شارح الدرس: خاصية تشابُه المثلثات وتطبيقاتها الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص المثلثات المتشابِهة لحلِّ المسائل.

يُمكننا البدء بالتعرُّف على مفهوم التشابُه.

تعريف: تشابُه المثلثات

يكون المثلثان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظِرة متطابِقة، وأطوال أضلاعهما المتناظِرة متناسِبة.

بعبارة أخرى، يُمكننا القول إن المثلثات المتشابِهة لها الشكل نفسه، لكن أطوال أضلاعها قد تكون مختلفة. علاوةً على ذلك، تُعرَّف المثلثات التي لها الشكل نفسه وأطوال الأضلاع نفسها بأنها متطابِقة.

وفيما يأتي مثال على مثلثين متشابِهين.

كل زاويتين في الشكل، الزاويتان 󰏡، 𞸃، والزاويتان 𞸁، 𞸤، والزاويتان 𞸢، 𞸅، متساويتان في القياس. وطولي كل ضلعين متناظرين، الضلعان 󰏡𞸁، 𞸃𞸤، والضلعان 󰏡𞸢، 𞸃𞸅، والضلعان 𞸁𞸢، 𞸤𞸅 متناسبان. في هذا المثال، يُمكننا أيضًا القول إن معامل قياس التشابُه من 󰏡𞸁𞸢 إلى 𞸃𞸤𞸅 هو ١٢.

سنتناول الآن هندسة المثلثات المتشابِهة. يُمكننا أن نتناول مثلثًا، مثل المثلث 𞸅𞸆𞸇.

بإجراء تمدُّد بمعامل قياس التشابُه 𞸊، سنحصل على المثلث 𞸅𞸆𞸇 الآتي.

عند إجراء التمدُّد، تُضرَب جميع أطوال الأضلاع في معامل قياس التشابُه، وتبقى جميع قياسات الزوايا كما هي. إذا كان معامل قياس التشابُه أكبر من واحد، يكون الشكل مُكبَّرًا. وإذا كان معامل قياس التشابُه أصغر من واحد، يكون الشكل مُصغَّرًا.

يُمكننا أن نقول إن المثلث 𞸅𞸆𞸇 يُشابه المثلث 𞸅𞸆𞸇، ويُمكننا كتابة ذلك على الصورة: 𞸅𞸆𞸇𞸅𞸆𞸇.

عندما نكتب علاقة التشابُه بين مثلثين، يكون ترتيب الحروف مُهِمًّا؛ حيث إنه يُشير إلى الزوايا والأضلاع المتناظِرة في المثلثين.

إذا كان لمثلثين زوايا متناظِرة متساوية في القياس، تكون أطوال الأضلاع المتناظِرة متناسِبة بالتناسُب نفسه. وإذا كانت أطوال أضلاع المثلثين المتناظِرة متناسبة بالتناسُب نفسه، تكون الزوايا المتناظِرة متساوية في القياس. لكي نُثبِت أن أي مثلثين متشابهان، وبدلًا من إثبات أن جميع الزوايا المتناظِرة متساوية في القياس، وأن جميع أطوال الأضلاع المتناظِرة متناسِبة، هناك عدد من مُسلَّمات التشابُه التي يُمكننا استخدامها.

المُسلَّمة الأولى التي يُمكننا استخدامها هي مُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

تعريف: مُسلَّمة التشابُه بزاويتين

إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان.

يُمكننا أن نبدأ بالمثلثين الآتيين.

في هذه الحالة، لدينا 𞹟󰌑𞸁=𞹟󰌑𞸤، 𞹟󰌑𞸢=𞹟󰌑𞸅. يُمكننا إثبات أنه إذا كان لدينا في أحد المثلثين زاويتان تساويان زاويتين في المثلث الآخَر في القياس، فلا بدَّ أن تكون الزاوية الثالثة في كلٍّ من المثلثين، 𞹟󰌑󰏡، 𞹟󰌑𞸃، متساويتين في القياس أيضًا.

يُمكننا أن نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ٠٨١. لذا لإيجاد قياس الزاوية 󰏡، يُمكننا حساب: 𞹟󰌑󰏡+𞹟󰌑𞸁+𞹟󰌑𞸢=٠٨١𞹟󰌑󰏡=٠٨١(𞹟󰌑𞸁+𞹟󰌑𞸢).

