في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيم دالة مثلثية باستخدام الآلة الحاسبة.
حساب المثلثات هو أحد فروع الرياضيات الأكثر استخدامًا؛ حيث يُستخدم في الملاحة، والحوسبة، وعلم الميكانيكا، وفي العديد من المجالات الأخرى. ولهذا السبب، فإن أغلب الآلات الحاسبة تأتي مزودة قياسيًّا بالقدرة على حساب قيم التعبيرات المثلثية.
على سبيل المثال، نستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة . أول ما علينا فعله هو التأكُّد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجة، ونفعل ذلك عادةً عن طريق الدخول إلى قائمة «الضبط» أو «الوضع»، ثم اختيار الخيار درجة (الذي يُكتَب في بعض الأحيان بالاختصار deg). بعض الآلات الحاسبة يُوجَد بها الرمز D في أعلاها، ما يُشير إلى أنها تقيس الزوايا المُعطاة بالدرجة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة بالضغط على الزر «sin» في الآلة الحاسبة، ثم نُدخل العدد ٣٥. وهذا يُعطينا الآتي:
من المهم أن نلاحظ أن أغلب الآلات الحاسبة تُقرِّب الإجابة إلى عدد معيَّن من المنازل العشرية، لكن من غير المرجَّح أن تكون القيمة المُخرَجة من الآلة الحاسبة دقيقة؛ فقد نحصل على:
كما هو الحال تمامًا عند كتابة الرياضيات، من المهم غلق الأقواس في نهاية التعبير المثلثي. ومن ثَمَّ، يكون التعبير داخل القوسين هو قياس الزاوية داخل الدالة المثلثية.
يمكننا تقريب هذه القيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية من خلال ملاحظة أن الرقم العشري الرابع ٥؛ لذا، نقرِّب لأعلى لنحصل على:
يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية الأخرى بطريقة مشابهة. بالنسبة إلى دالة جيب التمام، نستخدم الزر «cos»، وبالنسبة إلى دالة الظل نستخدم الزر «tan». يمكننا إيجاد قيمتَي و بالطريقة نفسها. وهذا يُعطينا الآتي:
ومن ثَمَّ، بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على:
يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة التعبيرات المثلثية مُعطاة بها زوايا مقيسة بالدرجة؛ ومع ذلك، غالبًا ما نستخدم الزوايا المقيسة بالدرجة والدقيقة والثانية. لإيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمَّن زاوية مقيسة بالدرجة والدقيقة والثانية، نحوِّل قياس الزاوية أولًا إلى الدرجة. لفعل ذلك، علينا أن نتذكَّر أن درجة واحدة تساوي ٦٠ دقيقة، وذلك يساوي ٣ ٦٠٠ ثانية:
لذا، إذا كان لدينا الزاوية ، فيمكننا كتابة قياس هذه الزاوية بالدرجة على الصورة:
ويُعطينا هذا الصيغة الآتية لتحويل زاوية مُعطى قياسها بالدقيقة والثانية إلى زاوية قياسها بالدرجة.
صيغة: تحويل قياس زاوية من الدقائق والثواني إلى الدرجات
إذا كانت زاوية مُعطى قياسها بالدرجة والدقيقة والثانية، فيمكننا تحويل قياس هذه الزاوية إلى الدرجة باستخدام الصيغة:
على سبيل المثال، الزاوية التي قياسها يمكن كتابتها على الصورة:
يمكننا استخدام هذا التحويل لإيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة عندما يكون قياس الزاوية معطى بالدرجة والدقيقة والثانية. لحساب ، نحوِّل قياس الزاوية إلى الدرجة، ثم نكتب التعبير الناتج على الآلة الحاسبة:
بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على:
نتناول الآن بعض الأمثلة على استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم تعبيرات مثلثية مختلفة.
مثال ١: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد جيب تمام زاوية مقيسة بالدرجات
استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد لأقرب أربع منازل عشرية.
