في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحُلُّ مسائلَ واقعية بها دوال أُسِّيَّة.
تظهر الدوال الأسية في العديد من النماذج الرياضية المختلفة التي تمثل مسائل من الحياة الواقعية. بوجه عامٍّ، تمثل النماذج الأسية حالات واقعية؛ حيث يكون معدل التغيُّر في كمِّية ما ثابتًا خلال فترة زمنية ثابتة. يمكننا إلى حدٍّ كبير تصنيف النماذج الأسية إلى نوعين هما: النمو الأسي، والتضاؤل الأسي. سنبدأ بتناول نماذج النمو. تمثل نماذج النمو الأسي حالات من الواقع؛ حيث تزداد فيها كمية ما بمرور الزمن. وأبسط هذه النماذج هي مسائل التضاعف؛ حيث تتضاعف الكمية في كل فترة زمنية ثابتة.
سنتعرَّف على الطريقة التي ينشأ بها نموذج نمو أسي من مسألة تضاعف واقعية في المثال الأول.
مثال ١: كتابة المعادلات الأسية وحلها في سياق واقعي
يتكاثر كائن حي دقيق بالانشطار الثُّنائي؛ حيث تنشطر كل خلية إلى خليتين كل ساعة. إذا كان عدد الخلايا في البداية ١٥ ١٤١ خلية، فأوجد عدد الخلايا بعد مرور ٥ ساعات.
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد عدد الخلايا بعد مرور ٥ ساعات. نحن نعلم أن عدد الخلايا في البداية كان ١٥ ١٤١. وبما أن كل خلية تنشطر إلى خليتين كل ساعة، فإن عدد الخلايا سيتضاعف بعد ساعة واحدة. وهذا يعني أنه بعد ساعة واحدة سيكون عدد الخلايا:
أي إنه، بعد ساعتين، سيتضاعَف كلٌّ من هذه الخلايا؛ ومن ثَمَّ يصبح عددها:
يمكننا الاستمرار في مضاعفة عدد الخلايا للحصول على عدد الخلايا خلال الساعة التالية وصولًا إلى ٥ ساعات:
ومن ثَمَّ، فإن عدد الخلايا بعد مرور ٥ ساعات هو ٤٨٤ ٥١٢.
في المثال السابق، حلَلْنا مسألة تضاعف من الحياة الواقعية عن طريق ضرب العدد ٢ على التوالي في الكمية السابقة للحصول على الكمية التالية. إذا نظرنا بإمعان إلى الحل، يمكننا أن نرى نمطًا. بشكل أكثر تحديدًا، يمكننا ملاحظة أنه يمكن الحصول على عدد الخلايا بعد ساعة بضرب عدد الخلايا في البداية، أي ١٥ ١٤١، في قوة ما للعدد ٢. هيا نلاحظ هذا النمط من خلال كتابة هذه الأعداد على صورة قوى للعدد ٢.
يمكننا من النمط السابق أن نلاحظ بوضوح أن:
هذه دالة أسية حيث هو المتغير المستقل للدالة وهو يمثل عدد الساعات من البداية. في المثال التالي، سنوجد نموذجًا أسيًّا من مسألة تضاعف واقعية.
مثال ٢: تكوين معادلات أسِّيَّة في متغيرين
لاحظت شركة حديثة المنشأ أن عددًا مستخدمي منتجاتها يتضاعف شهريًّا. بلغ عدد مستخدمي منتجاتها ٤ ٠٠٠ مستخدم في هذا الشهر. بفرض أن هذه المعدلات استمرَّت بنفس الوتيرة، اكتُب معادلة يمكن استخدامها لحساب ، عدد المستخدمين في شهر.
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد مقدار رياضي يعبِّر عن ، وهو عدد المستخدمين خلال شهر. نعلم أن عدد مستخدمي منتجات هذه الشركة حديثة المنشأ في الوقت الحالي يبلغ ٤ ٠٠٠ مستخدم. ونحن نعلم أن عدد مستخدميها يتضاعف شهريًّا. وهذا يعني أن عدد المستخدمين سيكون:
ومن ثَمَّ، من المتوقَّع أن يكون عدد المستخدمين في الشهر التالي ٨ ٠٠٠. يمكننا المتابعة باستخدام النمط نفسه للتعبير عما يلي: وهكذا. بعبارة أخرى، يمكننا إيجاد عدد المستخدمين في شهر محدد عن طريق ضرب عدد المستخدمين خلال الشهر السابق في ٢. وبذلك، يمكننا أن نرى نمطًا؛ حيث نضرب عدد المستخدمين في البداية، وهو ٤ ٠٠٠، في قوة ما للعدد ٢، تناظر عدد الشهور. ومن ذلك، نتوصَّل إلى استنتاج وهو أن عدد المستخدمين في شهر من المتوقع أن يكون:
في المثال السابق، أوجدنا نموذجًا أسيًّا لمسألة تضاعف واقعية. بما أننا نضرب على التوالي الكمية الموجودة في الفترة السابقة في العدد ٢ للحصول على الكمية الجديدة، فمن المنطقي أن التعبير الناتج يكون قوة ما للعدد ٢؛ ومن ثَمَّ فهي دالة أسية في الزمن. وعليه، يمكننا القول بوجه عام إن نمط تضاعُف كمية ما في كل فترة زمنية يؤدي إلى دالة أسية. لكن هذا لا يعني بالضرورة أن تكون الدالة هي «دالة تضاعُف». فباتِّباع الطريقة نفسها، يمكننا إيجاد نماذج أسية إذا تغيرت الكمية بمقدار أي نسبة ثابتة خلال فترة زمنية معينة. في هذه الحالات، قد يكون التغير هو زيادة مقدارها ثلاثة أمثال أو أربعة أمثال أو أكثر من ذلك، أو بوجه عام، قد يكون بمقدار أي نسبة موجبة. الدوال الأسية تحدد نمط كمية ما تتغيَّر بنسبة ثابتة خلال فترة زمنية محددة. يمكننا من خلال السماح بنسب اختيارية تضمين نماذج أكثر تعقيدًا، مثل: عدد السكان غير المحدود، ورصيد حساب التوفير البنكي.
هيا نصُغ هذه الفكرة بتعريف أكثر تعميمًا.
تعريف: النماذج الأسية
يمكن أن نكتب الدالة الأسية على الصورة العامة: لأي ثابتين ، ، بشرط أن . في النماذج الأسية، علينا أن نضع في اعتبارنا ما يلي:
- المتغيِّر المستقل عادةً ما يمثل الزمن، وفي هذه الحالة نستخدم عادةً وليس .
- بما أن ، فإن الكمية هي القيمة الابتدائية للدالة، أي التي تكون عند .
- الأساس يخبرنا عن «المعدل» الذي تتغير به الكمية مع الزمن. فالنمو يشترط أن يكون الأساس ، بينما يحدث التضاؤل إذا كان .
فيما يلي التمثيلان البيانيان لدالتين أسيتين محددتين.
في المثال السابق، حصلنا على النموذج الأسي:
هذا نموذج أسي فيه ، . وكما هو متوقع، يتوافق مع عدد المستخدمين المعطى في البداية. وكذلك، حقيقة أن تتوافق مع حقيقة أن هذا نموذج نمو. ونلاحظ على وجه التحديد من المثالين السابقين أن نماذج التضاعف تؤدي دائمًا إلى دوالَّ أسية يكون فيها .
إذا علمنا أن مسألة من حياتنا اليومية ممثَّلة باستخدام دالة أسية على الصورة ، يمكننا إذن إيجاد الدالة الأسية بتحديد الثابتين ، . في المثال التالي، سنوجد نموذج نموٍّ أسي لمسألة واقعية تتعلَّق بتعداد السكان.
مثال ٣: تكوين معادلات أسية واستخدامها لحل المسائل
يُجرَى تعداد لسكان الولايات المتحدة الأمريكية كلَّ عشرة أعوام. بلغ تَعداد سكان مدينة تكساس ٣٫٠٥ ملايين في عام ١٩٠٠، وبلغ ٢٠٫٩ مليونًا في عام ٢٠٠٠. بتمثيل النمو السكاني باستخدام نموذج أُسي، أجب عن الأسئلة الآتية.
- اكتب دالة أسية على الصورة: لتمثيل عدد سكان تكساس، بالمليون، بعد مرور من العقود من عام ١٩٠٠. قرِّب قيمة لأقرب ٣ منازل عشرية.
- وفقًا للنموذج، ماذا كان عدد سكان تكساس في عام ١٩٥٠؟ وضِّح إجابتك بالملايين، لأقرب منزلتين عشريتين.
- باستخدام قيمة من الجزء الأول، أَعِدْ كتابة الدالة على الصورة: ؛ حيث يمثل الزمن بالسنوات بعد عام ١٩٠٠. قرِّب قيمة لأقرب ٤ منازل عشرية.
الحل
الجزء الأول
في هذا الجزء، علينا إيجاد دالة أسية على الصورة:
حيث عدد العقود منذ عام ١٩٠٠، عدد سكان مدينة تكساس، بالمليون، بعد مرور من العقود من عام ١٩٠٠. لإيجاد هذه الدالة الأسية، علينا تحديد الثابتين ، . دعونا نفحص المعلومات المعطاة.
علمنا أن تعداد سكان مدينة تكساس بلغ ٣٫٠٥ ملايين في عام ١٩٠٠. سنة ١٩٠٠ تقابل نظرًا لأن ١٩٠٠ يساوي صفرًا من العقود من سنة ١٩٠٠. ومن ذلك، نعرف أن:
إذا عوَّضنا بـ في (١)، فسنحصل على:
وبما أننا نعلم أن ، فهذا يعني أن:
بعد ذلك، علينا إيجاد قيمة . علمنا أيضًا من المسألة أن تعداد مدينة تكساس بلغ ٢٠٫٩ مليونًا في سنة ٢٠٠٠. تكون سنة ٢٠٠٠ بعد مرور ١٠٠ سنة من سنة ١٩٠٠، وهو ما يعني أنه يكون بعد مرور ١٠ عقود من سنة ١٩٠٠. هذا يعني أن:
نعوض بـ في (١)، نحصل إذن على:
وعليه، يكون:
بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ٣٫٠٥، نحصل على:
بأخذ الجذر العاشر لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على . نعرف أن هو أساس الدالة الأسية، ونعرف كذلك أن أساس الدالة الأسية لا بد أن يكون موجبًا. ومن ثَمَّ:
نعوض بـ ، في المعادلة (١)، فنحصل على:
الجزء الثاني
علينا إيجاد عدد سكان تكساس في عام ١٩٥٠ وفقًا للنموذج الذي حصلنا عليه في الجزء السابق. نلاحظ أن سنة١٩٥٠ تكون بعد مرور ٥٠ سنة أو ٥ عقود من سنة ١٩٠٠. إذن، يمكننا إيجاد عدد سكان تكساس في عام ١٩٥٠ وفقًا للنموذج لدينا بالتعويض بـ في المعادلة أعلاه. هذا يعطينا:
بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين وتذكر أن وحدة هي المليون، فإن عدد سكان تكساس في عام ١٩٥٠ وفقًا لهذا النموذج، هو ٧٫٩٨ ملايين.
الجزء الثالث
في هذا الجزء، نريد إعادة كتابة النموذج الأسِّي لعدد سكان تكساس على الصورة:
حيث هو عدد السنوات، وليس العقود، من سنة ١٩٠٠، هو عدد سكان تكساس بعد مرور سنة من عام ١٩٠٠. بدلًا من البدء من جديد، يمكننا البدء بالنموذج من الجزء الأول: نعلم أن عدد سكان تكساس بعد مرور من العقود من عام ١٩٠٠ هو:
وبما أن سنة واحدة تساوي عقد، فإن سنة تساوي عقد. بعبارة أخرى، سنة من عام ١٩٠٠ تساوي عقد من عام ١٩٠٠. ومن ثَمَّ، بالتعويض بـ في المقدار أعلاه، نحصل على:
نظرًا لأن هذه ليست الصورة المُعطاة في المعادلة (٢)، دعونا نطبق قواعد الأسس لتبسيط هذا المقدار. تذكَّر أنه لأي أساس وأسين ، ، يكون:
باستخدام هذه القاعدة وتذكر أن ، يمكننا كتابة الآتي:
وهذا يعني أن لأقرب ٤ منازل عشرية. ومن ثَمَّ:
حتى الآن، تناولنا بعض الأمثلة على النمو الأسي من الحياة الواقعية. هيا ننتقل الآن إلى نماذج التضاؤل الأسي. كما يوحي مصطلح «التضاؤل»، تمثل نماذج التضاؤل الأسي حالات من الحياة الواقعية حيث تقل كمية ما بمرور الزمن. وحيث إننا أوضحنا نماذج النمو الأسي باستخدام مسائل التضاعف الواقعية، يمكننا فَهم نماذج التضاؤل الأسي بالتفكير في مسائل التنصيف. وهذا يعني أنه بدلًا من تضاعف كمية بعد كل فترة محددة، تقل الكمية إلى نصف المقدار الحالي بعد فترة محدَّدة.
