد صحيح 𞸍: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍

باستخدام الاستقراء، يمكننا إثبات هذا لكل القوى الموجبة. نبدأ بإثبات صحة ذلك في حالة 𞸍=١. عند 𞸍=١، فإن الطرف الأيمن يساوي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)=𞸋󰁓(١×𝜃)+𞸕(١×𝜃)󰁒،١١ وهو الطرف الأيسر. مِن ثَمَّ، نظرية ديموافر صحيحة عند 𞸍=١.

نفترض الآن صحة هذا لأي عدد صحيح موجب 𞸊: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃+𞸕𞸊𝜃).𞸊𞸊

وعلينا الآن إثبات أن هذا يشير إلى صحة نظرية ديموافر بالنسبة إلى 𞸊+١. إذن، نكتب: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=(𞸋(𝜃+𞸕𝜃))(𞸋(𝜃+𞸕𝜃)).𞸊+١𞸊

بافتراض صحة ذلك بالنسبة إلى 𞸊، يمكننا إعادة كتابته على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃+𞸕𞸊𝜃)(𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃+𞸕𞸊𝜃)(𝜃+𞸕𝜃).𞸊+١𞸊𞸊+١

بفك الأقواس، نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓𞸊𝜃𝜃+𞸕𞸊𝜃𝜃+𞸕𞸊𝜃𝜃+𞸕𞸊𝜃𝜃󰁒.𞸊+١𞸊+١٢

باستخدام حقيقة أن 𞸕=١٢، وتجميع كل الحدود الحقيقية والتخيُّلية، نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃𝜃𞸊𝜃𝜃+𞸕(𞸊𝜃𝜃+𞸊𝜃𝜃)).𞸊+١𞸊+١

وباستخدام المتطابقات المثلثية للجمع والطرح، (󰏡±𞸁)=󰏡𞸁±󰏡𞸁،(󰏡±𞸁)=󰏡𞸁󰏡𞸁، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓(𞸊𝜃+𝜃)+𞸕(𞸊𝜃+𝜃)󰁒=𞸋󰁓((𞸊+١)𝜃)+𞸕((𞸊+١)𝜃)󰁒.𞸊+١𞸊+١𞸊+١

وبناءً على ذلك، وبما أن نظرية ديموافر صحيحة بالنسبة إلى 𞸍=𞸊، وإلى 𞸍=𞸊+١، وإلى 𞸍=١، إذن من خلال الاستقراء الرياضي، نستنتج أنها صحيحة لكل الأعداد الصحيحة الموجبة 𞸍. لإثبات نظرية ديموافر للأعداد الصحيحة السالبة، يمكننا استخدام النتيجة التي أثبتناها للتو ومتطابقات المقلوب. نفترض أن 𞸍 عدد صحيح موجب. إذن: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=󰁓(𞸋(𝜃+𞸕𝜃))󰁒.𞸍𞸍١

وباستخدام نظرية ديموافر للأعداد الصحيحة الموجبة، يكون لدينا: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=󰁓𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃)󰁒.𞸍𞸍١

ويمكننا الآن تطبيق علاقة المقلوب لنحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓(𞸍𝜃)+𞸕(𞸍𝜃)󰁒.𞸍𞸍

وبناءً على ذلك، نكون قد أثبتنا أن هذه هي الحالة الخاصة بالأعداد الصحيحة السالبة. أما الحالة التي فيها 𞸍=٠ تكون سهلة الإثبات، وبهذا نكون قد أثبتنا صحة نظرية ديموافر لكل 𞸍𞹑.

لإثباتٍ أكثر إيجازًا، يمكننا استخدام صيغة أويلر على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=󰁓𞸋𞸤󰁒.𞸍𞸕𝜃𞸍

بما أن 𞸍 عدد صحيح، إذن يمكننا كتابة ذلك على الصورة: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋𞸤.𞸍𞸍𞸕𞸍𝜃

وباستخدام صيغة أويلر مرة أخرى، نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍

سنتناول الآن عددًا من الأمثلة؛ حيث يُبسِّط استخدام هذه النظرية العمليات الحسابية بشكل كبير.