الحل
لحساب قيمة أحد التعبيرات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة، علينا أن نلاحظ أولًا أن الزاوية قياسها مُعطى بالدرجة. نتأكَّد من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع درجة، ثم نستخدم زر «cos» لإيجاد قيمة ، لنحصل على:
للتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، علينا أن ننظر إلى الرقم العشري الخامس. ونرى أنه ٤؛ أي أقل من ٥، إذن نقرِّب لأسفل. يُعطينا هذا:
إذن، بالتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، يصبح لدينا .
مثال ٢: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد جيب زاوية مقيسة بالدرجات، والدقائق، والثواني
احسب ، مقرِّبًا إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.
الحل
لإيجاد قيمة جيب زاوية ما، نستخدم الآلة الحاسبة. لفعل ذلك، علينا التأكُّد أولًا من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع درجة، ثم علينا أن نحوِّل قياس الزاوية إلى درجة. نتذكَّر أنه يمكن تحويل الزاوية (درجة ودقيقة وثانية) إلى الدرجة باستخدام الصيغة:
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: الذي يُبسَّط لنحصل على:
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: الذي يمكننا كتابته على الآلة الحاسبة، لنحصل على:
لتقريب هذا الناتج لأربع منازل عشرية، نتحقَّق من الرقم العشري الخامس، الذي يساوي ٠؛ لذا، نقرِّب لأسفل لنحصل على:
إذن، بالتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، يصبح لدينا .
مثال ٣: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد ظل زاوية مقيسة بالدرجات والدقائق
أوجد قيمة ، لأقرب أربع منازل عشرية.
الحل
لتحديد قيمة دالة مثلثية عندما تكون الزاوية مقيسة بالدرجة والدقيقة والثانية، نستخدم الآلة الحاسبة. نبدأ بالتأكُّد من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع درجة، الذي عادةً ما يُرمز له بالحرف D على الشاشة.
الزاوية مُعطى قياسها بالدرجة والدقيقة والثانية؛ لذا، نحوِّله إلى الدرجة. لفعل ذلك، علينا أن نتذكر صيغة التحويل الآتية:
يُعطينا هذا:
إذن:
يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة باستخدام زر «tan»:
لتقريب هذا الناتج لأقرب أربع منازل عشرية، نتحقَّق من الرقم العشري الخامس، وهو ٢؛ لذا، نقرب لأسفل لنحصل على:
ومن ثَمَّ، بالتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، نحصل على .
في المثال التالي، نُحدِّد إذا ما كانت متباينة تتضمَّن دوال مثلثية صحيحة من خلال التحقُّق من القيم باستخدام الآلة الحاسبة.
مثال ٤: استخدام الآلة الحاسبة للمقارنة بين قيمتَي جيبَي تمام زاويتين مقيستين بالدرجات
حدِّد إذا ما كانت العبارة التالية صوابًا أو خطأ: .
الحل
لتحديد إذا ما كانت المتباينة صحيحة، علينا إيجاد قيم التعبيرات المثلثية على طرفَي المتباينة. يمكننا فعل ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. نتأكَّد من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع «درجة»، ثم نستخدم الزر «cos» لإيجاد قيمة جيب تمام الزاوية المقيسة بالدرجة. ونحصل على:
يمكننا ملاحظة أن جيب تمام الزاوية أكبر من جيب تمام الزاوية . ومن ثَمَّ، فإن العبارة صحيحة.
في المثالين التاليين، نُوجِد قيم التعبيرات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة.
مثال ٥: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد جيب زاوية مقيسة بالدرجات
استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة لأقرب أربع منازل عشرية.
الحل
لإيجاد قيمة هذا التعبيرات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة، علينا أن نلاحظ أولًا أن الزاوية مُعطاة بالدرجة. نتأكَّد من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع درجة، ثم نستخدم زر «sin» لإيجاد قيمة التعبير. ونحصل على:
للتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، علينا النظر إلى الرقم العشري الخامس. نرى أنه ٦، وهو أكبر من ٥؛ لذا، نقرِّب لأعلى، لنحصل على:
ومن ثَمَّ، بالتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، يصبح لدينا .
مثال ٦: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد جيب تمام زاوية مقيسة بالدرجات والدقائق والثواني
احسب ، لأقرب أربع منازل عشرية.