في المثلث 𞸃𞸤𞸅، يُمكننا حساب قياس 󰌑𞸃 على النحو الآتي: 𞹟󰌑𞸃+𞹟󰌑𞸤+𞹟󰌑𞸅=٠٨١𞹟󰌑𞸃=٠٨١(𞹟󰌑𞸤+𞹟󰌑𞸅).

بما أننا نعلم أن 𞹟󰌑𞸁=𞹟󰌑𞸤، 𞹟󰌑𞸢=𞹟󰌑𞸅، يُمكننا القول إن: ٠٨١(𞹟󰌑𞸁+𞹟󰌑𞸢)=٠٨١(𞹟󰌑𞸤+𞹟󰌑𞸅).

ومن ثَمَّ: 𞹟󰌑󰏡=𞹟󰌑𞸃.

إذن، في أيِّ مثلث، عندما يكون لدينا زاويتان تطابقان زاويتين في مثلثٍ آخَر، فلا بدَّ أن تكون الزاوية الثالثة في كلٍّ من المثلثين متطابقتين أيضًا، ويكون المثلثان متشابهين.

تتضمَّن مُسلَّمة التشابُه الثانية أطوال أضلاع المثلثين.

تعريف: مُسلَّمة التشابُه بثلاثة أضلاع

إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة لمثلث تتناسب مع أطوال الأضلاع الثلاثة المناظِرة لها في مثلث آخَر، فإن المثلثين متشابهان.

يُمكننا تطبيق هذه المُسلَّمة بالطريقة الآتية. يُمكننا تناول المثلثين 𞸏𞸐𞸓، 𞸊𞸋𞸌.

إذا تمكَّنَّا من إثبات أن هناك علاقة تناسب بين أضلاع هذين المثلثين؛ بحيث يكون: 𞸏𞸐𞸊𞸋=𞸐𞸓𞸋𞸌=𞸓𞸏𞸌𞸊، إذن سيكون: 𞸏𞸐𞸓𞸊𞸋𞸌.

على سبيل المثال، يُمكننا النظر إلى المثلثين الموضَّحين الآتيين 󰏡𞸁𞸢، 𞸃𞸤𞸅.

يُمكننا كتابة أن: 󰏡𞸁𞸃𞸤=𞸁𞸢𞸤𞸅=󰏡𞸢𞸃𞸅، حيث: ٦٣=٠١٥=٩٥٫٤.

جميع النِّسَب بين الأضلاع المتناظِرة تكافئ ٢١=٢. ومن ثَمَّ: 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅.

لاحِظ أنه سيكون صحيحًا أيضًا أن نكتب: 𞸃𞸤󰏡𞸁=𞸤𞸅𞸁𞸢=𞸃𞸅󰏡𞸢.

كلُّ ما علينا فعله هو التأكُّد من أننا حافظنا على وضْع جميع الأضلاع في كلِّ مثلثٍ إمَّا في البسط وإمَّا في المقام.

ونظرًا لوجود علاقات تناسُب متكافئة بين جميع أطوال الأضلاع المتناظِرة في المثلثين، فإن المثلثين متشابهان.

سنتحدَّث الآن عن مُسلَّمة التشابُه الأخيرة.

تعريف: مُسلَّمة التشابُه بضلعَيْن والزاوية المحصورة بينهما

إذا كان طولا ضلعَيْن في مثلث متناسبَيْن مع طولَيْ ضلعَيْن في مثلثٍ آخَر، وكانت الزاوية المحصورة بين الضلعين الأولين تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين الآخَرين، فإن المثلثين متشابهان.

يُمكننا توضيح هذه المُسلَّمة بالشكل الآتي.

في هذا الشكل، لدينا ضلعان في مثلث يناظران ضلعين في مثلث آخَر وبينهما التناسب نفسه: 󰏡𞸁𞸎𞸑=𞸁𞸢𞸑𞸏، حيث: ٠١٦=٦٦٫٣.

كلٌّ من هذين التناسبَيْن يكافئ ٥٣. وفي كلا المثلثين، الزاوية المحصورة بين الضلعين الأولين تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين الآخَرين. إذن: 󰏡𞸁𞸢𞸎𞸑𞸏.