مثال ١: استخدام نظرية ديموافر

بسِّط 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓٧١١.

الحل

بتطبيق نظرية ديموافر على كلِّ عدد مركَّب، يصبح لدينا: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓=󰂔󰋴٥󰂓󰂔󰂔٧×٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٧×٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂓󰂔󰂔١١×٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔١١×٥𝜋٢٢󰂓󰂓=󰂔٥٢١󰋴٥󰂓󰂔󰂔٣𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٢󰂓󰂓󰂔٣٤٢󰋴٣󰂓󰂔󰂔٥𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢󰂓󰂓.٧١١٧١١

باستخدام قاعدة ضرب الأعداد المركَّبة على الصورة القطبية: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒،١٢١٢١٢١٢ يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓=󰂔٥٢١󰋴٥󰂓󰂔٣٤٢󰋴٣󰂓󰂔󰂔٣𝜋٢+٥𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٢+٥𝜋٢󰂓󰂓=٥٧٣٠٣󰋴٥١(٤𝜋+𞸕٤𝜋).٧١١

وبالتبسيط، نحصل على: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓=٥٧٣٠٣󰋴٥١.٧١١

يوضِّح المثال السابق أن استخدام نظرية ديموافر يبسِّط العمليات الحسابية بشكل كبير. وبوضع هذا في الاعتبار، إذا أردنا حل مسألة تحتوي على قوى عليا للأعداد المركَّبة، فمن الأفضل البدء بالتعبير عنها بالصورة القطبية أو الأسية. يُبرهن المثال الآتي على هذه العملية.

مثال ٢: قسمة الأعداد المركَّبة ذات القوى الكبيرة

بسِّط ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)٩٣١٤.

الحل

نبدأ بتحويل الأعداد المركَّبة في البسط والمقام إلى الصورة القطبية. نبدأ بالبسط، ومقياسه يساوي |𞸕+١|=󰋴١+(١)=󰋴٢٢٢. وبما أن الجزء الحقيقي به موجب، والجزء التخيلي سالب، فإنه يقع في الربع الرابع، أيْ إننا يمكننا إيجاد سعته من خلال إيجاد قيمة الدالة العكسية للظل على النحو الآتي: (𞸕+١)=󰂔١١󰂓=𝜋٤.١

وبناءً على ذلك، يمكننا التعبير عن هذا بالصورة القطبية على النحو الآتي: 𞸕+١=󰋴٢󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓.

وبالمثل، بالنسبة إلى المقام، فمقياسه هو |𞸕+١|=󰋴١+١=󰋴٢٢٢. ونظرًا لأن جزأَيْه الحقيقي والتخيلي موجبان، فسيقع إذن في الربع الأول، ويمكننا إيجاد قيمة سعته بحساب: (𞸕+١)=󰂔١١󰂓=𝜋٤.١

إذن، يمكن التعبير عن المقام على النحو الآتي: 𞸕+١=󰋴٢󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓 على الصورة القطبية. والآن، يمكننا إعادة كتابة الكسر كله على النحو الآتي: ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)=٨١󰂔󰋴٢󰂔󰂔󰂓+𞸕󰂔󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٢󰂔󰂔󰂓+𞸕󰂔󰂓󰂓󰂓.٩٣١٤𝜋٤𝜋٤٩٣𝜋٤𝜋٤١٤

وبتطبيق نظرية ديموافر على الأعداد المركَّبة في البسط والمقام، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)=٨١󰂔󰋴٢󰂓󰂔󰂔٩٣󰂓+𞸕󰂔٩٣󰂓󰂓󰂔󰋴٢󰂓󰂔󰂔١٤󰂓+𞸕󰂔١٤󰂓󰂓.٩٣١٤٩٣𝜋٤𝜋٤١٤𝜋٤𝜋٤

