تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الصورة القطبية للأعداد المركَّبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل عددًا مركبًا بالصورة القطبية، ونحسب المقياس والسعة، ونستخدم ذلك في تحويل صورة العدد المركب.

يُمكننا تمثيل عدد مركب مثل 𞸏=٤+٤𞸕 (حيث 𞸕 هو الجذر التربيعي لسالب واحد) على مخطط أرجاند، كما هو موضَّح.

ويُمكننا الإشارة إلى النقاط على المستوى بالصورتين الكارتيزية والقطبية. بطريقة مماثلة، يُمكن كتابة الأعداد المركبة بالصورتين الجبرية والقطبية.

تذكَّر، عند تغيير إحداثيات النقطة (𞸎،𞸑) إلى الصورة القطبية (𞸓،𝜃)، نحسب 𞸓، باستخدام نظرية فيثاغورس، كالآتي: 𞸓=󰋴𞸎+𞸑،٢٢ ونحسب 𝜃 باستخدام الدالة العكسية للظل: 𝜃=󰃁𞸑𞸎󰃀.١

بتطبيق نفس الطريقة على النقطة 𞸏=٤+٤𞸕، نحسب: 𞸓=󰋴٤+٤=󰋴٢٣=٤󰋴٢،٢٢ ونحسب: 𝜃=󰂔٤٤󰂓=𝜋٤.١

بالنسبة إلى الأعداد المركبة، لدينا اسمان محددان لـ 𞸓 ولـ 𝜃: نُشير إلى 𞸓 بمقياس العدد المركب (ونكتبه بالصورة: |𞸏|=𞸓)، ونُشير إلى 𝜃 بالسعة (التي نكتبها بالصورة: 𞸏=𝜃). باستخدام 𞸓 و𝜃، يُمكننا التعبير عن 𞸏 بالصورة: 𞸏=٤󰋴٢󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓.

ويُشار إلى العدد المركب المُعبَّر عنه بهذه الصورة بأنه بالصورة القطبية.

تعريف: الصورة القطبية للعدد المركب

العدد المركب 𞸏 مكتوب بالصورة: 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، حيث المقياس |𞸏|=𞸓، والسعة 𞸏=𝜃 بالصورة القطبية. يُشَار إلى هذه الصورة أيضًا باسم الصورة المثلثية أو بصورة المقياس-السعة.

مثال ١: التعرُّف على الصورة القطبية لعدد مركب

أيٌّ من الأعداد المركبة الآتية، يُعبَّر عنه بشكل صحيح بالصورة القطبية؟

  1. 󰋴٢󰂔󰂔𝜋٢󰂓+𞸕󰂔𝜋٢󰂓󰂓.
  2. ٥󰂔󰂔٥𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٦󰂓󰂓.
  3. 𞸤󰂔󰂔١١𝜋٢󰂓𞸕󰂔١١𝜋٢󰂓󰂓٢.
  4. ٣𝜋٤󰂔󰂔󰋴٥٣󰂓+𞸕󰂔󰋴٥٣󰂓󰂓.
  5. ٢󰂔󰂔٥٣𝜋٧󰂓+𞸕󰂔٥٣𝜋٦󰂓󰂓.

الحل

يُقال إن العدد المركب 𞸏 بالصورة القطبية إذا كان: 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، حيث 𞸓 هو مقياس 𞸏، و𝜃 هي السعة. سنفكِّر في كل خيار على حدة، ونرى إذا عُبِّر عنه بهذه الصورة بشكل صحيح أم لا.

  1. للوهلة الأولى، يبدو هذا العدد في صورته القطبية. إلَّا أن الفحص الدقيق يوضِّح أنه ليس بالصورة القطبية في الواقع. وهذا أحد الأخطاء الشائعة التي يقع فيها الطلاب عند كتابة الأعداد المركبة بالصورة القطبية: عكس ترتيب الجيب وجيب التمام. لكتابة هذا العدد بالصورة القطبية بالشكل الصحيح، يمكننا استخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين: 𝜃=󰂔𝜋٢𝜃󰂓،𝜃=󰂔𝜋٢𝜃󰂓. من ثَمَّ، بوضْع 𝜃=٠، يُمكننا التعبير بشكل صحيح عن الصورة القطبية لهذا العدد على النحو الآتي: 󰋴٢((٠)+𞸕(٠)).
  2. هذا العدد بالصورة: 𞸓(𝜃+𞸕𝜃)؛ حيث 𞸓=٥ و𝜃=٥𝜋٦. وبما أن 𞸓٠، فإنه مكتوب بصورة قطبية صحيحة.
  3. ومرَّة أخرى، هذا العدد يُشبه الصورة الصحيحة. ولكن علامة الناقص قبل 𞸕𝜃 تَعني أن العدد ليس بالصورة الصحيحة. ولتصحيحه، يُمكننا استخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية: (𝜃)=(𝜃)،(𝜃)=(𝜃)، لإعادة كتابة العدد بالصورة: 𞸤󰂔󰂔١١𝜋٢󰂓𞸕󰂔١١𝜋٢󰂓󰂓=𞸤󰂔󰂔١١𝜋٢󰂓+𞸕󰂔١١𝜋٢󰂓󰂓=𞸤󰂔󰂔١١𝜋٢󰂓+𞸕󰂔١١𝜋٢󰂓󰂓،٢٢٢ وهي الصورة القطبية الصحيحة.
  4. سنفترض خطأ بسهولة أن هذا العدد ليس في الصورة القطبية؛ حيث يبدو أن 𞸓، 𝜃 معكوسان. لكن 𞸓 يُمكن أن يكون أي عدد حقيقي موجب، ومن ثَمَّ،٣𝜋٤ قيمة منطقية لـ 𞸓. وبالمثل، تقبل 𝜃 أي قيمة حقيقية، وهو ما يَعني أن 󰋴٥٣ قيمة منطقية للسعة.
    إذن، هذا العدد مكتوب بصورة قطبية صحيحة.
  5. قد يكون من السهل نسيان حقيقة أن هذا العدد ليس بالصورة القطبية. ولكن بتدقيق النظر تكشف أن دالتي الجيب وجيب التمام لهما سعتان مختلفتان. ولإعادة كتابة هذا بالشكل الصحيح، علينا حساب المقياس والسعة الفعليين.

إذن، العددان الوحيدان المُعبَّر عنهما بصورة قطبية صحيحة هما ٥󰂔󰂔٥𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٦󰂓󰂓 و٣𝜋٤󰂔󰂔󰋴٥٣󰂓+𞸕󰂔󰋴٥٣󰂓󰂓.

سيكون من المفيد جدًّا إتقان التحويل بين الصورة الجبرية (𞸎+𞸕𞸑)، والصورة القطبية للأعداد المركبة. سنتناول الآن مثالًا على تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية.

مثال ٢: تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية

  1. أوجد مقياس العدد المركب ١+𞸕.
  2. أوجد سعة العدد المركب ١+𞸕.
  3. وبعدها، اكتب العدد المركب ١+𞸕 بالصورة القطبية.

الحل

الجزء ١

تذكَّر أن مقياس العدد المركب 𞸏=󰏡+𞸕𞸁 يُعطَى بالصيغة: |𞸏|=󰋴󰏡+𞸁.٢٢

إذن، مقياس ١+𞸕 يساوي 󰋴١+١=󰋴٢٢٢.

الجزء ٢

عند حساب سعة العدد المركب، يجب أن نعرف في أي ربع من مخطط أرجاند يقع العدد المركب.

وبما أننا في الربع الأول، فإنه يُمكننا فقط استخدام الدالة العكسية للظل لإيجاد السعة. إذن: (١+𞸕)=󰂔١١󰂓=(١)=𝜋٤.١١

الجزء ٣

أخيرًا، باستخدام تعريف الصورة القطبية، يُمكننا كتابة:فيُمكننا استخدام الدالة ١+𞸕=󰋴٢󰂔𝜋٤+𞸕𝜋٤󰂓.

كيفية: تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية

لتحويل عدد مركب بالصورة الجبرية 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 إلى الصورة القطبية، اتبع الخطوات الآتية:

  1. أوجد المقياس |𞸏| للعدد المركب باستخدام الصيغة: |𞸏|=󰋴󰏡+𞸁٢٢.
  2. أوجد السعة 𞸏 للعدد المركب. ثمة أكثر من طريقة لإيجاد سعة عدد مركب، وسنتناول إحدى هذه الطُّرق هنا. إذا وقع 𞸏 في الربع الأول أو الرابع من مخطط أرجاند (󰏡>٠)، فيُمكننا استخدام الدالة العكسية للظل وحساب: 𞸏=󰂔𞸁󰏡󰂓.١ أما إذا وقع العدد المركب في الربع الثاني (󰏡<٠ ،𞸁>٠)، فعلينا إضافة 𝜋 إلى القيمة التي نحصل عليها باستخدام الدالة العكسية للظل. إذن: 𞸏=󰂔𞸁󰏡󰂓+𝜋.١، ولكن إذا وقع العدد المركب في الربع الثالث (󰏡<٠ ،𞸁<٠)، فعلينا طرح 𝜋 من القيمة التي نحصل عليها باستخدام الدالة العكسية للظل. إذن: 𞸏=󰂔𞸁󰏡󰂓𝜋.١ وأخيرًا، إذا كان العدد المركب تخيُّليًّا بحتًا (󰏡=٠)، فإن 𞸏=𝜋٢، إذا كان 𞸁>٠، و𞸏=𝜋٢، إذا كان 𞸁<٠. لاحِظ أنه عندما يكون 󰏡=𞸁=٠، تكون السعة غير معرَّفة.
  3. اكتب العدد بالصورة القطبية: 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)،

حيث 𞸓=|𞸏| و𝜃=𞸏.

سنتناول الآن مثالًا لا يُمكننا فيه استخدام الدالة العكسية للظل لإيجاد السعة.

مثال ٣: تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة المثلثية

عبِّر عن العدد المركب 𞸏=٤𞸕 بالصورة المثلثية.

الحل

تذكَّر أن الصورة المثلثية والصورة القطبية هما اسمان مختلفان لشيء واحد. نبدأ بإيجاد مقياس العدد المركب 𞸏. تطبيق الصيغة لإيجاد المقياس، مع ملاحظة عدم وجود جزء حقيقي، يُعطينا: |𞸏|=󰋴٠+٤=٤٢٢.

والآن، نريد إيجاد السعة. لاحِظ أن 𞸏 عدد تخيُّلي بحت دون أي جزء حقيقي.

في هذه الحالة، لا يمكننا تطبيق الدالة العكسية للظل لحساب المقياس؛ لأننا لا نستطيع القسمة على صفر. مع ذلك، بما أن جميع الأعداد المركبة التي تقع على المحور التخيُّلي الموجب لها السعة 𝜋٢، فيُمكننا استنتاج أن 𞸏=𝜋٢.

أخيرًا، يمكننا كتابة العدد بصورته المثلثية (أو القطبية) كالآتي: 𞸏=٤󰂔󰂔𝜋٢󰂓+𞸕󰂔𝜋٢󰂓󰂓.

سنفكِّر الآن في مثال يوضِّح العلاقة بين الصورتين القطبية والجبرية لعدد مركب.

مثال ٤: العلاقة بين الصورتين القطبية والجبرية لعدد مركب

انظر الشكل.

  1. أيٌّ من الآتي يَصِف بشكل صحيح العلاقة بين 󰏡 ،𞸓 ،𝜃؟
    1. 󰏡=𞸓𝜃
    2. 󰏡=𝜃𞸓
    3. 󰏡=𞸓𝜃
    4. 󰏡=𞸓𝜃
    5. 󰏡=𝜃𞸓
  2. أيٌّ من الآتي يَصِف بشكل صحيح العلاقة بين 𞸁، و𞸓، و𝜃؟
    1. 𞸁=𝜃𞸓
    2. 𞸁=𞸓𝜃
    3. 𞸁=𞸓𝜃
    4. 𞸁=𞸓𝜃
    5. 𞸁=𝜃𞸓
  3. من ثَمَّ، عبِّر عن 𞸏 بدلالة 𞸓، 𝜃.

الحل

الجزء ١

المثلث الذي أضلاعه 𞸓 ،󰏡 ،𞸁 مثلث قائم الزاوية له الوتر 𞸓. وعليه، للتعبير عن العلاقة بين 󰏡 ،𞸓 ،𝜃، يُمكننا تطبيق حساب المثلثات الأساسي. الضلع 󰏡 مجاور للزاوية 𝜃. من ثَمَّ، يُمكننا استخدام جيب تمام الزاوية على النحو الآتي: اااور𝜃==󰏡𞸓.

بإعادة الترتيب، يُمكننا كتابة: 󰏡=𞸓𝜃.

إذن، العلاقة الصحيحة بين 󰏡، 𞸓، 𝜃 تساوي (𞸃).

الجزء ٢

وبالمثل، الضلع 𞸁 مقابل للزاوية 𝜃. من ثَمَّ، باستخدام دالة الجيب، يُمكننا أن نكتب: ااااور𝜃==𞸁𞸓.

بإعادة الترتيب، يُمكننا أن نكتب: 𞸁=𞸓𝜃.

من ثَمَّ، العلاقة الصحيحة بين 𞸁 ،𞸓 و𝜃 هي (𞸢).

الجزء ٣

بما أن 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، فيُمكننا التعويض عن قيمتي 󰏡، 𞸁 في هذه المعادلة لنحصل على: 𞸏=𞸓𝜃+𞸓𞸕𝜃.

إذا حلَّلنا 𞸓 في الجزء الأخير من المثال السابق، فسنجد أن لدينا مقدارًا لـ 𞸏 بالصورة القطبية، بينما في الصورة الحالية، لدينا:

وهو 𞸏، معبَّرًا عنه بالصورة الجبرية: 󰏡+𞸁𞸕.

سنتطرَّق الآن إلى مثال آخَر للتحويل من الصورة القطبية إلى الصورة الجبرية.

