تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تبسيط الدوال الكسرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نبسِّط الدوال الكسرية، ونُوجِد مجالاتها.

قبل البدء في تبسيط الدوال الكسرية، دعونا نبدأ بتذكُّر أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتَين كثيرتَي حدود. ومن ثَم، نقول إن 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎) دالة كسرية إذا كان 𞸋(𞸎)، 𞸒(𞸎) كلاهما كثيرتَي حدود؛ حيث 𞸒(𞸎) ليست كثيرة الحدود الصفرية. لعلنا نتذكر أيضًا أن الدوال الثابتة من أمثلة كثيرات الحدود؛ لذا يمكننا البدء بتبسيط خارج قسمة الدوال الثابتة؛ أي تبسيط الكسور.

نتذكر أنه إذا كان لدينا الكسر 𞸍𞸌، فإننا نبسطه بإيجاد العوامل المشتركة لكلٍّ من 𞸍، 𞸌 وحذفها معًا. ولنكون أدق، فإننا نقسم البسط والمقام على هذه العوامل المشتركة. فمثلًا، لتبسيط ٢٧٠٦، نكتب البسط والمقام على صورة حاصل ضرب عواملهما الأولية، فنحصل على: ٢٧٠٦=٢×٣٢×٣×٥.٣٢٢

يمكننا بعد ذلك قسمة كلٍّ من البسط والمقام على ٢×٣٢؛ مما يَحذف العوامل المشتركة. وهذا يعطينا: ٢×٣٢×٣×٥=٢٣×٣٢٢×٣×٥=٢×٣٥=٦٥.٣٢٢٢

لا تختلف عملية تبسيط الدوال الكسرية كثيرًا؛ حيث نوجِد العوامل المشتركة للبسط والمقام ونحذفها. ولكن هناك بعض الاختلافات المهمة في هذه الحالة. ولكي نرى هذه الاختلافات، هيا نبسط الدالة الكسرية 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎.

أول ما يتبادر إلى ذهننا قد يكون حذف العامل المشترك 𞸎 في البسط والمقام، مما يعطينا: 𞸎𞸎=١.

لنسمِّ هذه الدالة 𞸓(𞸎)، إذن 𞸓(𞸎)=١. يمكننا على الفور ملاحظة أن 𞸓(𞸎)، 󰎨(𞸎) ليستا الدالة نفسها تمامًا عند النظر إلى كلتا الدالتين عند 𞸎=. عند هذه النقطة، لدينا: 𞸓(٠)=١،󰎨(٠)=٠٠.

إذن، 󰎨 غير مُعرَّفة عند 𞸎=. يمكننا تذكُّر أن مجموعة كل المدخلات تسمى مجال الدالة؛ لذا يمكننا القول إن العدد ٠ لا يقع في مجال 󰎨(𞸎). ومن ثَم، لا يمكننا حذف العامل المشترك 𞸎 هكذا ببساطة عندما يكون 𞸎 يساوي صفرًا؛ لأن 𞸎𞸎 لا يساوي ١ إلا عندما يكون المقام لا يساوي صفرًا.

في الواقع، لقد بيَّنَّا أنه عندما تكون 𞸎٠، فإن 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎=١. ولذا، يمكننا القول إن 󰎨(𞸎)=١ على المجال 𞹇{٠}. يمكننا أن نرى ذلك أيضًا من خلال شكل عن طريق تمثيل الدالتين بيانيًّا.

كلا التمثيلين متطابقان في كل مكان إلا عند 𞸎=٠؛ نظرًا لأن 𞸎𞸎 غير مُعرَّفة عند هذه النقطة.

يمكن تعميم هذه العملية لتبسيط أي دالة كسرية.

علينا أولًا تحديد مجال الدالة الكسرية. على هذا المجال، تكون الدالة مُعرَّفة؛ لذا يمكننا حذف العوامل المشتركة في البسط والمقام (لا يمكن أن تكون القيمة المخرجة للدالة ٠٠ لأي قيمة مدخلة في المجال). وأخيرًا، تكون الدالة مساوية للمقدار المُبسَّط على مجال الدالة الأصلية.

لتطبيق هذه العملية، علينا أولًا تحديد مجال الدالة الكسرية. يمكننا فعل ذلك مباشرة من تعريف الدالة الكسرية. لنقُل إن 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎)؛ حيث 𞸋(𞸎)، 𞸒(𞸎) كثيرتا حدود. ونحن نعلم أن كثيرات الحدود مُعرفَّة لجميع القيم الحقيقية، ونلاحظ أنه إذا كان 𞸒(󰏡)٠، فإن لدينا خارج قسمة عددين حقيقيين. ومن ثَم، تكون 󰎨(󰏡) مُعرَّفة، ويكون 󰏡 ضمن مجال 󰎨(𞸎). ولكن، إذا كان 𞸒(󰏡)=٠، فإن 󰎨(󰏡)=𞸋(󰏡)𞸒(󰏡)=𞸋(󰏡)٠، وهي غير مُعرَّفة؛ وبذلك لا يكون 󰏡 ضمن مجال 󰎨(𞸎). وقد بيَّنَّا ذلك فيما يأتي.

تعريف: مجال الدالة الكسرية

إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎) دالة كسرية، فإن مجال 󰎨(𞸎) هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا تلك حيث 𞸒(𞸎)=٠.

من ثَم، يمكننا تحديد مجال الدالة الكسرية بإيجاد جذور المقام. في كثيرات الحدود ذات الدرجات العليا، قد نحتاج إلى استخدام طرق مثل نظرية العوامل، أو القسمة الجبرية، أو التحليل بتجميع الحدود لتحديد هذه الجذور. يجب أن نلاحظ أيضًا أن المعادلات التربيعية لا يكون لها جذور حقيقية في بعض الأحيان (𞸎+١٢ ليس لها جذور حقيقية).

على سبيل المثال، دعونا نحدِّد مجال الدالة الكسرية 󰎨(𞸎)=𞸎+١𞸎+𞸎٢. علينا إيجاد جذور المقام، ونقوم بذلك بأخذ العامل المشترك 𞸎؛ مما يعطينا: 𞸎+𞸎=٠𞸎(𞸎+١)=٠.٢

لكي يكون حاصل ضرب مقدارين حقيقيين صفرًا، يجب أن يكون واحد منهما صفرًا. إذن، إما 𞸎=٠ وإما 𞸎=١. وأخيرًا، يكون مجال 󰎨(𞸎) هو جميع القيم الحقيقية ما عدا هذين الجذرين، ويمكننا كتابة ذلك باستخدام ترميز المجموعات كالآتي: 𞹇{١،٠}.

والآن بعد أن أصبحنا قادرين على تحديد مجال الدوال الكسرية، صار بإمكاننا أيضًا تبسيط الدوال الكسرية بحذف العوامل المشتركة؛ حيث يكون مجال الدالة الجديدة مستمدًّا من الدالة الأصلية. يمكننا وصف هذه العملية كما يأتي.

خطوات: تبسيط الدوال الكسرية

لتبسيط الدالة الكسرية 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎)، علينا اتباع الخطوات الآتية:

  1. نوجِد قيم 𞸎 حيث 𞸒(𞸎)=. ومن ثَم، يكون مجال 󰎨(𞸎) هو جميع القيم الحقيقية ما عدا هذه الجذور.
  2. نحلِّل 𞸋(𞸎)، 𞸒(𞸎) تحليلًا كاملًا، وقد يتطلب ذلك استخدام نظرية العوامل أو التحليل بتجميع الحدود.
  3. نحذف العوامل المشتركة في البسط والمقام، بحيث نقيِّد قيم 𞸎 لتكون في مجال 󰎨(𞸎).
  4. نساوي 󰎨(𞸎) بالمقدار المبسَّط المقيَّد بمجال 󰎨(𞸎).

هيا نتناول بعض الأمثلة على تطبيق هذه العملية لتبسيط الدوال الكسرية.

مثال ١: تبسيط الدوال الكسرية وتحديد مجالها

بسِّط الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎𞸎٤٢٢، وأوجد مجالها.

الحل

نلاحظ أولًا أن 󰎨(𞸎) هي خارج قسمة دالتين كثيرتَي حدود؛ ولذا فهي دالة كسرية. نتذكر أنه لتبسيط الدالة الكسرية، فإننا نوجِد مجالها، ثم نحلِّل البسط والمقام، وفي النهاية نحذف العوامل المشتركة المعرَّفة على المجال.

علينا إذن أن نبدأ بإيجاد مجال 󰎨(𞸎). ونقوم بذلك بتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو جميع قيم 𞸎 الحقيقية ما عدا تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا. لإيجاد جذور المقام، سنحلل باستخدام الفرق بين مربعين: 𞸎٤=(𞸎٢)(𞸎+٢).٢

إذن: (𞸎٢)(𞸎+٢)=٠ عند 𞸎=٢ أو 𞸎=٢. ومن ثَم، فمجال 󰎨(𞸎) هو 𞹇{٢،٢}.

بعد ذلك، علينا تحليل البسط تحليلًا كاملًا. يمكننا فعل ذلك بملاحظة أن الحدين بينهما العامل المشترك 𞸎؛ مما يعطينا: 𞸎+٢𞸎=𞸎(𞸎+٢).٢

إذن: 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎𞸎٤=𞸎(𞸎+٢)(𞸎٢)(𞸎+٢).٢٢

والآن، بما أن 𞸎=٢ ليس في مجال 󰎨(𞸎)، يمكننا حذف العامل المشترك 𞸎+٢، فنحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸎(𞸎+٢)(𞸎٢)(𞸎+٢)=𞸎𞸎٢، حيث 𞸎𞹇{٢،٢}.

وبذلك، نكون قد بيَّنَّا أن 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎٢، ومجالها هو 𞹇{٢،٢}.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد مجال دالة كسرية يكون فيها كلٌّ من البسط والمقام دوالَّ تربيعيةً المعاملُ الرئيسيُّ في كلٍّ منها أكبر من واحد.

مثال ٢: تبسيط الدوال الكسرية

بسِّط الدالة 󰎨(𞸎)=٧𞸎+٣٤𞸎+٦٧𞸎+٠٥𞸎+٧٢٢، وأوجد مجالها.

الحل

نلاحظ أولًا أن 󰎨(𞸎) هي خارج قسمة دالتين كثيرتَي حدود؛ ولذا فهي دالة كسرية. نتذكر أنه لتبسيط الدالة الكسرية، فإننا نوجِد مجالها، ثم نحلِّل البسط والمقام، وفي النهاية نحذف العوامل المشتركة المعرَّفة على المجال.

علينا إذن أن نبدأ بإيجاد مجال 󰎨(𞸎). ونقوم بذلك بتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو جميع قيم 𞸎 الحقيقية ما عدا تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا.

ثمة طرق عدة تساعدنا في تحليل هذا النوع من المعادلات التربيعية. وتُعرَف إحدى هذه الطرق بالتحليل بتجميع الحدود. سنستخدم تلك الطريقة هنا، مع أننا قد نستخدم التخمين بدلًا من ذلك أو أي طريقة أخرى مناسبة.

لإيجاد جذور المقام، علينا تحليل ٧𞸎+٠٥𞸎+٧٢. ونقوم بذلك عن طريق إيجاد عددين حاصل ضربهما ٧×٧=٩٤ ومجموعهما ٥٠. نجد أن هذين العددين هما ١ و٤٩. ومن ثَم، نستخدم ذلك لفصل الحد الأوسط بحيث يمكننا استخدام التحليل بتجميع الحدود: ٧𞸎+٠٥𞸎+٧=٧𞸎+٩٤𞸎+𞸎+٧.٢٢

يتضمن أول حدين العامل المشترك ٧𞸎، في حين لا يتضمن الحدان الأخيران عاملًا مشتركًا سوى ١.

بأخذ هذه العوامل المشتركة، يكون لدينا: 󰁓٧𞸎+٩٤𞸎󰁒+(𞸎+٧)=٧𞸎(𞸎+٧)+(𞸎+٧).٢

بعد ذلك، نأخذ العامل المشترك 𞸎+٧، فنحصل على: ٧𞸎(𞸎+٧)+(𞸎+٧)=(𞸎+٧)(٧𞸎+١).

يمكننا الآن إيجاد جذور المقام: (𞸎+٧)(٧𞸎+١)=٠.

هذه الجذور هي: 𞸎=٧، 𞸎=١٧.

إذن، مجال 󰎨(𞸎) هو 𞹇{٧،١٧}. يمكننا الآن تبسيط 󰎨(𞸎) بتحليل البسط وحذف العوامل المشتركة على هذا المجال.

لتحليل ٧𞸎+٣٤𞸎+٦٢، نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما ٧×٦=٢٤ ومجموعهما ٤٣. نجد أن هذين العديين هما ١ و٤٢؛ ومن ثَم نستخدم ذلك لفصل الحد الأوسط بحيث يمكننا استخدام التحليل: ٧𞸎+٣٤𞸎+٦=٧𞸎+٢٤𞸎+𞸎+٦=٧𞸎(𞸎+٦)+(𞸎+٦)=(٧𞸎+١)(𞸎+٦).٢٢

إذن: 󰎨(𞸎)=(٧𞸎+١)(𞸎+٦)(𞸎+٧)(٧𞸎+١)=(٧𞸎+١)(𞸎+٦)(𞸎+٧)(٧𞸎+١)=𞸎+٦𞸎+٧، حيث 𞸎𞹇{٧،١٧}.

وبذلك، فإن 󰎨(𞸎)=𞸎+٦𞸎+٧ ومجالها هو 𞹇{٧،١٧}.

في المثال التالي، سنستخدم التبسيط المعطى لدالة كسرية لتحديد قيمة مجهول في الدالة.

مثال ٣: إيجاد قيمةِ مجهولٍ في دالة كسرية باستخدام صورتها المبسَّطة

إذا كانت 𞸍(𞸎)=𞸎+٢١𞸎+٦٣𞸎󰏡٢٢ تُبسَّط إلى 𞸍(𞸎)=𞸎+٦𞸎٦، فما قيمة 󰏡؟

الحل

نتذكر أنه لتبسيط الدالة الكسرية، فإننا نوجِد مجالها، ثم نحلِّل البسط والمقام، وفي النهاية نحذف العوامل المشتركة المعرَّفة على المجال.

بما أن مقام الدالة المبسَّطة خطِّيٌّ، ومقام الدالة الأصلية تربيعي، فلا بد أن نكون قادرين على تحليل 𞸎󰏡٢ إلى مقدارين خطيين أحدهما هو 𞸎٦. يمكننا ملاحظة أنه إذا كان 󰏡<٠، فإن 𞸎󰏡٢ ليس له أيُّ عوامل لأن الجذور ستكون ±󰋴󰏡، ولا يمكننا أخذ جذر عدد سالب في مجموعة الأعداد الحقيقية. ولذا، 󰏡٠.

إذن، يمكننا تحليل هذا المقدار باستخدام الفرق بين مربعين: 𞸎󰏡=󰂔𞸎󰋴󰏡󰂓󰂔𞸎+󰋴󰏡󰂓.٢

بما أن 𞸎٦ أحد عوامل المقام، نستنتج أن 󰋴󰏡=٦؛ ومن ثَم 󰏡=٦٣. وهذا يعني أن مقام 𞸍(𞸎) هو 󰁓𞸎٦٣󰁒=(𞸎٦)(𞸎+٦)٢، وأصفاره هي 𞸎=±٦.

إذن، مجال 𞸍(𞸎) هو 𞹇{٦،٦}.

بعد ذلك، نحلِّل بسط 𞸎+٢١𞸎+٦٣٢ بملاحظة أن ٦×٦=٦٣، ٦+٦=٢١؛ ومن ثَم: 𞸎+٢١𞸎+٦٣=(𞸎+٦)(𞸎+٦).٢

ولذا، إذا كان 𞸎𞹇{٦،٦}، يكون لدينا: 𞸍(𞸎)=𞸎+٢١𞸎+٦٣𞸎٦٣=(𞸎+٦)(𞸎+٦)(𞸎٦)(𞸎+٦)=(𞸎+٦)(𞸎+٦)(𞸎٦)(𞸎+٦)=𞸎+٦𞸎٦.٢٢

وهذا يؤكِّد أن 󰏡=٦٣.

في الأمثلة السابقة، تناولنا كثيرات الحدود التربيعية فحسب. لنرَ الآن مثالًا يتضمن كثيرة حدود تكعيبية.

مثال ٤: تبسيط الدوال الكسرية وتحديد مجالها

بسِّط الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎١٨𞸎+٩٢٧٢٣، وأوجد مجالها.

الحل

نتذكر أنه لتبسيط الدالة الكسرية، فإننا نوجِد مجالها، ثم نحلِّل البسط والمقام، وفي النهاية نحذف العوامل المشتركة المعرَّفة على المجال.

علينا إذن أن نبدأ بإيجاد مجال 󰎨(𞸎). ونقوم بذلك بتذكُّر أن مجال الدالة الكسرية هو جميع قيم 𞸎 الحقيقية ما عدا تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا.

يمكننا تذكُّر صيغة مجموعِ تكعيبيَّيْنِ التي تنص على أن 𞸎+󰏡=(𞸎+󰏡)󰁓𞸎󰏡𞸎+󰏡󰁒٣٣٢٢. بالتعويض بـ 󰏡=٩، نحصل على: 𞸎+٩٢٧=(𞸎+٩)󰁓𞸎٩𞸎+١٨󰁒.٣٢

لا يمكننا تحليل المقدار التربيعي. إذن، لا يوجد جزء مقطوع من المحور 𞸎؛ ومن ثَم لا توجد جذور للمقدار التربيعي. إذن، مجال 󰎨(𞸎) هو 𞹇{٩}.

يمكننا بعد ذلك تحليل البسط باستخدام الفرق بين مربعين؛ لدينا: 𞸎١٨=(𞸎٩)(𞸎+٩).٢

والآن، بمعلومية أن 𞸎٩، فإن: 󰎨(𞸎)=𞸎١٨𞸎+٩٢٧=(𞸎٩)(𞸎+٩)(𞸎+٩)(𞸎٩𞸎+١٨)=(𞸎٩)(𞸎+٩)(𞸎+٩)(𞸎٩𞸎+١٨)=𞸎٩𞸎٩𞸎+١٨.٢٣٢٢٢

إذن، 󰎨(𞸎)=𞸎٩𞸎٩𞸎+١٨٢، ومجالها هو 𞹇{٩}.

قبل الانتقال إلى الأمثلة الأخيرة، يمكننا الآن مناقشة ما يعنيه أن تكون الدالتان الكسريتان متساويتين ومتكافئتين.

أولًا، نقول إن الدالتين الكسريتين متساويتان إذا كانت الدالتان متساويتين. بعبارة أخرى، يجب أن يكون لهما المجال نفسه، ويجب أن تكون القيم المخرجة متساوية على المجال بأكمله. يمكننا كتابة ذلك بشكل منظَّم كالآتي.

تعريف: تَساوي الدوال الكسرية

إذا كانت 𞸍(𞸎)١، 𞸍(𞸎)٢ دالتين كسريتين، فإننا نقول إن 𞸍=𞸍١٢ إذا كان لهما المجال نفسه وكانتا متساويتين على هذا المجال بأكمله.

نلاحظ أن هذا يكافئ قولنا إن أصفار المقام في كلتا الدالتين الكسريتين متساوية، وأن 𞸍=𞸍١٢ على هذا المجال.

يمكن تبسيط الدوال الكسرية في بعض الأحيان لتعطي الدالة الكسرية نفسها، ولكن بمجال مختلف لكلٍّ منهما. في هذه الحالة، نقول إن لدينا دوالَّ كسرية متكافئة.

تكون الدالتان الكسريتان متكافئتين إذا كانتا متساويتين على تقاطُع مجاليهما. يمكننا كتابة ذلك بشكل منظَّم كالآتي.

تعريف: تكافؤ الدوال الكسرية

إذا كانت 𞸍(𞸎)١، 𞸍(𞸎)٢ دالتين كسريتين، فإننا نقول إن 𞸍١ تكافئ 𞸍٢ إذا كانتا متساويتين على مجاليهما المشترك. نلاحظ أن المجال المشترك بين الدالتين الكسريتين هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا أصفار كل مقام.

في المثالين الأخيرين، سنتناول كيفية المقارنة بين الدوال الكسرية ذوات الصورة المبسَّطة نفسها، وكيفية تحديد إذا ما كانتا متكافئتين أم لا.

مثال ٥: إيجاد مجال دالتين كسريتين لتكونا متساويتين

إذا كانت الدالتان 𞸍(𞸎)=𞸎𞸎٠١𞸎١٢، 𞸍(𞸎)=١𞸎٠١٢، فما مجموعة القيم التي تجعل 𞸍=𞸍١٢؟

الحل

نريد تحديد مجموعة القيم التي تكون الدالتان عندها متساويتين. يمكننا ملاحظة أنه إذا كان 𞸍=𞸍١٢ على مجاليهما المشترك بأكمله، فإنهما يكونان متكافئين. يمكننا فعل ذلك بملاحظة أن الدالتين المعطاتين دالتان كسريتان؛ ولذا يمكننا تبسيط هاتين الدالتين بإيجاد مجاليهما وحذْف العوامل المشتركة.

يمكننا ملاحظة أن بسط الدالة 𞸍(𞸎)٢ ومقامها ليس بينهما عوامل مشتركة؛ ولذا لا يمكن تبسيط الدالة 𞸍(𞸎)٢. لنبدأ إذن بالدالة 𞸍(𞸎)١. نحن نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية ما عدا تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا. ويمكننا تحديد الأعداد التي تجعل المقام يساوي صفرًا بالتحليل. لدينا: 𞸎٠١𞸎=٠𞸎(𞸎٠١)=٠.٢

إذن، المقام يساوي صفرًا عند 𞸎=٠ أو عند 𞸎=٠١. وهذا يعني أن مجال 𞸍(𞸎)١ هو 𞹇{٠،٠١}. يمكننا بعد ذلك حذف العامل المشترك 𞸎 لنحصل على: 𞸍(𞸎)=𞸎𞸎٠١𞸎=𞸎𞸎(𞸎٠١)=١𞸎𞸎(𞸎٠١)=١𞸎٠١،١٢ عندما يكون 𞸎𞹇{٠،٠١}. يمكننا ملاحظة أن هذا هو نفسه المقدار 𞸍(𞸎)٢.

بما أننا لا نستطيع تبسيط 𞸍(𞸎)١ إلا من خلال استبعاد القيم 𞸎=٠، 𞸎=٠١، فهذا يدل على أن 𞸍(𞸎)١ لا يساوي 𞸍(𞸎)٢ إلا على مجموعة القيم هذه؛ أي على مجال 𞸍(𞸎)١.

من الجدير بالذكر أن مجال 𞸍٢ هو 𞹇{٠١}، ومجال 𞸍١ هو 𞹇{٠،٠١}. إذن، المجال المشترك لهاتين الدالتين هو تقاطع هاتين المجموعتين: 𞹇{٠،٠١}. وقد بيَّنَّا أن 𞸍١، 𞸍٢ متساويتان على هذه المجموعة؛ ومن ثَم فهُما متكافئتان.

ولذا، فهُما متساويتان في مجال 𞸍(𞸎)١ بأكمله، وهو 𞹇{٠،٠١}.

في المثال السابق، رأينا أنه إذا كانت لدينا دالتان كسريتان يمكن تبسيطهما إلى المقدار نفسه، فإنهما تتفقان في كل نقطة تكون الدالة معرَّفة عندها. بعبارة أخرى، إذا كان للدالتين الكسريتين المقدار المبسَّط نفسه، فإنهما تكونان متساويتين على تقاطع مجاليهما. وهذا يعطينا نتيجة مفيدة.

خاصية: تكافؤ الدوال الكسرية باستخدام الصور المبسَّطة

إذا كانت 𞸍(𞸎)١، 𞸍(𞸎)٢ دالتين كسريتين، وكانت الصورة المبسَّطة لكلٍّ من 𞸍١، 𞸍٢ متساوية، فإن 𞸍١، 𞸍٢ متكافئتان.

ومن ثَم، يمكننا تحديد إذا ما كانت دالتان كسريتان متكافئتين أم لا عن طريق تبسيطهما بحذف العوامل المشتركة.

لنلقِ نظرة على مثال آخر نتعرف فيه على المجموعة التي تتساوى فيها الدالتان بالنظر إلى مجاليهما. هذا سيمكِّننا من مناقشة تكافؤ دالتين كسريتين وتَساويهما.

مثال ٦: إيجاد مجال دالتين كسريتين لتكونا متساويتين

إذا كانت 𞸍(𞸎)=𞸎٥𞸎+٥١، 𞸍(𞸎)=𞸎٥𞸎𞸎+٥𞸎٢٢٢، فأوجد المجال المشترك؛ بحيث تكون الدالتان 𞸍١، 𞸍٢ متساويتين.

الحل

لتحديد مجموعة القيم حيث تكون الدالتان المعطاتان متساويتين، نلاحظ أن الدالتين المعطاتين كسريتان؛ لذا يمكننا تبسيط هاتين الدالتين بإيجاد مجاليهما وحذف العوامل المشتركة.

نلاحظ أن بسط 𞸍(𞸎)١ ومقامها دوال خطية مختلفة؛ ومن ثَم لا توجد بينهما عوامل من كثيرات حدود غير ثابتة مشتركة. بعبارة أخرى، بما أنه لا يوجد عامل مشترك غير ثابت، فلا يمكننا تبسيط 𞸍(𞸎)١ أكثر من ذلك.

فلنبدأ إذن بالدالة 𞸍(𞸎)٢ بدلًا منها. نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية ما عدا تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا. ويمكننا تحديد الأعداد التي تجعل المقام صفرًا بالتحليل، وذلك كالآتي: 𞸎+٥𞸎=٠𞸎(𞸎+٥)=٠.٢

إذن، المقام يساوي صفرًا عند 𞸎=٠ أو عند 𞸎=٥. وهذا يعني أن مجال 𞸍(𞸎)٢ هو 𞹇{٥،٠}. يمكننا بعد ذلك تحليل البسط لنحصل على: 𞸎٥𞸎=𞸎(𞸎٥).٢

بعد ذلك، يمكننا حذف العوامل المشتركة المعرَّفة على مجال 𞸍(𞸎)٢ للحصول على: 𞸍(𞸎)=𞸎٥𞸎𞸎+٥𞸎=𞸎(𞸎٥)𞸎(𞸎+٥)=𞸎٥𞸎+٥،٢٢٢ على 𞸎𞹇{٥،٠}.

يمكننا ملاحظة أن هذا هو نفسه المقدار 𞸍(𞸎)١.

وبما أن كلتا الدالتين الكسريتين لهما المقدار المبسَّط نفسه، فقد بيَّنَّا أنهما متكافئتان. ولكن، يمكننا ملاحظة أن هاتين الدالتين غير متساويتين؛ لأن 𞸍(٠)=٠٥٠+٥=١١، ولكن الـ ٠ غير موجود في مجال 𞸍٢.

وبذلك نكون قد بيَّنَّا أنهما متساويتان على مجال 𞸍(𞸎)٢ بأكمله، وهو 𞹇{٥،٠}. ولا يمكننا مد هذه المجموعة أكثر من ذلك؛ لأن 𞸍(𞸎)٢ غير معرَّفة عند 𞸎=٥ أو 𞸎=. ومن ثَم، لا يمكن أن تكون الدالتان متساويتين عند هذه القيم. إذن، المجال المشترك للدالتين هو: 𞹇{٥،٠}.

هيا نختم الآن باسترجاع بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • مجال الدالة الكسرية هو كل القيم الحقيقية ما عدا تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا.
  • لتبسيط الدالة الكسرية 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎)، علينا اتباع الخطوات الآتية:
    1. نوجِد مجال 󰎨(𞸎) عن طريق إيجاد جذور 𞸒(𞸎).
    2. نحلِّل 𞸋(𞸎)، 𞸒(𞸎) تحليلًا كاملًا.
    3. نحذف العوامل المشتركة في البسط والمقام؛ حيث نقيِّد قيم 𞸎 لتكون في مجال 󰎨(𞸎).
    4. نساوي 󰎨(𞸎) بالمقدار المبسَّط المعرَّف على مجال 󰎨(𞸎).
  • إذا كان للدالتين الكسريتين المقدار المبسَّط نفسه، فإنهما تكونان متساويتين على تقاطع مجاليهما.
  • إذا كانت 𞸍(𞸎)١، 𞸍(𞸎)٢ دالتين كسريتين، فإننا نقول إن 𞸍=𞸍١٢ إذا كان لهما المجال نفسه وكانتا متساويتين على هذا المجال بأكمله.
  • إذا كانت 𞸍(𞸎)١، 𞸍(𞸎)٢ دالتين كسريتين، فإننا نقول إن 𞸍١ تكافئ 𞸍٢ إذا كانتا متساويتين على مجاليهما المشترك.
  • إذا كانت الصيغتان المبسَّطتان للدالتين الكسريتين 𞸍١، 𞸍٢ متساويتين، فإن 𞸍١، 𞸍٢ متكافئتان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.