وباستخدام قواعد خارج قسمة العدد المركَّب على الصورة القطبية، فإذا كان 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒،١٢١٢١٢١٢ يمكننا إعادة كتابة هذا على النحو الآتي: ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)=٨١󰂔󰋴٢󰂓󰂔󰂔𝜋٤٩٣𝜋٤١٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤٩٣𝜋٤١٤󰂓󰂓=٩󰁓(٠٢𝜋)+𞸕(٠٢𝜋)󰁒=٩.٩٣١٤٢

من أحد تطبيقات نظرية ديموافر أننا يمكننا تعميم خواص المقياس والسعة على القوى الصحيحة الاختيارية. وهو ما يعطينا المتطابقات التالية الصحيحة لأيِّ عدد مركَّب 𞸏، 𞸍𞹑: 󰍸𞸏󰍸=|𞸏|،󰁓𞸏󰁒=𞸍(𞸏).𞸍𞸍𞸍

في بعض الأحيان، يفيد استخدام هذه المتطابقات عند حل بعض المسائل أكثر من استخدام نظرية ديموافر مباشرةً، وهو ما سيوضِّحه المثال الآتي.

مثال ٣: حل مسائل تتضمن قوى للأعداد المركَّبة

إذا كان 𞸏=󰂔󰋴٣𞸕󰂓،|𞸏|=٢٣𞸍 فاحسب سعة 𞸏 الأساسية.

الحل

بالتعويض بقيمة 𞸏=󰂔󰋴٣𞸕󰂓𞸍 في |𞸏|=٢٣، يصبح لدينا: 󰍻󰂔󰋴٣𞸕󰂓󰍻=٢٣.𞸍

وباستخدام خواص المقياس، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 󰍻󰋴٣𞸕󰍻=٢٣.𞸍

والآن يصبح لدينا 󰍻󰋴٣𞸕󰍻=󰋺󰂔󰋴٣󰂓+(١)=󰋴٤=٢٢٢؛ ومِن ثَمَّ: ٢=٢٣.𞸍

وبناءً على ذلك، 𞸍=٥. إذن: 𞸏=󰂔󰋴٣𞸕󰂓.٥

بأخذ سعتَي كلا الطرفين، يصبح لدينا: (𞸏)=󰂔󰂔󰋴٣𞸕󰂓󰂓.٥

وباستخدام خواص السعة، يصبح لدينا: (𞸏)=٥󰂔󰋴٣𞸕󰂓.

والآن، يمكننا إيجاد سعة 󰋴٣𞸕. بما أن الجزء الحقيقي منه موجب، والجزء التخيلي سالب، سيقع إذن في الربع الرابع؛ ومِن ثَمَّ، يمكننا إيجاد سعته من خلال إيجاد قيمة: 󰂔󰋴٣𞸕󰂓=󰃭١󰋴٣󰃬=𝜋٦.١

إذن: (𞸏)=٥×𝜋٦=٥𝜋٦.

مثال ٤: الفرق بين قوى الأعداد المركَّبة

ما ناتج (٢+٢𞸕)(٢٢𞸕)٤٤؟

الحل

في هذا المثال، يمكننا تحويل كل عدد إلى الصورة القطبية وتطبيق نظرية ديموافر. مع ذلك، نشير عادةً في البداية إلى أن هذا المقدار على الصورة 𞸏󰁓𞸏󰁒𞸍𞸍. بمعرفة هذه المعلومة، يجب أن نضع في اعتبارنا إذا ما كنا نستطيع تطبيق بعض خواص مرافقات الأعداد المركَّبة لتبسيط العملية الحسابية. نفكِّر أولًا في عدد مركَّب عام على الصورة القطبية 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)، ومرافقه 𞸏=𞸋󰁓(𝜃)+𞸕(𝜃)󰁒. إذن، بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا إعادة كتابة: 𞸏󰁓𞸏󰁒=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃)𞸋󰁓(𞸍𝜃)+𞸕(𞸍𝜃)󰁒=𞸏󰁓𞸏󰁒.𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍

باستخدام خاصية مرافق العدد المركَّب: 𞸏𞸏=٢𞸕×(𞸏)،اءاد نحصل على: 𞸏󰁓𞸏󰁒=٢𞸕×󰁓𞸏󰁒.𞸍𞸍𞸍اءاد

إذن: (٢+٢𞸕)(٢٢𞸕)=٢𞸕×󰁓(٢+٢𞸕)󰁒.٤٤٤اءاد

يمكننا الآن إيجاد مقياس وسعة (٢+٢𞸕). أولًا، مقياسه |٢+٢𞸕|=󰋴(٢)+٢=٢󰋴٢٢٢. بما أن الجزء الحقيقي منه سالب، والجزء التخيلي موجب، سيقع إذن في الربع الثاني، ويمكننا إيجاد سعته بحساب: (٢٢𞸕)=󰂔٢٢󰂓+𝜋=𝜋٤+𝜋=٣𝜋٤.١

وباستخدام نظرية ديموافر، يمكننا كتابة: (٢+٢𞸕)=󰂔٢󰋴٢󰂓󰂔󰂔٣𝜋٤٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤٤󰂓󰂓=٤٦(٣𝜋+𞸕٣𝜋).٤٤

إذن: (٢+٢𞸕)(٢٢𞸕)=٢𞸕×󰁓(٢+٢𞸕)󰁒=٨٢١𞸕٣𝜋=٠.٤٤٤اءاد

لاحِظْ أننا في المثال السابق، وباستخدام نظرية ديموافر، أوضحنا أنه لِأيِّ عدد مركَّب 𞸏: 󰁓𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒.𞸍𞸍

والآن، سنعرف كيف يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد جذور الأعداد المركَّبة.

مثال ٥: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور

انظر المعادلة 𞸏=٢󰋴٣+٢𞸕٣.

  1. عبِّر عن ٢󰋴٣+٢𞸕 بالصورة القطبية باستخدام الصورة العامة للسعة.
  2. بتطبيق نظرية ديموافر على الطرف الأيمن، أعِدْ كتابة المعادلة على الصورة القطبية.
  3. بمساواة المقاييس والسعات والتفكير في قيم مختلفة للسعة العامة، أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للمقدار ٢󰋴٣+٢𞸕، معبِّرًا عنها بالصورة الأسية.

الحل

الجزء الأول

أولًا، نحسب مقياس ٢󰋴٣+٢𞸕 على النحو الآتي: 󰍻٢󰋴٣+٢𞸕󰍻=󰋺󰂔٢󰋴٣󰂓+٢=󰋴٢١+٤=󰋴٦١=٤.٢٢

ثانيًا، نحسب السعة. بما أن الجزء الحقيقي والتخيلي موجبان، إذن العدد المركب لدينا يقع في الربع الأول، ويمكننا حساب سعته الأساسية من خلال إيجاد قيمة: 󰂔٢󰋴٣+٢𞸕󰂓=󰃭٢٢󰋴٣󰃬=𝜋٦.١

نحصل على الصورة العامة للسعة من السعة الأساسية بجمع مضاعفات ٢𝜋 التي على صورة أعداد صحيحة. مِن ثَمَّ، يمكننا كتابة السعة العامة على الصورة 𝜋٦+٢𝜋𞸊؛ حيث 𞸊𞹑. إذن، يمكننا التعبير عن ٢󰋴٣+٢𞸕 بالصورة القطبية باستخدام الصورة العامة للسعة على النحو الآتي: ٢󰋴٣+٢𞸕=٤󰂔󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓󰂓 لكل 𞸊𞹑.

الجزء الثاني

يمكننا التعبير عن 𞸏 بالصورة القطبية على النحو الآتي: 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃).

مِن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=٤󰂔󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓󰂓.٣

وبتطبيق نظرية ديموافر، نحصل على: 𞸋(٣𝜃+𞸕٣𝜃)=٤󰂔󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓󰂓.٣

الجزء الثالث

بمساواة المقاييس، نحصل على 𞸋=٤٣؛ ومِن ثَمَّ، 𞸋=󰋴٤٣. وبمساواة السعات، نحصل على: ٣𝜃=𝜋٦+٢𝜋𞸊.

إذن: 𝜃=+٢𝜋𞸊٣.𝜋٦

والآن، نأخذ ثلاث قيم متتالية لـ 𞸊 لإيجاد الجذور الثلاثة المختلفة. بدايةً من 𞸊=٠، يصبح لدينا 𝜃=𝜋٨١١. بعد ذلك، نأخذ 𞸊=١، وهو ما يعطينا 𝜃=٣١𝜋٨١٢. وأخيرًا، بالنسبة إلى 𞸊=٢، نحصل على 𝜃=٥٢𝜋٨١٣. بما أن هذا لا يقع ضمن نطاق [𝜋،𝜋]، إذن يمكننا طرح ٢𝜋 للحصول على السعة الأساسية: 𝜃=١١𝜋٨١٣. ومِن ثَمَّ، الجذور الثلاثة المختلفة للمقدار ٢󰋴٣+٢𞸕 هي: 𞸏=󰋴٤𞸤،󰋴٤𞸤،󰋴٤𞸤.٣𝜋٨١٣٣١𝜋٨١٣١١𝜋٨١𞸕𞸕𞸕

باستخلاص الطريقة المستخدَمة في السؤال السابق، نصل إلى نظرية ديموافر للجذور.

نظرية ديموافر للجذور

بالنسبة لأيِّ عدد مركب 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)، فإن الجذور النونية تُعطى بالعلاقة: 𞸋󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀١𞸍 لكل 𞸊=٠،١،،𞸍١.

لإنهاء هذا الشارح، نتناول مثالًا أخيرًا نطبِّق فيه نظرية ديموافر لإيجاد الجذور.

مثال ٦: الجذور المركَّبة

أوجد الجذور الرباعية للعدد ١، واكتب الإجابة في الصورة المثلثية.

الحل

نبدأ بالتعبير عن ١ بالصورة القطبية. من الواضح أن مقياسه واحد، وسعته 𝜋. مِن ثَمَّ، بتطبيق نظرية ديموافر لإيجاد الجذور، ستُساوي الجذور الرباعية الأربعة: ١󰂔󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓+𞸕󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓󰂓=󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓+𞸕󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓١٤ لكل 𞸊=٠،١،٢، ٣. سنفكِّر في كل قيمة لـ 𞸊 بالترتيب. بدايةً من 𞸊=٠، لدينا: 󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓.

وبالنسبة إلى 𞸊=١، لدينا: 󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓.

وبالنسبة إلى 𞸊=٢، لدينا: 󰂔٥𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٤󰂓.

وبما أن هذه السعة لا تقع ضمن نطاق السعة الأساسية، إذن يمكننا طرح ٢𝜋 للحصول على: 󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓.

وأخيرًا، بالنسبة إلى 𞸊=٣، لدينا: 󰂔٧𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٧𝜋٤󰂓.

مرةً أخرى، لا تقع هذه السعة ضمن نطاق السعة الأساسية، لذا يمكننا طرح ٢𝜋 للحصول على: 󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓.

بوضع كل هذه القيم معًا، نجد أن الجذور الرباعية للعدد ١ هي 󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓، 󰂔󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓󰂓، 󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓، 󰂔󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓󰂓.

النقاط الرئيسية

  • تُمكِّننا نظرية ديموافر: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃)،𞸍𞸍 من تبسيط العمليات الحسابية التي تتضمَّن القوى الصحيحة الكبيرة للأعداد المركَّبة.
  • تمتد نظرية ديموافر لتشمل إيجاد الجذور النونية المختلفة للأعداد المركَّبة، بإيجاد قيمة: 𞸋󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀١𞸍 لكل 𞸊=٠،١،،𞸍١.
  • رغم أنه يُمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيمة الجذور النونية والقوى الصحيحة، فلا يُمكننا أن نفترض تطبيقها على جميع القوى الحقيقية أو المركَّبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.