ولتحقيق مُسلَّمة التشابُه بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، نحتاج فقط إلى وجود ضلعين في كل مثلث متناسبين مع ضلعين مناظرين لهما في المثلث الآخر، ولكن لا بدَّ أن تكون الزاويتان هما الزاويتين المحصورتين بين الضلعين الأولين وبين الضلعين الآخَرين في كلِّ مثلث. لاحِظ أن هذه القاعدة تختلف عن مُسلَّمة التطابُق بضلعَيْن والزاوية المحصورة بينهما؛ حيث يكون علينا إثبات أن أطوال الأضلاع المتناظِرة متساوية في المثلثين لكي يكونا متطابقين.

سنتناول الآن بعض الأمثلة على كيفية تطبيق مُسلَّمات التشابُه هذه لإثبات تشابُه مثلثين.

مثال ١: إثبات إذا ما كان مثلثان متشابهين

يوضِّح الشكل الآتي المثلث 󰏡𞸃𞸤؛ حيث القطعة المستقيمة 𞸁𞸢 توازي القطعة المستقيمة 𞸃𞸤.

  1. ما الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑󰏡𞸁𞸢؟ ولماذا؟
    1. 󰌑󰏡𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    2. 󰌑󰏡𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    3. 󰌑󰏡𞸢𞸁؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    4. 󰌑󰏡𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    5. 󰌑󰏡𞸢𞸁؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
  2. ما الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸁؟ ولماذا؟
    1. 󰌑󰏡𞸁𞸢؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    2. 󰌑󰏡𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    3. 󰌑󰏡𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    4. 󰌑󰏡𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    5. 󰌑󰏡𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
  3. بناءً على ذلك، هل المثلثان 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸃𞸤 متشابهان؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فاذكر كيف؟
    1. نعم، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بثلاثة أضلاع.
    2. نعم، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بضلعَيْن والزاوية المحصورة بينهما.
    3. نعم، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.
    4. لا، ليسا متشابهين.

الحل

الجزء الأول

في الشكل، نلاحِظ أن هناك قطعتين مستقيمتين متوازيتين، هما 𞸁𞸢، 𞸃𞸤. والمستقيم 󰏡𞸃 قاطِع لهاتين القطعتين المستقيمتين؛ ومن ثَمَّ، فإن الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑󰏡𞸁𞸢 هي: 󰌑󰏡𞸃𞸤.؛نااوِن

الجزء الثاني

لإيجاد الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸁، نستخدم خصائص زوايا المستقيمات المتوازية، إلى جانب القاطع 󰄮󰏡𞸤. ومن ثَمَّ، فإن الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸁 هي: 󰌑󰏡𞸤𞸃.؛نااوِن

الجزء الثالث

لقد أثبتنا الآن أن هناك زاويتين في المثلث 󰏡𞸁𞸢 تناظِران زاويتين في المثلث 󰏡𞸃𞸤، وتساويهما في القياس: 𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢=𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤،𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸤𞸃.

تنصُّ مُسلَّمة التشابُه بزاويتين على أنه إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان. إذن، يمكننا الإجابة عن السؤال بأن المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸃𞸤 متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

سنتناول الآن مثالًا آخر.

مثال ٢: إثبات ما إذا كان مثلثان متشابهين

يوضِّح الشكل المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 𞸃𞸤𞸢؛ حيث القطعة المستقيمة 󰏡𞸁 توازي القطعة المستقيمة 𞸃𞸤.

  1. ما الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑󰏡𞸁𞸢؟ ولماذا؟
    1. 󰌑𞸢𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    2. 󰌑𞸢𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    3. 󰌑𞸢𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    4. 󰌑𞸢𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    5. 󰌑𞸃𞸢𞸤؛ لأن الزاويتين متقابِلتان بالرأس.
  2. ما الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑𞸁󰏡𞸢؟ ولماذا؟
    1. 󰌑𞸢𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    2. 󰌑𞸢𞸃𞸤؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    3. 󰌑𞸢𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
    4. 󰌑𞸢𞸤𞸃؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
    5. 󰌑𞸃𞸢𞸤؛ لأن الزاويتين متقابِلتان بالرأس.
  3. وعليه، هل المثلث 󰏡𞸁𞸢 والمثلث 𞸃𞸤𞸢 متشابهان؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فاذكر كيف؟
    1. نعم، هما متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بثلاثة أضلاع.
    2. نعم، هما متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
    3. نعم، هما متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.
    4. لا، ليسا متشابهين.

