شارح الدرس: خاصية تشابُه المثلثات وتطبيقاتها الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إثبات إذا ما كان مثلثان متشابهين

يوضِّح الشكل الآتي المثلث ؛ حيث القطعة المستقيمة توازي القطعة المستقيمة .

1. ما الزاوية المكافئة للزاوية ؟ ولماذا؟
   1. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   2. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   3. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   4. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   5. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
2. ما الزاوية المكافئة للزاوية ؟ ولماذا؟
   1. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   2. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   3. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   4. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   5. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
3. بناءً على ذلك، هل المثلثان ، متشابهان؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فاذكر كيف؟
   1. نعم، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بثلاثة أضلاع.
   2. نعم، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بضلعَيْن والزاوية المحصورة بينهما.
   3. نعم، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.
   4. لا، ليسا متشابهين.

الحل

الجزء الأول

في الشكل، نلاحِظ أن هناك قطعتين مستقيمتين متوازيتين، هما ، . والمستقيم قاطِع لهاتين القطعتين المستقيمتين؛ ومن ثَمَّ، فإن الزاوية المكافئة للزاوية هي:

الجزء الثاني

لإيجاد الزاوية المكافئة للزاوية ، نستخدم خصائص زوايا المستقيمات المتوازية، إلى جانب القاطع . ومن ثَمَّ، فإن الزاوية المكافئة للزاوية هي:

الجزء الثالث

لقد أثبتنا الآن أن هناك زاويتين في المثلث تناظِران زاويتين في المثلث ، وتساويهما في القياس:

تنصُّ مُسلَّمة التشابُه بزاويتين على أنه إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان. إذن، يمكننا الإجابة عن السؤال بأن المثلثين ، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

مثال ٢: إثبات ما إذا كان مثلثان متشابهين

يوضِّح الشكل المثلثين ، ؛ حيث القطعة المستقيمة توازي القطعة المستقيمة .

1. ما الزاوية المكافئة للزاوية ؟ ولماذا؟
   1. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   2. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   3. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   4. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   5. ؛ لأن الزاويتين متقابِلتان بالرأس.
2. ما الزاوية المكافئة للزاوية ؟ ولماذا؟
   1. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   2. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   3. ؛ لأن الزاويتين متناظِرتان.
   4. ؛ لأن الزاويتين متبادِلتان.
   5. ؛ لأن الزاويتين متقابِلتان بالرأس.
3. وعليه، هل المثلث والمثلث متشابهان؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فاذكر كيف؟
   1. نعم، هما متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بثلاثة أضلاع.
   2. نعم، هما متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
   3. نعم، هما متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.
   4. لا، ليسا متشابهين.

الحل

الجزء الأول

في الشكل، القطعتان المستقيمتان ، متوازيتان. إذا نظرنا إلى الزاوية ، فباستخدام خواص زوايا المستقيمات المتوازية التي يقطعها قاطع، يمكننا تحديد أن الزاوية المكافئة لها هي:

الجزء الثاني

باستخدام الخواص نفسها، مع القاطع ، ستكون الزاوية المكافئة للزاوية هي:

الجزء الثالث

لقد أثبتنا أن:

يمكننا أن نتذكر أن مُسلَّمة التشابُه بزاويتين تنص على أنه إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان. إذن، يُمكننا الإجابة عن السؤال بأن المثلثين ، متشابهان طبقًا لمُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

مثال ٣: إيجاد معامل قياس التشابُه

في الشكل، ، . بما أن المثلثين ، متشابهان، فما معامل قياس التشابُه؟

الحل

يُمكننا البدء بتحديد الأطوال المُعطاة على الشكل.

نعلم من مُعطَيات السؤال أن المثلث يُشابه المثلث . لعلنا نتذكَّر أنه في المثلثين المتشابهين جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة.

يُمكننا استخدام ترتيب الحروف لمساعدتنا في معرفة أن الضلعين ، متناظِران. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة التناسب بين طولَيْهما من إلى على النحو الآتي:

يُمكننا أن نكتب الناتِج على صورة كسر أو عدد عشري؛ ومن ثَمَّ فمعامل قياس التشابُه من المثلث إلى المثلث يساوي ١٫٦.

لاحِظ أن معامل قياس التشابُه في الاتجاه المعاكس؛ أي من إلى ، سيُكتَب في صورة التناسب:

مثال ٤: حساب القيم المجهولة باستخدام تشابُه المثلثات وإيجاد محيط مثلث

يوضِّح الشكل المثلث .

1. أوجد قيمة .
2. أوجد قيمة .
3. أوجد محيط .

