شارح الدرس: تطبيقات على الدوال الأسية الرياضيات

في هذا الشارح، سنتعلم كيف نحُلُّ مسائل واقعية بها دوال أُسِّيَّة.

تذكر أن الدالة الأسية الأساسية تعطى بواسطة: 󰎨(𞸎)=𞸁𞸎؛ حيث الأساس 𞸁 هو عدد موجب بخلاف العدد ١. الصورة العامة هي: 󰎨(𞸎)=𞸀𞸁،𞸎 وعند «تمثيل» الظواهر الحقيقية، يكون لدينا:

  • متغير مستقل 𞸎 عادةً ما يكون الزمن.
  • وبما أن 󰎨(٠)=𞸀𞸁=𞸀٠، الكمية 𞸀 هي القيمة الابتدائية لما تقيسه الدالة. وهي القيمة عند الزمن 𞸎=٠.
  • الأساس 𞸁 يخبرنا شيئًا عن «المعدل» الذي تتغير به الكمية مع الزمن يكون النمو الأساس 𞸁>١، بينما يكون التضاؤل عندما يكون 𞸁<١.

بافتراض قيمة موجبة لـ 𞸀، جميع المنحنيات تبدو بهذا الشكل:

لاحظ أن 𞸀𞸁=󰎨(١) هو الكمية بعد وحدة واحدة من الزمن. لاحظ أيضًا كيف تتغير الكمية من 𞸀 إلى 𞸀𞸁 حسب قيمة 𞸁 مقارنة بالعدد ١. بما أن 󰎨(٢)=𞸀𞸁=(𞸀𞸁)𞸁٢، تجد أن القيم عند الأزمنة 𞸎=١،٢،٣، تكوِّن المتتابعة الهندسية: 𞸀𞸁،𞸀𞸁،𞸀𞸁،٢٣ التي أساسها 𞸁. ومن ثَمَّ، «مضاعفة» كل وحدة زمن 𞸁=٢ في حين «القسمة على اثنين» 𞸁=١٢.

إليك مثالًا.

مثال ١: تكوين تعبير لتمثيل نمو أسي واقعي

يزداد تعداد البكتريا في معمل إلى أربعة أمثال كل ساعة. كان هناك ٢٠٠ كائن بكتيري في البداية. اكتب تعبيرًا لـ 𞸁(𞸍)، وهو عدد البكتيريا بعد 𞸍 من ساعة ساعة من القياس المبدئي.

الحل

هذا مثال على النمو الأسي؛ إذن 𞸁(𞸍)=𞸀𞸁𞸍 حيث 𞸀،𞸁 ثابتان ومتغير الزمن المستقل 𞸍 يقاس بالساعة المضاعفة لأربعة أمثال تعني 𞸁=٤ و𞸀=𞸁(٠) الكمية الابتدائية يعطينا ذلك𞸀=٠٠٢؛ إذن 𞸁(𞸍)=٠٠٢󰁓٤󰁒𞸍

في كثير من الأحيان، يكون المعدل 𞸁 معطى في صورة «معدل نسبة مئوية». تذكر ما يعنيه ذلك. افترض أن قيمة سيارة تنخفض بنسبة ٥٫٤٪ كل سنة. هذا يعني أنه إذا كانت قيمتها 𞸀 في بداية السنة، إذن في نهاية السنة، تكون قيمتها أقل بنسبة ٥٫٤٪ من تلك القيمة ويكون: 𞸀(٥٫٤٪)𞸀=𞸀(١٥٫٤٪)=𞸀󰂔١٥٫٤٠٠١󰂓=𞸀(١٥٤٠٫٠)=𞸀(٥٥٩٫٠)

إذا كان 𞸏(𞸍)=𞸀𞸁𞸍 يعبر عن قيمة هذا الانخفاض؛ إذن: 𞸁=١٥٤٠٫٠=٥٥٩٫٠،𞸏(𞸍)=𞸀󰁓٥٥٩٫٠󰁒.𞸍

لاحظ أن هذا المعدل أصغر من ١، كما هو متوقَّع من عملية تضاؤل. معدلات النسب المئوية، تعبر عن المعدلات بالنسبة إلى ١؛ لذا فمعدل النمو 𞸓 يعني المعدل 𞸁=١+𞸓.

إليك مثالًا آخر.

مثال ٢: تحديد القيمة الابتدائية ومعدل زيادة دالة نمو أسية

يمكن تمثيل قمية، 𞸏(𞸍) دولار، إحدى الممتلكات بعد 𞸍 سنة من الآن في صورة الدالة: 𞸏(𞸍)=٠٠٠٠٠٣×٥٧٠٫١.𞸍

  1. ما قيمة الملكية الآن؟
  2. ما معدل الزيادة في قيمة الملكية؟

الحل

  1. قيمة الملكية الآن هي: 𞸏(٠)=٠٠٠٠٠٣×٥٧٠٫١=٠٠٠٠٠٣×١=٠٠٠٠٠٣.٠
  2. في الصورة 𞸏(𞸍)=𞸀𞸁𞸍، نلاحظ أن 𞸀=٠٠٠٠٠٣ و𞸁=٥٧٠٫١. بكتابة: ٥٧٠٫١=𞸁=١+𞸓 ثم الحل لإيجاد قيمة 𞸓 ، نحصل على معدل النسبة المئوية للزيادة في القيمة: 𞸓=٥٧٠٫٠=٥٫٧٠٠١=٥٫٧٪. إذن، تزداد قيمة المليكة بمعدل ٥٫٧٪ كل سنة.

عادةً ما يجمع البنك الفائدة على أساس دوري. على سبيل المثال، إذا كان يتم تجميع معدل سنوي «اسمي» ٥٪ كل ثلاثة شهور. هذا يعني أنه، يُجمع بمعدل ٥٤٪ أربع مرات في تلك السنة. إذن، إذا بدأنا بقرض 𞸋 بالدولار الأمريكي، يكون إجمالي الدين في نهاية السنة: 𞸋󰂔١+٥٤٪󰂓󰂔١+٥٤٪󰂓󰂔١+٥٤٪󰂓󰂔١+٥٤٪󰂓=𞸋󰂔١+٥٤٪󰂓.٤

بما أن ١+٥٢٫١٪=١+٥٢١٠٫٠=٥٢١٠٫١، فهذا يمثل دينًا عبارة عن: 𞸋󰁓٥٢١٠٫١󰁒𞸋(٥٩٠٥٠٫١)،٤ وهو ما يُحصَّل إذا كان المعدل السنوي بالفعل ٥٩٠٫٥٪، المُحصَّل لمرة واحدة فقط. وبشكل أكثر تعميمًا، المعدل «الاسمي» 𞸓 بالمائة على عدد 𞸌 من الفترات كل سنة بدءًا بقيمة 𞸋 سينمو بعد 𞸍من السنوات، إلى 𞸋󰂔١+𞸓𞸌󰂓𞸌𞸍.

مثال ٣: إجراء العمليات الحسابية باستخدام الفائدة المركبة

إذا كان المبلغ ٨٠٠ دولار أمريكي له فائدة نصف سنوية بنسبة ٢٪ لكل سنة، فما المبلغ بعد 𞸌 سنة؟

الحل

تكون الأرباح على مدار 𞸌=٢ فترتين بمعدل اسمي 𞸓=٢٪ و𞸋=٠٠٨ دولار. صيغة حساب المبلغ بعد سنة واحدة هي: 𞸋󰂔١+𞸓𞸌󰂓=٠٠٨󰂔١+٢٪٢󰂓=٠٠٨󰂔١+٢٠٫٠٢󰂓=٠٠٨(١٠٫١)𞸌٢٢٢ بعد 𞸌 سنة:٠٠٨(١٠٫١)=٠٠٨(١٠٢٠٫١).٢𞸌𞸌

إذن، المعدل الفعلي (أو السنوي) هو ١٠٫٢٪.

ونظرًا لأن النمو / التضاؤل الأسي يُمَثَّل بالدوال الأسية، فيمكننا إيجاد المتغير المستقل (لنقُل الزمن) باستخدام اللوغاريتمات.

مثال ٤: حل المسائل الواقعية التي تتضمن النمو الأسي

يتكاثر كائن حي دقيق بالانشطار الثنائي؛ حيث تنشطر كلُّ خلية إلى خليتين كلَّ ساعة. فإذنا كان عدد الخلايا عند البداية ٢٤‎ ‎٤٣١ خلية، حدد الوقت اللازم ليصبح عددها ٩٧‎ ‎٧٢٤ خلية.

الحل

يزداد عدد الخلايا 𞸋(𞸍)، بعد 𞸍 من الساعات، وفقًا للعلاقة: 𞸋(𞸍)=𞸀𞸁،𞸍 حيث 𞸀=𞸋(٠)=١٣٤٤٢ والمعدل 𞸁=٢ بسبب «المضاعفة». علينا إيجاد قيمة 𞸍:٤٢٧٧٩=𞸋(𞸍)=١٣٤٤٢󰁓٢󰁒،𞸍 وهو ما يعطي: ٤٢٧٧٩١٣٤٤٢=٢٤=٢٢=(٤)=𞸍.𞸍𞸍٢

إذن، سيستغرق الأمر ساعتين لكي يصل تعداد الخلايا إلى ٩٧‎ ‎٧٢٤.

مثال ٥: تفسير البارامتر في الدوال الأسية في سياق واقعي

عدد حالات الإصابة بعدوى فيروس الإيبولا غرب افريقيا في بداية الوباء يتبع نموا أسيا. يٌعطى هذا العدد بالعلاقة 𞸈=𞸤٥٧٠٫٠𞸍، حيث 𞸍 عدد الأيام بعد العدوى الاولى.

  1. ما الذي يمثله المعامل ٠٫٠٧٥؟
    1. عدد الإصابات الجديدة في اليوم.
    2. الزمن الذي يستغرقه عدد الاصابات لُضرب في 𞸤.
    3. ١٥٧٠٫٠ الزمن الذي يستغرقه عدد الاصابات لُضرب في 𞸤.
    4. النسبة المئوية للنمو اليومي لعدد الإصابات بالعدوى (٥٫٧٪).
    5. عدد الأيام بعد العدوى الاولى.
  2. بكتابة الصيغة على الصورة 𞸈=𞸁𞸍، أوجد النسبة المئوية للنمو اليومي لعدد الاصابات لاقرب منزلة عشرية. قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

  1. سنناقش كل خيار من هذه الخيارات تباعًا.
    الخيار (أ) لا يبدو منطقيًّا: لا يمثل النمو الأسي زيادة ثابتة في عدد الإصابات بالعدوى. تناسب هذه الإجابة نموا خطيا.
    الخيار (ب) يبدو حلًّا أفضل بما أن الأعداد الأسية تزداد بالضرب. لكن هذا ليس صحيحًا. في صيغة «المضاعفة»، نحصل على الحد ٢𞸍𞸇 وهو ما يقول إن الزمن اللازم هو 𞸇 عندما تكون الكمية مضروبة في ٢.وهذا قد يكون صحيحًا إذا قرأت الصيغة 𞸤𞸍٥٧٠٫٠ بدلًا من ذلك.
    الخيار (د) يخبرنا أن معدل الزيادة اليومية لعدد المصابين هو ٥٫٧٪.وهذا يتوافق مع صيغة تتضمن حدًّا مثل (٥٧٠٫١)𞸍.
    الخيار (هـ) لا ينطوي على دلالة قوية.
    الخيار (ج) صحيح، بنفس الطريقة التي كان بها الخيار (ب) غير صحيح: بجعل 𞸍=١٥٧٠٫٠ في الصيغة نحصل على 𞸈=𞸤، وعندما 𞸍=𞸌٥٧٠٫٠، نحصل على 𞸈=𞸤𞸌.كل فترة من هذا الزمن تضرب عدد الإصابات في 𞸤.
    إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).
  2. نعيد كتابة الصيغة كما يلي: 𞸈=𞸤=󰁓𞸤󰁒=٩٧٧٠٫١.٥٧٠٫٠𞸍٥٧٠٫٠𞸍𞸍
    عندما يُكتب الأساس على الصورة 𞸁=١+𞸓،تكون النسبة المئوية لمعدل النمو هي بالضبط 𞸁١ أي: ٩٧٧٠٫٠=٩٧٫٧٪.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.