الحل
المطلوب منا هو إيجاد قيمة جيب تمام زاوية ما، ويمكننا فعل ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. نتأكَّد أولًا من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع درجة. علينا بعد ذلك تحويل قياس الزاوية إلى الدرجة. نتذكَّر أنه يمكن تحويل الزاوية (درجة ودقيقة وثانية) إلى الدرجة باستخدام الصيغة:
ومن ثَمَّ، نحصل على:
إذن يصبح لدينا: الذي يمكننا كتابته على الآلة الحاسبة للحصول على:
لتقريب هذا الناتج لأربع منازل عشرية، نتحقَّق من الرقم العشري الخامس، وهو ٥، لذا نقرِّب لأعلى لنحصل على:
إذن، بالتقريب لأقرب أربع منازل عشرية، يصبح لدينا .
في المثالين الأخيرين، نحسب قيم تعبيرات مثلثية تتضمَّن عدة تعبيرات مثلثية باستخدام الآلة الحاسبة.
مثال ٧: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة تعبير يتضمَّن قيمًا لدوال مثلثية
احسب ، لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
يمكننا إيجاد قيمة كل دالة مثلثية في التعبير على حدة باستخدام الآلة الحاسبة، ولكن قد يؤدِّي ذلك إلى أخطاء في التقريب. لذا، من الأفضل إجراء جميع العمليات الحسابية في الوقت نفسه، إن أمكن، أو استخدام زر الذاكرة في الآلة الحاسبة لتتذكَّر القيمة الدقيقة. ضبطنا الآلة الحاسبة على الوضع «درجة» ونُوجِد قيمة التعبير كله مرة واحدة، مع الحرص على تذكُّر ترتيب العمليات:
لقد حصلنا على:
ولتقريب ذلك لأقرب منزلتين عشريتين، نتحقَّق من الرقم العشري الثالث، وهو ٩؛ لذا، نقرب لأعلى لنحصل على:
إذن، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن قيمة التعبير تساوي ٢٫٦١.
مثال ٨: استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة تعبير يتضمَّن دوال مثلثية لزوايا مقيسة بالدرجات والدقائق
احسب ، لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
يمكننا إيجاد قيمتَي الجيب وجيب التمام للزوايا المُعطى قياسها بالدرجة والدقيقة والثانية باستخدام الآلة الحاسبة. يمكننا إيجاد قيمة كل حد على حدة، ثم جمع النواتج، ولكن قد ينتج عن ذلك خطأ في التقريب؛ لذا، علينا استخدام وظيفة الذاكرة في الآلة الحاسبة لاستخدام القيم الدقيقة. ثمة خيار آخر، وهو إجراء جميع العمليات الحسابية مرة واحدة على الآلة الحاسبة. لفعل ذلك، علينا تحويل قياس الزاويتين إلى الدرجة.
نتذكَّر أنه يمكن تحويل قياس الزاوية (درجة ودقيقة وثانية) إلى الدرجة باستخدام الصيغة:
إذن:
يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة التعبير باستخدام الآلة الحاسبة، مع الحرص على وضع قياس الزاوية داخل أقواس. نحصل على الآتي: 
ولتقريب ذلك لأقرب منزلتين عشريتين، نتحقَّق من الرقم العشري الثالث، وهو ٦؛ لذا، نقرِّب لأعلى لنحصل على:
ومن ثَمَّ، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن قيمة التعبير تساوي ١٫٢٧.
نختتم بتلخيص بعض النقاط المهمة بهذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة.
- علينا التأكُّد من ضبط الآلة الحاسبة على الوضع «درجة».
- يمكننا أيضًا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم الدوال المثلثية عندما يكون قياس الزاوية مُعطى بالدقيقة والثانية عن طريق تحويل قياس الزاوية إلى الدرجة باستخدام الصيغة:
- لا يمكن أن تُعطينا الآلات الحاسبة سوى مستوًى معيَّن من الدقة؛ لذا، يجب أن نحرص على توضيح مستوى الدقة عند حساب قيم التعبيرات المثلثية.