الحل

داخل المثلث الأكبر ، نلاحِظ أن هناك مثلثًا أصغر، يُمكننا تحديده بالنقطتين ، لتسميته .

لإيجاد طولي الضلعين المجهولين، سنحدِّد أولًا إذا ما كان ، متشابهين. المثلثات المتشابِهة تكون بها الزوايا المتناظِرة متطابقة وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسِبة.

نلاحِظ في الشكل أن القطعتين المستقيمتين ، متوازيتان. وهذا يعني أنه يُمكننا تحديد زاويتين تناظِران زاويتين أخريَيْن باستخدام القاطعَيْن ، .

يُمكننا أن نكتب أن: وأن:

تنصُّ مُسلَّمة التشابُه بزاويتين على أنه إذا كان لدينا مثلثان في كلٍّ منهما زاويتان تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فإن المثلثين متشابهان. وبدلًا من ذلك، يُمكننا أيضًا إثبات أنه بما أن الزاوية مُشترَكة بين المثلثين، فإن . وستكون أيُّ زاويتين من هذه الزوايا الثلاث في كلِّ مثلثٍ كافيتين لإثبات أن:

ويُمكننا كتابة التناسُب بين الأضلاع المتناظِرة على النحو الآتي:

يُمكننا الآن استخدام علاقة التناسُب هذه لمساعدتنا في إيجاد طولي الضلعين المجهولين ، .

الجزء الأول

الضلع يمثِّل جزءًا من ، والضلع المناظِر في المثلث هو الضلع .

عند التعامل مع مثلثين متشابهين، عادةً ما يكون لدينا طولا ضلعَيْن متناظرَيْن، أو عادةً ما يُمكننا حسابهما. هذا يُساعدنا في إيجاد التناسُب، أو معامل قياس التشابُه، بين المثلثين المُعطيَيْن. في هذا السؤال، نعلم من المُعطَيات طولي الضلعين ، . ومن ثَمَّ، يُمكننا أن نكتب:

يُمكننا أن نكتب طول الضلع بدلالة على صورة . ونعوِّض بقِيَم أطوال الأضلاع، لنحصل على:

بضرب كلا الطرفين في ستة ثم بالتبسيط، نحصل على:

إذن، قيمة تساوي ٤٫٥.

الجزء الثاني

الطول المجهول يمثِّل جزءًا من القطعة المستقيمة . طول الضلع المناظِر في هو . ومن ثَمَّ، يُمكننا استخدام علاقة التناسُب:

يُمكننا تمثيل طول الضلع على صورة . بالتعويض بقِيَم أطوال الأضلاع وبالتبسيط، نحصل على:

إذن، قيمة تساوي ٣٫٧٥.

الجزء الثالث

المحيط هو المسافة المحيطة بالإطار الخارجي للشكل. وعليه، لإيجاد محيط ، يصبح لدينا الآتي:

بالتعويض بالأطوال من الشكل، نحصل على:

لقد حسبنا أن ، ؛ ومن ثَمَّ، يُمكننا التبسيط لنحصل على:

يُمكننا إذن الإجابة عن هذا الجزء بأن محيط يساوي ٢٦٫٢٥.

مثال ٥: تكوين معادلة باستخدام تشابُه مثلثين وحلها لإيجاد قيمة مجهولة

المثلثان ، متشابهان. أوجد ، لأقرب عدد صحيح.

الحل

في الشكل الموضَّح، نلاحِظ أنه داخل المثلث الأكبر ، يُوجَد المثلث الأصغر . لا يُمكننا حساب طولي الضلعين ، مباشرةً، ولكن يُمكننا استخدام معلومة أن هذين المثلثين متشابهان.

وفي المثلثات المتشابِهة، يكون التناسُب بين أطوال الأضلاع المتناظِرة هو نفسه. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة التناسُب بين أطوال الأضلاع المتناظِرة على النحو الآتي:

يُمكننا بعد ذلك التعويض بأطوال الأضلاع المُعطاة من الشكل، مع مراعاة أن . هذا يُعطينا:

بالتبسيط نحصل على:

ومن ثَمَّ، يُمكننا الإجابة بأن قيمة تساوي ٥.

مثال ٦: استخدام تشابُه مثلثين لإيجاد قياسات غير مباشرة

يَقِف رجل طوله ١٫٩٧ متر على مسافة ٣٫٤٩ م من عمود إنارة، ويَظهَر ظلُّه بطول ٢٫٧٣ م. ما ارتفاع العمود؟ قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

الحل

قد يكون من المُفيد أن نبدأ برسم توضيحي للمُعطيات التي لدينا.