مثال ٥: تحويل الأعداد المركبة من الصورة المثلثية إلى الصورة الديكارتية

  1. أوجد 𝜋٦.
  2. أوجد 𝜋٦.
  3. من ثَمَّ، عبِّر عن العدد المركب ٠١󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓 بالصورة الديكارتية.

الحل

الجزء ١

تذكَّر أن 𝜋٦ زاوية «خاصة». ومن ثَمَّ، يجب أن نحفظ قِيَم الجيب وجيب التمام والظل عن ظهر قلب، ونسترجعها بسهولة 𝜋٦=󰋴٣٢.

الجزء ٢

بالمثل: 𝜋٦=١٢.

الجزء ٣

تذكَّر أن الصورة الديكارتية اسمٌ آخَر للصورة الجبرية. من ثَمَّ، باستخدام القيمتين الموضَّحتين الآن، يُمكننا إعادة كتابة العدد المركب على النحو الآتي: ٠١󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓=٠١󰃭󰋴٣٢+١٢𞸕󰃬.

بفكِّ الأقواس، يصبح لدينا: ٠١󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓=٥󰋴٣+٥𞸕.

كما رأينا في المثال السابق، للتحويل من الصورة القطبية إلى الصورة الجبرية بسهولة ليس علينا إلَّا حساب جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية، ثم فكُّ الأقواس.

مثال ٦: سعة العدد المركب

إذا كان 𞸏=𝜃𞸕𝜃؛ حيث 𝜃󰂗٠،𝜋٢󰂗، فأوجد السعة الأساسية لـ 𞸏.

الحل

بما أن 𞸏 مُعطًى بصورة مشابهة للصورة القطبية، إذن أبسط طريقة لحلِّ هذه المسألة هو استخدام المتطابقات المثلثية لكتابة 𞸏 بالصورة القطبية. بمجرد أن يكون لدينا 𞸏 بالصورة القطبية، سيُمكننا قراءة سعته. أولًا، ترتيب الجيب وجيب التمام معكوس بالنسبة إلى الصورة القطبية. ولتصحيح ذلك، يُمكننا استخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين، التي تتعلَّق بجيب الزاوية وجيب تمام الزاوية على النحو الآتي: =󰂔𝜋٢𝜃󰂓،=󰂔𝜋٢𝜃󰂓.

باستخدامهما، يُمكننا إعادة كتابة 𞸏 على النحو الآتي: 𞸏=𝜃𞸕𝜃=󰂔𝜋٢𝜃󰂓𞸕󰂔𝜋٢𝜃󰂓.

هذه ليست الصورة القطبية كذلك: لدينا إشارة سالبة أمام جيب الزاوية، بينما في الصورة القطبية، يجب أن تكون موجبة. ولتصحيح ذلك، يُمكننا استخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية: (𝜃)=(𝜃)،(𝜃)=(𝜃)، لاعادة كتابة 𞸏 بالصورة: 𞸏=󰂔𝜋٢𝜃󰂓+𞸕󰂔󰂔𝜋٢𝜃󰂓󰂓=󰂔󰂔𝜋٢𝜃󰂓󰂓+𞸕󰂔󰂔𝜋٢𝜃󰂓󰂓.

بالتبسيط، يصبح لدينا: 𞸏=󰂔𝜃𝜋٢󰂓+𞸕󰂔𝜃𝜋٢󰂓.

والآن، بما أن 𞸏 أصبح بالصورة القطبية، يُمكننا إذن قراءة السعة على الصورة: 𝜃𝜋٢. أخيرًا، علينا التحقُّق إذا ما كانت هذه هي السعة الأساسية أم لا. تذكَّر أنه لتكون أي سعة مُعطاة سعةً أساسية، لا بدَّ أن تُعطَى بالمدى ]𝜋،𝜋]. لدينا: 𝜃󰂗٠،𝜋٢󰂗. إذن: ٠𝜃<𝜋٢.

بطرح 𝜋٢، نحصل على: 𝜋٢𝜃𝜋٢<٠.

أي إن (𞸏)=𝜃𝜋٢ تقع في المدى 󰂗𝜋٢،٠󰂗، والذي يقع في ]𝜋،𝜋]؛ ومن ثَمَّ فهي السعة الأساسية لـ 𞸏.

النقاط الرئيسية

  • مثلما يُمكن كتابة النقاط على المستوى بالإحداثيات الديكارتية والقطبية، يُمكننا كتابة الأعداد المركبة بالصورة الجبرية والقطبية.
  • الصورة القطبية للعدد المركب 𞸏 هي: 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، حيث 𞸓٠ هو المقياس، 𝜃 هي السعة.
  • لتحويل العدد المركب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 إلى الصورة القطبية، ببساطة نُوجد مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃=(𞸏).
  • لتحويل عدد مركب من الصورة القطبية 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃) إلى الصورة الجبرية، يمكننا فكُّ الأقواس وإيجاد قيمة جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.