ويتناول المثال الأبرز على مسألة التنصيف نماذج الاضمحلال الإشعاعي. فالعنصر المشع، مثل اليورانيوم أو الكربون-١٤، هو عنصر غير مستقر في الطبيعة؛ وهو ما يعني أن العنصر سينقسم إلى عناصر أصغر وأكثر استقرارًا بمرور الزمن. وكل عنصر مشعٌّ له فترة عمر النصف المرتبطة به. وفترة عمر النصف للعنصر المشع هي مقدار الزمن الذي يستغرقه لكي تقل كمية العنصر إلى نصف القيمة الحالية. على سبيل المثال، فترة عمر النصف للكربون-١٤ هي ٥ ٧٣٠ سنة؛ وهو ما يعني أن كمية الكربون-١٤ ستقل إلى نصف القيمة الحالية بعد هذا العدد من السنوات. يمكننا استخدام هذه المعلومات لإيجاد نموذج تضاؤل أسي لكمية الكربون-١٤ أو تركيزه في جسم ما، والذي يمكن استخدامه بعد ذلك لتقريب عمر الجسم من خلال مقارنة التركيزين الحالي والابتدائي للكربون-١٤. وتُعرف هذه العملية باسم «التأريخ بالكربون».
في السؤال الآتي، سنتناول مسألة عن الاضمحلال الإشعاعي.
مثال ٤: التحويل بين صور مختلفة للتعبيرات الأسية
عُمْر النِّصْف للعنصر المُشِع يساوي أسبوعًا واحدًا. إذا بدأت تجربة بمقدار ٢٠ جم من العنصر ، فإن الكتلة بالجرام للعنصر المتبقية بعد أسبوع يمكن إيجادها باستخدام المعادلة . اكتب معادلة لإيجاد كتلة العنصر المتبقية بعد يوم.
الحل
في هذا المثال، لدينا الكتلة للعنصر المُشع معطاة بالدالة الأسية: حيث هو الزمن المستغرق من بداية التجربة، بوحدة الأسبوع. علينا التعبير عن بدلالة ، وهو الزمن باليوم. بما أن يوم واحد يساوي أسبوع، فإن يوم يساوي أسبوع. ومن ثَمَّ، عندما نعوض بـ في المقدار أعلاه، نحصل على:
لعلنا نتذكر أن الدالة الأسية تكون عادةً على الصورة: لأي ثابتين ، ، بشرط أن ، ، . المقدار الذي يعبر عن الذي حصلنا عليه بالأعلى ليس بالصورة نفسها لأن الأس هو ، حيث نريد أن يكون ذلك هو . يمكننا تطبيق قانون القوى الذي ينص على الآتي: لنكتب على الصورة:
في المثال السابق، تناولنا مسألة تنصيف تتضمن عنصرًا مشعًّا. وكما هو الحال مع نماذج النمو الأسي، فالتضاؤل ليس من الضروري أن يمثل نقصانًا بمقدار النصف فقط. إذ إن أي أساس لدالة أسية؛ حيث ، ينتج عنه نموذج تضاؤل أسي. في المثال الآتي، سنتناول نموذج للتضاؤل الأسي ونحدِّد معدل التناقص.
مثال ٥: إيجاد قيم الدوال التي تتضمَّن التضاؤُل الأسي
يقلُّ عدد البكتيريا نتيجة لاستخدام إحدى المعالجات الكيميائية. يمكن تمثيل عدد البكتيريا بعد ساعة من استخدام هذه المعالجة بالدالة: ؛ حيث .
- ماذا كان العدد عندما استُخدمت المعالجة الكيميائية لأول مرة؟
- ما معدَّل تناقُص عدد البكتيريا؟
الحل
الجزء الأول
في هذا الجزء، علينا إيجاد العدد الابتدائي؛ حيث لدينا العدد على صورة دالة أسية. نتذكر أنه في الدالة الأسية التي تكون على الصورة: ، يمثل الثابت الموجب الكمية الابتدائية. ومن ثَمَّ، يمكننا معرفة أن العدد عندما استُخدمت المعالجة الكيميائية لأول مرة من الدالة الأسية المعطاة هو ٦ ٠٠٠.