يُمكننا بعد ذلك تمثيل الموقف باستخدام المثلثات، برسم خطٍّ يَصِل بين قمة العمود وقمة الظلِّ.

من المُفيد تسمية النقاط. يُمكننا تحديدها في هذه الحالة لتكون ، ، ، ، . ويُمكننا أن نفترض أن الرجل وضوء عمود الإنارة يلتقيان مع المستوى الأفقي لسطح الأرض عند زاوية قياسها ، وأن العمود والرجل في وضْع رأسي ومتوازيان.

علينا إيجاد ارتفاع العمود؛ أيْ طول الضلع . إذا كنَّا نعلم طول الضلع ، لكان بإمكاننا تطبيق نظرية فيثاغورس. ولكن أفضل طريقة هي تحديد إذا ما كان المثلث الذي يتضمَّن العمود والظلَّ، ، يُشابه المثلث الأصغر الذي يتضمَّن الرجل والظلَّ، .

لعلنا نتذكَّر أن المثلثات المتشابِهة بها الزوايا المتناظِرة متطابِقة وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة. إحدى الطُّرق التي يُمكننا من خلالها إثبات تشابُه مثلثين هي إثبات أن هناك زاويتين في أحد المثلثين تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما؛ أيْ مُسلَّمة التشابُه بزاويتين.

يُمكننا أن نكتب أن:

وبما أننا وجدنا زاويتين تناظِران زاويتين في المثلث الآخَر وتطابقانهما، فقد أثبتنا بذلك أن: .

لإيجاد طول الضلع ، يُمكننا استخدام الضلع المناظِر في ؛ أيِ الضلع . نعلم أن التناسُب بين هذين الضلعَيْن سيكون هو نفسه التناسُب بين الضلعَيْن المتناظِرين ، ، اللذين نعلم طولَيْهما.

إذن:

يُمكننا بعد ذلك التعويض بقِيَم أطوال الأضلاع، مع مراعاة أن . وهذا يعطينا:

لقد عرَّفنا ارتفاع عمود الإنارة بأنه الضلع ، ونقرِّب هذه القيمة لأقرب جزء من عشرة لنحصل على ارتفاع العمود، وهو ما يساوي ٤٫٥ م.

مثال ٧: استخدام تشابُه المثلثات الناتِجة عن رسم ارتفاع مثلث قائم الزاوية

يوضِّح الشكل التالي مثلثًا قائم الزاوية ؛ حيث عمودي على .

1. باستخدام مبدأ التشابُه، اكتب بدلالة ، .
2. باستخدام مبدأ التشابُه، اكتب بدلالة ، .
3. اكتب مجموع ، بدلالة .

الحل

في الشكل، نلاحِظ أن ارتفاع في المثلث القائم الزاوية . يُمكننا أن نتذكَّر أنه في أيِّ مثلث قائم الزاوية، فإن الارتفاع الساقِط على الوتر يُقسِّم المثلث إلى مثلثين متشابهين، ويُشابهان المثلث الأصلي.

وعليه يُمكننا أن نكتب:

الجزء الأول

يُمكننا رسم المثلثات الثلاثة كلٍّ على حِدة، وفي الاتجاه نفسه مع وضْع الزوايا المتناظِرة في الموضع نفسه.

ولأننا نحتاج إلى علاقة بين أطوال الأضلاع ، ، ، نستخدم المثلثين ، لتكوين علاقة تشابُه.

نعلم أنه عندما يكون لدينا مثلثان متشابهين، تكون الأضلاع المتناظِرة متناسِبة. إذن نحصل على:

ثم نبسِّط هذه المعادلة لنحصل على:

ومن ثَمَّ، نكون قد عبَّرنا عن بدلالة ، .

الجزء الثاني

نستخدم المثلثين ، لتكوين علاقة التشابُه التالية، لأطوال الأضلاع ، ، .

ومن ثَمَّ، نحصل على:

إذن، أصبح لدينا مُعبَّرًا عنه بدلالة ، .

الجزء الثالث

يُمكننا كتابة مجموع ، من خلال التعويض بالقيمتَين ، اللتين حسبناهما في الجزأين الأول والثاني. وهذا يُعطينا:

باستخدام الشكل، يُمكننا ملاحَظة أن ، إذن:

في الواقع، قد نجد أن هذا صحيح باستخدام نظرية فيثاغورس. تنصُّ هذه النظرية على أنه في أيِّ مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَيْ طولي الضلعَيْن الآخَرين. وباستخدام مبدأ التشابُه، نكون قد أثبتنا صحة هذه النظرية. إذن، يُمكننا التعبير عن مجموع ، بدلالة على النحو الآتي: