شارح الدرس: الصورة القطبية للأعداد المركَّبة الرياضيات

مثال ١: التعرُّف على الصورة القطبية لعدد مركب

أيٌّ من الأعداد المركبة الآتية، يُعبَّر عنه بشكل صحيح بالصورة القطبية؟

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .

الحل

يُقال إن العدد المركب بالصورة القطبية إذا كان: حيث هو مقياس ، و هي السعة. سنفكِّر في كل خيار على حدة، ونرى إذا عُبِّر عنه بهذه الصورة بشكل صحيح أم لا.

1. للوهلة الأولى، يبدو هذا العدد في صورته القطبية. إلَّا أن الفحص الدقيق يوضِّح أنه ليس بالصورة القطبية في الواقع. وهذا أحد الأخطاء الشائعة التي يقع فيها الطلاب عند كتابة الأعداد المركبة بالصورة القطبية: عكس ترتيب الجيب وجيب التمام. لكتابة هذا العدد بالصورة القطبية بالشكل الصحيح، يمكننا استخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين: من ثَمَّ، بوضْع ، يُمكننا التعبير بشكل صحيح عن الصورة القطبية لهذا العدد على النحو الآتي:
2. هذا العدد بالصورة: ؛ حيث و. وبما أن ، فإنه مكتوب بصورة قطبية صحيحة.
3. ومرَّة أخرى، هذا العدد يُشبه الصورة الصحيحة. ولكن علامة الناقص قبل تَعني أن العدد ليس بالصورة الصحيحة. ولتصحيحه، يُمكننا استخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية: لإعادة كتابة العدد بالصورة: وهي الصورة القطبية الصحيحة.
4. سنفترض خطأ بسهولة أن هذا العدد ليس في الصورة القطبية؛ حيث يبدو أن ، معكوسان. لكن يُمكن أن يكون أي عدد حقيقي موجب، ومن ثَمَّ، قيمة منطقية لـ . وبالمثل، تقبل أي قيمة حقيقية، وهو ما يَعني أن قيمة منطقية للسعة.
   إذن، هذا العدد مكتوب بصورة قطبية صحيحة.
5. قد يكون من السهل نسيان حقيقة أن هذا العدد ليس بالصورة القطبية. ولكن بتدقيق النظر تكشف أن دالتي الجيب وجيب التمام لهما سعتان مختلفتان. ولإعادة كتابة هذا بالشكل الصحيح، علينا حساب المقياس والسعة الفعليين.

إذن، العددان الوحيدان المُعبَّر عنهما بصورة قطبية صحيحة هما و.

مثال ٢: تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية

1. أوجد مقياس العدد المركب .
2. أوجد سعة العدد المركب .
3. وبعدها، اكتب العدد المركب بالصورة القطبية.

الحل

الجزء ١

تذكَّر أن مقياس العدد المركب يُعطَى بالصيغة:

إذن، مقياس يساوي .

الجزء ٢

عند حساب سعة العدد المركب، يجب أن نعرف في أي ربع من مخطط أرجاند يقع العدد المركب.

وبما أننا في الربع الأول، فإنه يُمكننا فقط استخدام الدالة العكسية للظل لإيجاد السعة. إذن:

الجزء ٣

أخيرًا، باستخدام تعريف الصورة القطبية، يُمكننا كتابة:فيُمكننا استخدام الدالة

مثال ٣: تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة المثلثية

عبِّر عن العدد المركب بالصورة المثلثية.

الحل

تذكَّر أن الصورة المثلثية والصورة القطبية هما اسمان مختلفان لشيء واحد. نبدأ بإيجاد مقياس العدد المركب . تطبيق الصيغة لإيجاد المقياس، مع ملاحظة عدم وجود جزء حقيقي، يُعطينا: .

والآن، نريد إيجاد السعة. لاحِظ أن عدد تخيُّلي بحت دون أي جزء حقيقي.

في هذه الحالة، لا يمكننا تطبيق الدالة العكسية للظل لحساب المقياس؛ لأننا لا نستطيع القسمة على صفر. مع ذلك، بما أن جميع الأعداد المركبة التي تقع على المحور التخيُّلي الموجب لها السعة ، فيُمكننا استنتاج أن .

أخيرًا، يمكننا كتابة العدد بصورته المثلثية (أو القطبية) كالآتي:

مثال ٤: العلاقة بين الصورتين القطبية والجبرية لعدد مركب

انظر الشكل.

1. أيٌّ من الآتي يَصِف بشكل صحيح العلاقة بين ، ،؟
2. أيٌّ من الآتي يَصِف بشكل صحيح العلاقة بين ، و، و؟
3. من ثَمَّ، عبِّر عن بدلالة ، .

الحل

الجزء ١

المثلث الذي أضلاعه ، ، مثلث قائم الزاوية له الوتر . وعليه، للتعبير عن العلاقة بين ، ،، يُمكننا تطبيق حساب المثلثات الأساسي. الضلع مجاور للزاوية . من ثَمَّ، يُمكننا استخدام جيب تمام الزاوية على النحو الآتي:

بإعادة الترتيب، يُمكننا كتابة:

إذن، العلاقة الصحيحة بين ، ، تساوي ().

الجزء ٢

وبالمثل، الضلع مقابل للزاوية . من ثَمَّ، باستخدام دالة الجيب، يُمكننا أن نكتب:

بإعادة الترتيب، يُمكننا أن نكتب:

من ثَمَّ، العلاقة الصحيحة بين ، و هي ().

الجزء ٣

بما أن ، فيُمكننا التعويض عن قيمتي ، في هذه المعادلة لنحصل على:

مثال ٥: تحويل الأعداد المركبة من الصورة المثلثية إلى الصورة الديكارتية

1. أوجد .
2. أوجد .
3. من ثَمَّ، عبِّر عن العدد المركب بالصورة الديكارتية.

الحل

الجزء ١

تذكَّر أن زاوية «خاصة». ومن ثَمَّ، يجب أن نحفظ قِيَم الجيب وجيب التمام والظل عن ظهر قلب، ونسترجعها بسهولة

الجزء ٢

بالمثل:

الجزء ٣

تذكَّر أن الصورة الديكارتية اسمٌ آخَر للصورة الجبرية. من ثَمَّ، باستخدام القيمتين الموضَّحتين الآن، يُمكننا إعادة كتابة العدد المركب على النحو الآتي:

بفكِّ الأقواس، يصبح لدينا:

مثال ٦: سعة العدد المركب

إذا كان ؛ حيث ، فأوجد السعة الأساسية لـ .

الحل

بما أن مُعطًى بصورة مشابهة للصورة القطبية، إذن أبسط طريقة لحلِّ هذه المسألة هو استخدام المتطابقات المثلثية لكتابة بالصورة القطبية. بمجرد أن يكون لدينا بالصورة القطبية، سيُمكننا قراءة سعته. أولًا، ترتيب الجيب وجيب التمام معكوس بالنسبة إلى الصورة القطبية. ولتصحيح ذلك، يُمكننا استخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين، التي تتعلَّق بجيب الزاوية وجيب تمام الزاوية على النحو الآتي:

باستخدامهما، يُمكننا إعادة كتابة على النحو الآتي:

هذه ليست الصورة القطبية كذلك: لدينا إشارة سالبة أمام جيب الزاوية، بينما في الصورة القطبية، يجب أن تكون موجبة. ولتصحيح ذلك، يُمكننا استخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية: لاعادة كتابة بالصورة:

بالتبسيط، يصبح لدينا:

والآن، بما أن أصبح بالصورة القطبية، يُمكننا إذن قراءة السعة على الصورة: . أخيرًا، علينا التحقُّق إذا ما كانت هذه هي السعة الأساسية أم لا. تذكَّر أنه لتكون أي سعة مُعطاة سعةً أساسية، لا بدَّ أن تُعطَى بالمدى . لدينا: . إذن:

بطرح ، نحصل على:

أي إن تقع في المدى ، والذي يقع في ؛ ومن ثَمَّ فهي السعة الأساسية لـ .