الحل

الجزء الأول

في الشكل، القطعتان المستقيمتان 󰏡𞸁، 𞸃𞸤 متوازيتان. إذا نظرنا إلى الزاوية 󰌑󰏡𞸁𞸢، فباستخدام خواص زوايا المستقيمات المتوازية التي يقطعها قاطع، يمكننا تحديد أن الزاوية المكافئة لها هي: 󰌑𞸢𞸤𞸃.؛نااودِن

الجزء الثاني

باستخدام الخواص نفسها، مع القاطع 󰏡𞸃، ستكون الزاوية المكافئة للزاوية 󰌑𞸁󰏡𞸢 هي: 󰌑𞸢𞸃𞸤.؛نااودِن

الجزء الثالث

لقد أثبتنا أن: 𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢=𞹟󰌑𞸢𞸤𞸃،𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=𞹟󰌑𞸢𞸃𞸤.

يمكننا أن نتذكر أن مُسلَّمة التشابُه بزاويتين تنص على أنه إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان. إذن، يُمكننا الإجابة عن السؤال بأن المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 𞸃𞸤𞸢 متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

يُمكننا تعميم الطريقتين المُستخدَمتين في السؤالين السابقين في نتيجة تشابُه مثلثين كما يأتي.

تعريف: نتيجة تشابُه مثلثين

إذا كان طولا ضلعَيْن في مثلث متناسبَيْن مع طولَيْ ضلعَيْن في مثلثٍ آخَر، وكانت الزاوية المحصورة بين الضلعين الأولين تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين الآخَرين، فإن المثلثين متشابهان.

في كلٍّ من الأشكال السابقة، يُمكننا القول إنه إذا كان 󰄮󰄮𞸃𞸤𞸁𞸢، ويقطع كلًّا من 󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰏡𞸢 عند 𞸃، 𞸤، على الترتيب، فإن 󰏡𞸃𞸤󰏡𞸁𞸢.

في المثال التالي، سنحسب معامل قياس التشابُه بين مثلثين متشابهين.

مثال ٣: إيجاد معامل قياس التشابُه

في الشكل، 𞸢𞸁=٧٫٥، 𞸁𞸤=٢١٫٩. بما أن المثلثين 𞸢𞸁󰏡، 𞸤𞸁𞸃 متشابهان، فما معامل قياس التشابُه؟

الحل

يُمكننا البدء بتحديد الأطوال المُعطاة على الشكل.

نعلم من مُعطَيات السؤال أن المثلث 𞸢𞸁󰏡 يُشابه المثلث 𞸤𞸁𞸃. لعلنا نتذكَّر أنه في المثلثين المتشابهين جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة.

يُمكننا استخدام ترتيب الحروف لمساعدتنا في معرفة أن الضلعين 𞸢𞸁، 𞸤𞸁 متناظِران. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة التناسب بين طولَيْهما من 𞸢𞸁󰏡 إلى 𞸤𞸁𞸃 على النحو الآتي: 𞸤𞸁𞸢𞸁=٢١٫٩٧٫٥=٨٥.

يُمكننا أن نكتب الناتِج على صورة كسر أو عدد عشري؛ ومن ثَمَّ فمعامل قياس التشابُه من المثلث 𞸢𞸁󰏡 إلى المثلث 𞸤𞸁𞸃 يساوي ١٫٦.

لاحِظ أن معامل قياس التشابُه في الاتجاه المعاكس؛ أي من 𞸤𞸁𞸃 إلى 𞸢𞸁󰏡، سيُكتَب في صورة التناسب: 𞸢𞸁𞸤𞸁=٥٨.

سنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه أولًا إلى إثبات تشابُه مثلثين، ثم استخدام هذه الخواص لمساعدتنا في تحديد الأطوال الناقصة.

مثال ٤: حساب القيم المجهولة باستخدام تشابُه المثلثات وإيجاد محيط مثلث

يوضِّح الشكل المثلث 󰏡𞸁𞸢.

  1. أوجد قيمة 𞸎.
  2. أوجد قيمة 𞸑.
  3. أوجد محيط 󰏡𞸁𞸢.

الحل

داخل المثلث الأكبر 󰏡𞸁𞸢، نلاحِظ أن هناك مثلثًا أصغر، يُمكننا تحديده بالنقطتين 𞸃، 𞸤 لتسميته 󰏡𞸃𞸤.

لإيجاد طولي الضلعين المجهولين، سنحدِّد أولًا إذا ما كان 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸃𞸤 متشابهين. المثلثات المتشابِهة تكون بها الزوايا المتناظِرة متطابقة وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسِبة.

نلاحِظ في الشكل أن القطعتين المستقيمتين 𞸃𞸤، 𞸁𞸢 متوازيتان. وهذا يعني أنه يُمكننا تحديد زاويتين تناظِران زاويتين أخريَيْن باستخدام القاطعَيْن 󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰏡𞸢.

يُمكننا أن نكتب أن: 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤=𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢 وأن: 𞹟󰌑󰏡𞸤𞸃=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁.

تنصُّ مُسلَّمة التشابُه بزاويتين على أنه إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان. وبدلًا من ذلك، يُمكننا أيضًا إثبات أنه بما أن الزاوية 󰏡 مُشترَكة بين المثلثين، فإن 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=𞹟󰌑𞸃󰏡𞸤. وستكون أيُّ زاويتين من هذه الزوايا الثلاث في كلِّ مثلثٍ كافيتين لإثبات أن: 󰏡𞸃𞸤󰏡𞸁𞸢.

ويُمكننا كتابة التناسُب بين الأضلاع المتناظِرة على النحو الآتي: 󰏡𞸁󰏡𞸃=𞸁𞸢𞸃𞸤=󰏡𞸢󰏡𞸤.

يُمكننا الآن استخدام علاقة التناسُب هذه لمساعدتنا في إيجاد طولي الضلعين المجهولين 𞸎، 𞸑.

الجزء الأول

الضلع 𞸎 يمثِّل جزءًا من 󰏡𞸢، والضلع المناظِر في المثلث 󰏡𞸃𞸤 هو الضلع 󰏡𞸤.

عند التعامل مع مثلثين متشابهين، عادةً ما يكون لدينا طولا ضلعَيْن متناظرَيْن، أو عادةً ما يُمكننا حسابهما. هذا يُساعدنا في إيجاد التناسُب، أو معامل قياس التشابُه، بين المثلثين المُعطيَيْن. في هذا السؤال، نعلم من المُعطَيات طولي الضلعين 𞸃𞸤، 𞸁𞸢. ومن ثَمَّ، يُمكننا أن نكتب: 󰏡𞸢󰏡𞸤=𞸁𞸢𞸃𞸤.

يُمكننا أن نكتب طول الضلع 󰏡𞸢 بدلالة 𞸎 على صورة (٦+𞸎). ونعوِّض بقِيَم أطوال الأضلاع، لنحصل على: ٦+𞸎٦=٧٤.

بضرب كلا الطرفين في ستة ثم بالتبسيط، نحصل على: ٦+𞸎=٢٤٤𞸎=٢٤٤٦𞸎=٥٫٤.

إذن، قيمة 𞸎 تساوي ٤٫٥.

الجزء الثاني

الطول المجهول 𞸑 يمثِّل جزءًا من القطعة المستقيمة 󰏡𞸁. طول الضلع المناظِر في 󰏡𞸃𞸤 هو 󰏡𞸃. ومن ثَمَّ، يُمكننا استخدام علاقة التناسُب: 󰏡𞸁󰏡𞸃=𞸁𞸢𞸃𞸤.

يُمكننا تمثيل طول الضلع 󰏡𞸁 على صورة (𞸑+٥). بالتعويض بقِيَم أطوال الأضلاع وبالتبسيط، نحصل على: 𞸑+٥٥=٧٤𞸑+٥=٥٣٤𞸑=٥٣٤٥=٥٧٫٣.

إذن، قيمة 𞸑 تساوي ٣٫٧٥.

الجزء الثالث

المحيط هو المسافة المحيطة بالإطار الخارجي للشكل. وعليه، لإيجاد محيط 󰏡𞸁𞸢، يصبح لدينا الآتي: ا=󰏡𞸁+𞸁𞸢+𞸢󰏡.

بالتعويض بالأطوال من الشكل، نحصل على: ا=(٥+𞸑)+٧+(𞸎+٦).

لقد حسبنا أن 𞸎=٥٫٤، 𞸑=٥٧٫٣؛ ومن ثَمَّ، يُمكننا التبسيط لنحصل على: ا=٥+٥٧٫٣+٧+٥٫٤+٦=٥٢٫٦٢.

يُمكننا إذن الإجابة عن هذا الجزء بأن محيط 󰏡𞸁𞸢 يساوي ٢٦٫٢٥.

في السؤال التالي، سنستخدم تشابُه مثلثين لنتمكَّن من تكوين معادلات جبرية وحلِّها لإيجاد طول مجهول.

مثال ٥: تكوين معادلة باستخدام تشابُه مثلثين وحلها لإيجاد قيمة مجهولة

المثلثان 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸃𞸤 متشابهان. أوجد 𞸎، لأقرب عدد صحيح.

الحل

في الشكل الموضَّح، نلاحِظ أنه داخل المثلث الأكبر 󰏡𞸁𞸢، يُوجَد المثلث الأصغر 󰏡𞸃𞸤. لا يُمكننا حساب طولي الضلعين 𞸤𞸃، 𞸢𞸁 مباشرةً، ولكن يُمكننا استخدام معلومة أن هذين المثلثين متشابهان.

وفي المثلثات المتشابِهة، يكون التناسُب بين أطوال الأضلاع المتناظِرة هو نفسه. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة التناسُب بين أطوال الأضلاع المتناظِرة على النحو الآتي: 𞸁𞸢𞸃𞸤=󰏡𞸢󰏡𞸤.

يُمكننا بعد ذلك التعويض بأطوال الأضلاع المُعطاة من الشكل، مع مراعاة أن 󰏡𞸢=٥+٢=٧. هذا يُعطينا: 𞸎+٢٤𞸎٥١=٧٥.

بالتبسيط نحصل على: ٥(𞸎+٢)=٧(٤𞸎٥١)٥𞸎+٠١=٨٢𞸎٥٠١٠١=٣٢𞸎٥٠١٥١١=٣٢𞸎٥=𞸎.

ومن ثَمَّ، يُمكننا الإجابة بأن قيمة 𞸎 تساوي ٥.

سنتناول الآن مثالًا يوضِّح كيف يُمكننا استخدام تشابُه مثلثين لإيجاد قياسات في موقف واقعي. من المُفيد دائمًا أن نُمثَّل أولًا المعلومات المُعطاة في رسم.

مثال ٦: استخدام تشابُه مثلثين لإيجاد قياسات غير مباشرة

يَقِف رجل طوله ١٫٩٧ متر على مسافة ٣٫٤٩ م من عمود إنارة، ويَظهَر ظلُّه بطول ٢٫٧٣ م. ما ارتفاع العمود؟ قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

الحل

قد يكون من المُفيد أن نبدأ برسم توضيحي للمُعطيات التي لدينا.

يُمكننا بعد ذلك تمثيل الموقف باستخدام المثلثات، برسم خطٍّ يَصِل بين قمة العمود وقمة الظلِّ.

من المُفيد تسمية النقاط. يُمكننا تحديدها في هذه الحالة لتكون 𞸏، 𞸐، 𞸓، 𞸋، 𞸌. ويُمكننا أن نفترض أن الرجل وضوء عمود الإنارة يلتقيان مع المستوى الأفقي لسطح الأرض عند زاوية قياسها ٠٩، وأن العمود والرجل في وضْع رأسي ومتوازيان.

علينا إيجاد ارتفاع العمود؛ أيْ طول الضلع 𞸏𞸐. إذا كنَّا نعلم طول الضلع 𞸏𞸓، لكان بإمكاننا تطبيق نظرية فيثاغورس. ولكن أفضل طريقة هي تحديد إذا ما كان المثلث الذي يتضمَّن العمود والظلَّ، 𞸏𞸐𞸓، يُشابه المثلث الأصغر الذي يتضمَّن الرجل والظلَّ، 𞸋𞸌𞸓.

لعلنا نتذكَّر أن المثلثات المتشابِهة بها الزوايا المتناظِرة متطابِقة وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة. إحدى الطُّرق التي يُمكننا من خلالها إثبات تشابُه مثلثين هي إثبات أن هناك زاويتين في أحد المثلثين تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما؛ أيْ مُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

يُمكننا أن نكتب أن: 𞹟󰌑𞸏𞸓𞸐=𞹟󰌑𞸋𞸓𞸌،󰌑𞸓،𞹟󰌑𞸏𞸐𞸓=𞹟󰌑𞸋𞸌𞸓،٠٩.أنَُاإنس

وبما أننا وجدنا زاويتين تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فقد أثبتنا بذلك أن: 𞸏𞸐𞸓𞸋𞸌𞸓.

لإيجاد طول الضلع 𞸏𞸐، يُمكننا استخدام الضلع المناظِر في 𞸋𞸌𞸓؛ أيِ الضلع 𞸋𞸌. نعلم أن التناسُب بين هذين الضلعَيْن سيكون هو نفسه التناسُب بين الضلعَيْن المتناظِرين 𞸐𞸓، 𞸌𞸓، اللذين نعلم طولَيْهما.

إذن: 𞸏𞸐𞸋𞸌=𞸐𞸓𞸌𞸓.

يُمكننا بعد ذلك التعويض بقِيَم أطوال الأضلاع، مع مراعاة أن 𞸐𞸓=٩٤٫٣+٣٧٫٢=٢٢٫٦م. وهذا يعطينا: 𞸏𞸐٧٩٫١=٢٢٫٦٣٧٫٢𞸏𞸐=٢٢٫٦٣٧٫٢×٧٩٫١=٤٨٨٤٫٤.م

لقد عرَّفنا ارتفاع عمود الإنارة بأنه الضلع 𞸏𞸐، ونقرِّب هذه القيمة لأقرب جزء من عشرة لنحصل على ارتفاع العمود، وهو ما يساوي ٤٫٥ م.

يُمكننا أيضًا ملاحَظة حالة معيَّنة لتشابُه المثلثات تتضمَّن ارتفاع مثلث قائم الزاوية.

انظر الشكل الآتي.

المثلث الأكبر؛ أي المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸁𞸃، مقسومٌ إلى مثلثين صغيرين. لاحِظ أن 󰏡𞸢 يمثِّل ارتفاع هذا المثلث؛ حيث إنه العمودي المرسوم من رأس المثلث إلى الضلع المقابل.

لاحِظ أنه بما أن مجموع قياسات الزوايا على خطٍّ مستقيمٍ يساوي ٠٨١، يُمكننا أن نقول أيضًا إن 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃=٠٩.

لننظر إلى زوايا هذه المثلثات، بدايةً بالزاوية 󰌑󰏡𞸃𞸁. يُمكننا رسم ثلاثة مثلثات كلٍّ على حِدة، مع وضْع الزاوية القائمة في الموضع نفسه.

بما أن الزاوية 𞸃 مُشترَكة بين المثلثين 󰏡𞸁𞸃، 𞸢󰏡𞸃، وكلاهما يحتويان على زاوية قياسها ٠٩، فطبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين سيكون: 󰏡𞸁𞸃𞸢󰏡𞸃.

بعد ذلك، نلاحِظ أن الزاوية عند النقطة 𞸁 مُشترَكة بين المثلثين 󰏡𞸁𞸃، 𞸢𞸁󰏡.

بما أن كلًّا من هذين المثلثين يحتوي على زاوية قياسها ٠٩، فطبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين سيكون: 󰏡𞸁𞸃𞸢𞸁󰏡.

عندما يُشابه كلٌّ من مثلثين مثلثًا ثالثًا، تكون المثلثات الثلاثة متشابهة. إذن: 󰏡𞸁𞸃𞸢󰏡𞸃𞸢𞸁󰏡.

ومن ثَمَّ، يُمكننا تعريف النتيجة الثانية لتشابُه المثلثات كالآتي.

تعريف: نتيجة تشابُه المثلثات

في أيِّ مثلث قائم الزاوية، يُقسِّم الارتفاع الساقِط على الوتر المثلثَ إلى مثلثين متشابهين، ويُشابهان المثلث الأصلي.

󰏡𞸁𞸃𞸢󰏡𞸃𞸢𞸁󰏡

سنرى الآن كيف يُمكننا تطبيق هذه النتيجة في المثال الآتي.

مثال ٧: استخدام تشابُه المثلثات الناتِجة عن رسم ارتفاع مثلث قائم الزاوية

يوضِّح الشكل التالي مثلثًا قائم الزاوية 󰏡𞸁𞸢؛ حيث 𞸢𞸃 عمودي على 󰏡𞸁.

  1. باستخدام مبدأ التشابُه، اكتب 󰏡٢ بدلالة 𞸢، 𞸃.
  2. باستخدام مبدأ التشابُه، اكتب 𞸁٢ بدلالة 𞸢، 𞸤.
  3. اكتب مجموع 󰏡٢، 𞸁٢ بدلالة 𞸢.

الحل

في الشكل، نلاحِظ أن 𞸢𞸃 ارتفاع في المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸁𞸢. يُمكننا أن نتذكَّر أنه في أيِّ مثلث قائم الزاوية، فإن الارتفاع الساقِط على الوتر يُقسِّم المثلث إلى مثلثين متشابهين، ويُشابهان المثلث الأصلي.

وعليه يُمكننا أن نكتب: 󰏡𞸁𞸢𞸢𞸁𞸃󰏡𞸢𞸃.

الجزء الأول

يُمكننا رسم المثلثات الثلاثة كلٍّ على حِدة، وفي الاتجاه نفسه مع وضْع الزوايا المتناظِرة في الموضع نفسه.

ولأننا نحتاج إلى علاقة بين أطوال الأضلاع 󰏡، 𞸢، 𞸃، نستخدم المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 𞸢𞸁𞸃 لتكوين علاقة تشابُه.

نعلم أنه عندما يكون لدينا مثلثان متشابهين، تكون الأضلاع المتناظِرة متناسِبة. إذن نحصل على: 𞸢𞸁𞸃𞸁=󰏡𞸁𞸢𞸁󰏡𞸃=𞸢󰏡.

ثم نبسِّط هذه المعادلة لنحصل على: 󰏡=𞸢𞸃.٢

ومن ثَمَّ، نكون قد عبَّرنا عن 󰏡٢ بدلالة 𞸢، 𞸃.

الجزء الثاني

نستخدم المثلثين 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸢𞸃 لتكوين علاقة التشابُه التالية، لأطوال الأضلاع 𞸁، 𞸢، 𞸤.

ومن ثَمَّ، نحصل على: 󰏡𞸢󰏡𞸃=󰏡𞸁󰏡𞸢𞸁𞸤=𞸢𞸁𞸁=𞸢𞸤.٢

إذن، أصبح لدينا 𞸁٢ مُعبَّرًا عنه بدلالة 𞸢، 𞸤.

الجزء الثالث

يُمكننا كتابة مجموع 󰏡٢، 𞸁٢ من خلال التعويض بالقيمتَين 󰏡=𞸢𞸃٢، 𞸁=𞸢𞸤٢ اللتين حسبناهما في الجزأين الأول والثاني. وهذا يُعطينا: 󰏡+𞸁=𞸢𞸃+𞸢𞸤=𞸢󰁓𞸃+𞸤󰁒.٢٢

باستخدام الشكل، يُمكننا ملاحَظة أن 𞸢=𞸃+𞸤، إذن: 󰏡+𞸁=𞸢×𞸢=𞸢.٢٢٢

في الواقع، قد نجد أن هذا صحيح باستخدام نظرية فيثاغورس. تنصُّ هذه النظرية على أنه في أيِّ مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَيْ طولي الضلعَيْن الآخَرين. وباستخدام مبدأ التشابُه، نكون قد أثبتنا صحة هذه النظرية. إذن، يُمكننا التعبير عن مجموع 󰏡٢، 𞸁٢ بدلالة 𞸢 على النحو الآتي: 󰏡+𞸁=𞸢.٢٢٢

لنلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يكون المثلثان متشابهَيْن إذا كانت الزوايا المتناظِرة متطابِقة، وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسِبة.
  • يُمكننا إثبات أن أي مثلثين متشابهان باستخدام إحدى مُسلَّمات التشابُه الآتية:
    • مُسلَّمة التشابُه بزاويتين: إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان.
    • مُسلَّمة التشابُه بثلاثة أضلاع: إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة لمثلث تتناسَب مع أطوال الأضلاع الثلاثة المناظِرة لها في مثلث آخَر، فإن المثلثين متشابهان.
    • مُسلَّمة التشابُه بضلعَيْن والزاوية المحصورة بينهما: إذا كان طولا ضلعَيْن في مثلث متناسبَيْن مع طولَيْ ضلعَيْن في مثلثٍ آخَر، وكانت الزاوية المحصورة بين الضلعين الأولين تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين الآخَرين، فإن المثلثين متشابهان.
  • في أيِّ مثلث قائم الزاوية، يُقسِّم الارتفاع الساقط على الوتر المثلثَ إلى مثلثين متشابهين، ويُشابهان المثلث الأصلي.
  • يُمكننا تمثيل مواقف من الحياة الواقعية تتضمَّن مثلثات متشابِهة من خلال رسم شكل توضيحي، واستخدام تناسب الأضلاع وتكافؤ الزوايا لإيجاد قياسات مجهولة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.