يمكننا أيضًا الحصول على هذا الناتج مباشرة بالتعويض بـ ؛ حيث إن قيمة هذه تناظر الزمن الذي استخدمت فيه المعالجة الكيميائية لأول مرة. وهذا يعطينا:
الجزء الثاني
في هذا الجزء، علينا إيجاد معدل تناقُص عدد البكتيريا. نتذكر أن الدالة الأسية ؛ حيث يمثل الكمية التي تتناقص بنسبة ثابتة خلال فترة محددة. بما أن يعبِّر عن عدد الساعات بعد استخدام المعالجة، فإن معدَّل تناقُص عدد البكتيريا يُعطى بواسطة النقصان المئوي لعدد البكتريا خلال فترة مقدارها ساعة واحدة. باستخدام النموذج المُعطى ، يمكننا معرفة أن: وهو ما يخبرنا بأن عدد البكتيريا هو من العدد الابتدائي. يمكننا أيضًا استنتاج أن: وهكذا. في كل حالة، يكون العدد بعد مرور ساعة يساوي من عدد البكتريا في الساعة السابقة. بعبارة أخرى، يُعطى معدل تناقص العدد بواسطة:
في المثال السابق، تناولنا نموذج تضاؤل أسي لإيجاد معدل التناقص. معدل التناقص هو نسبة الكمية التي تنقص خلال فترة محددة. لنرمز إلى هذا المعدل بالرمز ، وبهذا يمكننا الحصول على المقدار خلال الفترة التالية بضرب المقدار خلال الفترة السابقة في .
تعريف: معدل التضاؤل في نماذج التضاؤل الأسي
إذا كان معدل تناقص كمية ما خلال وحدة زمنية معينة هو ؛ حيث ، والقيمة الابتدائية للكمية هي ، فإن نموذج التضاؤل الأسي يُعطى بواسطة:
تجدر الإشارة هنا إلى أن يُقاس بالتناسب وليس بالنسب المئوية. في الجزء الثاني من المثال السابق، توصلنا إلى أن معدل تناقص العدد يساوي . ولكي نحصل على في هذه الحالة، علينا تحويل النسبة المئوية إلى تناسب على النحو الآتي:
وأيضًا، توصَّلنا في الجزء الأول من هذا المثال أن العدد الابتدائي يساوي ٦ ٠٠٠؛ وهو ما يعني أن . بتطبيق التعريف المذكور أعلاه، نتوصل من ذلك إلى نموذج التضاؤل الأسي:
يمكننا أن نلاحظ أن هذا هو النموذج الأسي نفسه المذكور في المسألة.
في المثال الأخير، سنوجد نموذج تضاؤل أسي من مسألة واقعية.
مثال ٦: تكوين معادلات أسية في متغيرين
ينخفض عدد الأشخاص الذين يزورون أحد المتاحف بنسبة كل عام. زار المتحف ٥٠ ٠٠٠ زائر في هذا العام. بفرض أن الانخفاض يستمر بنفس الوتيرة، اكتب معادلة يمكن استخدامها لإيجاد ، عدد الزائرين في سنة.
الحل
علمنا أن عدد الزوار ينخفض بمقدار كل عام، وعلمنا كذلك أن عدد زوار المتحف ٥٠ ٠٠٠ زائر في هذا العام. علينا إيجاد عدد الزائرين في سنة. بما أن عدد الزوار ينخفض بمقدار كل سنة، فإن عدد الزوار في السنة القادمة سيكون من عدد الزوار في هذه السنة. وهذا يعني أن:
إذن، عدد الزوار خلال سنتين سيكون من هذا العدد؛ ومن ثَمَّ يمكننا إيجاد عددهم في هذا الوقت بضرب ٠٫٩٧ في العدد أعلاه. وبمتابعة هذا النمط، نحصل على: وهكذا. يمكننا أن نرى نمطًا هنا؛ حيث يمكن الحصول على عدد الزائرين في سنة بضرب ٥٠ ٠٠٠ في . ومن ثَمَّ، فإن عدد الزائرين في سنة هو:
هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- تمثل النماذج الأسية حالات واقعية حيث يكون معدل التغير في كمية ما ثابتًا خلال فترة ثابتة. إذا كانت الكمية تزداد، فهذا يسمى نموذج نموٍّ أُسِّي. وإذا كانت الكمية تتناقص، فهذا يسمى نموذج تضاؤُل أسي.
- يمكن أن نكتب الدالة الأسية على الصورة العامة: لأي ثابتين ، ، بشرط أن . في النماذج الأسية، علينا أن نضع في اعتبارنا ما يلي.
- المتغير المستقل عادةً ما يمثل الزمن، وفي هذه الحالة نستخدم عادةً وليس .
- بما أن ، فالكمية هي القيمة الابتدائية للدالة، وتكون عند .
- يخبرنا الأساس عن «المعدل» الذي تتغير به الكمية مع الزمن. فالنمو يصاحبه أساس ، بينما يحدث التضاؤل عندما يكون .
- إذا كان معدل تناقص كمية ما خلال وحدة زمنية معينة هو ؛ حيث ، والقيمة الابتدائية للكمية هي ، فإن نموذج التضاؤل الأسي يعطى بواسطة:
